HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

Transkript

1 C:\Per\Fag\Regtek\Eksamen\Eksamen12\LX2012desEDT212Tv6.wpd HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi Eksamensdato Fag 17. desember 2012 LØSNINGSFORSLAG (Ikke kvalitetssikra!) EDT212T Reguleringsteknikk grunnkurs Dato: Sign: PHv Løsningsforslag basert på læreboka til Bjørvik og Hveem Oppgave 1 (100%) Nivåregulering Figur 1. Forenkla blokkskjema for nivåregulering av tank. Blokkskjemaet over viser ei nivåreguleringssløyfe. Regulatoren er en digital regulator med samplingstid lik 0,4 sekunder. Når regulatoren brukes som PID-regulator er den på sum-form. Figur 2. Forenkla blokkskjema for ventil, tank og nivåmåler. Blokkskjemaet over viser ventil, tank og nivåmåler når regulatoren ikke er kopla til. Problemstilling Du skal modellere blokkene som inngår i nivåreguleringa. Deretter skal du bruke forskjellige metoder for å komme fram til forslag på digital regulatortype (P, PI, PD eller PID) og regulatorparametre. Det er gjort endel målinger og eksperiment på reguleringssløyfa og disse måleresultatene er grunnlaget for å løse oppgaven. Måleresultatene er lagt ved oppgavesettet i form av figurer og tabeller. Reguleringssløyfa er lite plaget med støy. Krav til reguleringssløyfa 1 Null stasjonært avvik 2 Innsvingningsforløp av typen minimum areal 3 Raskest mulig reguleringssløyfe Side 1

2 Løsningsforslag eksamen i Reg.tek. grunnkurs des A Eksperimentell modellering av ventil Aa (8 %) Sprangresponsen for ventil A er vist i figur 3. Vi ser at responsen i figur 3 tilhører en første ordens prosess uten tidsforsinkelse. Overføringsfunksjonen har derfor følgende form: Stasjonær endring i utsignalet (væskestrømmen) er 0,77-0,11 = 0,66 og endringen i innsignalet (pådraget) er 0,7-0,1 = 0,6. Dette gir K = 0,66/0,6 = 1,1 Spranget i innsignalet kommer når t = 1,0 sek og spranget i utsignalet kommer nøyaktig samtidig. Vi har dermed ingen tidsforsinkelse. Tidskonstanten er den tida utgangen bruker på å nå 63% av stasjonær endring. Dvs tida det tar å nå 0,66*0,63 0,42 opp i forhold til startverdien for utsignalet på 0,11. Utsignalet når verdien 0,11+0,42V = 0,53V når t 1,6 sek. Det betyr at tidskonstanten, T = 1,6-1,0 = 0,6 sek. Overføringsfunksjonen for pådragsorganet blir da: v Ab (8 %) Frekvensresponsen for ventil B er vist i bodediagrammet i figur 4. Vi ser at amplitudekurva er flat ved lave frekvenser med amplitude på ca +1 db og går nedover med 20dB/dekade ved høge frekvenser. Fasekurva starter ved null grader ved lave frekvenser og ser ut til å flate ut på 90 ved høge frekvenser. Dermed er ventil B en første ordens prosess uten tidsforsinkelse og har denne overføringsfunksjonen: Side 2

3 Løsningsforslag eksamen i Reg.tek. grunnkurs des Ved å legge en asymptote med stigning lik 0 db/dekade til kurva for amplitudeforholdet ved lave frekvenser og en asymptote med stigning lik 20 db/dekade ved høge frekvenser finnes knekkfrekvensen ù k 0,85 rad/sek. Knekkpunktet ser rett ut fordi kurva går ca 3 db under knekkpunktet. I tillegg ser det ut til at faseforskyvinga er omtrent 45 ved knekkfrekvensen. Det stemmer også med en første ordens prosess. Forsterkinga ved lave frekvenser gir stasjonær forsterking K. Av Bodediagrammet ser 1/20 den ut til å være ca 1 db. Dette gir K = 10 1,1. Tidskonstanten er det inverse av knekkfrekvensen: T = 1/ ù k = 1/0,85 rad/sek 1,2 sek. Overføringsfunksjonen for ventil B blir dermed: Ac (4 %) Den eneste forskjellen mellom ventil A og ventil B er tidskonstanten. Valg av ventil A med den korteste tidskonstanten vil gi en raskere reguleringssløyfe. Generelt er det ønskelig med kortest mulig tidskonstanter og tidsforsinkelser i reguleringssløyfa. Dette gjør at responsen til den enkelte blokka blir raskere og at hele reguleringssløyfa blir raskere. B (12 %) Eksperimentell modellering av nivåmåler Tar utgangspunkt i figur 5 for og leser av de viktigste verdien først. Innsignalet har en bunn-til-topp fra 0,1 til 0,9, dvs at Äinn = 0,9-0,1 = 0,8. Utsignalet har en tilsvarende bunn-til-topp fra 0,42 til 0,78, dvs Äut = 0,78-0,42 = 0,36. Periodetida, T 172,6 - p Side 3

