EKSAMENSOPPGAVER MATEMATIKKDELEN AV TMA4135 MATEMATIKK 4D H-03
|
|
- Birgitte Kristensen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 36 TMA435 Matematikk 4D H-3 Oppgave D-3 Bruk tabell til å vise at funksjonen xe ax (a>) har Fouriertransformert: Side a. september 3 () F(xe ax )= iw (a) 3/ e w /4a. Bruk så () og tabell til å bestemme funksjonen f når EKSAMENSOPPGAVER MATEMATIKKDELEN AV TMA435 MATEMATIKK 4D H-3 Oppgave D- a) La f(x) være definert for x ved når x</, når / x. Finn Fourier-cosinusrekken til f(x) i intervallet x. b) Gitt den partielle differenssialligningen () med randbetingelser t = u, x, t, x () x (,t)= (, t) =, t. x Finn alle løsninger av () og () som er av formen u(x, t) =F (x)g(t). c) Angi en løsning av () og () som oppfyller initialbetingelsen (3) u(x, ) = f(x), x, der f(x) er funksjonen definert i a). Bestem til slutt en løsning av () og () som istedenfor (3) oppfyller initialbetingelsen u(x, ) = sin x, x. Oppgave D- Bruk Laplacetransformasjonen til å løse initialverdiproblemet y +y +y = δ(t ), y()=, y ()=, der δ betegner deltafunksjonen. xe x = f(v) e (x v) dv. Oppgave D-4 a) Finn f(t) og g(t) når deres Laplacetransformerte er b) Løs initialverdiproblemet L(f) =F (s) = s e s, L(g) =G(s) = s ( e s ). y + y = g(t) δ(t ), y() = y () = der g er definert i a) og δ betegner deltafunksjonen. c) Bestem x(t) av integralligningen t der f og g er funksjonene definert i a). [x(u) f(u)]x(t u) du = g(t) Oppgave D-5 a) La f(x) være definert for x ved når x</, x når / <x. Finn Fourier-sinusrekken til f(x) i intervallet x. b) Angi summen av sinusrekken i a) for x = / ogforx = 3/4. Finn summen av rekken
2 TMA435 Matematikk 4D H-3 Side 3 av 36 TMA435 Matematikk 4D H-3 Side 4 a Oppgave D-6 La g være en to ganger deriverbar funksjon, sett g (x) og anta at f(x) dx < og at g(x) dx < slik at de Fouriertransformerte av f(x) og g(x) eksisterer. Vi søker en løsning av den partielle differensialligningen slik at og x =, <x<, y y lim x ± u(x, y) = lim x ± (x, y) = x (x, ) = f(x). y a) Overfør problemet ved hjelp av Fouriertransformasjonen til en ordinær differensialligning og løs denne. b) Vis at løsningen på problemet kan skrives på formen og finn funksjonen h(p, y). u(x, y) = g(x p)h(p, y) dp for y> Oppgave D-7 Løs følgende ligning ved hjelp av Laplacetransformasjonen: hvor y() = og t. y (t)+ t e u y(t u) du y(t) =5e t 4t, Oppgave D-8 a) Finn de løsninger av den partielle differensialligningen som kan skrives på formen og som tilfredsstiller randkravene x + t t = u(x, t) =F (x)g(t), b) Finn en løsning fra a) som også tilfredsstiller kravet u(x, ) = sin x 3sin3x. Oppgave D-9 Gitt den partielle differensialligningen 4 u x u 4 x + u u t = hvor <x<+ og t> og randbetingelsene lim x ± u(x, t) = = lim x ± k u(x, t) x k for k =,, 3 og lim u(x, t) <. t + a) Benytt Fouriertransformasjonen til å overføre den gitte ligning til en ordinær differensi ning og løs denne. Forklar bruken av randbetingelsene. b) Finn en løsning u(x, t) som tilfredsstiller kravet u(x, ) = f(x), hvor f(x) er en passende funksjon. Uttrykk løsningen så enkelt som mulig ved et konvolusjonsintegral c) Regn ut Fouriertransformasjonene til e x og ( x )e x /. d) Vis at u(x, t) = + e u e (x u) / du er en løsning av den inhomogene ligningen 4 u x u 4 x + u u t =( x )e x /. Oppgave D- Løs initialverdiproblemet f (t) =e t sin t + f()= t ved hjelp av Laplacetransformasjonen. Oppgave D- Beregn Fourierintegralet for funksjonen e u (cos u +sinu)f(t u) du, t u(,t)=u(, t) = fort>. e x for <x<
3 TMA435 Matematikk 4D H-3 Side 5 av 36 TMA435 Matematikk 4D H-3 Side 6 a og begrunn at det eksisterer og konvergerer mot f(x) for alle x. Bruk resultatet til åviseat cos x +x dx = e. Det oppgis at Fourierintegralet til en funksjon f(x) kan skrives som der A(w) = [A(w)coswx + B(w)sinwx] dw f(v)coswv dv, B(w) = f(v)sinwv dv. b) Finn den inverse Laplacetransformerte L s(s+) e ns} for n =,,,... Benytt svaret til å finne løsningen av initialverdiproblemet x + x = r(t), x() = som en uendelig rekke. (Funksjonen r(t) er definert i a).) Oppgave D-4 a) Gitt funksjonen x( x) for x. Finn Fouriercosinusrekken til f(x) i det gitte intervallet. Oppgave D- a) Finn alle funksjoner av typen u(x, t) =F (x)g(t), x, t som tilfredsstiller den partielle differensialligningen ( ) u xx 4u x + u = u t, x, t og randbetingelsene ( ) u(,t)=u(, t) = for t. b) Finn løsningen u(x, t) av( ) og( ) som også tilfredsstiller initialbetingelsen u(x, ) = e x sin x cos x for x. c) Finn løsningen u(x, t) av( ) og( ) som også tilfredsstiller initialbetingelsen Oppgave D-3 a) La r(t) være trappefunksjonen definert ved u(x, ) = xe x for x. r(t) =n + for n<t<n+, n =,,,... Tegn grafen til r(t) og uttrykk r(t) ved enhetsprangfunksjoner (unit step functions) u(t n). Finn den Laplacetransformerte R(s) = L(r) som en geometrisk rekke. For hvilke s konvergerer rekken, og hva blir summen? b) Finn alle løsninger på formen u(x, y) = F (x)g(y) av randverdiproblemet ( ) y = y u for x, y, x x (,y)= (, y) = for y>. x c) Finn en (formell) løsning av ( ) på formen u(x, y) = F n (x)g n (y) som oppfyller Finn også en løsning av ( ) som oppfyller n= u(x, ) = x( x) for x. u(x, ) = cos x cos 3x for x. Oppgave D-5 a) La a være en positiv konstant. Finn den inverse Fouriertransformerte til b) Gitt den todimensjonale Laplaceligningen () med tilleggsbetingelser () lim u(x, y) = lim x ± e a w. x + u = for <x<, y y x ± (x, y) = x La û(w, y) være den Fouriertransformerte av u(x, y) med hensyn på x. Bruk Fouriert formasjonen til å finne en ordinær differensialligning for û(w, y) og løs denne.
4 TMA435 Matematikk 4D H-3 Side 7 av 36 TMA435 Matematikk 4D H-3 Side 8 a c) Anta at u(x, y) i tillegg til () og () også oppfyller lim u(x, y) = og u(x, ) = f(x), y der f er en gitt funksjon som kan Fouriertransformeres. Vis at u(x, y) kan skrives på formen u(x, y) = y f(t) dt for y>. (x t) + y Oppgave D-6 a) Bestem } L(t sin t), L(t cos t) og L ( + s ) ved å bruke formler for Laplacetransformasjonen i formelsamlingen. b) Finn ved hjelp av Laplacetransformasjonen de løsninger av differensialligningen som tilfredsstiller x() =. Oppgave D-7 a) Gitt funksjonen tx x + tx = x for <x<, for x<; som antas å være periodisk med periode. Finn Fourier-rekken til f(x). b) Funksjonen g(x) er også periodisk med periode og e x for <x<, g(x) = for x<. Det oppgis at g(x) har Fourier-rekke ( ) n n + e x ( ( ) n e ) sin nx. Hva er summen av rekken ( ) for x = / ogforx =3/? Finn også summen av rekken Oppgave D-8 Gitt den partielle differensialligningen () x +4 +6u + y x y =. a) Finn de løsninger på formen u(x, y) =F (x)g(y) som tilfredsstiller kravene ( ) u(,y)=u(, y) = for y>. b) Finn en løsning av () som i tillegg til ( ) oppfyller (Oppgitt formel: sin 3 x = 3 sin x sin 3x.) 4 4 u(x, ) = e x sin 3 x. Oppgave D-9 Det oppgis at Fourierintegralet til en funksjon f(x) kan skrives som [A(w)coswx + B(w)sinwx] dw der A(w) = f(x)coswx dx og B(w) = Bestem funksjonene A(w) ogb(w) for funksjonen for x<, e x for x>. Bruk resultatet til å finne verdien av integralene cos w dw og +w w sin w +w dw. Oppgave D- La f(x) være en odde funksjon som oppfyller for <x, for x>. a) Finn den Fouriertransformerte av f(x). f(x)sinwx dx.
