Løsningsforslag øving 6

Transkript

1 TTK5 Reguleringsteknikk, Vår Løsningsforslag øving Oppgave Vi setter inntil videre at τ = e τs. a) Finn først h s) gitt ved h s) = T i s T s) + T i s) ) ) ) ) + ζ s ω + s ω Vi starter med amplitudeforløpet. Siden vi har q = rene integrasjoner kan vi beregne ω c,as = K /q = Kp T i =.. Vi vet nå at det går en asymptote med helning q) = ), som krysser -db linjen i ω c,as. Generelt kan denne linje knekke opp eller ned før den når -db, men i dette tilfellet sammenfaller ω c,as med første knekkpunkt som er T i =.. Videre amplitudeforløp finnes ved å endre helningen til asymptoten i hvert knekkpunkt. Vi har i dette tilfellet knekkpunkt gitt av ledd i transferfunksjonen. Knekkpunktene skisseres kronologisk etter knekkfrekvensene i tabellen under. Skissering av asymptotene for h jω) er vist i figur. Ledd Type Knekkfrekvens Helning T s) Nullpunkt T = 5 p= + T i s) Nullpunkt T i =. p= ) ) ) + ζ s ω + s ω Resonansledd ω = p=- Videre for faseforløpet, har vi at q = rene integrasjoner i transferfunksjonen gir en start-fase på q)9. Videre forløp kan bestemmes ut fra følgende tabell. Asymptotene for h jω) er vist i figur 5 Ledd Type Knekkfrekvens Fasebidrag T s) Nullpunkt i h.h.p. T = T i s) Nullpunkt T i =. 9 ) ) ) + ζ s ω + s ω Resonansledd ω = 8 b) Vi har følgende approksimasjoner: Njω) db) h jω) db) når h jω) db) >> Njω) db) db) når h jω) db) << Mjω) db) db) når h jω) db) >> Mjω) db) h jω) db) når h jω) db) << Asymptotisk forløp for Njω) og Mjω) er vist i figur. c) Vi overfører h jω) til Nichols-diagram og bruker denne kurva til tegning av Njω). Se boka side 7 og utover. Kurvene er vist i figur 7. d) Vi tegner først tidsforsinkelsen. Vi har at e jωτ = ωτ [rad]. Deretter legger vi denne til fasen til h jω). Merk at forløpet for amplituden blir uforandret, dvs. h s)e τs = h s). Se figur 7. Vi ser videre av figur 7 at τ = : Njω) max 7, db τ =. : Njω) max 9.9 db Resonnanstoppen betyr at systemets følsomhet for forstyrrelser i området rundt kryssfrekvensen øker. Ofte inngår Njω) max i spesifikasjonene for et system, fordi resonnanstoppen er et uttrykk for systemets stabilitetsmargin. Hvis τ økes ytterligere, så mye at Njω) max =, blir systemet ustabilt. Tidsforsinkelsen vil da bidra med for mye negativ fasedreining.

2 Oppgave a) Av figur i oppgaveteksten får vi følgende uttrykk: ys) = h r s)h u s) + h r s)h u s) rs) + h v s) + h r s)h u s) vs) us) = h r s)es) = h r s) + h r s)h u s) rs) h rs)h v s) + h r s)h u s) vs) som videre gir oss transferfunksjonene avhengigheten av s sløyfes for enkelhets skyld): i) u r = hr +h rh u = h r +h = h r N ii) u v = hrhv +h rh u = h r h v +h = h r h v N b) Denne oppgaven kan løses på minst) to måter. Den mest iøynefallende er å flytte summasjonspunktet for v mot høyre og kompensere for transferfunksjoner vi hopper over til vi ender opp med h v. Men siden y u s) er gitt, så er det i dette tilfellet enklere å flytte v mot venste inntil v sammenfaller med u slik at vi kan benytte y u s) i uttrykket. Vi viser begge metodene: Mot venstre: Ved å flytte v til venstre for blokka K T, må v multipliseres med K T. Ved å flytte videre til venstre forbi det første summasjonspunktet), må v i tillegg multipliseres med L a s + R a som er det inverse av transferfunksjonen bestående av blokkene L a s og R a ). Summasjonspunktet for v er nå flyttet til samme punkt som for u. Vi kan derfor flytte summasjonspunktet for v helt ut til y ved å multiplisere med y u s). Den totale operasjonen resulterer i: h v s) = K T L a s + R a ) y u s) = L as+r a ) s + JRa s + JLa s Mot høyre: Ved å flytte v til høyre for blokka Js, må v multipliseres med Js. Flytter vi v videre til høyre for tilbakekoblingen, så må vi også korrigere for dette. Korreksjonen består her av transferfunksjonen fra v til punktet like før integratoren for y. La oss kalle dette punktet for x = sy s)). Vi kan da skrive: Siden y = sx, før vi: x = x + K T K v JsL a s + R a Js JsR a + L a s) = JsL a s + R a ) + K T K v x = v Js + Js K T K v ) x L a s + R ) a = v Js R a + L a s JsL a s + R a ) + K T K v v h v s) = h v s) = L a s + R a Js, som kan omformes til: L a s + R a ) + K T K v s L as+r a ) s + JRa s + JLa s Vi ser at vi som forventet før samme svar med de to metodene.

