EKSAMEN I FAG TMA4220 NUMERISK LØSNING AV PARTIELLE DIFFERENSIALLIGNINGER VED HJELP AV ELEMENTMETODEN

Transkript

1 Institutt for matematiske fag Faglig kontakt under eksamen: Einar M. Rønquist ( EKSAMEN I FAG TMA422 NUMERISK LØSNING AV PARTIELLE DIFFERENSIALLIGNINGER VED HJELP AV ELEMENTMETODEN Torsdag 3. mai 24 Tid: 9: 4: Hjelpemidler: Godkjent lommekalkulator tillatt. Alle trykte og håndskrevne hjelpemidler tillatt. Sensur: Sensuren vil foreligge i uke 23. Oppgave Betrakt den endimensjonale Poisson-ligningen u xx 2 i Ω (, ( med grensebetingelsene Her begner u x den deriverte av u med hensyn på x. u x ( (2 u(. (3 a Finn den eksakte løsningen u(x av problemet(-(3. Hva er u(? Skisser løsningen. Vi integrerer 2 ganger og bruker grensebetingelsene. Vi finner da at den eksakte løsningen er gitt som u(x x( x. Løsningen er skissert nedenfor

2 b Utled en svak formulering av problemet (-(3 på forma:finnu X slik at Identifiser spesielt X, a og l for dette problemet. a(u, v l(v v X (4 Vi multipliserer ( med en testfunksjon v og integrerer over Ω: Delvis integrasjon gir så: d 2 u v(x 2 2 v(x [ du (x v(x ] + du Innsetting av grensebetingelsene u x ( og v( u( gir: v( + du 2 v(x 2 v(x Den svake formuleringa kan derfor skrives på formen:finnu(x X slik at a(u, v l(v v X der X { v H (Ω v( } a(w, v l(v dw 2 v(x v(. c Er den bilineære formen a symmetrisk? Er den positiv definitt? Ja, a er symmetrisk siden a(w, v a(v, w for alle v, w X. Videre er a(w, w dw dw w 2 x Siden w X, era(w, w > forallew. d Finnes det en minimaliseringsformulering svarende til (4? I så fall,beskrivdenne. Ja, siden a(, ersymmetriskogpositivdefinitt(spd,finnesdetentilhørendeminimaliseringsformulering. Denne er gitt som der J(w er den kvadratiske funksjonalen u min w X J(w J(w a(w, w l(w. 2

3 e Anta at vi velger elementmetoden for åløse(4numerisk. Anta videre at vi bruker et uniformt grid med bare K 2lineæreelementer. Formuler det diskrete problemet. Hva er dimensjonen til det diskrete løsningsrommet X h? Anta at vi bruker en standard, nodal basis. Skisser basisfunksjonene til X h. Vi definerer det diskrete underrommet X h X som består av alle funksjoner som er lineære over hvert element Th k, k,...,k,kontinuerligeoverω,ogsomtilfredstillerdenessensielle,homogene grensebetingelsen i x.matematiskkanviuttrykkedettesom X h {v X v T k h IP (T k h,k,...,k} Det diskrete problemet kan da skrives som: Finn u h X h X slik at a(u h,vl(v v X h Dette gir en konform metode (Galerkin. Dimensjonen til det diskrete løsningsrommet X h er lik 2. Basisfunksjonene er skissert nedenfor. f Generer det algebraiske ligningssystemet for de ukjente basiskoeffisientene. Du kan velge selv om du vil bruke ett-punkts Gauss-kvadratur eller integrasjon ved interpolasjon for åberegnehøyresiden. Finn alle basiskoeffisientene. Bidraget til stivhetsmatrisa fra et element er gitt som elementmatrisa A k ( h Vi assemblerer bidragene fra de 2 elementene og finner at den globale stivhetsmatrisa er A ( h 2 Bruk av enpunkts Gausskvadratur for bidraget fra f gir et elementbidrag ( F k h h og den globale høyresida blir dermed ( h F 2h

