Norges teknisk- naturvitenskapelige universitet. Institutt for teknisk kybernetikk. Lsningsforslag ving 4. a) Vi far. K q. K p. D m. dvs.

Transkript

1 Norge teknik- naturvitenkapelige univeritet Intitutt for teknik kybernetikk. eptember 99/PJN,. eptember 996 /MPF Utlevert: SERVOTEKNIKK Lningforlag ving 4 Oppgave a) Vi far og dv. () = D m + + e() y () = N() = + () e() = () () + () y () (3) lim ( (t) ; (t)) = lim e(t) =lim e() (4) t t 3 lim e() = lim v 7 K p D m = v K (5) p D m Stajonrt ar vi alta ; = v D m = er ytemet atigetkontant. v (6) () = (7) + + b) Antar at B m =. Ma nne 8 :

2 Vi er at (j ) = j (+ j ; ) (8) = ; (9) Det betyr at \ (j )=;8 o, og flgelig ar vi = 8. Vi nker 6dB forterkningmargin, og det betyr at vi krever j (j 8 )j = ;6dB =:5 () om gir eller Dermed far vi og dv. =:5 = () D m = () = D m (3) Nar B m =, er vi at = K ce Jt D m V t om er kontant. og 4D m V t J t = K ce V t (4) j (j 8 )j = blir dermed kontant elv om J t varierer. =:5 (5) c) Siden = Kce D m q Jt V t,vilvariajoner i J t pavirker den relative dempningen. Siden c < 8 =,betyr det at faemarginen vil avta nar J t ker. (Studer.59. i Balcen, bind, derom dere ikke uker det prinipielle forlp av faen til et andre-orden ytem om funkjon av den relative dempningen.)

3 d) Antar at B m 6=. Vi far na = K ce V t Dette betyr at j (j 8 )j ker nar J t ker. + B m J t (6) Det er vankeligere a inoeominnvirkningen q pa ved variajoner i J t iden er proporjonal med bade J t og p q J t. Derom leddet Kce D m V q t dominerer over leddet Bm Vt 4D m, gjelder de amme betraktninger om for B m =. Merk at avtar nar J t ker, og amtidig blir reonantoppen yere. Siden innvirkningen av variajoner i J t er trt for forterkningmarginen, betyr dette at reguleringytemet ma deigne utfra J t = J tmax. e) Sytemet flgeforold er der dv. M() = () + () = t () t ()+n () (7) () = t n () (8) M() = = (9) () Kv 3 om ved faktoriering av nevneren kan krive M() = () + b + nc nc + nc T L () = ; K ce D m = ; K ce D m + V t 4K ce + V t 4K ce () () (3) 3

4 = ; K ce Dm + Vt 4K ce + b + nc nc + nc (4) f) Med () = () =M() () ; og T L() = T L,far vi K ce Dm + Vt 4K ce + b + nc nc + nc T L () (5) lim (t) =lim () = ; K ce T t Dm L (6) Stajonrt avvik: e = ; = ; K ce T Dm L (7) Oppgave a) Skal vie at 8 =. Setter inn = j (j )= 5 j + j ; = 5 ; (8) Siden > og >, ar vi \(j )=;8 o og dermed 8 =. b) (Se kompendium.75, amt ving 4) =5 :4 = dv. og dermed ar vi j (j )j = = 6 : =:5 (9) j (j )j = ;6 db (3) K =6dB (3) 4

5 c) Skal beregne faemarginen. (j)= (3) j + j ; ( ) Krever j (j)j = r (33) ; ( ) + j (j c )j = (34) La o anta at = rad j (j )j = r :4=:34 db (35) ; ( 6 ) + : 6 Som vi er er det ingen darlig tilnrmele derom vi etter c = = rad Ved a le (34), nner vi at c =:5 rad. Lning av (34) er gjort numerik ved jelp av kalkulator. \ (j)=;9 o ; arctan ; ( ) (36) Derom vi antar at c = = rad,far vi \ (j c ) ;94:76 o (37) Ved a benytte den nyaktigere verdien, c =:5 rad,far vi \ (j c ) ;94:98 o (38) Igjen er vi at bruk av c = ikke gir noen darlig tilnrmele. Faemargin: 8 o ; 95 o =85 o (39) d) Vi far na = 4 = (4) = (4) 5

