Eksamen i TMA4135 Matematikk 4D

Transkript

1 Norge teknik naturvitenkapelige univeritet Intitutt for matematike fag Side av 5 Faglig kontakt under ekamen: Harald Krogtad telefon / Ekamen i TMA435 Matematikk 4D Bokmål Mandag 8. augut 2 Tid: Helpemidler kode C: Enkel kalkulator Hewlett Packard HP3S eller Citizen SR-27X Rottmann: Matematik formelamling Alle var kal begrunne og det kal gå klart frem hvordan varene er oppnådd. Oppgave a Finn f t og g t når dere Laplace-tranformaon er L {f t} = F = e, L {g t} = G = 2 e. b Lø initialverdiproblemet y t + yt = g t δt, y =, y =, der g t er definert om i punkt a og δ betegner deltafunkonen. Oppgave 2 er gitt ved Fourier-tranformaonen til funkonen g x = ĝ w = a a 2 + x 2, a >, π 2 e a w.

2 Side 2 av 5 a Betem Fourier-tranformaonen til funkonen f x = Vink: Benytt delbrøkopppaltning. + x x 2. b Regn ut integralet e w e 2w co wx dw. Oppgave 3 En radioaktiv tav ligger lang x-aken fra x = til x = L. Materialet i taven utvikler varme lik at temperaturen i taven, ux, t, tilfredtiller ligningen u t = 2 u + r, x L, t, x2 der varmeprodukonen, r, er en potiv kontant. Temperaturen ved x = holde kontant lik, u, t =, men taven er varmeiolert ved x = L, lik at ul,t x =, t. Under normale forhold er temperaturen i taven uavhengig av tiden, og denne løningen for temperaturen betegne ved u x, det vil i u t =. a Betem u x ut fra og randbetingelene. Skriv ux, t = u x + vx, t, og vi at differenialligningen og randbetingeler for vx, t er b Ved t = er temperaturen i taven v t = 2 v x 2, v, t =, vl, t =. x ux, = u x + in πx 5πx + 2in 2L 2L, x L. Finn temperaturen i taven for x L, t. Oppgave 4 La yx være en funkon, definert på intervallet x. Funkonen elv er ukent, men funkonverdien er kent i gitte punkter, oppgitt i tabellen under. i 2 x i /2 yx i 2/3 /2 a Finn polynomet px av lavet mulig grad om interpolerer yx i punktene gitt i tabellen. Bruk dette til å finne en tilnærmele til y3/4.

3 Side 3 av 5 b Bruk polynomet px til å finne en tilnærmele til integralet yxdx. Bruk deretter trapemetoden til å finne en annen tilnærmele til amme integralet. Den ekakte verdien av integralet er ln2. Hva blir feilen i de to approkimaonene, og hvilken er bet? Oppgave 5 Gitt ytemet av ikke-lineære ligninger e x y =, y 2 6x = 4. Lag en kié, og vi hvor mange løninger dette ytemet har. Gør deretter én iteraon med Newton metode, med tartverdier x =, y = 3. Oppgave 6 Gitt differenialligningen x t + xt =, x =, x =. Skriv om denne til et ytem av førte orden differenialligninger. Finn tilnærmeler til x,2 og x,2 ved henholdvi i to kritt med Euler metode, ii ett kritt med bakleng Euler metode e vink, etterfulgt av ett med vanlig Euler. Skrittlengden er altå h =, i begge tilfellene. Den ekakte løningen av ligningen er xt = cot, og det er lett å vie at xt 2 + x t 2 = for alle t. Hvilken av de to metodene gir approkimaoner om bevarer denne egenkapen bet? I denne oppgaven er det tiltrekkelig å ekke for t =,2. Vink: For en ordinær differenialligning y = ft,y er et kritt med bakleng Euler metode gitt ved y n+ = y n + hft n+,y n+. Tilnærmelen y n+ må altå løe ut fra ligningen for hvert kritt.

4 Side 4 av 5 Formler i numerikk La px være et polynom av grad n om interpolerer f x i punktene x i,i =,,...,n. Forutatt at x og alle nodene ligger i intervallet [a,b], å gelder n f x px = n +! f n+ ξ x x i, ξ a,b. Newton dividerte differaner interpolaonpolynom px av grad n: Numerik derivaon: px = f [x ] + x x f [x, x ] + x x x x f [x, x, x 2 ] i= + + x x x x...x x n f [x,..., x n ] f x = [ ] f x + h f x + h 2 h f ξ f x = [ ] f x + h f x h 2h 6 h2 f ξ f x = [ ] f x + h 2f x + f x h h 2 2 h2 f 4 ξ Simpon integraonformel: x2 x f x dx h 3 f + 4f + f 2 Newton metode for ligningytemet fx = er gitt ved J k x k = f x k x k+ = x k + x k. Iterative teknikker for løning av et lineært ligningytem Jacobi: Gau Seidel: n a i x = b i, = x k+ i = a ii x k+ i = a ii b i i i =,2,...,n = b i i = a i x k n =i+ a i x k+ n =i+ a i x k a i x k Heun metode for løning av y = fx,y: k = hfx n,y n k 2 = hfx n + h,y n + k y n+ = y n + 2 k + k 2

5 Powered by TCPDF Side 5 av 5 Tabell over noen Laplace-tranformer f t F = L {f t} = t t n n =,,2,... 2 n! n+ e at a coωt 2 + ω 2 inωt coh at inh at e at coωt e at inωt ω 2 + ω 2 2 a 2 a 2 a 2 a a 2 + ω 2 ω a 2 + ω 2 e t f t dt δt a e a Tabell over noen Fourier-tranformer f x g x = f ax ux ux a f ˆw = F f = f xe i wx dx 2π ĝ w = a in aw 2π w uxe x 2π w fˆ a i co aw w + w 2 i w + w 2 e ax2 e w2 4a 2a e a x 2 a π w 2 + a 2