5 TMA435 Matematikk 4D H-3 Side 9 av 36 TMA435 Matematikk 4D H-3 Side a b) Bruk den inverse Fouriertransformasjonen til å beregne integralet a) Vis at Fourierrekken til f(x) er Oppgave D- Gitt den partielle differensialligningen ( cos t)sint dt. t ( ) x +4 x +3u = u, x, t. t a) Finn alle løsninger av ( ) som kan skrives på formen u(x, t) =F (x)g(t) og som oppfyller randbetingelsene (i) u(,t)=u(, t) =, t. b) Finn en løsning av ( ) som i tillegg til (i) også oppfyller initialbetingelsene b) Finn summen av rekkene Oppgave D-4 Finn f(x) av ligningen i) a + sin na cos nx. n sin na n, ii) e x = f(u)e (x u) du. sin na n. (ii) u(x, ) = e x (sin x sin3x), (x, ) =, x. t Oppgave D-5 Gitt den partielle differensialligningen Oppgave D- La u(x, y) være en løsning av x = + u, <x<, y, y som oppfyller u(x, ) = f(x) for alle x. Antaatu(x, y) kan Fouriertransformeres med hensyn på x, ogat lim x ± Vis at u(x, y) kan skrives på formen og finn funksjonen h(t). u(x, y) = lim u(x, y) = e y x ± (x, y) =. x f(x t y) h(t) dt Oppgave D-3 La <a<og la f(x) være en like funksjon med periode som oppfyller hvis x a, hvis a<x. ( ) x + t =, x, t. t a) Finn alle løsninger av ( ) som kan skrives på formen u(x, t) =F (x)g(t) og som opp betingelsene (i) u(,t)=u(, t) =, t. b) Finn en løsning av ( ) som i tillegg til (i) også oppfyller betingelsen (ii) u(x, ) = Oppgave D-6 Gitt et system av ordinære differensialligninger der og y i () = y i() = for i =,. sin nx n 3, x. y +y y = f(t) y +y y = f(t) f(t) = hvis t< hvis t>
6 TMA435 Matematikk 4D H-3 Side av 36 TMA435 Matematikk 4D H-3 Side a a) Vis at der Y (s) =L[y (t)]. b) Finn y (t) ogy (t). Y (s) = e s s(s +3) Oppgave D-9 a) Finn Fourierrekken til den funksjonen med periode som er gitt ved x for <x, for x. b) Bruk resultatet fra a) til å finne summen av rekkene Oppgave D-7 a) La f(x) være funksjonen Finn den Fouriertransformerte av f(x). b) Bruk resultatet fra a) til å beregne Oppgave D-8 Gitt den partielle differensialligningen ( ) der x og t. x for x, ellers. sin w dw. w x = x + t a) Finn alle løsninger av ( ) på formen u(x, t) =F (x)g(t) som oppfyller (i) u(,t)=u(, t) = for alle t. b) Finn den løsningen av ( ) som i tillegg til (i) også er slik at Fourierrekken til u(x, )e x er gitt ved (ii) u(x, )e x = for x. n= ( ) n sin(n +)x (n +) n= (n +) og n= ( ) n n +. c) La a + [a n cos nx + b n sin nx] være Fourierrekken fra a). Skisser den kontinuerlige f sjonen som har a + a n cos nx som sin Fourierrekke. Det er nok å skissere funksjonen for x. Oppgave D-3 Gitt den partielle differensialligningen () der c er en positiv konstant. a) Finn alle løsninger av () på formen som tilfredsstiller randkravene t = u c x u(x, t) =F (x)g(t) () u(,t)= (L, t) =fort> x der L er en positiv konstant. b) Finn løsningen u av () og () som også tilfredsstiller initialbetingelsene u(x, ) = sin L x, 3 (x, ) = sin t L x, x [,L].
7 TMA435 Matematikk 4D H-3 Side 3 av 36 TMA435 Matematikk 4D H-3 Side 4 a Oppgave D-3 La funksjonen g være definert ved for x, + x for <x, g(x) = x for <x<, for x. a) Finn den Fouriertransformerte, ĝ, til g. b) Bruk resultatet til å beregne integralet cos w dw. w Oppgave D-3 La h være definert ved h(t) =t + t for t (, ] ogh(t +) =h(t) for t R. a) Skisser funksjonen h for alle t R. b) Finn Fourierrekken til h. c) Bestem summen av Fourierrekken for alle t R. d) Finn summen av rekken Oppgave D-33 La funksjonen f α være definert ved der α er positiv konstant. f α (t) = a) Finn den Laplacetransformerte, L(f α ), til f α. b) Løs differensialligningen der f α er funksjonen ovenfor. ( 4 n + ). 4 n α for t [, +/α], ellers, ( ) y + y = f α, y() = y () =, c) Løsningen y av differensialligningen ( ) vil avhenge av parameteren α. Finn ϕ(t) = lim y(t). Hvilken differensialligning vil ϕ tilfredsstille? α Oppgave D-34 a) Finn L(te t sin t). } e as b) Finn L(t + b)u(t a)} og L der a og b er positive konstanter. (s + b) c) Bruk Laplacetransformasjonen til å finne funksjonen y(t) når for alle t. Oppgave D-35 Løs den partielle differensialligningen y(t) = d dt t ( ) t u x = t der <x< og t, under betingelsene (i) (ii) lim u(x, t) = og lim x ± u(x, ) = f(x) e τ y(t τ) dτ + t x ± (x, t) = x der f(x) er en funksjon som har en Fouriertransformert. Vis at svaret kan skrives på formen u(x, t) = f(x st)g(s) ds der funksjonen g(s) skal bestemmes. Oppgave D-36 Funksjonen x,<x<, er gitt. a) Finn sinusrekken til funksjonen f(x). b) La for alle x, S(x) betegne summen av sinusrekken til f(x) ia). ( Hva blir S ) ( 5 ) og S? 4 4 Skisser grafen til S(x) i det lukkede intervallet [, +].
8 TMA435 Matematikk 4D H-3 Side 5 av 36 TMA435 Matematikk 4D H-3 Side 6 a Gitt den partielle differensialligningen e) Finn den løsningen av ( ) som i tillegg til (i) også oppfyller ( ) med randkrav x = u +4 t, t (ii) u(x, ) = f(x), x, der f(x) er som i a). ( ) u(,t)==u(, t), t. c) Finn alle løsningene av ( ) på formen u(x, t) =F (x)g(t) som også tilfredsstiller ( ), og bestem en løsning av ( ) som tilfredsstiller ( ) og initialbetingelsen u(x, ) = f(x), <x<, t. Oppgave D-37 Bruk Laplacetransformasjonen til å finne f(t) når for alle t. f(t) =e t t cos(t u)f(u) du Oppgave D-38 a) Finn Fouriercosinusrekka til funksjonen coshx, x. (Husk at sinh x = ex e x og cosh x = ex + e x.) b) Bruk resultatet i a) til åviseat n= ( ) n n + = sinh. c) Hvor mange ledd måvitamedirekkaib)forå beregne summen med feil mindre enn, 4? d) Finn alle løsninger av ( ) x = t, x, t >, t på formen u(x, t) = F (x)g(t) som oppfyller (i) x (,t)= (, t) =, t >. x Oppgave D-39 } } a) Finn L e 3s og L. s(s +) s(s +) b) Gitt et system av differensialligninger der og x() = x () = y() = y ()=. Finn x(t) ogy(t). x + x y = r(t) y + y x = r(t) r(t) = når t<3 når t>3 Oppgave D-4 a) La x( x) for x. Hva blir Fourier-sinusrekken til f(x)? Du kan bru Fourier-sinusrekken til x for x<er [ m 4 (m ) 3 b) Finn alle løsninger av Laplaces ligning ] sin (m )x } sin mx. m () u xx + u yy =, x, y på formen u(x, y) = F (x)g(y) som tilfredsstiller () u(x, ) = u(, y)=u(, y) =. c) Bestem en løsning av () og () som oppfyller (3) u(x, ) =f(x), x der f(x) er funksjonen definert i a).
