nyq Inst. for elektrofag og fornybar energi Fag TELE2001 Reguleringsteknikk Simulink øving 4 Oppstart av Matlab. c:\temp.

Transkript

1 nyq Inst. for elektrofag og fornybar energi Utarbeidet: PHv Fag TELE2001 Reguleringsteknikk Simulink øving 4 Revidert sist Fredrik Dessen Hensikten med denne oppgava er at du skal bli bedre kjent med hvordan du kan bruke Matlab og Simulink som et hjelpemiddel til å løse typiske stabilitetsoppgaver i reguleringsteknikken ved bruk av forskjellige metoder. Besvarelse Utførelsen av denne oppgaven skal dokumenteres i form av et Word-dokument som leveres inn seinest en uke etter den timeplanlagte kjøringa på datasalen. Dette dokumentet skal inneholde korte svar på spørsmålene i oppgaven, og de figurene du blir bedt om å lime inn i dokumentet. Det skal stå navn på alle gruppemedlemmer (maks 3) og dato påført alle figurer allerede i Matlab. Det beskrives i Simulink-øving 1 hvordan man gjør dette. Oppstart av Matlab. Før du starter selve jobben er det greiest å sette opp en standard arbeidskatalog. Du skal bruke en katalog for midlertidige filer som heter c:\temp. På denne katalogen kan du lagre mens du holder på med dagens øving. Vent med å kopiere filene du vil ta vare på, til du er ferdig med dagens øving. Årsaken til at du ikke skal bruke nettkatalogen din er at det fører til stor nett-trafikk og sein simulering. Gjør følgende: a) Logg deg inn på skolens nett og start deretter Windows. b) Dobbeltklikk på Matlab-ikonet og vent til MATLAB Command Window er åpnet. c) I arbeidsvinduet skifter du katalog på vanlig måte. Hvis du liker å bruke fil-browser, finner du funksjonalitet for dette på linja over kommandovinduet. Finn fram til og velg C:\tempkatalogen. Alternativt skriver du bare cd C:\temp (og linjeskift) i kommandovinduet. d) Dersom du vil se på innholdet i denne katalogen kan du se i sidevinduet som heter Current Folder, eller skrive dir (og linjeskift) i kommandovinduet. e) Sjekk også at K:\Fag\AFT\EDT\_FAG\REGTEK1 er i søkestien til Matlab. Matlab hjelp Ikke alle detaljer i vil blir forklart her. Det følger med gode hjelpefiler til Matlab og Simulink. Disse finnes ved å velge fanen HOME i MATLAB, deretter klikke på spørsmålstegnet i RESOURCES. Stabilitet ved hjelp av polanalyse Først skal du bruke Matlab-kommandoen >> roots() til å finne ut om prosessene med disse karakteristiske likningene er stabile eller ikke. Eksempel Polynomet representeres i Matlab ved >> p = [ ] % Merk: Høyeste ordens koeffisient først Røttene, altså løsningene på ligningen 0 finnes med kommandoen >> r = roots(p)