6 vilket fremgar av lign. () og (3) i oppgaven. Produktet = (4) Dette betyr at forterkningmarginen ikke endre. Siden er uavengig av og, forandre eller ikke denne. Speikajonene er alta fremdele oppfylt for =:4. Faemargin: rad Vi antar at c =. Dette er ikke noendarligere tilnrmele enn i forrige delprmal, iden den relative dempningen na er mindre, og er trre. Virkningen av reonanen \ kyve " alta mot yere frekvener, og i det omradet der kryfrekvenen er kan vi benytte tilnrmingen (j) j (43) Dette gir \ (j c ) = ;9 o ; A ; ( (44) ) = ;9 o ; arctan : ; ( ) (45) ;9:6 o (46) En nyaktigere lning nne ved a ette j (j c )j =,omgir c ; ( c ) + og c : rad, amt \ (j c ) ;9:7 o Faemarginen er alta c = (47) 8 o ; 9: o =88:8 o (48) e) Utfra de foregaende delprmal er det klart at vi ikke kan oppna en atigetkontant =,ogamtidig tilfredtille kravet til forterkningmargin med en P-regulator. En begrenet PD-regulator kan eller ikke benytte fordi faen faller a bratt ved =,atviikkeklarera lfte den tiltrekkelig, lik at forterkningen kan ke a mye at kravet til atigetkontanten tilfredtille. 6

7 Vi ma alta benytte en begrenet PI-regulator. r () = +T i +T i (49) nne utfra kravet til atigetkontanten =, 5= det vil i = Vi ar () = r () () og aymptotike betraktninger gir j (j)j j(j)j for T i (5) j (j)j j(j)j for T i (5) Derom vi i tillegg velger T i,vilikkeregulatoren fae eller amplitude innvirke nevneverdig ved =. Vi ar fra fr at =:4 girk =6dB ved bruk av P-regulator. Utfra (5) velger vi derfor =:4. Dette gir = :4 8:33 Bruk av P-regulator med =:4 gir c rad og 88:8 o. Derom vi tuderer \ r (), far vi at faebidraget fra regulatoren en dekade over T i er \ r (j T i ) = arctan T i T i ; arctan T i T i = ;5 o (5) Derom vi velger T i = rad gir dette > 65 o, fordi faebidraget fra regulatoren ved kryfrekvenen er a lite. Dette gir flgende valg av regulatorparametre =:4, =8:33, T i =. 7

8 5 Gain db 5 3 Frequency (rad/ec) Pae deg Frequency (rad/ec) K 6dB, 84:7 o 8

9 Oppgave 3 a) Det benytte en begrenet PI-regulator r () = +T r () (53) Dette valget av regulator er dikutert i avnitt i kompendiet. Slyfetranferfunkjonen blir () = +T r () (54) Ved =,antar en at + T r T r. Dette gir 8 =,og j (j 8 )j Kravet til forterkningmargin K = 6 db gir 5 T r (55) j (j 8 )j = = ;6 db (56) og T r = 5 =:4 (57) For : ar vi kravet j (j)j. Dette gir K = 5, iden j (j)j 5 for lave frekvener. gir T r = :4 :4 =8:33 (58) Siden vi ar gjort forutetninger om gir 8, er vi ikret at c < nar K =6dB. Bodediagram for =ogt r =8:33,ervitpa nete ide. 9

10 5 Gain db 5 3 Frequency (rad/ec) Pae deg Frequency (rad/ec)

11 Oppgave 4 a) Denne oppgaven le lettet ved a tegne j (j)j og \ (j), for aanne lik at \ (j )=;35 o Kravet c = gir forterkningen. Bodediagram for =: Gain db Frequency (rad/ec) 9 Pae deg Frequency (rad/ec) Vi er at ma reduere med 4 db, dv. = (59)