EKSAMEN I NUMERISK MATEMATIKK (TMA4215)

Transkript

1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 5 Faglig kontakt under eksamen: Anne Kværnø ) EKSAMEN I NUMERISK MATEMATIKK TMA425) Tirsdag 4. desember 2007 Tid: 5:00 9:00 Sensur 4.januar. Hjelpemidler kode B): Alle trykte og håndskrevne hjelpemidler tillatt. Typegodkjent kalkulator med tomt minne tillatt. Oppgave gitt ved Forventet levetid t for en industrivifte som går ved ulike temperaturer T er Temperatur ) Levetid 000 timer) Finn tredjegradspolynomet pt ) som interpolerer disse punktene. Bruk polynomet til å estimere forventet levetid ved 55. Svar: Framgangsmåten er valgfri, og polynomet blir og tt ) = 6000 T T T + 73 t55) = 93 6 = timer)

2 Side 2 av 5 Oppgave 2 I denne oppgaven skal vi studere en implisitt flerskrittsmetode, gitt ved [ y m+2 + a)y m+ + ay m = h f m+2 + a 2 f m+ + a ] 2 f m, ) der f l = fx l, y l ) og a er en reell parameter. a) Bestem metodens orden og oppgi feilkonstanten for alle verdier av a. Svar: Ved innsetting finner vi at C 0 = C = C 2 = 0, C 3 = a 7 2. Dvs. metoden er av orden 2 for a 7. For a = 7 har metoden orden 3, og feilkonstanten er /3. b) En student tester metoden ved å løse ligningen y = y 2, y0) =. 2) fra 0 til. Hun setter h = 0. og bruker eksakt løsning y 0 = og y = / + h) som startverdier. Den ikke-lineære ligningen i y m+2 blir løst til maskinpresisjon for hvert skritt. Resultatet for to verdier av a er gitt i tabellen under. Siden dette er en test, er også absoluttverdien for feilen skrevet ut. a = 0 a = 7 x m y m yx m ) y m y m yx m ) y m Forklar disse resultatene. Blant alle mulige valg av a, hvilke vil du anbefale studenten å bruke? Svar: Feilen etter et skritt er mindre for a = 7 enn for a = 0, hvilket er i overensstemmelse med diskusjonen i a). Økende feil for a = 7 tyder på problemer med stabilitet. Vi har vist at metoden er konsistent orden ), men ikke at den er nullstabil. Det karakteristiske polynomet er gitt ved ρr) = r 2 + a)r + a = r )r a)

3 Side 3 av 5 dvs. metoden er nullstabil bare for a <, noe som forklarer de gale svarene for a = 7. Du vil selvfølgelig anbefale studenten innstending om å velge verdier av a slik at metoden er nullstabil. I tillegg kan du argumentere for at feilkonstanten blir mindre jo nærmere a blir. c) Lag en prediktor-korrektor metode med ) og a = 0 som korrektor og hoppe-bukk metoden y m+2 y m = 2hfx m+, y m+ ) som prediktor. Dette paret skal brukes for å løse 2). Sett h = 0., bruk eksakt løsning som startverdier, og finn y 2. Finn også et estimat for den lokale avbruddsfeilen. Svar: Prediktor-korrektormetoden blir y [0] m+2 = y m + 2hf m+ y [i] m+2 = hfx m+2, y [i] m+2 ) + y m+ h 2 f m+ f m ), i =, 2,, Vi får et feilestimat ved å bruke Milne s device kap.3.5 i Owrens notat): C 3 hτ m+2 C3 C y m+2 y [0] m+2 ) 3 der C 3 = 7/2 og C 3 = /3 feilkonstanten for prediktoren C 3 står i notatet, eller du kan regne det ut.) Siden prediktor og korrektor har samme orden er en iterasjon tilstrekkelig men du gjør ikke noe galt ved å bruke flere). Ved innsetting får vi y [0] 2 = , y [] 2 = , hτ Oppgave 3 La P s x) være det moniske monic) Legendre-polynomet av grad s, og sett R s x) = P s x) + s 2s P sx). R s x) har s distinkte, reelle røtter x i i intervallet [, ]. Disse røttene kan brukes til å konstruere kvadraturformler Q s f) = A i fx i ) i= fx) dx = If), slik at Q s p) = Ip) for alle polynomer p av grad mindre enn s.

4 Side 4 av 5 a) Sett s = 2, og finn Q 2 f) = A fx ) + A 2 fx 2 ). Hva blir presisjonsgraden til Q 2 f)? Svar: For s = 2 blir R 2 x) = x + )x /3), og kvadraturformelen blir Q 2 f) = f) x /3 dx + f/3) /3 Metoden har presisjonsgrad 2 den integrerer 2.grads polynomer eksakt). x + /3 + dx = 2 f) f/3) b) Bruk Q 2 til å finne en tilnærmelse til integralet +h ft) dt. Bruk dette igjen til å konstruere en sammensatt kvadraturformel basert på b a n ft)dt = j=0 tj +h ft) dt, = a + jh, h = b a n. Sett også opp uttrykket for feilen i den sammensatte formelen. Oppgitt: fx) dx Q 2f) = 2 27 f 3) ξ), ξ, ).) Svar: Bruk overgangen t = + h + x)/2. Da blir tj+h ft)dt = h 2 = h 4 f + h + x 2 f ) + 3f + 2h 3 ) dx )) + h4 d dt 3 fη j), η j, + h) Den sammensatte formelen blir da: b a ft)dt = h 4 n j=0 [ f ) + 3f + 2h )] 3 + b a d3 h3 26 dt 3 fη) η a, b). c) Bruk kvadraturformelen fra punkt b) med n = 2 til å finne en tilnærmelse til integralet 0 + t dt. Finn også en øvre grense for feilen. Hva må n være for at feilen garantert er mindre enn 0 5? Hvis du ikke har svart på punkt b), bruk Simpsons sammensatte formel i stedet. Bruk n = 4 for å approksimere integralet.) Svar: Vi har n = 2, dvs. h = 0.5, og vi kan finne f 3) t) = 6/ + t) 4. Ved innsetting: dt = t 26 + η) 4.

5 Side 5 av 5 Og feilen blir maksimalt Ef) max 6 η 0,) + η) 4 = d) Vis at Q s f) faktisk har presisjonsgrad 2s 2. Svar: Beviset er i all hovedsak det samme som beviset av Theorem 4.7 i B&F. Fra konstruksjonen vet vi at Q s f) har presisjonsgrad minst s. Vi vet også at R sx)px)dx = 0 for alle p P s 2. La nå p være et polynom av grad større eller lik enn s men mindre eller lik 2s 2. Polynomdivisjon gir R s x) P s ): px) = qx)r s x) + rx), q, r P s 2 Vi får px)dx = Det første leddet forsvinner siden q P s 2. Tilsvarende Q s p) = qx)r s x)dx + rx)dx = rx)dx. A i qx i )R s x i ) + rx i )) = i= siden R s x i ) = 0 og Q s har presisjonsgrad minst s. A i rx i ) = i= rx)dx.