Løpekatt med last. Ekstra øving 3, løsningsforslag. Inst. for teknisk kybernetikk Fag TELE2001 Reguleringsteknikk

Transkript

1 Inst. for teknisk kybernetikk Fag TELE200 Reguleringsteknikk Ekstra øving 3, løsningsforslag Revidert sist Fredrik Dessen Løpekatt med last Figuren nedenfor viser en prinsippskisse for en løpekatt som sørger for å flytte en last langs bjelken den henger i. Løpekatten er representert ved massen m og styres av en kraft F. x m φ F r m 2 Lasten som flyttes antas å være senket en forholdsvis stor avstand r ned fra løpekatten, og å være representert ved massen m2. I blokkdiagrammet nedenfor finnes i tillegg symbolene g (tyngdeakselerasjon) og d og dφ (to dempningskonstanter). Horisontal posisjon til de to massene er representert ved hhv. x og x2. Hastighet er representert ved hhv. v og v2. Lasten kan bli forstyrret av en horisontal kraft F2. Du kan anta følgende parameterverdier. Som vanlig anbefaler jeg å vente lengst mulig med å sette inn verdier. m m2 d dφ r g 00 kg 000 kg 000 N/(m/s) 0 Nm/(rad/s) 3 m 9,8 m/s 2 d φ/r F v φ v 2 /m /r m 2 g /m 2 d d φ/r

2 TELE200 Reguleringsteknikk, Ekstra 3 LF Side 2 Del. Reduksjon av blokkdiagram Blokkdiagrammer inneholder nøyaktig samme informasjon som tilsvarende algebraiske ligninger. Oppgave.. Forklar med egne ord hvilke fysiske lover blokkdiagrammet beskriver, og hvordan de henger sammen. Er det gjort noen lineariseringer, tror du? I hvilken sammenheng? Vi har to masser. Hver av disse må tilfredsstille Newtons lov. Hastighetene til de to massene kalles v og v2 så det er lett å identifisere de to integratorene fra akselerasjon til hastighet. Helt til venstre ser vi at m akselereres av kraften F fratrukket lineær friksjon i løpekattens bane og en lineær friksjon som oppstår i opphengspunktet til wiren ned til m2. Løpekatten bremses eller akselereres også av lasten når den ikke henger rett ned. Lengst til høyre ser vi at de tre måtene vi kan akselerere lasten på er å få φ 0, φ 0 eller tilføre kraften F2. Vi ser også at hastigheten til lasten kobles tilbake, og at differansen mellom de to hastighetene integreres til φ. Oppgave.2. Forklar kort hva man formelt gjør for å lage en Laplace-transformert utgave av dette blokkdiagrammet. Hvorfor må dette gjøres før man kan utføre neste deloppgave? Kort fortalt foretar man Laplace-transformasjon ved å erstatte derivasjon i tid med multiplikasjon med s. I praksis vil man erstatte integrasjonsblokkene i diagrammet med multiplikasjon med /s. I tillegg erstattes (eksplisitt eller implisitt) alle variable som er funksjoner av tid med Laplace-transformerte variable som er funksjoner av s. Hele hensikten med Laplace-transformasjon er å gjøre det mulig å løse eller analysere lineære differensialligninger ved hjelp av algebraiske manipulasjoner. Reduksjon av blokkdiagrammer tilsvarer : algebraiske manipulasjoner. Oppgave.3. Denne oppgaven er helt klart i overkant av hva du kan forvente på eksamen, men du bør ikke se på arbeidet som unødvendig av den grunn. Se det heller slik at du går i gang med en treningsøkt med blyvekter eller høydetrening om du vil. Du skal nå redusere blokkdiagrammet. Sluttresultatet skal være i form av et summeringspunkt, og to blokker som representerer overføringsfunksjonene fra hhv. F og F2 til x2. Vis hvordan blokkdiagrammet kan reduseres i trinn som hvert representerer akkurat én regel for reduksjon av blokkdiagrammer. Ang. «akkurat en regel»: For å spare arbeid i forbindelse med opptegning kan det være fristende å ta flere regler i parallell. Dette bør du kun gjøre der hvor de foregår på forskjellige steder i blokkdiagrammet.

3 TELE200 Reguleringsteknikk, Ekstra 3 LF Side 3 Merk deg ordlyden på denne oppgaven. Du kan tolke den som at du bare skal vise grafisk hvilke regler du bruker, og hvilken innvirkning dette trinn for trinn har på blokkdiagrammet. Legg likevel merke til ordlyden i neste oppgave. Hvis du har ambisjoner om å løse den også, kan du gjøre mye av dette arbeidet parallelt. Her jobber vi parallelt med oppgave.3 og.4 en stund. Trinn : Reduksjon av tilbakekobling nede til venstre. d φ/r F /m s v /r m 2g/s /m 2s v 2 /s + d /m s d φ/r Trinn 2: Flytting av summasjonspunkt nede til venstre. Flytting av forgrening midt på. Rydder samtidig litt i uttrykket som oppsto forrige runde. m 2g/s d φ/r F m s + d /r m 2g/s /m 2s v 2 /s d φ/r m s + d Trinn 3: Reduksjon av parallellkobling. To steder. Reduksjon av seriekobling på venstre side. Flytting av forgreningspunkt på høyre side. Dette siste vil vise seg å være unødvendig, men slikt skjer av og til og er ikke alltid lett å se. d φ/r + m 2g/s F r(m s + d ) d φ/r + m 2g/s /m 2s v 2 /s m s + d m 2s Trinn 4: Flytting av forgreningspunkt på venstre side. Reduksjon av seriekobling på høyre side. F d φ/r + m 2g/s r(m s + d ) m 2s 2 m s + d m 2s

