TMA4123M regnet oppgavene 2 7, mens TMA4125N regnet oppgavene 1 6. s 2 Y + Y = (s 2 + 1)Y = 1 s 2 (1 e s ) e s = 1 s s2 s 2 e s.

Transkript

1 NTNU Institutt for matematiske fag TMA43/5 Matematikk 4M/N, 8 august, Løsningsforslag TMA43M regnet oppgavene 7, mens TMA45N regnet oppgavene 6 a) Andre forskyvningsteorem side 35 i læreboken) gir at der ut) er Heaviside-funksjonen f t) = L {F s)} = ut ), g t) = L {Gs)} = t t )ut ), b) La Y s) = L {yt)} Ved å Laplace-transformere differensialligningen får vi Det vil si Delbrøkoppspaltning gir at slik at Ved å ta inverstransformasjonen får vi y t) + yt) = g t) δt ), y) =, y ) =, s Y + Y = s + )Y = s e s ) e s = s + s s e s Y s) = s s + ) s e s s s + ) = s s +, Y s) = s s + s e s yt) = t sin t t )ut ) a) Delbrøkoppspaltning gir at f x) = + x )4 + x ) = 3 slik at Fourier-transformasjonen til f x) er gitt ved f ˆw) = π 3 e w ) π e w = 3 b) Ved å utnytte symmetrien kan vi skrive e w e w ) cos wx dw = + x 4 + x π e w e i wx dw ), e w e w ) Dette minner om den oppgitte Fourier-transformen, og vi ser nå at e w e i wx dw = π π e w e i wx dw = ) π π e w e i wx dw = + x e w e i wx dw lf_tma43m5n_k 8 august Side

2 TMA43/5 Matematikk 4M/N, 8 august, På tilsvarende måte finner vi Følgelig blir e w e i wx dw = π = π = 4 + x π e w e i wx dw ) π e w e i wx dw e w e w ) cos wx dw = + x 4 + x Den enkleste metoden å finne integralet på er å bruke formel 3, s 63 i Rottmann) 3 a) Fra oppgaveteksten ser vi at u x) tilfredstiller ligningen u x) + r =, u ) =, u L) =, u x) = r x L x ) Fra oppgaveteksten vet vi at ux, t) tilfredstiller ligningen for x L og t Ved å sette inn for ux, t) = u x) + vx, t) i ) får vi det vil si u t = u + r, u, t) =, ul, t) =, ) u t = v t = u + r der u = u x) + v = r + v, = u vl,t) L) + = vl,t) =, blir randbe- Ettersom u, t) = u ) + v, t) = v, t) = og ul,t) tingelse for vx, t) de samme som for ux, t), det vil si v t = v ) v, t) = og vl, t) = 3) b) Ettersom ux, t) = u x) + vx, t) og vi er gitt initialbetingelsen får vi initialbetingelsen ux,) = u x) + sin πx 5πx + sin, x L, vx,) = sin πx 5πx + sin, x L 4) For å finne temperaturen i staven for x L og t, trenger vi å finne løsningen til ), gitt randbetingelser 3) og initialbetingelse 4) La så vx, t) = F x)gt) Innsatt i ) får vi F x)ġt) = F x)gt), det vil si F x) = Ġt) F x) Gt) }{{}}{{} =k =k lf_tma43m5n_k 8 august Side

3 TMA43/5 Matematikk 4M/N, 8 august, Dette gir oss to ligninger å løse F x) + kf x) =, 5) Ġt) + kgt) = 6) Løser så 5) Anta at k = p Det vil si, som har generell løsning F x) + p F x) =, F x) = A cos px + B sin px Randbetingelsene 3) gir at F ) = og at F L) = Fra F ) = får vi at A = Fra F L) = får vi at n )π pl =, n =,,3, slik at n )π p = p n =, n =,,3, For k står vi kun igjen med den trivielle løsningen vx, t) = ) Altså har vi at n )πx F n x) = B n sin p n x = B n sin, n =,,3, Innsatt for k = pn i 6) får vi Ġt) pn Gt) =, { ) G n t) = C n e p n n )π t = C n exp,n =,,3, Dermed har vi at { ) n )π n )πx vx, t) = F n x)g n t) = A n exp sin, der A n = B n C n n= Initialbetingelsen 4) gir så at vx,) = n= n= n )πx A n sin = sin πx 5πx + sin, det vil si A =, A 3 = og A n = for alle andre verdier av n Altså er { π ) } vx, t) = exp t sin πx + exp som igjen gir at temperaturen i staven er gitt ved for x L, og t 4 a) Ved Lagrange-interpolasjon: { 5π ux, t) = u x) + vx, t) = r x L x ) { π ) } + exp t sin πx + exp px) = x )x ) ) + 3 xx ) ) + ) sin 5πx, { 5π xx ) = x 3x + ) + 3 4x + 4x) + x x) = 3 x 5 6 x + ) sin 5πx, lf_tma43m5n_k 8 august Side 3

