Eksamen i TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/N

Transkript

1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Faglig kontakt under eksamen: Anne Kværnø: mobil Eksamen i TMA423/TMA425 Matematikk 4M/N Bokmål Mandag 2. mai 202 Tid: Hjelpemidler (kode C: Enkel kalkulator (Hewlett Packard HP30S eller Citizen SR-270X Rottmann: Matematisk formelsamling Et formelsett på to sider er heftet ved bak oppgavesettet. Alle svar skal begrunnes og det skal gå klart frem hvordan svarene er oppnådd. TMA423 Matematikk 4M; Alt unntatt oppgave 5 (Laplace. TMA425 Matematikk 4N: Alt unntatt oppgave 8 og 9 (Matlab. Oppgave Finn andregradspolynomet p 2 (x som interpolerer funksjonen f(x = /x i punktene,.5 og 2. Bruk polynomet til å finne en tilnærmelse til integralet 2 x dx. Oppgave 2 a La f(x være en 2-periodisk funksjon, dvs. f(x = f(x + 2 gitt ved { + x for < x < 0 f(x = 0 for 0 < x <. Lag en skisse av f(x for 3 < x < 3. Finn Fourierrekka til f(x (den reelle, ikke den komplekse.

2 Side 2 av 7 b Bruk resultatet til å finne summen av rekkene og m=0 (2m + 2 = m=0 ( m 2m + = Oppgave 3 a (Dette punktet teller dobbelt. Finn alle løsninger på formen F (xg(t av problemet med randbetingelsene u tt = 4u xx, 0 < x < 2, t > 0 (a u x (0, t = 0, u(2, t = 0. (b (Legg merke til venstre randbetingelse. Finn deretter den løsningen av (a, (b som i tillegg tilfredstiller startbetingelsene ( πx ( 5πx u(x, 0 = 3 cos + cos, u t (x, 0 = 0, 0 < x < b Finn en funksjon g(x slik at en løsning til problemet med randbetingelsene kan skrives på formen v tt = 4v xx, 0 x 2, t > 0 v x (0, t =, v(2, t = 0 v(x, t = u(x, t + g(x der u(x, t er en løsning av (a, (b fra punkt a. Vis deretter at løsningen v(x, t som i tillegg tilfredsstiller startbetingelsene kan skrives på formen v(x, t = v(x, 0 = v t (x, 0 = 0 A n cos(2α n t cos(α n x + g(x. n=0 Skriv opp uttrykkene for A n (behøver ikke regnes ut og α n.

3 Side 3 av 7 Oppgave 4 Finn funksjonen y(x som oppfyller ligningen (Hint: Bruk konvolusjon / folding. y(pe 2(x p2 dp = e x2. Oppgave 5 a Finn den invers Laplace transformerte til funksjonen F (s = Bruk resultatet fra dette, samt regelen L b Løs differensialligningen s 2 s 2. { } t f(τdτ = L (f til å vise at 0 s { } L = s 2 (s 2 s 2 2 e2t 3 e t 2 t + 4. y y 2y = { for 0 t < 2 0 for t > 2 med startverdiene y(0 = 2, y (0 = y (0 = 0., Oppgave 6 Utfør en iterasjon med Gauss Seidel på ligningssystemet 5 2 x y = z 4 med startverdiene (x (0, y (0, z (0 T = (0,, 2 T. Vil iterasjonene konvergere? Begrunn svaret. Oppgave 7 Gitt følgende system av. ordens differensialligninger y = y w, y(0 =, w = y 2 w, w(0 = 0. Finn tilnærmelsen til y(0.2 og w(0.2 ved å utføre et skritt med Heuns metode med skrittlengde h = 0.2. Oppgave 8 Hvilket lineært ligningssystem løses i følgende MATLAB-script?

4 Side 4 av 7 N = 5; A = zeros (N,N; b = zeros (N,; for i = : N A(i,i =2; if (i<n A(i,i + = ; end if (i > A(i,i - = -; end b(i=i^2; end x = A\b Forklar hvorfor de to if-setningene er nødvendige.

5 Side 5 av 7 Q = QUAD ( FUN, A, B tries to approximate the integral of scalar - valued function FUN from A to B to within an error of. e -6 using recursive adaptive Simpson quadrature. FUN is a function handle. The function Y = FUN ( X should accept a vector argument X and return a vector result Y, the integrand evaluated at each element of X. Example : Q = quad where the file myfun. m defines the function : % % function y = myfun ( x y =./( x.^3-2*x -5; % % or, use a parameter for the constant : Q = quad (@(x myfun2 (x,5,0,2; where the file myfun2. m defines the function : % % function y = myfun2 (x,c y =./( x.^3-2*x-c; % % Figur : Dokumentasjon av funksjonen quad i MATLAB Oppgave 9 Vis, ved å skrive de nødvendige linjer med kode, hvordan du kan finne en tilnærmelse til integralet 3 e x sin(x 2 dx ved bruk av MATLABs innebygde funksjon quad. Dokumentasjonen av denne er gitt i Figur.

6 Side 6 av 7 Formler i numerikk La p(x være et polynom av grad n som interpolerer f(x i punktene x i, i = 0,,..., n. Forutsatt at x og alle nodene ligger i intervallet [a, b], så gjelder f(x p(x = (n +! f (n+ (ξ n (x x i. Newtons dividerte differansers interpolasjonspolynom p(x av grad n: p(x = f[x 0 ] + (x x 0 f[x 0, x ] + (x x 0 (x x f[x 0, x, x 2 ] Numerisk derivasjon: i=0 + + (x x 0 (x x... (x x n f[x 0,..., x n ] f (x = [ ] f(x + h f(x + h 2 hf (ξ f (x = [ ] f(x + h f(x h 2h 6 h2 f (ξ f (x = [ ] f(x + h 2f(x + f(x h h 2 2 h2 f (4 (ξ Simpsons integrasjonsformel: x2 x 0 f(x dx h 3 (f 0 + 4f + f 2 Newtons metode for ligningssystemet f(x = 0 er gitt ved J (k x (k = f ( x (k x (k+ = x (k + x (k. Iterative teknikker for løsning av et lineært ligningssystem n a ij x j = b i, i =, 2,..., n Jacobi: Gauss Seidel: j= x (k+ i = a ii x (k+ i = ( a ii ( b i i j= b i i Heuns metode for løsning av y = f(x, y: k = hf(x n, y n j= a ij x (k j n k 2 = hf(x n + h, y n + k y n+ = y n + 2 (k + k 2 j=i+ a ij x (k+ j n j=i+ a ij x (k j a ij x (k j

7 Side 7 av 7 Tabell over noen Laplace-transformer f(t F (s = L {f(t} = t t n n! (n = 0,, 2,... s n+ e at s a s cos ωt s 2 + ω 2 sin ωt cosh at sinh at e at cos ωt e at sin ωt s s 2 0 ω s 2 + ω 2 s s 2 a 2 a s 2 a 2 s a (s a 2 + ω 2 ω (s a 2 + ω 2 e st f(t dt Tabell over noen Fourier-transformer f(x g(x = f(ax u(x u(x a ˆf(w = F(f = 2π ĝ(w = a ˆf 2π ( sin aw w ( w a f(xe iwx dx i cos aw w u(xe x 2π ( + w 2 i w + w 2 e ax2 e w2 4a 2a 2 a e a x π w 2 + a 2