TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013
|
|
- Unn Amundsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA423/TMA425 Matematikk 4M/4N Vår 203 Løsningsforslag Øving 2 La y = yx være funksjonen som tilfredstiller differensialligningen med startbetingelser y0 = 2, y 0 = 0. y y 2 y + y = 0 a Skriv om ligningen og startbetingelsene til et system av førsteordens differensialligninger med startbetingelser. La v = y, w = y. Får Vi kan løse systemer numerisk ved å bruke baklengs Euler: med skrittlengde h = 0.. v = w, v0 = 2 w = v 2 w v, w0 = 0 y = fx, y, yx 0 = y 0 y n+ = y n + hfx n+, y n+, b Sett opp det ikke-lineære ligningssystemet du får ved å bruke baklengs Euler på systemet i a. Ligningssystemet blir v n+ = v n + 0.w n+ w n+ = w n + 0. vn+w 2 n+ v n+ Med intialbetingelsene v 0 = 2, w 0 = 0 får vi for n = : v = w w = 0. vw 2 v, eller 0v w 20 = 0 v vw 2 = 0, c Gjør en iterasjon med Newtons metode på ligningssystemet 0v w 20 = 0 v v 2 w = 0. Bruk v = 2 og w = 0 som startverdier for iterasjonen. 26. april 203 Side av 6
2 Løsningsforslag Øving 2 La y = v w 0v w 20, Fy = v v 2 w Newtons metode for systemer er gitt ved at i Finn h fra: DFy n h n = Fy n ii Oppdater: y n+ = y n + h n der Dfx er Jacobimatrisen til systemet. Starter med å finne denne: 0 DFy = + 2vw 9 + v 2 Med y 0 = [2, 0] T får vi som gir Dermed blir 0 3 h = y = 0 h = ,. 2 I et anisotropt materiale der varmekonduktiviteten i y-retningen er to ganger høyere enn i x-retningen tar den stasjonære diffusjonsligningen varmeligningen formen u xx + 2u yy = 0. Vi vil løse denne numerisk på et kvadratisk område med sidelengde og randbetingelser ux, 0 = u0, y = 0 ux, = u, y =, for x, y [0, ]. Vi betrakter følgende gitter: der h = /3 og U i,j uih, jh. a Vis at differensskjemaet som tilsvarer er U i+,j + U i,j + 2U i,j+ + 2U i,j 6U i,j = april 203 Side 2 av 6
3 Løsningsforslag Øving 2 Vi bruker approksimasjonene u xx ih, jh h 2 U i+,j 2U i,j + U i,j u yy ih, jh h 2 U i,j+ 2U i,j + U i,j, der U i,j uih, jh. Ved å sette dette inn i PDEen får vi h 2 U i+,j 2U i,j + U i,j + 2 h 2 U i,j+ 2U i,j + U i,j = 0, som kan skrives som U i+,j + U i,j + 2U i,j+ + 2U i,j 6U i,j = 0. b Sett opp systemet som U i,j i, j =, 2 tilfredstiller og gjør en iterasjon med Gauss-Seidel med startpunkt U 0, = U 0 2, = U 0, U 0 2, /2. Randbetingelsene gir: U i,0 = U 0,j = 0 og U i,3 = U 3,j = for i, j =, 2. Setter vi dette inn i ligningen over får vi systemet 6U, U 2, 2U, 0 U, + 6U 2, 2U 2, 2U, + 6U,2 U 2, 2 2U 2, U,2 + 6U 2, 3 Med de oppgitte startverdiene får vi U, = U, 6 U 2, = 6 U 2, Betrakt den endimensjonale varmeligningen u t = u xx på området 0 x, t 0, med initialbetingelse og randbetingelsene ux, 0 = x2 x, 0 x u0, t = 0, u, t =, t 0. a Foreta to steg med det eksplisitte differanseskjemaet for denne ligningen Kap Bruk h = /2, k = / april 203 Side 3 av 6