3 Oppgave Gitt karakteristisk polynom Røttene til polynomet ) er gitt av a s + a s + a, ) Sammelikning av koeffisientene gir a s + a s + a = a s λ )s λ ) = a s λ + λ )s + λ λ ) = ) a λ + λ ) = a ) a λ λ = a 5) Tilfelle : Reelle røtter Dersom a, a og a har samme fortegn, så må λ og λ ha samme fortegn fra betingelsen 5). Dersom koeffisientene er positive, så må λ +λ < og dermed begge negative pga kravet om samme fortegn. Dersom alle koeffisientene i ) er negative så blir a λ + λ ) = a, og på tilsvarende møte må λ, λ <. Tilfelle : Komplekskonjugerte røtter Benytter generelle egenverdier λ, = c ± jd. Produktet av egenverdiene blir da λ λ = c + d. Likning 5) vil derfor være oppfylt uavhengig av fortegnet på c. Summen av egenverdiene blir λ + λ = c. Dermed blir likning ) a c = a, som gir at c må ha negativt fortegn. Dermed er Reλ, < ). Dette viser at systemet med karakteristisk polynom ) vil være asymptotisk stabilt dersom koeffisientene a, a og a har samme fortegn. Oppgave Denne oppgaven løses ved først å forstå hvordan kurvene endrer seg med forskjellige og deretter benytte den grafiske tolkningen av Nyquists stabilitetskriterium. Figur a) viser Nyquist kurven for h jω) = Kp a+jω for positive frekvenser. Husk at amplituden til denne transferfunksjonen i lineær skala) kan skrives lg Kp h jω) = log Kp log a+jω ) =. ) lg a+jω Det er dermed enkelt å se at ved å øke så øker vi lengden på vektoren h jω), og også radiusen på sirkelen i figur i oppgaveteksten. Im /_ hjω) Re hjω) a) Skjematisk Nyquist diagram b) Nyquist diagram for h s) og h s). Figur : Nyquist diagrammer oppgave i) Den høyre sirkelen i figur b) er det åpent stabile systemet h jω). For at systemet skal forbli stabilt når det lukkes, må punktet -,) ligge utenfor stedkurven til h jω). Uansett verdi av, så vil

4 h jω) = når ω 7) jω + Figur viser stedkurven for forskjellig verdier av. Av figuren kan det sees at systemet med h s) som transferfunksjon forblir stabilt når sløyfen lukkes og systemet reguleres med en proposjonalregulator dersom >. For verdier av vil stedkurven omslutte -,) og det lukkede system blir ustabilt. Den kritiske verdien av kan i dette tilfellet også finnes ved å løse for stasjonært tilfelle: h ) = > >. 8) Nyquist Diagram.8.. = K = p K = p K = p Imaginary Axis Real Axis Figur : Nyquist diagram for jω + for forskjellige verdier av. ii) For h jω) = Kp jω er situasjonen motsatt. Dette systemet er åpent ustabilt, med N p = poler i høyre halvplan. Da må sirkelen for h jω) omslutte punktet -,) en gang når ω går fra til +. Dette tilsvarer at vinkelbidraget + h s)) = π når ω går fra til +. Den polare stedkurvne for h jω) for forskjellig verdier av er vist i figur. Tilsvarende analyse som for h gir at > for at det åpne ustabile systemet h s) skal bli stabilt når sløyfen lukkes. Nyquist Diagram.8.. = K = p K = p K = p Imaginary Axis Real Axis Figur : Nyquist diagram for jω for forskjellige verdier av. Nyquist diagramet i figur og for forskjellige verdier av forsterkningen kan finnes i MATLAB med kommandoen nyquisttf[kp],[ a])) i kommandovinduet. Prøv med forskjellige verdier av kp og a ± og observer hva som skjer med den polare stedkurven.

5 Ti T db º -º -7º -º -º -8º -5º -º -9º -º -º º Figur : Asymptotisk og eksakt amplitudeforløp h jω) for oppgave a) 5

6 p Ti T º -º -7º -º -º -8º -5º -º -9º -º -º º Figur 5: Asymptotisk og eksakt faseforløp for h jω) i oppgave a). Faseforløpet til h p jω) er ogsåtegnet inn.

7 hj ) as Ti T db Nj ) as Mj ) as hj ) as º -º -7º -º -º -8º -5º -º -9º -º -º º Figur : Asymptotisk og eksakt amplitudeforløp for Njω) og Mjω) i oppgave b). Asymptotisk og eksakt forløp for h jω) er også tegnet inn for sammenlikning. 7

8 =. Ti T db º -º -7º -º -º -8º -5º -º -9º -º -º º Figur 7: Asymptotisk og eksatkt faseforløp for Njω) og Mjω) i oppgave c)-d). 8