2 Eventuelt kan alt gjøres i en operasjon og uten å bruke variable, som i >> roots([ ]) Oppgave 1a La 4 2 være karakteristisk ligning for System A. Hva er løsningene på ligningen 0? Er System A stabilt? Oppgave 1b La være karakteristisk ligning for System B. Hva er løsningene på ligningen 0? Er System B stabilt? Oppgave 1c La være karakteristisk ligning for System C. Hva er løsningene på ligningen 0? Er System C stabilt? Kritisk forsterking og kritisk periodetid ved hjelp av polanalyse Du skal nå finne fram til kritisk forsterking og kritisk periodetid for denne reguleringssløyfa med to forskjellige metoder, simulering og polanalyse. Oppgave 2a (Simulering) er tatt med så du lettere kan sammenligne med det du har lært tidligere. Oppgave 2a (Simulering) Reguleringssløyfa finnes ferdig som Simulink-modellen simlab4a. Start opp modellen og finn kritisk forsterking og kritisk periodetid som du har gjort mange ganger tidligere. Hva blir kritisk forsterking og periodetid? Kopier figuren av kritisk tilfelle over i Word. Sett også på hva som er referanse og hva som er nivå i tanken. Oppgave 2b Om du skal analysere polene må transportforsinkelser i systemet erstattes med Padéapproksimasjoner. Hva blir første ordens Padé-approksimasjon for transportforsinkelsen i sløyfa? Hvorfor er det tilstrekkelig å bruke første ordens approksimasjon i dette tilfellet? Reguleringssløyfa ovenfor kan analyseres ved hjelp av den karakteristiske likningen. Du må da bruke Padé-approksimasjon på transportforsinkelsen. Vi benytter fortsatt en proporsjonalregulator, så HR(s) blir lik Kp. For å spare tid er det karakteristiske polynomet allerede utregnet til Du skal nå bruke prøv-og-feil-metoden som er beskrevet i kapittel 5.7 i læreboka til å finne fram til kritisk forsterking og kritisk periodetid for reguleringssløyfa. Uttrykket for det karakteristiske polynomet inneholder «konstanten» Kp som vi har tenkt å eksperimentere med.

3 Oppgave 2c For å slippe å regne ut og skrive inn uttrykket ovenfor på nytt hver gang bør du lage et uttrykk som inneholder Kp og som du kjører på nytt med nye verdier på Kp for hvert prøv-og-feil-forsøk. Skriv opp uttrykket ovenfor i form av Matlab-kode Oppgave 2d Gi først Kp en vilkårlig verdi, regn deretter ut røttene i den karakteristiske likninga ved å bruke Matlab. Sett inn en ny verdi på Kp og regn ut på nytt. Legg merke til hvordan røttene endrer seg, og fortsett prosessen til du finner forsterkningen hvor minst en pol ligger på den imaginære aksen. Hva blir kritisk forsterkning denne gangen? Hvor mange poler ligger på den imaginære aksen? Hvor stor er imaginærverdien til polen(e)? Hvordan finner du nå kritisk periodetid? Polynomberegninger i Matlab Polynomet fra forrige oppgave er svært enkelt. Dette skyldes delvis at prosessen er enkel, og delvis at alle tall bortsett fra Kp er satt inn på forhånd. For virkelige prosesser kan de symbolske uttrykkene for polynomkoeffisientene bli ganske kompliserte. Man står samtidig overfor muligheten for at man har gjort en feil. En alternativ fremgangsmåte ble demonstrert på forelesning om analyse av det karakteristiske polynomet. Tips Eksempler er gjort tilgjengelig i itslearning, i zip-fila CruiceC-Matlab.zip. En oppsummerende tips-boks finnes sist i oppgaveteksten. Der er det samme beskrevet per regneart. I tillegg oppsummeres det hvordan man oppretter og kjører m-filer. Oppgave 3a Bruk i slutten av oppgaveteksten, evt. også eksemplene i CruiceC-Matlab.zip til å gjøre det samme som i oppgave 2c og 2d, men altså ved å beregne polynomene via polynomregning i Matlab. Denne gangen skal all Matlab-kode legges i en m-fil. Hva blir kritisk forsterkning og kritisk periodetid denne gangen? Sammenlign dette, samt polplassering med resultatene fra oppgave 2d. Kommenter. Oppgave 3b Kopier koden i m-fila over i Word-dokumentet. Frekvensrespons i tidsplanet Du skal nå se på en annen prosess: Prosessen med P-regulator fra oppgave 19 i læreboka. Den har følgende overføringsfunksjon for den åpne sløyfa Opptak av frekvensrespons ved hjelp av signalgenerator og skop Start opp simlab4d. Du skal nå bruke signalgeneratoren til å stille inn forskjellige frekvenser. Deretter skal du undersøke hvordan frekvensresponsen for denne åpne reguleringssløyfa blir med Kp lik 1. Dersom kurvene blir veldig hakkete må du gå inn på Simulation og Parameters og korte ned på Max Step Size. Bruk de zoom-mulighetene du har til å få fram det du trenger av informasjon best mulig.