4 Løsningsforslag Øving 2 Vi skal finne approksimasjoner u i,j ux i, t j, der x i = ih, t j = jk. Startbetingelsene gir u i,0 = x i 2 x. Dermed er Randbetingelsene er u,0 = 0.75, u 2,0 =. u 0,j = 0, u 2,j =. Den eksplisitte metoden er basert på approksimasjonene slik at skjemaet blir u t x i, t j k u i,j+ u i,j u xx x i, t j h 2 u i+,j 2u i,j + u i,j, eller k u i,j+ u i,j = h 2 u i+,j 2u i,j + u i,j u i,j+ = u i,j + k h 2 u i+,j 2u i,j + u i,j. Med h = 0.5 og k = får vi r = k/h Første skritt gir u, = u,0 + ru 2,0 2u,0 + u 0,0 = = Andre skritt gir u, u, + ru 2, 2u, + u 0, = = b Benytt Crank-Nicolson på det samme problemet. Bruk samme h og k som i a. Skjemaet er gitt ved ru i,j ru i,j+ ru i+,j+ = ru i,j + 2 2ru i,j + ru i+,j. Første skritt: u, 0.25 = som gir Andre skritt: u, = u, = som gir u, c Skriv ned en eksplisitt metode med generell h og k for ligningen u t = u xx + xu x med de samme rand- og intitialbetingelsene som over. 26. april 203 Side 4 av 6
5 Løsningsforslag Øving 2 Ved å bruke tilnærmelsene av u t og u xx i a, samt sentraldifferansen får vi skjemaet u x x i, t j 2h u i+,j u i,j eller k u i,j+ u i,j = h 2 u i+,j 2u i,j + u i,j + x i 2h u i+,j u i,j u i,j+ = u i,j = k h 2 u i+,j 2u i,j + u i,j + k 2h x iu i+,j u i,j. 4 Vi ønsker å finne en endelig differanse-approksimasjon til den tredjederiverte f x ved å bruke fem x-verdier x n 2, x n, x n, x n+, x n+2, valgt slik at distansen mellom to nabopunkt er h. a Vis at sentraldifferanse-approksimasjonene av de førse- og andrederiverte kan kombineres til å gi sentraldifferanse-approksimasjonen av f x. fx n+2 2fx n+ + 2fx n fx n 2 2h 3 Vi har Dermed blir f x n fx n+ fx n 2h f x n fx n+ + fx n 2fx n h 2. f x n f x n+ f x n 2h = fx n+2 fx n 2fx n+ fx n fx n 2 + 2fx n 2hh 2 = fx n+2 2fx n+ + 2fx n fx n 2 2h 3. b Bruk formelen til å tilnærme f 0 der fx = sinπx og h = 0.0. Vi har f 0 f0.02 2f f 0.0 f c Repeter punkt b, men nå med h = Sammenlign de to approksimasjonene med den eksakte verdien, og vis at resultatene er konsistent med at feilen skalerer som Oh april 203 Side 5 av 6
6 Løsningsforslag Øving 2 Vi får nå f 0 f0.0 2f f f Vi vet at f x = π 3 cosπx, slik at f 0 = π 3. Feilen i våre approksimasjoner er ɛ 0.0 = ɛ = Vi ser at ɛ ɛ Dette er konsistent med at feilen skalerer som h 2 fordi 0.0/ april 203 Side 6 av 6
Eksamen i TMA4122 Matematikk 4M
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Faglig kontakt under eksamen: Yura Lyubarskii: mobil 9647362 Anne Kværnø: mobil 92663824 Eksamen i TMA422 Matematikk
DetaljerL(t 2 ) = 2 s 3, 2. (1. Skifteteorem) (s 2) 3. s 2. (Konvolusjonsteoremet) s 2. L 1 ( Z. = t, L 1 ( s 2 e 2s) = (t 2)u(t 2). + 1
NTNU Institutt for matematiske fag Eksamen i TMA5 Matematikk D høsten 008 Løsningsforslag a i Lt s, Lt e t Skifteteorem s ii Z t L sinτsint τdτ 0 s Konvolusjonsteoremet + b i L s t, L s e s t ut ii L s
DetaljerTMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013 Løsningsforslag Øving 4 1 a) Bølgeligningen er definert ved u tt c 2 u xx = 0. Sjekk
DetaljerEksamen i TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/N
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Faglig kontakt under eksamen: Anne Kværnø: mobil 92663824 Eksamen i TMA423/TMA425 Matematikk 4M/N Bokmål Mandag 2.