4 Løsningsforslag eksamen i Reg.tek. grunnkurs des ,6 = 2,0 [sek]. Utsignalet ligger T ö etter innsignalet og verdien er omtrent 172,95-172,6 = 0,35 [sek]. Aplirudeforhold, faseforskyving og frekvens blir da: Sidesprang: Når det er normaliserte verdier og det er forholdstall som skal finnes så går det greit å måle størrelsene i f eks millimeter med linealen og bruke antall millimeter uten å konvertere til normaliserte verdier eller tid. Det gjelder både for utrekning av amplitudeforhold og faseforskyving. Ut fra figur 6 finnes på liknende vis: A = 1,16 A[dB] = 1,3 db, ö = 18 og ù = 0,31 rad/sek Setter resultatene her sammen med resultatene i tabell 1 og får: Frekvens Amplitudeforhold Faseforskyving [rad/sek] [db] [grader] 0,01 1,6-1 0,1 1,5-5 0,31 1, ,6-39 3,1-6, ,5-83 Teikner dette opp i Bodediagram som vist under: Side 4

5 Løsningsforslag eksamen i Reg.tek. grunnkurs des Fordi amplitudeforholdet er flatt ved lave frekvenser og ser ut til å falle med 6dB pr oktav (20 db pr dekade) ved de høgste frekvensene så er det naturlig å anta at dette er en første ordens prosess. I tillegg ser det ut til at faseforskyvinga starter omtrent ved 0 og ender opp nesten på -90. Det passer med en første ordens prosess uten tidsforsinkelse. Knekkfrekvensen ut fra amplitudeforholdet blir omtrent 1,2 rad/sek. Dersom knekkfrekvensen for faseforskyvinga legges der faseforskyvinga er -45 blir det ca 1,3 rad/sek. Velger her å ta gjennomsnittet av disse to: ù c (1,2 + 1,3)/2 =1,25. Da blir tidskonstanten T = 1/ù = 1,1,25 = 0,8. n c Videre er amplitudeforholdet ved lave frekvenser ut fra tabellen (og Bodediagrammet) 1,6/20 lik 1,6 db. Det gir en stasjonær forsterking på K = 10 = 1,2. Overføringsfunksjonen for nivåmåleren blir: n C (8 %) Eksperimentell modellering av tank Tar utgangspunkt i sprangresponsen i figur 7 og ser at dette er en integrator med tidsforsinkelse. Tidsforsinkelsen er tida det tar fra spranget kommer på inngangen ved t = 2,0 til det skjer en endring av utsignalet ved t 4,0. Dermed blir tidsfosinkelsen ô = 4,0-2,0 = 2,0 [sek]. Integrasjonstida er den tida det tar for den rette linja på utgangen å stige like mye som spranget på inngangen. Spranget på inngangen går fra 0,0 til 0,4. Utgangen starter å stige fra 0,0 ved t 4,0 og når 0,4 når t 19,0. Integrasjonstida, T i blir da 19,0-4,0 = 15,0[sek]. D Sprangresponsen for ventil, tank og nivåmåler samla. Da (12 %) Sprangresponsen er vist på figur 8. Av figuren ser vi at sprangresponsen er nesten en integrator med tidsforsinkelse, men fordi det er en buet overgang fra tidsforsinkelsen til integratorlinja inneholder denne sprangresponsen et første ordens ledd i nevneri tillegg til integratorleddet. Totalt blir dette av andre orden med tidsforsinkelse og har en overføringsfunksjon på formen: Side 5