4 der vi også hartatthensyntilneumanngrensebetingelsenix.sidenk 2erh /2. Dette gir oss til slutt det algebraiske systemet ( ( ( uh /2 2 2 u h2 med løsning ( uh u h2 ( /4 g Sammenlign den numeriske løsningen u h (x meddeneksakteløsningenu(x. Hva er feilen e(x u(x u h (x inodepunktene? Den numeriske løsningen er u h (x u h φ (x+u h2 φ 2 (x /4 φ 2 (x. Den eksakte løsningen inodepunkteneer:u(, u(/2 /4 ogu(. Feilen i nodepunktene er dermed lik null. Dette er som forventet siden dette er et endimensjonalt problem og vi integrerer den bilineære og den lineære formen eksakt (for den gitte høyresiden. h Tilfredstiller den diskrete løsningen u h (x grensebetingelseneeksakt? Nei, du h ( /4 φ 2( /2, mens du (. Siden elementmetoden er basert på densvake formuleringen, er generelt sett de naturlige grensebetingelsene ikke tilfredstillt eksakt. Grensebetingelsen i x ertilfredstilteksaktsidendetteerenessensiell grensebetingelse og dermed eksakt representert med den valgte basisen for X h (per konstruksjon. i Betrakt på nyttpoisson-ligningen(,mennåmedgrensebetingelsene u x ( (5 u x ( u(. (6 Utled en svak formulering av det nye problemet (tilsvarende punkt b. Som i punkt b multipliserer vi ( med en testfunksjon v og integrerer over Ω: Delvis integrasjon gir så: d 2 u v(x 2 2 v(x [ du (x v(x ] + du Innsetting av grensebetingelsene u x ( og u x ( u( gir: u( v( + v( + du 2 v(x 2 v(x Den svake formuleringa kan derfor skrives på formen:finnu(x X slik at a(u, v l(v v X

5 der X H (Ω a(w, v l(v dw + w(v( 2 v(x v(. j Vi velger elementmetoden for å løse det nye Poisson-problemet. Vi bruker K 2lineæreelementersomtidligere. Formuler det diskrete problemet. Hva er dimensjonen på detdiskreteløsningsrommetx h?skisserbasisfunksjonene. Vi definerer det diskrete underrommet X h X som består av alle funksjoner som er lineære over hvert element Th k, k,...,k,ogerkontinuerligeoverω.detteproblemetharingenessensielle grensebetingelser. Matematisk kan vi uttrykke dette som X h {v H (Ω v T k h IP (T k h, k,...,k} Det diskrete problemet kan da skrives som: Finn u h X h X slik at a(u h,vl(v v X h Dette gir en konform metode (Galerkin. Dimensjonen til det diskrete løsningsrommet X h er lik 3. Basisfunksjonene er skissert nedenfor. k Er den diskrete løsningen entydig? Ja. Dette følger dersom vi kan vise at den bilineære formen er SPD. Vi ser lett at a(w, v a(v, w for alle v, w X, sa er symmetrisk. Videre har vi at, w X H (Ω, w, a(w, w w 2 x + w(2 >, s a er positiv definitt. Hvis w(,kanpotensieltdetførstebidragetpåhøyresidaværelik null (w er en konstant ulik null. Hvis w( må w x være ulik null over deler av Ω, ellers vil w være identisk lik null, noe som stider mot forutsetningene. For alle w X, w era(w, w >, s a er positiv definitt. Entydighet følger fra dette.