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk Høst 4 Løsningsforslag Øving 5.7.4 Vi observerer at både y = cos πx 4 og y = x er like funksjoner. Det vil si
DetaljerEksamensoppgave i TMA4135 Matematikk 4D
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA435 Matematikk 4D Faglig kontakt under eksamen: Helge Holden a, Gard Spreemann b Tlf: a 92038625, b 93838503 Eksamensdato: 2. desember 204 Eksamenstid
Detaljers 2 Y + Y = (s 2 + 1)Y = 1 s 2 (1 e s ) e s = 1 s s2 s 2 e s. s 2 (s 2 + 1) 1 s 2 e s. s 2 (s 2 + 1) = 1 s 2 1 s s 2 e s.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA435 Matematikk 4D eksamen 8 august Løsningsforslag a) Andre forskyvningsteorem side 35 i læreboken) gir at der ut) er Heaviside-funksjonen f t) = L {F s)} = ut ) g
DetaljerTMA4123M regnet oppgavene 2 7, mens TMA4125N regnet oppgavene 1 6. s 2 Y + Y = (s 2 + 1)Y = 1 s 2 (1 e s ) e s = 1 s s2 s 2 e s.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA43/5 Matematikk 4M/N, 8 august, Løsningsforslag TMA43M regnet oppgavene 7, mens TMA45N regnet oppgavene 6 a) Andre forskyvningsteorem side 35 i læreboken) gir at der
DetaljerMA2501 Numeriske metoder
MA501 Numeriske metoder Vår 009 Øving 9 Oppgave 1 Bruk vedlagte matlab-program skyt.m til å løse randverdiproblemet x + e x = 0, x(0) = x(1) = 0 Oppgave Gitt startverdiproblemet x = t(x ), x(0) = 1, x
Detaljerf (x) = a 0 + a n cosn π 2 x. xdx. En gangs delvisintegrasjon viser at 1 + w 2 eixw dw, 4 (1 + w 2 ) 2 eixw dw.
NTNU Institutt for matematiske fag Eksamen i TMA Matematikk M høsten 008 Løsningsforslag a Cosinusrekka til f blir av formen - 0 6 f (x a 0 + n0 a n cosn π x Vi har a 0 0, og a n R 0 f (xcosnπ xdx En gangs
DetaljerEksamensoppgave i TMA4122,TMA4123,TMA4125,TMA4130 Matematikk 4N/M
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA422,TMA423,TMA425,TMA430 Matematikk 4N/M Faglig kontakt under eksamen: Gunnar Taraldsen Tlf: 46432506 Eksamensdato: 9. august 207 Eksamenstid (fra til):
DetaljerTMA4135 Matematikk 4D Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA435 Matematikk 4D Høst 04 Eksamen. desember 04 Integralet er en konvolusjon, så vi har Laplace-transformasjon gir yt) y cos)t)
DetaljerTMA4122/TMA4130 Matematikk 4M/4N Høsten 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4122/TMA410 Matematikk 4M/4N Høsten 2010 1 Oppgave: Løs følgende ligningssystemer ved hjelp av Gauss-eliminasjon med delvis
Detaljerx(x 1)(x 2) p(x) = 3,0 1( 1 1)( 1 2) Newtons interpolasjonsformel: Tabellen over dividerte differenser er gitt ved
NTNU Institutt for matematiske fag TMA35 Matematikk D eksamen 20. desember 200 Løsningsforslag Oppgaven kan, for eksempel, løses ved hjelp av Lagrange-interpolasjon eller Newtons interpolasjonsformel.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 1100L Programmering, modellering, og beregninger. Eksamensdag: Fredag 2. Desember 2016. Tid for eksamen: 9:00 13:00.