9 TMA435 Matematikk 4D H-3 Side 7 av 36 TMA435 Matematikk 4D H-3 Side 8 a Oppgave D-4 a) Finn Fouriertransformasjonen til funksjonen e x cos x. b) Bruk resultatet fra a) til å finne verdien av integralet w + cos wdw. w 4 +4 Oppgave D-4 La f være definert ved cos x, x [,/),, x [/,). La g betegne den odde, periodiske utvidelsen av f med periode,oglah være den like, periodiske utvidelsen av f med periode. a) Skisser g og h på intervallet ( 3, 3]. (Merk av enhetene på aksene.) b) Finn Fourierrekken til h. Oppgave D-43 a) Finn Fouriertransformasjonen til funksjonen x for x for x >. b) Bruk resultatet fra a) til å finne verdien av integralet (Hint: cos w =sin w/) sin t dt. t Oppgave D-44 La a være en positiv konstant. Funksjonene f a og g a er definert ved f a (t) =e at for <t<a, for t> og g a (t) = e at for a<t. a) Finn de Laplacetransformerte Lf a } og Lg a }, og beregn (f a g a )(t). La G og H betegne summen av Fourierrekkene til henholdsvis g og h. c) Bestem G og H i punktene x = /4, x =ogx = /. d) Finn summen av rekkene ( ) m+ (m) og (m). e) Finn alle løsninger u av randverdiproblemet utt = u ( ) xx + u, x [,] u x (,t)=u x (, t) =, t > på formen u(x, t) =F (x)g(t). f) Bestem løsningen av ( ) som tilfredsstiller initialbetingelsene u(x, ) = f(x), u t (x, ) = der f er funksjonen gitt i begynnelsen av oppgaven. b) Bruk Laplacetransformasjonen til å finne en løsning av integralligningen y(t) der g er funksjonen g a for a =. t e u y(t u) du = t g (u)e t u du Oppgave D-45 a) Finn Fourier-sinusrekken til funksjonen på intervallet [,]. b) Differensialligningen (i) u xx +u x + u = tu t er gitt for <x<, t. Finn alle funksjoner av formen u(x, t) =F (x)g(t) tilfredsstiller (i) og randbetingelsen (ii) u(,t)=u(, t) = fort. c) Finn en formell løsning av (i) og (ii) som tilfredsstiller initialbetingelsen (iii) u(x, ) = e x for <x<.
10 TMA435 Matematikk 4D H-3 Side 9 av 36 TMA435 Matematikk 4D H-3 Side a Oppgave D-46 a) Finn de Fouriertransformerte til funksjonene e x for x> og g(x) = for x< b) Bruk Fouriertransformasjonen til åviseatf g = (f + g). cos(aw) Beregn integralet dw der a er et reelt tall. +w Oppgave D-47 } a) Finn L }, L s + ω s(s + ω ) b) Løs initialverdiproblemet: for x> e x for x<. } e og L as når ω>, a. s + ω y +4y = r(t), y()=,y ()= for <t< der r(t) = når t> c) Skisser grafen til y(t) når y +4y = δ(t ), y()=,y ()=. Oppgave D-48 Funksjonen, <x<, er gitt. Beregn koeffisientene i Fourier-sinusrekken til f(x) og skriv opp rekken. Skisser også grafen til rekkens sum i det lukkede intervallet [, ]. Oppgave D-49 Gitt en sirkulær skive med radius og sentrum i origo. Temperaturen i et punkt på skiven med polarkoordinater (r, θ) betegnes u(r, θ). Den kontinuerlige funksjonen u(r, θ) er løsning av ligningen () r + r r + r θ = og oppfyller (selvsagt) betingelsen () u(r, θ +) =u(r, θ). (<r<, <θ< ) a) La p og bestem alle løsninger av () på formen u(r, θ) = r p G(θ). Hvilke av disse løsningene tilfredsstiller ()? b) (Kan besvares uavhengig av pkt. a)) La f(θ) være en funksjon med periode gitt ved for <θ< f(θ) = for <θ</ for / <θ<. Finn Fourierrekken til f(θ). c) Temperaturen på randen av sirkelskiven, u(,θ), er gitt ved u(,θ)=f(θ). Finn på rekkeform et uttrykk for temperaturen i et vilkårlig punkt (r, θ) på sirkelskive Oppgave D-5 Bruk Fouriertransformasjonen til å finne f(x) når e ax = f(u)e b(x u) du, b > a >. Oppgave D-5 a) Finn den inverse Laplacetransformerte til funksjonen F (s) =e as (s + b). b) Bruk Laplacetransformasjonen til å finne en løsning av initialverdiproblemet ẍ +ẋ + x = δ(t ) δ(t ) x()= ẋ() =. Oppgave D-5 a) Finn alle funksjoner av formen u(x, y) = F (x)g(y) i rektanglet < x < a, < y < b, tilfredsstiller u xx + u yy = u x (,y)=u x (a, y) =u(x, )=. b) Finn den funksjonen, som i tillegg til betingelsene under punkt a, tilfredsstiller u(x, b) =cos x a +cosx a.
11 TMA435 Matematikk 4D H-3 Side av 36 TMA435 Matematikk 4D H-3 Side a Oppgave D-53 a) Finn Fourier-cosinusrekken til funksjonen e x på intervallet [,]. b) Skisser summen av rekken i intervallet [, ]. c) Evaluer rekken for x =ogx = og bruk dette til å beregne summen av rekkene ( ) n (i) og (ii) +n +n. n= n= Oppgave D-57 Funksjonen u(x, y) er definert for x, y. Den tilfredsstiller differensialligningen () u xxy u = for x, y og randvilkårene () u(,y)=u(, y) = for y. a) Finn først alle funksjoner u(x, y) på formen u(x, y) = F (x)g(y) som tilfredsstiller () og Oppgave D-54 Strømmen i(t) tilfredsstiller ligningen C b) Finn deretter en funksjon u(x, y) som tilfredsstiller (), () og initialvilkåret (3) u(x, ) = sin x +sinx for x. t Ri(t)+ i(τ) dτ = v(t), t<, C der v(t) =når t<5, v(t) =7når 5 t<, og v(t) =når t. a) Finn Laplacetransformasjonen b) Bestem i(t). Beregn i(), i(7) og i(). I(s) =Li(t)}. v(t) R c) Finn tilslutt en formell rekke u(x, y) som tilfredsstiller (), () og initialvilkåret (4) u y (x, ) = for <x<. Oppgave D-58 a) Funksjonen f er definert ved for a<x<b ellers Oppgave D-55 Bestem på kompleks form Fourierrekken til e x for <x der f(x) erperiodisk med periode. Oppgave D-56 a) Løs integralligningen b) Funksjonen f er definert ved t y(t) =(t +)e t e t e τ y(τ) dτ. f(t) = 8sint for t, for t>. Løs differensialligningen y +9y = f(t) med initialverdier y() =, y () =. der a, b er konstanter, <a<b. Regn ut den Fouriertransformerte av f(x). Uttrykk dernest den inverse Fouriertransformasjonen ved f(x). b) Bruk resultatet i a) til å finne verdien av integralene e iwa dw og w Oppgave D-59 Gitt følgende partielle differensialligning sin aw w t u x = e x, <x<, t med randkravene lim u(x, t) = lim u x(x, t) = x ± x ± Vis at en løsning som oppfyller initialbetingelsen u(x, ) = dw.