6 Oppgave 2 Betrakt konveksjons-diffusjons-problemet: κu xx + Uu x f i Ω (,, (7 u(, (8 u(, (9 der κ er en konstant, positiv diffusjonskoeffisient og U er en konstant konveksjonshastighet. a Utled en svak formulering av problemet (7-(9 på formen:finnu X slik at b(u, v l(v v X Identifiser spesielt X, b og l for dette problemet. Vi multipliserer (7 med en testfunksjon v og integrerer over Ω: Delvis integrasjon gir så: [ κ u xx (x+uu x (x] v(x f(x v(x [ κu x x(x v(x ] + Innsetting av grensebetingelsene u( u( gir: (κu x v x + Uu x v fv (κu x v x + Uu x v fv Den svake formuleringa kan derfor skrives på formen:finnu(x X slik at b(u, v l(v v X der X H (Ω b(w, v l(v (κu x v x + Uu x v fv. b Er den bilineære formen b symmetrisk? Er den positiv definitt? Den bilineære formen b er ikke symmetrisk v, w X, b(w, v (κu x v x + Uu x v (κv x u x Uv x u b(v, w for U.

7 Derimot har vi at, w X H (Ω, c(w, w noe som betyr at c(w, w.dettegirossat b(w, w s at b er positiv definitt siden κ er positiv. Uw x w c(w, w, Uww x (κw x w x + Uw x w κw 2 x > w X, w, c Vi er spesielt interessert i åløsedetteproblemetnumeriskmedelementmetodeni det tilfellet der κ., U 2 og f. Anta at vi bruker et uniformt grid med K 2lineæreelementer.Vildetteværetilstrekkeliggodoppløsningtilatvi unngår oscillasjoner i den diskrete løsningen? Grid Peclet tallet er gitt som P g hu/κ. Hererh /K /2.5, U 2,κ., noe som gir P g.sidenp g < 2unngår vi oscillasjoner. d Anta at vi velger en standard, nodal basis. Det algebraiske ligningssystemet for de ukjente nodeverdiene kan da skrives på formen B h u h F h. ( Hva er B h for problemet betraktet i punkt c? Hint: konstruer først elementmatrisa for dette problemet basert på de gitte data. Elementmatrisa for dette problemet er B k κ ( h der h er elementlengden. Med de gitte data får vi ( ( B k U ( 2 ( 3 3 Assemblering og bruk av påtrykking av grensebetingelser gir da (f.eks. med K 5 4 B h e Vil du anbefale åløse(vedhjelpavkonjugertegradientersmetode? Nei. Matrisa B h er ikke SPD, og dermed kan ikke konjugerte gradienters metode brukes.

8 Oppgave 3 Betrakt den tidsavhengige konveksjonsligningen: u t + U u x i Ω (,L med den periodiske grensebetingelsen og initialbetingelsen u(, t u(l, t u(x, t u (x. Hvis vi approksimerer dette problemet i rom ved bruk av K lineære elementer, ender vi opp med et system av ordinære differensialligninger på formen M h du h dt + C h u h, ( der M h er massematrisa og C h er den diskrete konveksjonsoperatoren. Anta videre at vi diskretiserer ( i tid ved hjelpaventredjeordensadams-bashforth metode. Vi velger et konstant tidssteg t slik at Courant tallet C.2. a La T være tida det tar for initialbetingelsen åforplantesegenganggjennomω. Vi sier også atløsningenerperiodiskmedperiodet. Hvor mange tidssteg trengs det for åintegreresystemet(fremoveritidtilsvarende en hel periode T?DukanantaatK 2ogU. Perioden T L/U. Tidssteget t C h U (/C (L/h K/C. der h L/K. AntaltidsstegM er dermed M T/ t b Vil den numeriske løsningen etter en periode T være lik initialbetingelsen? Nei. På grunnavnumeriskdispersjonvildeulikekomponentene (egenfunksjonene svarende til ulike bølgetall forplante seg med ulik fasehastighet. Dette gir en forvrengning av initialbetingelsen. ItilleggvilAB3introduserelittnumeriskdiffusjonslikatdetogsåvilværelittenergilekkasje.Feil vil altså oppstå både pga numerisk dispersjon og numerisk diffusjon. Lykke til! Einar M. Rønquist