DetaljerNumerisk løsning av PDL
Numerisk løsning av PDL Arne Morten Kvarving Department of Mathematical Sciences Norwegian University of Science and Technology 6. November 2007 Problem og framgangsmåte Fram til nå har vi sett på ordinære
DetaljerLøsningsforslag eksamen i TMA4123/25 Matematikk 4M/N
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 Løsningsforslag eksamen i TMA3/5 Matematikk M/N Mandag. mai TMA3 Matematikk M; Alt unntatt oppgave 5 (Laplace. TMA5
DetaljerEksamensoppgave i TMA4135 Matematikk 4D
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4135 Matematikk 4D Faglig kontakt under eksamen: Gunnar Taraldsen Tlf: 46432506 Eksamensdato: 3. desember 2016 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I MATEMATIKK 4N/D (TMA4125 TMA4130 TMA4135) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 EKSAMEN I MATEMATIKK N/D (TMA25 TMA3 TMA35 3. August 27 LØSNINGSFORSLAG Oppgave a Løsning: fouriersinusrekken til
DetaljerEksamensoppgave i TMA4135 Matematikk 4D
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA435 Matematikk 4D Faglig kontakt under eksamen: Helge Holden a, Gard Spreemann b Tlf: a 92038625, b 93838503 Eksamensdato: 0. desember 205 Eksamenstid
DetaljerEksamen i TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 Eksamen i TMA423/TMA425 Matematikk 4M/4N øsningsforslag Alexander undervold Mai 22 Oppgave a Den Fouriertransformerte
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MATEMATIKK 4N,
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 16 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MATEMATIKK 4N, 19.12.2003 Oppgave 1 a) Vis at den Laplacetransformerte av f(t) = 2te t
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 1100L Programmering, modellering, og beregninger. Eksamensdag: Fredag 2. Desember 2016. Tid for eksamen: 9:00 13:00.
DetaljerTMA Matematikk 4D Fredag 19. desember 2003 løsningsforslag
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA Matematikk D Fredag 9. desember 23 løsningsforslag a Vi bruker s-forskyvningsregelen Rottmann L{gte at } Gs a med gt t.
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG SIF5045 NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 Faglig kontakt under eksamen: Syvert P. Nørsett 7 59 5 45 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG SIF545 NUMERISK LØSNING
DetaljerNorges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag. Side 1 av 6. Faglig kontakt under eksamen: Navn: Brynjulf Owren (93518)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Faglig kontakt under eksamen: Navn: Brynjulf Owren (93518) EKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENISALLIGNINGER (75316)
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 014 Løsningsforslag Eksamen august Løsning: Oppgave 1 1 0 3 A 7, 3 4 1 x 10 A y 3 z På grunn
DetaljerEKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER MED DIFFERANSEMETODER (TMA4212)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Faglig kontakt under eksamen: Navn: Bård Skaflestad (946867) EKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER
DetaljerNumerikk. TMA Matematikk 4N. Einar Baumann
Numerikk TMA4125 - Matematikk 4N Einar Baumann 3. mai 2011 1 Forord Dette kompendiet er ment som en supplement til kompendiet i Matematikk 4 som selges på Tapir og ikke inneholder numerikkdelen i 4N og
DetaljerTMA4215 Numerisk matematikk
TMA45 Numerisk matematikk Høst 0 Løsningsforslag øving 7 Oppgave a Vi har Eksakt løsning: yt n+ = yt n + hφ t n, yt n ; h + d n+, Numerisk løsning: y n+ = y n + hφt n, y n ; h. Ta differensen mellom disse,
DetaljerEKSAMEN I NUMERISK MATEMATIKK (TMA4215)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 5 Faglig kontakt under eksamen: Anne Kværnø 92663824) EKSAMEN I NUMERISK MATEMATIKK TMA425) Tirsdag 4. desember 2007