12 TMA435 Matematikk 4D H-3 Side 3 av 36 TMA435 Matematikk 4D H-3 Side 4 a er gitt på formen u(x, t) = e s /4 g(s, t)cossx ds. Funksjonen g(s, t) skal bestemmes. ( Husk at differensialligningen dy/dt + ay = b, a og b konstanter, a, har generell løsning y = Ce at + b/a. ) b) Finn løsningen u(x, t) av u t = u xx u x (,t)= u(, t) =3 u(x, ) = x + +cos(x/) cos(3x/). Oppgave D-6 Løs følgende system av differensialligninger y + y + y = δ(t ) y +3y y = med initialbetingelse y () = og y () =. Oppgave D-6 La funksjonen f være definert ved ( a)x for x a ( x)a for x>a når x [,]oga er en gitt konstant i intervallet (,). a) Bestem Fourier-sinusrekken til f. Hva er summen av Fourier-sinusrekken til f i x = a? b) Sett a =. Hva er summen av Fourier-sinusrekken til f i x =? c) Bruk Parsevals teorem (også kalt Parsevals identitet) til å bestemme sin na. n 4 Oppgave D-6 a) Bestem en løsning på formen v(x, t) =Ax + B av randverdiproblemet v t = v xx ( ) v x (,t)=k v(, t) =K der K og K er gitte reelle tall. La u og v være vilkårlige løsninger av ( ). Vis at da vil w = u v tilfredsstille w t = w xx w x (,t)=w(, t) =. Oppgave D-63 a) Funksjonen f(x) er definert for x ved Det oppgis at Skriv opp Fourier-sinusrekken til f(x). x x. f(x)sinnxdx= ( cos n) for n =,,... n3 b) Funksjonen u(x, t) tilfredsstiller differensialligningen () u t + tu u xx = for x, t. Finn alle løsninger på formen u(x, t) =F (x)g(t) som også tilf stiller randvilkårene () u(,t)=,u(, t) = for t. c) Finn en løsning av () og () som tilfredsstiller initialvilkåret (3) u(x, ) = f(x) 8 sin x for x, der f(x) er funksjonen definert i punkt a). Oppgave D-64 Gitt funksjonen e ax, a > a) Regn ut den Fouriertransformerte av f konvolusjon med seg selv (dvs. F(f f)). b) Bruk resultatet i a) til å finne verdien av for alle x R. e a(x u) e au du
13 TMA435 Matematikk 4D H-3 Side 5 av 36 TMA435 Matematikk 4D H-3 Side 6 a Oppgave D-65 a) Bestem Fourier-sinusrekka til x for x [,]. b) Finn alle løsninger på form u(x, y) = F (x)g(y) av u xx u x + u yy = ( ) u(x, ) =, x [,] u(,y)=u(, y) =, y [, c) Bestem løsningen av ( ) som oppfyller Oppgave D-66 La x = x(t) ogy = y(t) løse u(x, ) =xe x. x x +5y = t y 4y x = med initialbetingelse x() = y() = x () = y () =. a) Vis at X = L(x) ogy = L(y) kan skrives på formen b) Bestem løsningen x = x(t) ogy = y(t). Oppgave D-67 Bruk Fouriertransform til å vise for alle x R og a>. X = s + 8 3(s +4) 5 3(s +) s Y = (s +4)(s +). a cos ωx dω = ω e a x + a Oppgave D-68 Vis ved bruk av kjerneregelen i variable at variabelskiftet u = x +y, v = x overfører ligningen z () y = z x, der den ukjente funksjonen z = f(x, y) skal ha kontinuerlige partiellderiverte, til ligningen z () v =, der den ukjente funksjonen er z = g(u, v) =g(x +y, x) =f(x, y). Hvilke funksjoner z = f(x, y) med kontinuerlige partiellderiverte er det som tilfredsstiller () Oppgave D-69 La funksjonen f være gitt ved f(x, y, z) =z 3 (x + y)z + e x + y 3 +. Finn den retningsderiverte til f i punktet (,, ) i retningen gitt ved i j + k. Finn ligningen for tangentplanet til flaten f(x, y, z) = 3 i punktet (,, ). Oppgave D-7 Du befinner deg i punktet P =(,, 5) på en fjellside hvor høyden over havet er gitt ved z = + 3x +7y. Du beveger deg i retningen gitt ved v = 3i + j. Hva er da vinkelen med horisontalplanet? I hvilke retninger kan du gå fra P for å beholde samme høyde? Oppgave D-7 La z = f(x, y) være en flate i rommet med tangentplan x + z =4 i punktet (3,, ). Finn den retningsderiverte til f(x, y) i punktet (3, ) i retningen j. Bestem også en enhetsvektor u slik at den retningsderiverte til f(x, y) i punktet (3, ),iretni u, er lik /. Oppgave D-7 Gitt funksjonen f(x, y, z) =sin(xy + z 4x +4y).
14 TMA435 Matematikk 4D H-3 Side 7 av 36 Finn gradienten f(x, y, z). Regn ut den retningsderiverte til f i origo i retning av vektoren v = i +j +4k. Hva er den største retningsderiverte til f i origo? Oppgave D-73 En flate z = f(x, y) i rommet har tangentplan z =x 3y +5 i punktet (,, 4). Finn den retningsderiverte til f i punktet (, ) i retningen i + j. La L være skjæringslinjen mellom tangentplanet i (,, 4) og planet y = x. Finn vinkelen som L danner med xy-planet. Oppgave D-74 Et fly reiser gjennom øvre luftlag der temperaturen i (x, y, z) ert (x, y, z). Finn temperaturendringen per minutt rundt flyet ved et tidspunkt der T x =, T y =, T z = 4 målt i C/km, når flyets fart er km/h og det flyr i retningen 7, 5,. Oppgave D-75 La f være funksjonen gitt ved f(x, y, z) =xyz, oglav være en vektor som står vinkelrett både på a = j + k og b =i + j, og som har positiv k-komponent. Finn den retningsderiverte av f i punktet P (,, ) i retningen til vektoren v. TMA435 Matematikk 4D H-3 D-3 4 xe x for t<, D-4 a) f(t) = for t, t sin t for t< b) y = sin t for t c) x (t) =, x (t) = D-5 a) sin x = sin x ( ) m [ b) /4, /4, /8 D-6 a) û(w, y) =ĝ(w)e w y b) h(p, y) = y e p /4y D-7 y = e t (cos t +3sint)+t g(t) = for t< for t sin 3x sin 4x sin(m )x (m ) D-8 a) u n (x, t) =A n t n sin nx, n =,,... b) u(x, t) =t sin x 3t 9 sin 3x t for t< for t + sin 5x ] sin mx m 5 ++ Side 8 a Fasit D- a) + 6 ( ) n cos (n +)x (n +) n= b) u n (x, t) =A n e nt cos nx, n =,,,... c) u(x, t) = + 6 ( ) n (n +) e (n+)t cos (n +)x n= u(x, t) = e 4t cos x D- y(t) =e t (cos t +sint) e e t sin t u(t ) D-9 a) U(w, t) =B(w)e (w +)t + b) u(x, t) = e t f(u)e (x u) /4t du t c) F ( e x ) = w + } F ( x )e x / =(w +)e w / D- f(t) = 4 4 et + tet D- cos wx +w dw