6 Løsningsforslag eksamen i Reg.tek. grunnkurs des Fra sprangresponsen ser vi at dette er en integrator med tidsforsinkelse og en tidskonstant i tillegg. Ved å trekke ei rett linje som skjærer startlinja for utsignal kan vi finne integrasjonstida som tida det tar for denne rette linja å stige opp like mye som spranget på inngangen. Ut fra figuren blir T i 16,8-5,3 = 11,5 sek. Tidsforsinkelsen er tida fra spranget på inngangen starter til utsignalet begynner å stige opp. Ut fra figuren blir ô 2,0 sek. Tidskonstanten blir tida fra der tidsforsinkelsen slutter og den rette integratorlinja starter. Ut fra figuren blir T 5,3-4,0 = 1,3 sek. Overføringsfunksjonen ut fra sprangresponsen blir dermed: Sidesprang: Det er veldig vanskelig å måle helt nøyaktig fra sprangresponser tatt opp på papir. I dette tilfellet vil det kunne være avvik på noen tidels sekunder i forhold til helt riktige verdier. Db (10 %) Det er en sammenhengen mellom overføringsfunksjonen i punkt a over og de tre overføringsfunksjonene for ventil, nivåmåler og tank som bel funnet i punktene A, B og C. Figur 2 viser et blokkskjema for ventil, tank og nivåmåler uten at regulatoren er innkopla. Når vi velger ventilen med den korteste tidskonstanten så blir verføringsfunksjonen fra pådraget u til det målte nivået i tanken y blir da: Side 6

7 Løsningsforslag eksamen i Reg.tek. grunnkurs des Ved opptak av sprangresponser for hand klarer vi bare finne fram til en eller annen variant av andre ordens prosess med tidsforsinkelse eller som i vårt tilfelle en integrator med et første ordens ledd og en tidsforsinkelse. De korteste tidskonstantene i en høgre ordens overføringsfunksjon vil ofte framtre som en samla tidsforsinkelse, men overgangen i sprangresponsen der tidsforsinkelsen slutter og utsignalet begynner å stige er ofte usikker. Det som er ganske sikkert er at summen avtidskonstanter og tidsforsinkelser bør være lik uansett om man tar opp en samla overføringsfunksjon eller man først finner overføringsfunksjonen for hver enkelt blokk. I punkt Da fant vi derfor fram til en integrasjonstid, en tidskonstant og en tidsforsinkelse, mens overføringsfunksjonen fra u til y basert på opptak av enkeltoverføringsfunksjonene blir en integrator med to første ordens ledd og en tidsforsinkelse. For å kunne se sammenhengen må det først ryddes sånn at stasjonær forsterking for ventil og nivåmåler divideres inn sammen med integrasjonstida sånn at stasjonær forsterking for hver av første ordens leddene blir en. Sammenlikner dette med resultatet fra Da: Her ser vi at integrasjonstida er 11,4 i Db mot 11,5 i Db. Det stemmer bra. Videre bør summen av tidskonstantene pluss tidsforsinkelsen være lik i begge tilfeller. I Da er det 1,3 + 2,0 = 3,3 mens i Db er det 0,6 + 0,8 + 2 =3,4. Det stemmer også bra. E (14 %) Endring i stasjonært nivå ved sprangendring i referansen ved P- regulering. Ser på figur 1. Nivåreguleringa går med en P-regulator med Kp = 2. Utløpet (q ut) er på 44 % og nominelt pådrag (u 0) er på 50%. Stasjonært er nivået (y) i tanken 55% når referansen til tanken er 50%. Når utløpet (q ut) i tanken plutselig endres til 33% så fører dette til en endring i det stasjonære nivået i tanken. Side 7