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Mandag 5. desember 2011. Tid for eksamen: 9:00 13:00. Oppgavesettet er på
DetaljerEksamen TMA desember 2009
Eksamen TMA41 14. desember 009 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 1 a) Grafen. - 0 4 6 b) Dersom vi antar at f(x) = 1 (f(x + 0) + f(x 0)), har vi f(x) = Setter
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
Bokmål UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Løsningsforslag til Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i matematikk I Torsdag 22. mai 28, kl. 9-4. Dette er kun et løsningsforslag.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 00 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 6. desember 202. Tid for eksamen: 9:00 3:00. Oppgavesettet er på 8
DetaljerEksamensoppgave i TMA4135 Matematikk 4D: Løysing
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA435 Matematikk 4D: Løysing Faglig kontakt under eksamen: Morten Andreas Nome Tlf: Eksamensdato: 3 desember 27 Eksamenstid (fra til): 9:3: Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 04 Løsningsforslag Øving 04 30 For å vise at f er en injektiv one-to-one funksjon, ser vi på den deriverte,
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 1100L Programmering, modellering, og beregninger. Prøveeksamen 1 Eksamensdag: Onsdag 14. November 2014. Tid for eksamen:
DetaljerNTNU Institutt for matematiske fag. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 8. Oppgave 1. Oppgave 2
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten Løsningsforslag - Øving 8 Oppgave b. Vi har at f() > og f(π/) π /6
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA0002, V08
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA000, V08 Oppgave 1 Litt av hvert. a) (10%) Løs initialverdiproblemet gitt ved differensialligningen
Detaljer=cos. =cos 6 + i sin 5π 6 = =cos 2 + i sin 3π 2 = i.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 L SNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I SIF59 MATEMATIKK Bokmål Fredag. desember Oppgave a) Vi har z = i r e iθ = e i π r =,
DetaljerNumerikk. TMA Matematikk 4N. Einar Baumann
Numerikk TMA4125 - Matematikk 4N Einar Baumann 19. mai 2011 1 Forord Dette kompendiet er ment som en supplement til kompendiet i Matematikk 4 som selges på Tapir og ikke inneholder numerikkdelen i 4N og
DetaljerEKSAMEN I MA0002 Brukerkurs B i matematikk
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Faglig kontakt under eksamen: Achenef Tesfahun (9 84 97 5) EKSAMEN I MA2 Brukerkurs B i matematikk Lørdag 322 Tid:
DetaljerFasit MAT102 juni 2016
Fasit MAT02 juni 206. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen ( ) 6 A = 2 7 Svar: λ = 8 og ( ) x = y y ( ) /2, λ = 5 og ( ) x = y y ( ) for alle y 0. (b) Finn den generelle løsningen på systemet
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 11L Programmering, modellering, og beregninger. Eksamensdag: Fredag 5. Desember 214. Tid for eksamen: 9: 13:. Oppgavesettet
DetaljerTMA4105 Matematikk 2 Vår 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014 Løsningsforslag Øving 7 10.4.7 Vi skal finne likningen til et plan gitt to punkter P = (1, 1,
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 11 Modellering og beregninger Eksamensdag: Mandag 1 Desember 218 Tid for eksamen: 9: 13: Oppgavesettet er på 5 sider
DetaljerViktig informasjon. 1.1 Taylorrekker. Hva er Taylor-polynomet av grad om for funksjonen? Velg ett alternativ
Viktig informasjon MAT-IN1105 - Modellering og beregninger Mandag 10. desember 2018 Kl.09:00-13:00 (4 timer) Tillatte hjelpemiddel: Formelsamling (deles ut på eksamen), Gyldig kalkulator. I dette oppgavesettet
DetaljerEksamensoppgave i TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Faglig kontakt under eksamen: Dag Wessel-Berg Tlf: 924 48 828 Eksamensdato: 1. juni 216 Eksamenstid (fra til): 9: 13: Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerViktig informasjon. 1.1 Taylorrekker. Hva er Taylor-polynomet av grad om for funksjonen? Velg ett alternativ