15 TMA435 Matematikk 4D H-3 Side 9 av 36 TMA435 Matematikk 4D H-3 Side 3 a D- a) u n (x, t) =B n e x sin nx e (n +3)t, n =,, 3,... b) u(x, t) =e x sin xe 7t c) u(x, t) = ( ) n+ n ex sin nx e (n +3)t n= D-3 a) r(t) = u(t n), R(s) = n= b) [ e (t n)] u(t n), x(t) =r(t) D-4 a) 6 cos mx m s e ns = s( e s ) e (t n) u(t n) b) u n (x, y) =C n e n y / cos nx, n =,,,... c) u(x, y) = 6 cos mx my e m u(x, y) =e y cos x + e 8y cos 4x a D-5 a) x + a b) û(w, y) =A(w)e w y + B(w)e w y s D-6 a) (s +), s (s +), (sin t t cos t) b) x(t) =C(sin t t cos t) D-7 a) 4 cos (n )x (n ) + b) e /, e /, ( ) n sin nx n e / +e D-8 a) u n (x, y) =C n e x sin nx e ( n )/y, n =,, 3,... b) u(x, y) = 3 4 e x sin x e /y 4 e7 x sin 3x e 7/y D-9 A(w) = +w, B(w) = w +w, for s> cos w +w dw = w sin w +w dw = e D- a) b) / cos w i w D- a) u n (x, t) = [ A n cos n +t + B n sin n +t ] e x sin nx, n =,,3,... b) u(x, t) =e x[ cos t sin x cos t sin 3x ] D- h(t) =e t D-3 b) i) a, ii) 4 a D-4 e x D-5 a) u n (x, t) =C n t n sin nx, n =,, t n b) u(x, t) = sin nx n3 D-6 b) y = 3 3 cos 3 t u(t ) [ 3 3 cos 3(t ) ], y = y D-7 a) b) / cos w w D-8 a) u n (x, t) =B n e (n +)t e x sin nx, n =,,... b) u(x, t) =e x ( ) n +]t (n +) e [(n+) sin (n +)x n= D-9 a) 4 + [ ( ) n n b) /8, /4 cos nx + ( )n n ( (n )ct D-3 a) u n (x, t) = A n cos + B n sin L b) u(x, t) =cos ct x sin L L + L 3c ] sin nx 3ct 3x sin sin L L (n )ct ) sin L (n )x, n =, L
16 TMA435 Matematikk 4D H-3 Side 3 av 36 TMA435 Matematikk 4D H-3 Side 3 a cos w D-3 a) w b) / D-3 b) 3 + [4 ( )n n h(t) c) d) cos nt + ( )n+ n for t (n ), n heltall for t =(n ), n heltall ] sin nt D-33 a) αe s α ( e s/α ) for t b) y(t) = α[ cos(t )] for <t +/α α[cos(t /α) cos(t )] for t>+/α for t, c) ϕ(t) = y + y = δ(t ), y() = y () = sin(t ) for t>; D-34 a) 4(s +) [(s +) +4] ( a + b b) e as + ), (t a)e b(t a) u(t a) s s c) y(t) =t D-35 g(s) =e s / ( ) n D-36 a) sin nx n b) 7/8, 5/8 c) u n (x, t) =B n e [(n +)/4]t sin nx, n =,,3,... ( ) n u(x, t) = e [(n +)/4]t sin nx n D-37 f(t) =e t (t ) D-38 a) sinh + sinh ( ) n n + cos nx c) 4 (fra restleddsestimat for alternerende rekke) d) u n (x, t) =A n t n cos nx, n =,,,... e) u(x, t) = sinh + sinh ( ) n n + t n cos nx D-39 a) [ cos t]; [ cos (t 3)]u(t 3) b) x(t) = [ cos t] [ cos (t 3)]u(t 3), y(t) = x(t) D-4 a) 8 sin (m )x (m ) 3 b) u n (x, y) =C sin nx sinh ny, n =,,... c) u(x, y) = 8 sin (m )x sinh (m )y (m ) 3 sinh (m ) w + D-4 a) w 4 +4 b) cos e D-4 b) + cos x + ( ) m+ cos mx 4m c) G( /4) = /, G() =, G(/) = H( /4)=/, H() =, H(/) = d) ; 4 e) u (x, t) =A e t + B e t u (x, t) =(A + B t)cosx u n (x, t) =(A n cos n t + B n sin n t)cosnx, n =,3,4,... f) u(x, t) = cosh t + cos x + ( ) m+ 4m cos 4m t cos mx D-43 a) f(w) = b) cos w w
17 TMA435 Matematikk 4D H-3 Side 33 av 36 D-44 a) s a, e a(s a) s a ; eat (t a)u(t a) b) (f g )(t) =e t (t )u(t ) D-45 a) 4 sin(n +)x n + n= b) u n (x, t) =e x sin nx t n, n =,,3,... c) u(x, t) = 4 sin(n +)x e x (n +)t (n+) D-46 a) f(w) = b) e a n= iw ( + w ), ĝ(w) = +iw ( + w ) D-47 a) ω sin ωt; ω ( cos ωt); sin ω(t a)u(t a) ω b) sin t + ] 4[ cos (t ) u(t ) D-48 4 sin (m )x m D-49 a) u(r, θ) =A + Bθ (p =) og u(r, θ) =r p (A cos pθ + B sin pθ) (p>) u (r, θ) =A og u n (r, θ) =r n (A n cos nθ + B n sin nθ) (n =,,...) b) a = 4, a n = sin(n/) ( ) (n )/ /n for n =,3,5,... = n for n =,4,6,... b n = cos(n/) /n for n =,3,5,... = /n for n =, 6,,... n for n = 4, 8,,... f(θ) 4 + [ ] m cos(m +)θ sin(m +)θ sin (m +)θ ( ) + + m + m + m + m= c) 4 + [ ] } r m+ m cos(m +)θ sin(m +)θ (m+) sin (m +)θ ( ) + + r m + m + m + D-5 m= b (b a) e abx /(b a) D-5 a) e b(t a) (t a)u(t a) TMA435 Matematikk 4D H-3 b) e t (t +)+e (t ) (t )u(t ) e (t ) (t )u(t ) D-5 a) u (x, y) =B y og u n (x, y) =B n cos nx ny sinh a a sinh (y/a) x sinh (y/a) x b) u(x, y) = cos + cos sinh (b/a) a sinh (b/a) a D-53 a) [ ] e + b) n= +n = cosh sinh +, ( ) n e +n cos nx n= ( ) n +n = sinh + (n =,,...) D-54 a) I(s) = 7C ( e 5s e s) CRs + b) i(t) = 7 ( e (t 5)/RC u(t 5) e (t )/RC u(t ) ) R i() =, i(7) = (7/R)e /RC, i() = (7/R) ( e 6/RC e /RC) D-55 ( ) n e +n e inx D-56 a) y(t) =cosht sin t sin 3t b) y(t) = for t 3 for t> D-57 a) u n (x, y) =A n e y/n sin nx (n =,,...) b) u(x, y) =e y sin x + e y/4 sin x c) u(x, y) = 4 (m )e y/(m ) sin(m )x D-58 a) f(w) = i e ibw e iaw w i e i(x b)w e i(x a)w dw = w b) i, / D-59 g(s, t) = e s t s f(x +)+f(x ) Side 34 a
18 TMA435 Matematikk 4D H-3 Side 35 av 36 TMA435 Matematikk 4D H-3 Side 36 a D-6 y = sinh t + ( 4 e (t ) +3e (t )) u(t ) y = 3 4 et 4 e t 3 sinh (t ) u(t ) sin na D-6 a) sin nx, ( a)a n b) ( )(3 ) c) ( a) a /6 D-7 cos (xy + z 4x +4y) [ (y 4)i +(x +4)j +zk ] ; 4; 4 D-73 / ; arctan ( / ) = 35,3 D-74 5/ 3 C/min. D-75 8/3 D-6 a) v(x, t) =K x + K K b) u(x, t) =x + + e t/4 cos(x/) e 9t/4 cos(3x/) D-63 a) 8 sin(m +)x (m +) 3 m= b) u n (x, t) =B n e n t t / sin nx (n =,,...) c) u(x, t) = 8 / e t (m +) 3 e (m+)t sin(m +)x D-64 a) b) e w /a a / a e ax D-65 a) ( ) n+ sin nx n b) u n (x, y) =A n e x sin nx sinh( n +y) (n =,,...) c) u(x, y) = ( ) n+ sinh( n +y) n sinh( n +) ex sin nx D-66 b) x = t 5 sin t + 4 sin t 3 3 y = (cos t cos t) 3 D-68 f(x, y) =φ(x +y) D-69 /3; x +y +4z = D-7 arctan(/ ) = 7,5 ; ± 7, 3 D-7 ;, ± 3
EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del A: Laplacetransformasjon, Fourieranalyse og PDL
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 34 TMA4 Matematikk 4K H-3 Oppgave A-3 Bruk tabell til å vise at funksjonen xe ax (a>) har Fouriertransformert: Side
Detaljerx(x 1)(x 2) p(x) = 3,0 1( 1 1)( 1 2) Newtons interpolasjonsformel: Tabellen over dividerte differenser er gitt ved
NTNU Institutt for matematiske fag TMA35 Matematikk D eksamen 20. desember 200 Løsningsforslag Oppgaven kan, for eksempel, løses ved hjelp av Lagrange-interpolasjon eller Newtons interpolasjonsformel.