4 TMA43/5 Matematikk 4M/N, 8 august, Ved bruk av dividerte differenser får vi følgende tabell /3 / /3 /3 /3 og polynomet blir px) = 3 x + 3 x x ) = 3 x 5 6 x + Dette gir y3/4) p3/4) = 3/6 =,565 Til sammenligning: den underliggende funksjonen er yx) = / + x) slik at y3/4) = 4/7 =,5748) b) Vi finner en tilnærmelse til integralet ved å integrere interpolasjonspolynomet: Trapesmetoden gir T = px)dx = 5 36, y + y + ) y = 7 4,78333 Feilen ved bruk av de to metodene er henholdsvis,3 3 og,5 Vi får alstå en vesentlig bedre tilnærmelse ved å integrere grads-polynomet som i dette tilfellet gir samme resultat som om vi hadde brukt Simpsons metode) 5 Fra ligningssystemet ser vi at y = e x og x = 6 y 3 Figur : Skissé av ligningsystemet lf_tma43m5n_k 8 august Side 4

5 TMA43/5 Matematikk 4M/N, 8 august, Fra figur er det klart at ligningssystemet har to løsninger Jacobi-matrisen til ligningssystemet er gitt ved Jx, y) = ex y) y 6x 4) slik at J ) = J x ), y )) = J,3) = y ex y) [ e x y y = 6 6x 4) [ e 6 6, y Vi har ved Newtons metode for system av ikke-lineære ligninger at der J ) x ) = f x )) I vårt tilfelle er x ) = x ) + x ), [ e x [ y x fx) = y, der x = 6x 4 y Dette gir følgende ligningssystem med hensyn på x ) [ e 6 6 [ x ) y ) [ [ e 3 3 e = =, Altså er 9 6e [ x ) = 6e ),6 9 6e, e ) x ) = x ) + x ) [,6 3,476 6 Ved å innføre y t) = xt), y t) = x t) kan vi skrive om differensialligningen x t) + xt) =, x) =, x ) =, til følgende system av første ordens differensialligninger med initialbetingelser y ) = og y ) = i) Eulers metode gir at der h er skrittlengden I vårt tilfelle er h =, slik at y t) = x t) = y t), y t) = x t) = xt) = y t), y = y +,ft,y ) = y n+ = y n + h ft n,y n ), [ +, [ = [,,, som igjen gir at y = y +,ft,y ) = [, +,, [, =, [,99, 7) lf_tma43m5n_k 8 august Side 5

6 TMA43/5 Matematikk 4M/N, 8 august, ii) Et steg med skrittlengde h =,) med baklengs Euler gir ligningssystemet y = y +,ft,y ) = [ [ y ) +, y ), det vil si [ [,, y,, =, Et steg med Eulers metode gir så y = y = y +,ft,y ) [ [,/,,99,/,,99 [,99 +,,99 [,99,99 [,98,98 8) Alternativ i) gir ved 7) at x,),99 og x,),, slik at x,) + x,), Alternativ ii) gir ved 8) at x,),99 og x,),98, slik at x,) + x,), Ut fra dette kan vi slutte at alternativ ii) gir best resultat 7 a) Matrisen A og kolonnevektoren b kan for eksempel legges inn slik: >> A=[ - 3; 4 - -; >> b = [ - ; Det er flere måter å gjøre dette på) sizea) er dimensjonen på A, dvs B = [,4 B = b *A er vektor/matriseproduktet [ 4 3 = [ 5 9) suma) er summen av kolonnene i A, dvs radvektoren B 3 = [ 5 A:,:4)^: Her angir først indeksene delmatrisen av A som består av kolonnene til 4, dvs [ 3 Denne skal elementvis opphøyes i potens, dvs [ 9 B 4 = 4 4 Funksjonen ceil avrunder elementvis) oppover til nærmeste heltall Funksjonen exp erstatter hvert element a i j med e a i j Dermed blir [ e e e 3 B 6 = ceil e 4 e e e [ 3 = 55 8 Uttrykket A:,:)\b:) beregner løsningen av ligningssystemet A:,:)x=b:), dvs [ [ [ x = 4 x lf_tma43m5n_k 8 august Side 6

7 TMA43/5 Matematikk 4M/N, 8 august, Dermed blir B6 = x = [, Tilslutt vil B7 = A*b bare gi feilmeldingen??? Error using ==> mtimes Inner matrix dimensions must agree b) Dette skriptet + funksjonen løser differensialligningen x = x x ) = x = t x x ) = tilsvarer den andre ordens difflign x +t x = med startbetingelsene x) =, x ) = ) fra til, ved bruk av skritt med Heuns metode, skrittlengde h = / Utskriften av første gjennomkjøring n=) blir t = x = 5 lf_tma43m5n_k 8 august Side 7