Eksamen i TMA4130 Matematikk 4N

Transkript

1 Norge teknik naturvitenkapelige univeritet Intitutt for matematike fag Side av 5 Faglig kontakt under ekamen: Yura Lyubarkii: mobil Anne Kværnø: mobil Ekamen i TMA430 Matematikk 4N Bokmål Mandag 20. deember 200 Tid: Hjelpemidler (kode C: Enkel kalkulator (Hewlett Packard HP30S eller Citizen SR-270X Rottmann: Matematike formelamling Alle var kal begrunne og det kal gå klart frem hvordan varene er oppnådd. Oppgave dataettet Finn polynomet av lavet mulig grad om interpolerer punktene i x i 0 2 f(x i Oppgave 2 Lø initialverdiproblemet { y 2 in 2t, for 0 t < π, + 4y = 0, for t > π, y(0 = 0, y (0 = 0. Hint: Du kan benytte at in ωt in ωt = 2ω( in ωt ωt co ωt, (i betydningen (f g(t = t f(τg(t τdτ. 0 Oppgave 3 Finn den invere Laplace tranformen av funkjonen F ( = ln Hint: Du kan prøve å bruke regelen L {tf(t} = F ( if L {f(t} = F (.

2 Side 2 av 5 Oppgave 4 La en -periodik funkjon f bli gitt ved f(x = e x, π < x < π. a Skier grafen til den periodike utvidelen til f, og finn den kompleke Fourierrekke. b Finn ummen av rekkene n=2 ( n + n 2 og n=2 + n 2. Oppgave 5 Lø integralligningen f(x e 4 x t f(tdt = e x, < x <. Oppgave 6 a Gitt ligningen u t = 2 u + 2u, 0 < x < π, t > 0, x2 finn alle løninger på formen u(x, t = X(x T (t om tilfredtiller randbetingelene u x (0, t = 0, u x (π, t = 0. b Finn den løningen av problemet i punkt a om i tillegg tilfredtiller tartbetingelen u(x, 0 = (co x + 2, 0 < x < π. Oppgave 7 Gitt et ytem av førte orden differenialligninger y = f(x, y, y(x 0 = y 0. Vi har ett på flere mulige måter å løe like ligninger numerik, i denne oppgaven velger vi «trape-metoden», gitt ved y n+ = y n + h 2 [ f(xn, y n + f(x n+, y n+ ] ( der h er krittlengden og x n+ = x n + h. Vi antar at y n er kjent, og ( bruke til finne en tilnærmele til y n+. Metoden er impliitt, iden funkjonen f ogå beregne i den ukjente løningen y n+. Vi ender altå med et ikke-lineært ligningytem om må løe med henyn på y n+ for hvert kritt.

3 Side 3 av 5 La y = y(x være funkjonen om tilfredtiller den andre orden differenialligningen y = in y, med tartbetingeler y(0 = π/2, y (0 = 0. Skriv om ligningen til et ytem av førte orden differenialligninger. Hva blir tartverdiene for dette ytemet? Sett h = 0. og ett opp det ikke-lineære ligningytemet du får når du ønker utføre det førte krittet med trapemetoden for dette ytemet. Oppgave 8 Gjør en iterajon med Newton metode på ligningytemet 20x x 2 0π = 0, in x 20x 2 + = 0. Bruk x (0 = π/2 og x (0 2 = 0 om tartverdier for iterajonene. Oppgave 9 Gitt den partielle differenialligningen u t = κu xx + x( x, (t > 0, 0 < x <, u(0, t = u(, t = 0, (t > 0, u(x, 0 = in(πx, (0 < x <. Bruk et gitter betående av punktene t j = jk og x i = ih, h = /N, og ett opp et ekpliitt differanekjema for denne ligningen, det vil i, bruk en entraldifferane for å approkimere u xx og en foroverdifferane for å approkimere u t. La κ = 0.. Sett h = 0.25 og k = 0.2, og finn tilnærmeler til u(0.25, 0.2, u(0.5, 0.2 og u(0.75, 0.2.

4 Side 4 av 5 Formler i numerikk La p(x være et polynom av grad n om interpolerer f(x i punktene x i, i = 0,,..., n. Forutatt at x og alle nodene ligger i intervallet [a, b], å gjelder f(x p(x = (n +! f (n+ (ξ n (x x i. Newton dividerte differaner interpolajonpolynom p(x av grad n: p(x = f[x 0 ] + (x x 0 f[x 0, x ] + (x x 0 (x x f[x 0, x, x 2 ] Numerik derivajon: i=0 + + (x x 0 (x x... (x x n f[x 0,..., x n ] f (x = [ ] f(x + h f(x + h 2 hf (ξ f (x = [ ] f(x + h f(x h 2h 6 h2 f (ξ f (x = [ ] f(x + h 2f(x + f(x h h 2 2 h2 f (4 (ξ Simpon integrajonformel: x2 x 0 f(x dx h 3 (f 0 + 4f + f 2 Newton metode for ligningytemet f(x = 0 er gitt ved J (k x (k = f ( x (k x (k+ = x (k + x (k. Iterative teknikker for løning av et lineært ligningytem n a ij x j = b i, i =, 2,..., n Jacobi: Gau Seidel: j= x (k+ i = a ii x (k+ i = ( a ii ( b i i j= b i i Heun metode for løning av y = f(x, y: k = hf(x n, y n j= a ij x (k j n k 2 = hf(x n + h, y n + k y n+ = y n + 2 (k + k 2 j=i+ a ij x (k+ j n j=i+ a ij x (k j a ij x (k j

5 Side 5 av 5 Tabell over noen Laplace-tranformer f(t F ( = L {f(t} = t t n n! (n = 0,, 2,... n+ e at a co ωt 2 + ω 2 in ωt coh at inh at e at co ωt e at in ωt 2 0 ω 2 + ω 2 2 a 2 a 2 a 2 a ( a 2 + ω 2 ω ( a 2 + ω 2 e t f(t dt Tabell over noen Fourier-tranformer f(x g(x = f(ax u(x u(x a ˆf(w = F(f = ĝ(w = a ˆf ( in aw w ( w a f(xe iwx dx i co aw w u(xe x ( + w 2 i w + w 2 e ax2 e w2 4a 2a 2 a e a x π w 2 + a 2