DetaljerTMA Matematikk 4D Fredag 19. desember 2003 løsningsforslag
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA Matematikk D Fredag 9. desember 23 løsningsforslag a Vi bruker s-forskyvningsregelen Rottmann L{gte at } Gs a med gt t.
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MATEMATIKK 4N,
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 16 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MATEMATIKK 4N, 19.12.2003 Oppgave 1 a) Vis at den Laplacetransformerte av f(t) = 2te t
DetaljerEksamensoppgave i TMA4135 Matematikk 4D
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA435 Matematikk 4D Faglig kontakt under eksamen: Helge Holden a, Gard Spreemann b Tlf: a 92038625, b 93838503 Eksamensdato: 2. desember 204 Eksamenstid
DetaljerEKSAMEN I TMA4120 MATEMATIKK 4K, LØSNINGSFORSLAG
EKSAMEN I TMA4 MATEMATIKK 4K, 3..5. LØSNINGSFORSLAG Oppgave. y + y + t y(τ)e t τ dτ = u(t ) t >, y() = Anta at den Laplacetransformerte Y (s) av y(t) eksisterer. Siden integralet er konvolusjonen av y(t)
DetaljerLøsningsførslag i Matematikk 4D, 4N, 4M
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Løsningsførslag i Matematikk 4D, 4N, 4M Oppgave (Kun før 4D Vi har f(x, y x + y x y, for x y. Dette gir For (x, y
DetaljerEksamen i TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 Eksamen i TMA423/TMA425 Matematikk 4M/4N øsningsforslag Alexander undervold Mai 22 Oppgave a Den Fouriertransformerte
DetaljerEksamen i TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/N
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Faglig kontakt under eksamen: Anne Kværnø: mobil 92663824 Eksamen i TMA423/TMA425 Matematikk 4M/N Bokmål Mandag 2.
Detaljerdg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,
DetaljerEksamen i TMA4122 Matematikk 4M
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Faglig kontakt under eksamen: Yura Lyubarskii: mobil 9647362 Anne Kværnø: mobil 92663824 Eksamen i TMA422 Matematikk
DetaljerVi regner først ut de nødvendige partiellderiverte for å se om vektorfeltet er konservativt. z = 2z, F 2 F 2 z = 2y, F 3. x = 2x, F 3.
TMA415 Matematikk Vår 15 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 7 Alle oppgavenummer refererer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete
DetaljerEKSAMEN I FAG SIF5005 MATEMATIKK 2
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 3 Faglig kontakt under eksamen: Trond Digernes 7359357 Berner Larsen 73 59 35 5 Lisa Lorentzen 73 59 35 48 Vigdis Petersen
DetaljerEksamensoppgave i TMA4135 Matematikk 4D
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4135 Matematikk 4D Faglig kontakt under eksamen: Gunnar Taraldsen Tlf: 46432506 Eksamensdato: 3. desember 2016 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
Detaljery = x y, y 2 x 2 = c,
TMA415 Matematikk Vår 17 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 9 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2,
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i TMA45 matematikk, 9.5.4 Oppgave La fx, y, z) xy + arctanxz). La P være punktet,, ). a)
DetaljerTMA4135 Matematikk 4D Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA435 Matematikk 4D Høst 04 Eksamen. desember 04 Integralet er en konvolusjon, så vi har Laplace-transformasjon gir yt) y cos)t)
DetaljerEksamensoppgave i TMA4130/35 Matematikk 4N/4D
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4130/35 Matematikk 4N/4D Faglig kontakt under eksamen: Anne Kværnø a, Kurusch Ebrahimi-Fard b, Xu Wang c Tlf: a 92 66 38 24, b 96 91 19 85, c 94 43 03
DetaljerEksamensoppgave i TMA4135 Matematikk 4D
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA435 Matematikk 4D Faglig kontakt under eksamen: Helge Holden a, Gard Spreemann b Tlf: a 92038625, b 93838503 Eksamensdato: 0. desember 205 Eksamenstid
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I MATEMATIKK 4N/D (TMA4125 TMA4130 TMA4135) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 EKSAMEN I MATEMATIKK N/D (TMA25 TMA3 TMA35 3. August 27 LØSNINGSFORSLAG Oppgave a Løsning: fouriersinusrekken til
Detaljer(s + 1) s(s 2 +2s+2) : 1 2 s s + 2 = 1 2. s 2 + 2s cos(t π) e (t π) sin(t π) e (t π)) u(t π)
NTNU Institutt for matematiske fag Eksamen i TMA4 Matematikk 4K og MA5 Kompl. f.teori med diff.likninger.8.4 Løsningsforslag Laplace-transformasjon av initialverdiproblemet gir y + y + y ut π), y), y )
DetaljerLøsningsforslag, Ma-2610, 18. februar 2004
Løsningsforslag, Ma-60, 8. februar 004 For sensor og kandidater.. Lineær uavhengighet Avgjør hvorvidt de følgende funksjonene er lineært uavhengige på den reelle tallinja: f(x) x g(x) 3x h(x) 5x 8x Svaralternativ
DetaljerL(t 2 ) = 2 s 3, 2. (1. Skifteteorem) (s 2) 3. s 2. (Konvolusjonsteoremet) s 2. L 1 ( Z. = t, L 1 ( s 2 e 2s) = (t 2)u(t 2). + 1
NTNU Institutt for matematiske fag Eksamen i TMA5 Matematikk D høsten 008 Løsningsforslag a i Lt s, Lt e t Skifteteorem s ii Z t L sinτsint τdτ 0 s Konvolusjonsteoremet + b i L s t, L s e s t ut ii L s
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 7 15.1.3: Siden vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = yi + xj må feltlinjene tilfredstille differensiallikningen eller y = x y, ( ) 1 2 y2 = x.
DetaljerTMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013 Løsningsforslag Øving 4 1 a) Bølgeligningen er definert ved u tt c 2 u xx = 0. Sjekk
DetaljerTMA4120 Matematikk 4K Høst 2015
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA41 Matematikk 4K Høst 15 Chapter 6.7 Systemer av ODE. Vi bruker L t} 1 s, L e at f(t } F (s a 6.7:9 Løs IVP. y 1 y 1 + y,
DetaljerLøsningsforslag eksamen i TMA4123/25 Matematikk 4M/N
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 Løsningsforslag eksamen i TMA3/5 Matematikk M/N Mandag. mai TMA3 Matematikk M; Alt unntatt oppgave 5 (Laplace. TMA5
DetaljerOppgaver og fasit til seksjon
1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.4-3.6 Oppgaver til seksjon 3.4 1. Anta at f(x, y) = x 2 y 3 og r(t) = t 2 i + 3t j. Regn ut g (t) når g(t) = f(r(t)). 2. Anta at f(x, y) = x 2 e xy2 og r(t) = sin t i+cos
DetaljerSom vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon, språk og stil variere noe fra oppgave til oppgave.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk, øving 7, vår 011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,
DetaljerFakta om fouriertransformasjonen
Fakta om fouriertransformasjonen TMA413/TMA415, V13 Notasjon Fouriertransformasjonen til funksjonen f er F[f](ω) = ˆf(ω) = 1 Den inverse fouriertransformasjonen er F 1 [g](x) = 1 f(x)e iωx dx g(ω)e iωx
DetaljerEKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del B: Kompleks analyse
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4 MATEMATIKK 4K H-3 Del B: Kompleks analyse Oppgave B- a) Finn de singulære punktene til funksjonen
DetaljerEksamensoppgave i TMA4125 Matematikk 4N
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4125 Matematikk 4N Faglig kontakt under eksamen: Morten Andreas Nome Tlf: 90849783 Eksamensdato: 6. juni 2019 Eksamenstid (fra til): 09:00-13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerEksamensoppgåve i TMA4135 Matematikk 4D
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i TMA435 Matematikk 4D Fagleg kontakt under eksamen: Gard Spreemann Tlf: 73 55 02 38 Eksamensdato: 5. august 204 Eksamenstid (frå til): 09.00 3.00 Helpemiddelkode/Tillatne
Detaljers 2 Y + Y = (s 2 + 1)Y = 1 s 2 (1 e s ) e s = 1 s s2 s 2 e s. s 2 (s 2 + 1) 1 s 2 e s. s 2 (s 2 + 1) = 1 s 2 1 s s 2 e s.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA435 Matematikk 4D eksamen 8 august Løsningsforslag a) Andre forskyvningsteorem side 35 i læreboken) gir at der ut) er Heaviside-funksjonen f t) = L {F s)} = ut ) g
