Eksamensoppgave i TMA4135 Matematikk 4D

Transkript

1 Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA435 Matematikk 4D Faglig kontakt under eksamen: Helge Holden a, Gard Spreemann b Tlf: a , b Eksamensdato: 2. desember 204 Eksamenstid fra til): 09:00 3:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler: C: Bestemt enkel kalkulator og Rottmann matematisk formelsamling. Annen informasjon: Alle svar skal begrunnes. Det skal være med så mye mellomregning at fremgangsmåten fremgår tydelig av besvarelsen. Formelliste følger vedlagt eksamensoppgavene. Målform/språk: bokmål Antall sider: 3 Antall sider vedlegg: 2 Kontrollert av: Dato Sign Merk! Studenter finner sensur i Studentweb. Har du spørsmål om din sensur må du kontakte instituttet ditt. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike spørsmål.

2

3 TMA435 Matematikk 4D, 2. desember 204 Side av 3 Oppgave Løs ligningen t yt) 2 yτ) cost τ) dτ = sin t for t 0 0 ved hjelp av Laplace-transformasjon. Oppgave 2 a) Finn polynomet av lavest mulig grad som interpolerer følgende punkter: n 0 2 x n 0 y n e e Her er e Euler-tallet, altså e = exp) = 2, ) b) La p betegne polynomet fra 2a. Beregn og vis at I = I px) dx, e x2 dx 2 5. Oppgave 3 oppfyller Bestem ved hjelp av Fourier-transformasjon funksjonen f som e 4y2 fx y) dy = e 2x2 for < x <. Oppgave 4 a) La f være den 2π-periodiske funksjonen definert av 0 for π x 0 fx) = x for 0 < x < π. Vis at Fourier-rekken til fx) er π 4 2 π m= 2m ) 2 cos2m )x) + n= ) n+ sin nx. n

4 Side 2 av 3 TMA435 Matematikk 4D, 2. desember 204 b) Finn summen av rekken 4 n= π 2 2n ) + ). 4 n 2 Oppgave 5 Vi skal studere den modifiserte varmeledningsligningen u t x, t) = 2 u x, t) ux, t) for 0 x og t 0. ) x2 a) Finn alle ikke-trivielle løsninger av ligning ) på formen ux, t) = F x)gt) som tilfredsstiller randbetingelsene for alle t 0. u0, t) = 0 = u, t) 2) b) Finn løsningen av ligning ) som i tillegg til randbetingelsene 2) også tilfredsstiller initialbetingelsen ux, 0) = sinπx) cosπx). 3) Hint: Du kan spare tid ved å bruke trigonometriske identiteter for å omskrive sinπx) cosπx).) c) Sett opp et differensskjema med sentraldifferens i rom og fremoverdifferens i tid for numerisk løsning av ligning ) med randbetingelsene 2) og initialbetingelsen 3). Med skrittlengder h og k, kaller vi den numeriske tilnærmingen til uih, jk) for U i,j. Bruk skrittlengder h = /4 og k = /32 og regn ut Oppgave 6 def f x, y ) : return y u3/4, /32) U 3,. Følgende Python-kode er gitt: def matte4 h, N) : x = 0. 0 y =. 0 for n in range, N+): k = h f x, y ) k2 = h f x + h, y + k ) x = n h y = y k + k2 ) # <= n <= N return y

5 TMA435 Matematikk 4D, 2. desember 204 Side 3 av 3 Funksjonen matte4 implementerer en metode for numerisk løsning av den ordinære differensialligningen y x) = 000yx) 4) med initialbetingelse y0) =. Hvilken metode er det som er implementert? Ligning 4) har som kjent analytisk løsning yx) = e 000x, og det er klart at lim x yx) = 0. La y N betegne returverdien til matte4h, N). Vis at y N = ) N 000h h2 y 0 og forklar hvor stor h kan være for at vi kan være sikker på at lim y N = 0. N Nevn en alternativ metode hvor du kan si noe om den numeriske løsningen av ligning 4) for svært store N uansett hva h > 0 er. Begrunn svaret. Formelliste følger som vedlegg.

6 TMA435 Matematikk 4D, 2. desember 204 Side i av ii Formler i numerikk La px) være et polynom av grad n som interpolerer fx) i punktene x i, i = 0,,..., n. Forutsatt at x og alle nodene ligger i intervallet [a, b], så gjelder n fx) px) = n + )! f n+) ξ) x x i ), ξ a, b). Newtons dividerte differansers interpolasjonspolynom px) av grad n: Numerisk derivasjon: px) = f[x 0 ] + x x 0 )f[x 0, x ] + x x 0 )x x )f[x 0, x, x 2 ] i=0 + + x x 0 )x x )... x x n )f[x 0,..., x n ] f x) = [ ] fx + h) fx) + h 2 hf ξ) f x) = [ ] fx + h) fx h) 2h 6 h2 f ξ) f x) = [ ] fx + h) 2fx) + fx h) h 2 2 h2 f 4) ξ) Simpsons integrasjonsformel: x2 x 0 fx) dx h 3 f 0 + 4f + f 2 ) Newtons metode for ligningssystemet fx) = 0 er gitt ved J k) x k) = f x k)) x k+) = x k) + x k). Iterative teknikker for løsning av et lineært ligningssystem n a ij x j = b i, i =, 2,..., n Jacobi: Gauss Seidel: j= x k+) i = x k+) i = a ii b i i a ii j= b i i Heuns metode for løsning av y = fx, y): j= k = hfx n, y n ) a ij x k) j n k 2 = hfx n + h, y n + k ) y n+ = y n + 2 k + k 2 ) j=i+ a ij x k+) j n j=i+ ) a ij x k) j ) a ij x k) j

7 Side ii av ii TMA435 Matematikk 4D, 2. desember 204 Tabell over noen laplacetransformasjoner ft) F s) = L{ft)} = t t n n = 0,, 2,...) s s 2 n! s n+ e at s a cos ωt sin ωt cosh at sinh at e at cos ωt e at sin ωt 0 s s 2 + ω 2 ω s 2 + ω 2 s s 2 a 2 a s 2 a 2 s a s a) 2 + ω 2 ω s a) 2 + ω 2 e st ft) dt δt a) e as Tabell over noen fouriertransformasjoner fx) gx) = fax) ˆfω) = F{fx)} = 2π ĝω) = ) a ˆf ω a fx)e iωx dx e ax2 e ω2 4a 2a e a x 2 π a ω 2 + a 2