EKSAMEN. Om eksamen. EMNE: MA2610 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke. Klasser: (div) Dato: 3. des Eksamenstid:

Transkript

1 . EKSAMEN EMNE: MA61 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke Klasser: (div) Dato: 3. des. 3 Eksamenstid: 9 1 Eksamensoppgaven består av følgende: Antall sider (ink. forside): 7 Antall oppgaver: 6 Antall vedlegg: Tillatte hjelpemidler er: Godkjent kalkulator Formelsamling KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG Om eksamen Mellomregninger Ta med mellomregninger som er relevante for MA-61 slik at det er tydelig for sensor at du kjenner hele gangen i regningen. Mellomregninger som tilhører andre fag er det ikke nødvendig å ta med. Er du i tvil om mellomregningen tilhører pensum i MA-61, ta den med. Formler Når du bruker formler i overgangene dine bør du skrive hvilken formel du har brukt. Merk: Etter den vedlagte formelsamlingen står det oppgitt tre kjente feil / unøyaktigheter i Haugans formelsamling. Det betyr at de formlene slik de står oppgitt i Haugan ikke kan brukes i overgangene på denne eksamenen.

2 Oppgavene 1. Lineær uavhengighet Bruk Wronski-determinanten for å besvare følgende: Er de tre funksjonene f(x) = e x g(x) = cos(x) h(x) = sin(x) lineært uavhengige på den reelle tallinja?. Løs differensialligningen x dy dx + y = 1 1 x, x > 3. Differensialligninger og Laplace De tre initialverdiproblemene nedenfor beskriver hvert sitt masse-fjær-demper-system. Du skal løse initialverdiproblemene. Minst ett skal løses ved hjelp av Laplace, og minst ett skal løses på en klassisk måte, altså uten Laplace. For hvert problem, skissér løsningen for t >, og beskriv den kort. (a) x + 6x + 5x = ; x() =, x () = 3 (b) x + 5x = 9 sin(4t); x() =, x () = (c) x + 5x = 9 sin(5t); x() =, x () = 4. Løs initialverdiproblemet x + 4x = δ(t) + δ(t π); x() =, x () = (δ(t π) skrives også δ π (t).) 5. Maclaurin-rekke (a) Funksjonen g er gitt ved g(x) = ln(1 x). Finn Maclaurin-rekka til g(x). 1 (Hint: Maclaurin-rekka til er x n ) 1 x (b) Finn konvergensintervallet til rekka du fant i oppgaven over. 6. Fourier-rekker n= (a) Vi har at f er gitt ved f(x) = 3 5 cos(5x) i (, π). Finn Fourier cosinus-rekka til f. (b) Vi har at h er gitt ved h(x) = δ (x) i (, π). Finn Fourier-rekka til h.

3 Formelsamling 1. Trigonometriske likheter (a) sin(mx) sin(nx) = 1 (cos((m + n)x) cos((m n)x)) (b) sin(mx) cos(nx) = 1 (sin((m + n)x) + sin((m n)x)) (c) cos(mx) sin(nx) = 1 (sin((m + n)x) sin((m n)x)) (d) cos(mx) cos(nx) = 1 (cos((m + n)x) + cos((m n)x)). Fourier-rekker Fourier-rekka til en funksjon f(x) mellom og π er gitt ved f(x) a + a n cos(nx) a = 1 a n = 1 π b n = 1 π + π π π b n sin(nx) f(x)dx cos(nx) f(x)dx sin(nx) f(x)dx 3. Fourier cosinus-rekker Fourier cosinus-rekka til en funksjon f(x) mellom og π er gitt ved f(x) a + a n cos(nx) a = 1 π a n = π π f(x)dx cos(nx) f(x)dx 4. Fourier sinus-rekker Fourier sinus-rekka til en funksjon f(x) mellom og π er gitt ved f(x) b n sin(nx) b n = π sin(nx) f(x)dx