Viktig informasjon MAT-INF1100 - Modellering og beregninger Mandag 10. desember 2018 Kl.09:00-13:00 (4 timer) Tillatte hjelpemiddel: Formelsamling (deles ut på eksamen), Gyldig kalkulator. I dette oppgavesettet
DetaljerEksamensoppgave i TMA4125 EKSEMPELEKSAMEN - LF
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4125 EKSEMPELEKSAMEN - LF Faglig kontakt under eksamen: Tlf: Eksamensdato: 8.april-5. juni 219 Eksamenstid (fra til): : - 24: Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerNTNU. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 12. Avsnitt Ved Taylors formel (med a = 0) har vi at. 24 For x < 0 har vi at
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 200 Løsningsforslag - Øving 2 Avsnitt 8.9 23 Ved Taylors formel (med a = 0) har vi at der R 2 (x) = f (n+) (c) (n+)! e x = + x + x2 2 + R 2(x),
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. H.007. Eksamen i emnet MAT131 - Differensialligninger I 8. september 007 kl. 0900-100 Tillatte hjelpemidler: Ingen (heller
DetaljerLøsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3
Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2
Detaljerx t + f y y t + f z , og t = k. + k , partiellderiverer vi begge sider av ligningen x = r cos θ med hensyn på x. Da får vi = 1 sin 2 θ r sin(θ)θ x
TMA4105 Matematikk 2 Vår 2015 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 5 Alle oppgavenummer refererer til 8. utgave av Adams & Essex Calculus:
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Løsningsforslag Øving 3 8.2.1 Anta at dy = y2 y) dx a) Finn likevektspunktene til
DetaljerEKSAMEN I TMA4180 OPTIMERINGSTEORI
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 4 Faglig kontakt under eksamen: Marte Pernille Hatlo 7359698 / 97537854 EKSAMEN I TMA48 OPTIMERINGSTEORI Fredag 2. juni
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Høst 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3 Høst 010 Løsningsforslag Øving 4 Fra Kreyszig (9. utgave) avsnitt.7 3 Vi skal løse ligningen (1) y 16y
DetaljerEKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1
EKSAMEN BOKMÅL DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember 15 9:-13: FAGKODE: FAGNAVN: IR151 Matematikk 1 HJELPEMIDLER: Del 1: kl 9.-11. Ingen Del : kl 11.-13. Lommeregner Lærebok etter fritt valg Matematisk
Detaljere x = 1 + x + x2 2 + R 2(x), = e 3! ( 1) n x n = n! n=0 y n+1 = y 0 + f(t, y n (t)) dt 1 dt = 1 + x (1 + t) dt = 1 + x x2
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving 2 Avsnitt 8.9 23 Ved Taylors formel (med a = 0) har vi at der R 2 (x) = f (n+) (c) (n+)! e x = + x + x2 2 + R 2(x),
DetaljerEksamensoppgave i MA1102/6102 Grunnkurs i analyse II
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1102/6102 Grunnkurs i analyse II Faglig kontakt under eksamen: Magnus Landstad Tlf: Eksamensdato: 6. juni 2017 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerMasteroppgave i matematikk
UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt Masteroppgave i matematikk Optimale randbetingelser for det diskrete Laplace-problemet Andreas Brandsæter mai 2011 i Forord Denne oppgaven representerer avslutningen
DetaljerTMA4120 Matte 4k Høst 2012
TMA Matte k Høst Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 5 Løsningsforslag til oppgaver fra Kreyzig utgave :..a Skal vise at u(x, t = v(x + ct
DetaljerTMA4100 Matematikk1 Høst 2009
TMA400 Matematikk Høst 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 2 8926 Vi serieutvikler eksponentialfunksjonen e u om u 0 og får e u + u +
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Fredag 7. desember 27. Tid for eksamen: 9: 12:. Oppgavesettet er på 8 sider.