8 Løsningsforslag eksamen i Reg.tek. grunnkurs des Den enkleste måten å finne dette på er å si at netto innstrømming i tanken må være null ved stasjonær drift. Bare når det går like mye inn i tanken som det går ut vil nivået i tanken holde seg på en konstant verdi. Da har vi q inn = q ut.. I tillegg veit vi at stasjonær forsterking i ventilen er K = 1,1. Dermed blir det når q = q = 33: v inn ut Det nye nivået i tanken blir: e = r - y y = r - e = 50% - (-10%) = 60%. Alternativ, men mer generell og mer arbeidsom utrekning: Når vi er ute etter stasjonærverdier bær det brukes stasjonærforsterkinger der det finnes. Den enkleste måten er å sette s lik null i de enkelte overføringsfunksjonene. Alle ledd som da får verdien 1 kan uten videre settes lik 1. Det gjelder alle tidskonstantledd på standard form og alle tidsforsinkelsesledd. Videre kan det lønne seg å se på endringsverdier dersom bare en variabel endrer seg. I vårt tilfelle er det bare utløpet som endrer seg. Äq = = -11[%]. Finner først stasjonær forsterking fra q til y. ut ut Endringen på nivået i tanken blir Äy = Äq K = -11% ( -1/2,2) = 5% Det nye målte nivået i tanken blir: y = y + Äy = 55% + 5% = 60% ny ut gammel qut y F Frekvensanalyse Fa (4 %) Valg av regulatortype: Ut fra kravet om null stasjonært avvik vet vi at vi bør velge en regulator med integratorvirkning. Kravet om raskest mulig reguleringssløyfe tilsier at vi bør ha med derivatorvirkning i regulatoren. Derivatorvirkninga kan skape problemer om vi har mye støy i sløyfa, men i oppgaveteksten står det at reguleringssløyfa er lite plaga med støy. Vi ender dermed opp med en PID-regulator. Fb (12 %) Dimensjonering: Vi skal ha en PID-regulator på sumform. Kravet til innsvingningsforløp er minimum forstyrrelse. I følge læreboka kan vi oppnå dette o med stabilitetsmarginer på minst 30 og minst 8dB. Ved dimensjoneringen tar vi Side 8

9 Løsningsforslag eksamen i Reg.tek. grunnkurs des utgangspunkt i fasemarginen. <h 0= = 180. Bodediagrammet er allerede teikna opp i figur 9 i oppgaveteksten. Finner fasevinkelen som gir ønska kryssfrekvens ut fra det skissen til frekvensresponsen for åpen sløyfe uten regulator, men hvor vi har inkludert tidsforsinkelsen i regulatoren. Vi ser at 180 har vi ved 0,4 rad/sek. Dette gir en ønska kryssfrekvens: ù øc = 0,4 rad/sek. Amplitudeforholdet ved denne frekvensen leses av til 14 db. Regulatorparametrene kan nå raskt reknes ut: T = 2,8/ù = 2,8/0,4 = 7,0sek og T = 1/ù = 1/0,4 = 2,5sek, K = h (jù ) 2dB = ( 14dB) 2dB = 12dB = 10 = 4,0 I øc D øc * 12/20 P o øc Fc (10 %) Etterjustering vurderes ut fra Bodediagrammet til åpen sløyfe med den valgte regulatoren for å se om vi har oppnådd den fasemarginen og forsterkingsmarginen vi vil ha dvs ÄK 8dB og Äö 30. For det første ser vi at kryssfrekvensen er ca 0,4 som vi ønska oss. Dette tyder på at vi har dimensjonert rett. Ut fra Bodediagrammet ser vi at Äö 30 og det er bra, men det største problemet er at forsterkingsmarginen bare er ca 1,5dB. Side 9

10 Løsningsforslag eksamen i Reg.tek. grunnkurs des Dermed er kravet ikke oppfylt. Her er kravet minst 8dB. Forsterkinga må dermed reduseres med 6,5dB. Dette er det samme som å flytte alle punktene på amplitudeforholdskurva 6,5dB nedover. Da er det imidlertid fare for at kryssfrekvensen reduseres så mye at fasemarginen blir for liten. Det ser ut som at en reduksjon på 6dB fortsatt vil gi 30 fasemargin. En ytterligere reduksjon av K p ser ut til å gi mindre enn 30 fasemargin. Her er det nødvendig med et kompromiss. Reduserer K med 6dB. Det gir: p Dette gir en fasemargin på ca 30 og ca 7,5 db i forsterkingamargin.dette er så nærme kravene at en kan teste verdiene ut på nivåreguleringa i praksis. Sidesprang: En simulering av reguleringssløyfa med de foreslåtte verdiene for PID-regulatoren er vist på neste side. Figuren viser at innsvingningsforløpet blir av typen minimum areal. Resultatet er vist både med langsom digital regulator med samplingstid på 0,4 sekunder og med analog regulator plus en ekstra tidsforsinkelse på 1,5 0,4 = 0,6 sekunder. Innsvingningsforløpene er så godt som identiske. Det viser at feilen blir helt minimal om en i stedet for å rekne på reguleringssløyfa med en digital regulator rekner på reguleringssløyfa med en analog regulator med tidsforsinkelse. Side 10

11 Løsningsforslag eksamen i Reg.tek. grunnkurs des Side 11