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag, eksamen MA11 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 21 Oppgave 1 a) Finn og klassifiser alle kritiske
DetaljerEksamensoppgave i TMA4122,TMA4123,TMA4125,TMA4130 Matematikk 4N/M
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA422,TMA423,TMA425,TMA430 Matematikk 4N/M Faglig kontakt under eksamen: Gunnar Taraldsen Tlf: 46432506 Eksamensdato: 9. august 207 Eksamenstid (fra til):
DetaljerEksamensoppgave i TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Faglig kontakt under eksamen: Dag Wessel-Berg Tlf: 924 48 828 Eksamensdato: 1. juni 216 Eksamenstid (fra til): 9: 13: Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerHØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning
HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning EKSAMEN I Matematisk analyse og vektoralgebra, FOA150 KLASSE : Alle DATO : 11. august 006 TID: : Kl. 0900-100 (4 timer) ANTALL OPPGAVER : 5 VARIGHET ANTALL
DetaljerMA1101 Grunnkurs Analyse I Høst 2017
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Grunnkurs Analyse I Høst 7 9.5. a) Har at + x b arctan b = π + x [arctan x]b (arctan b arctan ) f) La oss først finne en
DetaljerEKSAMEN I FAG SIF5005 MATEMATIKK 2
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Trond Digernes 75957 Berner Larsen 7 59 5 5 Lisa Lorenten 7 59 5 8 Vigdis Petersen 75965 ide av Vedlegg: Formelliste IF55 Matematikk ide av Oppgave Et plant
DetaljerEksamensoppgave i TMA4135 Matematikk 4D: Løysing
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA435 Matematikk 4D: Løysing Faglig kontakt under eksamen: Morten Andreas Nome Tlf: Eksamensdato: 3 desember 27 Eksamenstid (fra til): 9:3: Hjelpemiddelkode/Tillatte
Detaljery (t) = cos t x (π) = 0 y (π) = 1. w (t) = w x (t)x (t) + w y (t)y (t)
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk, øving 7, vår 013 Løsningsforslag Notasjon og merknader En vektor boken skriver som ai + bj + ck, vil vi ofte skrive som (a, b, c), og tilsvarende
DetaljerLøsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1
Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene
DetaljerTMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA41/TMA415 Matematikk 4M/4N Vår 1 Løsningsforslag Øving 1 Skriv om følgende trigonometriske funksjoner til fourierrekker ved
DetaljerTMA4123M regnet oppgavene 2 7, mens TMA4125N regnet oppgavene 1 6. s 2 Y + Y = (s 2 + 1)Y = 1 s 2 (1 e s ) e s = 1 s s2 s 2 e s.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA43/5 Matematikk 4M/N, 8 august, Løsningsforslag TMA43M regnet oppgavene 7, mens TMA45N regnet oppgavene 6 a) Andre forskyvningsteorem side 35 i læreboken) gir at der
DetaljerThe full and long title of the presentation
The full and long title of the presentation Subtitle if you want Øistein Søvik Mai 207 Ø. Søvik Short title Mai 207 / 4 Innholdsfortegnelse Introduksjon Nyttige tips før eksamen Nyttige tips under eksamen
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. H.007. Eksamen i emnet MAT131 - Differensialligninger I 8. september 007 kl. 0900-100 Tillatte hjelpemidler: Ingen (heller
DetaljerEksamen R2, Våren 2011 Løsning
R Eksamen, Våren 0 Løsning Eksamen R, Våren 0 Løsning Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Deriver funksjonene
DetaljerEKSAMEN i MATEMATIKK 30
Eksamen i Matematikk 3 1. desember 1999 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi EKAMEN i MATEMATIKK 3 1 desember 1999 kl. 9 14 Fagnummer: V139A Faglærer: Hans Petter Hornæs Tillatte hjelpemidler: Godkjent
DetaljerFYS2140 Kvantefysikk, Løsningsforslag for Oblig 1
FYS4 Kvantefysikk, Løsningsforslag for Oblig. januar 8 Her er løsningsforslag for Oblig som dreide seg om å friske opp en del grunnleggende matematikk. I tillegg finner dere til slutt et løsningsforslag
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MAT 1100, H06
Løsningsforslag til eksamen i MAT, H6 DEL. poeng Hva er den partiellderiverte f z xyz cosxyz x sinyz + xyz cosyz xy cosyz x sinyz + xz cosyz cosyz xyz sinyz når fx, y, z = xz sinyz? Riktig svar b: x sinyz
Detaljerx t + f y y t + f z , og t = k. + k , partiellderiverer vi begge sider av ligningen x = r cos θ med hensyn på x. Da får vi = 1 sin 2 θ r sin(θ)θ x
TMA4105 Matematikk 2 Vår 2015 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 5 Alle oppgavenummer refererer til 8. utgave av Adams & Essex Calculus:
Detaljerdifferensiallikninger-oppsummering
Kapittel 12 differensiallikninger-oppsummering I vår verden endres størrelsene og verdiene som populasjon, vekt, lengde, posisjon, hastighet, temperatur ved tiden eller ved en annen uavhengig variabel.
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
BOKMÅL MAT - Høst 03 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT Grunnkurs i Matematikk I Mandag 6. desember 03, kl. 09- Tillatte hjelpemidler: Lærebok ( Calculus
Detaljer(1 + x 2 + y 2 ) 2 = 1 x2 + y 2. (1 + x 2 + y 2 ) 2, x 2y
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk vår 9 Løsningsforslag til eksamen.5.9 Gitt f(, y) = + +y. a) Vi regner ut f = f y = + + y ( + + y ) = + + y
DetaljerEKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4110/TMA4115 MATEMATIKK 3
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 25 2. januar 25 EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4/TMA45 MATEMATIKK 3 Oppgave A- a) Finn kvadratrøttene til det komplekse tallet
DetaljerPrøveeksamen i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag
Prøveeksamen i MAT, H- Løsningsforslag. Integralet cos x dx er lik: +sin x Riktig svar: c) arctan(sin x) + C. Begrunnelse: Sett u = sin x, da er du = cos x dx og vi får: cos x + sin x dx = du du = arctan
DetaljerTMA4120 Matte 4k Høst 2012
TMA Matte k Høst Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 5 Løsningsforslag til oppgaver fra Kreyzig utgave :..a Skal vise at u(x, t = v(x + ct
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2
TMA4 Matematikk, 4. august 24 Side av 2 Oppgave Den rasjonale funksjonen p er definert som p(x) x2 3x +2 3x 2 5x +2. Finn de tre grenseverdiene lim xæ p(x), lim xæ p(x) og lim xæœ p(x). Løsning: x 2 3x
DetaljerEksamen i MAT1100 H14: Løsningsforslag
Eksamen i MAT H4: Løsningsforslag Oppgave. ( poeng) Dersom f(x, y) x sin(xy ), er f y lik: A) sin(xy ) + xy cos(xy ) B) x cos(xy ) C) x y cos(xy ) D) sin(xy ) + x y cos(xy ) E) cos(xy ) Riktig svar: C):
DetaljerForelesning Matematikk 4N
Forelesning Matematikk 4N Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. september 2006 2 Komplekse fourier rekker (10.5) Målet med denne leksjonen er vise hvordan man skrive fourier rekkene på kompleks
DetaljerEKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del B: Kompleks analyse
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 5. juni 3 EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4 MATEMATIKK 4K H-3 Del B: Kompleks analyse Oppgave B- a) Finn de singulære punktene
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 00 Kalkulus. Eksamensdag: Mandag,. desember 006. Tid for eksamen:.30 8.30. Oppgavesettet er på sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerLøsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3
Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2
DetaljerMAT1110. Obligatorisk oppgave 1 av 2
30. mai 2017 Innleveringsfrist MAT1110 Obligatorisk oppgave 1 av 2 Torsdag 23. FEBRUAR 2017, klokken 14:30 i obligkassen, som står i gangen utenfor ekspedisjonen i 7. etasje i Niels Henrik Abels hus. Instruksjoner
DetaljerArne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012
Arne B. Sletsjøe Oppgaver, MAT 101 1 En-variabel kalkulus 1.1 I de følgende oppgavene, i) finn alle kritiske punkter til f(x), ii) beskriv monotoniegenskapene til funksjonene ved å se på fortegnet til