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016 Løsningsforslag Øving 11 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det
DetaljerIR Matematikk 1. Utsatt Eksamen 8. juni 2012 Eksamenstid 4 timer
Utsatt Eksamen 8. juni 212 Eksamenstid 4 timer IR1185 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del 2 uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare
DetaljerEksamensoppgave i TMA4110/TMA4115 Calculus 3
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4110/TMA4115 Calculus 3 Faglig kontakt under eksamen: Markus Szymik Tlf: 411 16 793 Eksamensdato: August 2018 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerEksamensoppgave i TMA4320 Introduksjon til vitenskapelige beregninger
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4320 Introduksjon til vitenskapelige beregninger Faglig kontakt under eksamen: Anton Evgrafov Tlf: 4503 0163 Eksamensdato: 30. mai 2017 Eksamenstid (fra
DetaljerNumerisk løsning av ikke-lineære ligninger
Numerisk løsning av ikke-lineære ligninger Anne Kværnø February 26, 2018 1 Problemstilling Vi vil først se på numeriske teknikker for å løse skalare ligninger (en ligning, en ukjent), for eksempel eller
DetaljerEksamensoppgave i TMA4125 BARE TULL - LF
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA425 BARE TULL - LF Faglig kontakt under eksamen: Tlf: Eksamensdato: 8.april-5. juni 29 Eksamenstid (fra til): : - 24: Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler:
Detaljer= x lim n n 2 + 2n + 4
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten
DetaljerEKSAMEN I FAG TMA4220 NUMERISK LØSNING AV PARTIELLE DIFFERENSIALLIGNINGER VED HJELP AV ELEMENTMETODEN
Institutt for matematiske fag Faglig kontakt under eksamen: Einar M. Rønquist (73593547 EKSAMEN I FAG TMA422 NUMERISK LØSNING AV PARTIELLE DIFFERENSIALLIGNINGER VED HJELP AV ELEMENTMETODEN Torsdag 3. mai
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA0002, VÅR 09
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA000, VÅR 09 Oppgave a) (0%) Løs initialverdiproblemet gitt ved differensialligningen med
DetaljerIR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer
Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017 Løsningsforslag Øving 11 Oppgaver fra boken: 10.6 :, 8, 12, 19, 1, (valgfritt - 9,
DetaljerDet matematisk-naturvitenskapelige fakultet
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i IN 227 Numerisk lineær algebra Eksamensdag: 5. desember 2001 Tid for eksamen: 9.00 15.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg:
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
BOKMÅL UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. V.008. Løsningsforslag til eksamen i emnet MAT131 - Differensialligninger I 8. mai 008 kl. 0900-1400 Vi har ligningen der α er
DetaljerMA2501 Numeriske metoder
MA251 Numeriske metoder Løsningsforslag, Øving 3 Oppgave 1 a) Start med å tegne en skisse av funksjonen f(x) = x.99(e x 1). Vi oppdager fort at α må ligge svært nær, faktisk rundt.2. Newtons metode anvendt
DetaljerUnderveiseksamen i MAT-INF 1100, 17. oktober 2003 Tid: Oppgave- og svarark
Underveiseksamen i MAT-INF 1100, 17. oktober 003 Tid: 9.00 11.00 Kandidatnummer: De 15 første oppgavene teller poeng hver, de siste 5 teller 4 poeng hver. Den totale poengsummen er altså 50. Det er 5 svaralternativer
Detaljer1. Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A = 2 1 A =
Fasit MAT102 juni 2017 Oppgave 1 1. Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen ( ) 1 2 A = 2 1 Løsning: Egenverdiene er røttene til det karakteristiske polynom gitt ved determinanten av matrisen (
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger del 1 Eksamensdag: Tirsdag 7. desember 2004 Tid for eksamen: 14:30 17:30 Oppgavesettet
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 016 Separable og førsteordens lineære differensialligninger En differensialligning er separabel
DetaljerEksamensoppgåve i TMA4135 Matematikk 4D
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i TMA435 Matematikk 4D Fagleg kontakt under eksamen: Gard Spreemann Tlf: 73 55 02 38 Eksamensdato: 5. august 204 Eksamenstid (frå til): 09.00 3.00 Helpemiddelkode/Tillatne
DetaljerBYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Fredag 11. mars 2016 Antall oppgaver: Løsningsforslag
Innlevering BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Fredag 11. mars 2016 Antall oppgaver: 10 + 1 Løsningsforslag 1 Hvilken av de to funksjonene vist i guren er den deriverte
DetaljerEksamensoppgave i TMA4130/35 Matematikk 4N/4D
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4130/35 Matematikk 4N/4D Faglig kontakt under eksamen: Anne Kværnø a, Kurusch Ebrahimi-Fard b, Xu Wang c Tlf: a 92 66 38 24, b 96 91 19 85, c 94 43 03
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Løsningsforslag Øving 10 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det
DetaljerEksamen i TMA4135 Matematikk 4D
Norge teknik naturvitenkapelige univeritet Intitutt for matematike fag Side av 5 Faglig kontakt under ekamen: Harald Krogtad telefon 46 5 87 / 73 59 35 2 Ekamen i TMA435 Matematikk 4D Bokmål Mandag 8.