4 Oppgave 4a Du skal finne amplitudeforholdet med vanlige tall og i db, samt faseforskyvningen i grader, ved frekvensene 0.1, 0.5 og 1.0 radianer per sekund. Sett opp en liten tabell med verdiene. Oppgave 4b Ta for deg frekvensresponsen ved 1.0 radianer per sekund. Bruk de zoom-mulighetene du har til å få fram best mulig det du skal vise. Tegn inn størrelsene du trenger for å vise hvordan du kommer fram til amplitudeforholdet, faseforskyvningen og frekvensen ut fra kurvene. Marker også hva som er inn- og ut-signal. Kopier figuren over i Word. Forklar med formler hvordan du kommer fram til verdiene det spørres om. Direkte opptegning av frekvensrespons når overføringsfunksjonen er kjent Svarene fra oppgave 4a kan kontrolleres ved å få Matlab til å tegne opp frekvensresponsen for deg. Vi skal se på opptegning både av Nyquist- og Bode-diagrammer. Bode- og Nyquist-plott i Matlab Tips for å få til Bode- og Nyquist-plott i Matlab finnes sist i oppgaveteksten. Les det som står der før du fortsetter. Du får også bruk for det du har lært tidligere i oppgaven, og det som står i de andre tilleggene sist i oppgaveteksten. For Padé-approksimasjon, se side 121 og 122 i læreboka, pluss eksempler i CruiceC-Matlab.zip. Først skal du manuelt omforme overføringsfunksjonen for den åpne sløyfa så den kan brukes til å tegne opp diagrammene. Du må altså erstatte transportforsinkelsen med en Padé -approksimasjon. Siden prosessen her bare er av første orden, må du bruke en 2. approksimasjon. Oppgave 5a Finn h0(s), deretter teller- og nevnerpolynom, og bruk så phbode som beskrevet i tillegget sist i oppgaveteksten. Kontroller at amplitudeforholdet og faseforskyvningen stemmer for de tre frekvensene du regnet ut i oppgave 4a. Marker amplitudeforholdet og faseforskyvningen ved de tre frekvensene. Kopier Bode-diagrammet med markeringer over i Word. Oppgave 5b Bruk funksjonen nyquist som beskrevet i tillegget sist i oppgaveteksten. Kopier Nyquist-diagrammet over i Word. Kritisk forsterkning i Bode-diagrammer Du har sett at når vi skal finne kritisk forsterking og kritisk periodetid med studerer vi den lukkede reguleringssløyfen. Ved polanalyse studerer vi også det lukkede system, men har sett at vil finner det karakteristiske polynomet som t0(s) + n0(s), som er teller og nevner i h0(s), overføringsfunksjonen til det åpne systemet. Når vi bruker frekvensanalyse studerer vi ganske direkte h0(s). Oppgave 5c Start med en ny kopi av diagrammet fra oppgave 5a. Marker forsterkningsmargin og fasemargin. Kopier Bode-diagrammet med markeringer over i Word. Hva sier disse verdiene? Er den lukkede sløyfen (med Kp lik 1) stabil? Hvis du hadde brukt Ziegler-Nichols metode på dette systemet, hva ville Kk blitt? Hva med Tk?