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Fredag. mars Tid for eksamen: 5. 7. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerOptimal kontrollteori
Optimal kontrollteori 1. og 2. ordens differensialligninger Klassisk variasjonsregning Optimal kontrollteori er en utvidelse av klassisk variasjonsregning, som ble utviklet av Euler og Lagrange. Et vanlig
DetaljerOppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk, øving, vår Løsningsforslag Notasjon og merknader Oppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener. Oppgaver fra kapittel
DetaljerBYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8
Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)
DetaljerKap 5 Laplace transformasjon. La f(t) være definert for t 0. Laplace transformasjonen er. F (s) = f(t)e st dt (1)
Kap 5 aplace transformasjon a f(t) være definert for t 0. aplace transformasjonen er F (s) = 0 f(t)e st dt (1) for alle s C der dette er veldefinert. Tilstrekkelig betingelse: f(t) stykkevis kontinuerlig
DetaljerEKSAMEN. Om eksamen. EMNE: MA2610 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke. Klasser: (div) Dato: 3. des Eksamenstid:
. EKSAMEN EMNE: MA61 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke Klasser: (div) Dato: 3. des. 3 Eksamenstid: 9 1 Eksamensoppgaven består av følgende: Antall sider (ink. forside): 7 Antall oppgaver: 6 Antall
Detaljern=0 n=1 n + 1 Vi får derfor at summen er lik 1/2. c)
Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 204 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene
DetaljerEksamen i emnet M117 - Matematiske metodar Onsdag 7. september 2001, kl Løysingsforslag:
Eksamen i emnet M117 - Matematiske metodar Onsdag 7. september 2001, kl. 09-15 Løysingsforslag: 1a Her er r 2 løysing av det karakteristiske polynomet med multiplisitet 2 pga. t-faktor. Det karakteristiske
Detaljere x = 1 + x + x2 2 + R 2(x), = e 3! ( 1) n x n = n! n=0 y n+1 = y 0 + f(t, y n (t)) dt 1 dt = 1 + x (1 + t) dt = 1 + x x2
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving 2 Avsnitt 8.9 23 Ved Taylors formel (med a = 0) har vi at der R 2 (x) = f (n+) (c) (n+)! e x = + x + x2 2 + R 2(x),
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAGET 5005/7 MATEMATIKK 2 1. august der k er et vilkårlig heltall. Det gir
LØNINGFOLAG IL EKAMEN I FAGE 55/7 MAEMAIKK. august Oppgave. (i Ja. (ii Ja. (iii Nei. Alternativt: (i Ja. (ii Ja. (iii Ja. Oppgave. curlf (x, y F i j k (x, y / x / y / z e y + ye x +x xe y + e x + Altså
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 014 Løsningsforslag Eksamen august Løsning: Oppgave 1 1 0 3 A 7, 3 4 1 x 10 A y 3 z På grunn
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA0002, VÅR 09
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA000, VÅR 09 Oppgave a) (0%) Løs initialverdiproblemet gitt ved differensialligningen med
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017 Løsningsforslag Øving 11 Oppgaver fra boken: 10.6 :, 8, 12, 19, 1, (valgfritt - 9,
DetaljerEKSAMEN. Om eksamen. EMNE: MA2610 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke. Klasser: (div) Dato: 18. feb Eksamenstid:
. EKSAMEN EMNE: MA61 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke Klasser: (div) Dato: 18. feb. 4 Eksamenstid: 9 1 Eksamensoppgaven består av følgende: Antall sider (ink. forside): 8 Antall oppgaver: 5 Antall
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode
Detaljer13.1 Fourierrekker-Oppsummering
3. Fourierrekker-Oppsummering Fourierrekken til en periodisk funksjon f med periode = L er gitt ved F f (x) = a + a n cos(nωx) + b n sin(nωx) der x D (konvergensområdet) a = / / f(x) dx = L b n = f(x)
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MAT 1100 H07
Løsningsforslag til eksamen i MAT H7 DEL. (3 poeng Hva er den partiellderiverte f y når f(x, y, z = xeyz? xze yz e yz xe yz e yz + xze yz e yz + xze yz + xye yz Riktig svar: a xze yz Begrunnelse: Deriver
DetaljerTMA4105 Matematikk 2 Vår 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014 Løsningsforslag Øving 7 10.4.7 Vi skal finne likningen til et plan gitt to punkter P = (1, 1,
DetaljerLøsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998
Løsningsforslag Eksamen M00 Høsten 998 Oppgave { x y = f(x) = + x + a hvis x ln( + x ) x hvis < x lim f(x) = f( ) = + a = a x lim f(x) = ln( + x ( ) ) ( ) = ln + For at f(x) skal være kont. i x = må lim
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: 12. desember 2003 Tid for eksamen: 9:00 12:00 Oppgavesettet er på 7 sider.
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag til eksamen i MA000, Brukerkurs i matematikk B 9. mai 01 Oppgave 1 a) Et plan i rommet har ligning
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TMA4105 MATEMATIKK 2 Lørdag 14. aug 2004
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ide av LØNINGFOLAG EKAMEN TMA4 MATEMATIKK 2 Lørdag 4. aug 24 Oppgave Grenseverdien eksisterer ikke. For eksempel er grenseverdien
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 10 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 10 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Antideriverte. 2 Differensiallikninger
DetaljerKapittel 10: Funksjoner av flere variable
0.. Introduksjon til funksjoner av flere variable 95 Kapittel 0: Funksjoner av flere variable 0.. Introduksjon til funksjoner av flere variable. Oppgave 0..: a) Den naturlige definisjonsmengden for f(x,
DetaljerForelesning Matematikk 4N
Forelesning Matematikk 4N Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. september 2006 2 Den høyrederiverte og venstrederiverte Definisjon Den høyrederiverte til en funksjon f(x) i punktet x er
Detaljere y + ye x +2x xe y + e x +1 0 = 0
LØNINGFORLAG TIL EKAMEN I FAGET 55/7 MATEMATIKK. august Oppgave. (i) Ja. (ii) Ja. (iii) Nei. Alternativt: (i) Ja. (ii) Ja. (iii) Ja. Oppgave. a) curlf (x, y) F i j k (x, y) / x / y / z e y + ye x +x xe
DetaljerEksamen i TMA4122 Matematikk 4M
Noreg teknik naturvitkaplege univeritet Intitutt for matematike fag Side av 5 Fagleg kontakt under ekamen: Erik Lindgren Mobil: 454 75 993 Ekamen i TMA422 Matematikk 4M Nynork Måndag 9. deember 20 Tid:
DetaljerMatematikk 4 TMA4123M og TMA 4125N 20. Mai 2011 Løsningsforslag med utfyllende kommentarer
h og f g og f Matematikk TMA3M og TMA 5N 0. Mai 0 Løsningsforslag med utfyllende kommentarer Oppgave Funksjonen f () = sin, de nert på intervallet [0; ], skal utvides til en odde funksjon, g, og en like
DetaljerTMA4100 Matematikk1 Høst 2009
TMA400 Matematikk Høst 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 2 8926 Vi serieutvikler eksponentialfunksjonen e u om u 0 og får e u + u +
DetaljerLøsningsforslag. og B =
Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og
DetaljerLøsningsforslag. Prøve i Matematikk 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 29. mai 2017 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Oppgave 1 Gitt matrisene.
Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 29. mai 27 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene A = 2 2 B = [ 2 3 4 ] og C = Regn ut, om mulig, summene A + B, A + B T og A +
Detaljer2 Fourierrekker TMA4125 våren 2019
Fourierrekker TMA45 våren 9 I M lærte du at mange glatte funksjoner kan skrives som en potensrekke. En mye større klasse av funksjoner kan skrives som rekker av sinus- cosinusfunksjoner. Komplekse funksjoner
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT111 Prøveeksamen Eksamensdag: 5. juni 21. Tid for eksamen: 1. 13.3. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerEksamen R2, Høst 2012
Eksamen R, Høst 01 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Deriver funksjonene a) x cos f x e x b) 3 g x 5 1 sinx Oppgave
Detaljer