DetaljerDifferensjalligninger av førsteorden
Differensjalligninger av førsteorden Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway November 2, 2014 Forelesning (29.10.2014): kap 7.9 og 18.3 Førsteordens ordinæredifferensjalligninger Initialverdiproblem
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 04 Løsningsforslag. Eksamen 6. mai Løsning: Oppgave a) dy dx y y y )y ) : gy), så likevektsløsningene
DetaljerFYS2140 Kvantefysikk, Løsningsforslag for Oblig 1
FYS4 Kvantefysikk, Løsningsforslag for Oblig. januar 8 Her er løsningsforslag for Oblig som dreide seg om å friske opp en del grunnleggende matematikk. I tillegg finner dere til slutt et løsningsforslag
Detaljer(s + 1) s(s 2 +2s+2) : 1 2 s s + 2 = 1 2. s 2 + 2s cos(t π) e (t π) sin(t π) e (t π)) u(t π)
NTNU Institutt for matematiske fag Eksamen i TMA4 Matematikk 4K og MA5 Kompl. f.teori med diff.likninger.8.4 Løsningsforslag Laplace-transformasjon av initialverdiproblemet gir y + y + y ut π), y), y )
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 1100L Programmering, modellering, og beregninger. Prøveeksamen 2 Eksamensdag: Onsdag 14. November 2014. Tid for eksamen:
DetaljerEksamen i TMA4130 Matematikk 4N
Norge teknik naturvitenkapelige univeritet Intitutt for matematike fag Side av 5 Faglig kontakt under ekamen: Yura Lyubarkii: mobil 9647362 Anne Kværnø: mobil 92663824 Ekamen i TMA430 Matematikk 4N Bokmål
DetaljerLøsningsforslag. og B =
Prøve i Matte Dato: vår 5 ENDRE Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver ar lik vekt. Oppgave a Gitt matrisene A regn ut A + B, AB. Løsningsforslag 4 og B 7 5 Vi
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Fredag 7. januar 2005. Tid for eksamen: 14:30 17:30. Oppgavesettet er på
DetaljerLøsningsforslag til Eksamen i MAT111
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 9. desember 25. Bokmål Løsningsforslag til Eksamen i MAT Mandag 9. desember 25, kl. 9-. Dette er kun et løsningsforslag. Oppgave a) Betrakt de to komplekse
DetaljerViktig informasjon. Taylorrekker
Viktig informasjon MAT-IN1105 - Programmering, modellering og beregninger Fredag 15 desember 2017 Kl09:00-13:00 (4 timer) Tillatte hjelpemiddel: Formelsamling (deles ut på eksamen), Gyldig kalkulator I
DetaljerFasit eksamen i MAT102 4/6 2014
Fasit eksamen i MAT /6. (a Løs ligningssstemene. Svar: i ( x i = 3x + = 7 x + = ( 6, ii x z ii = x + z = 3x + 6 + z = +. er fri. (b Ved å bruke MATLAB-kommandoen rref på totalmatrisen til ligningssstemet
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Brukerkurs i matematikk B Vår Løsningsforslag Øving Oppgaver fra boken: :, 9,,, 5, 9, 5, 67 Det er oppgavene i boldface som
Detaljer