4 5. Taylor-/Maclaurin-rekker Taylor-rekka til en uendelig antall ganger deriverbar funksjon f(x) sentrert i (også kjent som Maclaurin-rekka til f) er gitt ved f(x) c n x n n= c n = f (n) () n! 6. Andregradspolynomet p(x) = x + bx + c (a) Hvis ( b ) c vil ( i. x + bx + c = ha løsning x = b ± b ) c ( ) ( ( ii. x + bx + c = x + b b ) ) ( c x + b + b ) c (b) Hvis ( b ) c vil i. x + bx + c = ha løsninger x = c b ± i ( b ii. x + bx + c = (x + b ) + (c ( b ) ) 7. Noen spesielle integraler og deriverte (a) e ax cos(bx)dx = eax (a cos(bx) + b sin(bx)) a + b (denne formelen er feil oppgitt i formel 7 på side i Haugans formelsamling) l { f(a) hvis a [u, l] (b) δ(t a)f(t)dt = u hvis ikke a [u, l] Merk at δ(t a) ofte skrives δ a (t) 1 (c) dx = ln x + C x (d) e x dx = e x + C (e) d dx ln(x) = 1 x (f) d dx ex = e x 8. Integraler for Fourier-rekker For m, n N (a) cos(mx)dx = )

5 (b) (c) (d) (e) sin(mx)dx = cos(mx) cos(nx)dx = cos(mx) sin(nx)dx = sin(mx) sin(nx)dx = { π når m = n når m n { π når m = n når m n 9. Integraler for Fourier sinus- og cosinus-rekker For m, n N (a) (b) (c) (d) (e) 1. Følger cos(mx)dx = { når m er oddetall sin(mx)dx = m når m er partall { π når m = n cos(mx) cos(nx)dx = når m n sin(mx) cos(nx)dx = sin(mx) sin(nx)dx = { m m n når m n er et oddetall når m n er et partall { π når m = n når m n (a) Når lim a n = A og lim b n = B har vi i. Linearitet: lim c 1 a n + c b n = c 1 A + c B ii. Produktregel: lim a n b n = A B a n iii. Kvotientregel: lim = A b n B dersom B iv. (b) lim n = 1 (c) lim n = (d) lim r n = 11. Rekker hvis 1 < r < 1 1 hvis r = 1 hvis > 1 udefinert hvis r 1 (a) p-test: 1 n p konvergerer dersom p > 1 og divergerer dersom p 1

6 (b) Grensesammenligningstesten: Gitt to rekker a n og b n regner vi ut c = lim a n bn : i. Hvis < c < vil a n og b n konvergere begge to, eller de vil divergere begge to. ii. Hvis c = og b n konvergerer, så konvergerer a n iii. Hvis c = og b n divergerer, så divergerer a n 1. Ymse (a) Gitt n funksjoner f 1, f,..., f n er Wronski-determinanten gitt ved at f 1 f... f n f 1 f... f n W (f 1, f,..., f n ) =... f (n 1) 1 f (n 1)... f n (n 1) (b) Γ(x + 1) = xγ(x) (c) Γ(1) = 1 (d) Γ( 1 ) = π

7 Feil og unøyaktigheter i Haugans Formler og tabeller 1. Seksjon 5., formel 7, side. Feil formel: e ax cos(bx)dx = eax (a cos(bx) b sin(bx)) a + b Korrekt formel: e ax cos(bx)dx = eax (a cos(bx) + b sin(bx)) a + b. Seksjon 5.4, det nederste integralet, side 3: Det står men skulle ha stått sin(mx) cos(mx)... sin(mx) cos(nx)... Formelen finnes i korrigert versjon i vedlagte formelsamling, og ser da slik ut: sin(mx) cos(nx)dx = { m m n når m n er et oddetall når m n er et partall 3. Seksjon 7., partikulærløsning (øverst i andre kolonne på side 9): Tabellen neglisjerer å opplyse når uttrykket i høyre kolonne skal ganges med den uavhengige variabelen (typisk x eller t).