5 Polynomer i Matlab Komplette eksempler er gjort tilgjengelig i itslearning, i zip-fila CruiceC-Matlab.zip. Eksemplene nedenfor derimot, er bruddstykker og representerer ikke et fullstendig eksempel. 1. Representasjon av polynomer Et n-te grads polynom p(x) representeres som en n+1-dimensjonal vektor med n-te-gradskoeffisienten først. Eksempelvis representeres polynomet fra forrige oppgave ved >> Kp = 5 % For eksempel >> p = [ (1 0.5*Kp) 0.1*Kp] Her er det altså forutsatt at variabelen Kp allerede er gitt en verdi, men man trenger ikke gi x noen verdi. Dette siste er et viktig poeng. 2. Multiplikasjon av polynomer Det går selvfølgelig an å regne ut verdiene til to polynomer p(x) og q(x) for en bestemt verdi av x. Man kan deretter multiplisere disse verdiene. Det vi gjør her er å regne ut hvilke koeffisienter polynomet r(x) = p(x)q(x) har. Dette kan man gjøre for hånd, men man kan også bruke Matlab, som her: >> p = [T1 1] % En tidskonstant >> q = [T2 1] % Enda en tidskonstant >> r = conv(p, q) % Selve multiplikasjonen Det virker selvfølgelig rart at denne funksjonen heter conv. Det skyldes sannsynligvis at den er utviklet for et annet formål, men også kan brukes til polynom-multiplikasjon. 3. Addisjon av polynomer Polynomene representeres som vi ser av vektorer av polynomkoeffisienter. Disse skal i prinsippet bare adderes på samme måte som vektorer. Utfordringen ligger i at vektorene da må ha samme dimensjon. Polynomet med lavest grad må fylles ut med nuller i venstre ende. Koden nedenfor gjør dette uten at du trenger ta stilling til hvilket som er av lavest grad. >> msize = max(size(t0), size(n0)); >> pt0 = padarray(t0, msize size(t0), 0, 'pre'); >> pn0 = padarray(n0, msize size(n0), 0, 'pre'); >> t0n0 = pt0 + pn0; 4. Løsning av polynomer En av fordelene med å ikke sette inn noen x-verdi, er at vi nå kan bruke uttrykket til å finne løsningen på ligningen p(x) = 0 for et polynom representert som i pkt. 1. >> r = roots(p) 5. Evaluering av polynomer Man kan når som helst sette inn en x-verdi og regne ut. Her settes x = 2. >> y = polyval(p, 2) Litt av denne informasjonen finner du også på polyval(p,2) M-filer i Matlab Det er svært enkelt å lage m-filer som inneholder såkalte script. Script skiller seg fra funksjoner ved at de ikke trenger argumenter, eller returverdier. De inneholder instruksjoner som du stengt tatt kunne gjort for hånd, men som du vil forsikre deg om at blir utført på samme måte hver gang. Det er også enkelt å skille ut ting som skal være forskjellig mellom hver kjøring. I vårt tilfelle skal Kp endres for hver kjøring. 1. Redigering av m-filer Det finnes en editor lett tilgjengelig i Matlab. Klikk New oppe til venstre i Matlab, og velg Script. Tekst kan nå skrives rett inn. Lagre fila med å klikke Save oppe til venstre under EDITOR-fanen i Matlab, og velge Save as... eller Save. 2. Kjøring av m-filer Bruk Run knappen under EDITOR-fanen i Matlab. Grønn trekant.

6 Bode- og Nyquist-plott Bode-plottet skal tegnes med kommandoen >> phbode(teller, nevner); Denne finnes i phlib. Det finnes også en kommando i Matlab Control Systems Toolbox som heter bode, men phbode tegner diagrammer mer på den måten vi liker å ha dem. Du må gjerne prøve begge for å se på forskjellen. Polynomene teller og nevner representerer t0(s) og n0(s), altså teller- og nevnerpolynomet til h0(s) som er overføringsfunksjonen til den åpne sløyfa. Ønsker du for eksempel å få tegnet opp Bodediagrammet til overføringsfunksjonen kan du bruke kommandoen >> phbode(3*[ 1.5 1],[ ]); Det er ikke laget noen spesialtilpasset funksjon for Nyquist-plott. Samme eksempel benyttes. >> figure % For å få ny figur >> nyquist(3*[ 1.5 1],[ ]); Merk at Nyquist-plott i Matlab går fra ω = 0, via ω = og ω = - tilbake til ω = 0. Turen er indikert med piler ved start og slutt.