4 TELE200 Reguleringsteknikk, Ekstra 3 LF Side 4 Trinn 5: Reduksjon av seriekobling. F d φs + m 2gr r 2 s(m s + d ) m 2s 2 m s + d m 2s Trinn 6: Reduksjon av tilbakekobling. F d φs + m 2gr r 2 s(m s + d ) + d φs + m 2gr m 2s 2 m s + d m 2s Trinn 7: Flytting av summasjonspunkt. F r 2 s(m s + d ) + d φs + m 2gr d φs + m 2gr d φs + m 2gr r 2 s(m s + d ) + d φs + m 2gr m 2s 2 m s + d m 2s Trinn 8: Reduksjon av tilbakekobling. Trinn 9: En liten ommøblering. Her ser vi hvorfor det ikke var noe vits i å flytte forgreningspunktet i trinn 3. Forkorter her bort m 2 s, og får Trinn 0: Flytting av summasjonspunkt. Trinn : Flytting av summasjonspunkt, og reduksjon av seriekobling. r 2 s(m s + d ) + d φ s + m 2 gr (d φ s + m 2 gr)(m s + d )s + (r 2 s(m s + d ) + d φ s + m 2 gr)m 2 s 2 F d φ s + m 2 gr (d φ s + m 2 gr)(m s + d )s + (r 2 s(m s + d ) + d φ s + m 2 gr)m 2 s 2

5 TELE200 Reguleringsteknikk, Ekstra 3 LF Side 5 Blokkdiagrammet er nå ferdig redusert. Siste trinnet er utført fordi oppgaven ber klart om det. Resultatet i trinn 0 er på en måte mer informativt fordi det klart og tydelig viser den siste integratoren fra hastighet til posisjon på lasten. Denne oppgaven er helt klart i overkant av hva du kan forvente på eksamen, men du bør ikke se på arbeidet som bortkastet av den grunn. Se det heller slik at du nettopp har gjennomført en treningsøkt med blyvekter eller høydetrening om du vil. Oppgave.4. Sett opp uttrykkene for de to overføringsfunksjonene fra hhv. F og F2 til x2 som brøker med polynomer i teller og nevner. Polynomene skal være på standard form. Teller og nevner kan likevel være delvis faktorisert. Dette vil jo lette arbeidet med å finne poler og nullpunkter. I så fall skal hver enkelt faktor være på standard form. Dette er så langt som vi kom med overføringsfunksjonene i forrige oppgave: d φ s + m 2 gr h F (s) = (d φ s + m 2 gr)(m s + d ) + (r 2 s(m s + d ) + d φ s + m 2 gr)m 2 s s r 2 s(m s + d ) + d φ s + m 2 gr h F2 (s) = (d φ s + m 2 gr)(m s + d ) + (r 2 s(m s + d ) + d φ s + m 2 gr)m 2 s s Nå skal vi altså over på såkalt standard form. Nevneren er felles. Tar den først. Det er ikke spesielt lurt å multiplisere inn den siste integratoren, så vi lar være å ta med den i første omgang. n(s) = (d φ s + m 2 gr)(m s + d ) + (r 2 s(m s + d ) + d φ s + m 2 gr)m 2 s = (d φ s(m s + d ) + m 2 gr(m s + d )) + (r 2 m s 2 + r 2 d s + d φ s + m 2 gr)m 2 s = (d φ m s 2 + d d φ s + m 2 grm s + m 2 grd ) + (r 2 m m 2 s 3 + r 2 m 2 d s 2 + d φ m 2 s 2 + m 2 2 grs) = (r 2 m m 2 )s 3 + (d φ m + r 2 m 2 d + d φ m 2 )s 2 + (d d φ + m m 2 gr + m 2 2 gr)s + (m 2 grd ) En bitteliten jobb med hver av tellerene gir dermed og d φ s + m 2 gr h F (s) = (r 2 m m 2 )s 3 + (d φ m + r 2 m 2 d + d φ m 2 )s 2 + (d d φ + m m 2 gr + m 2 2 gr)s + (m 2 grd ) s r 2 m s 2 + (d φ + r 2 d )s + m 2 gr h F2 (s) = (r 2 m m 2 )s 3 + (d φ m + r 2 m 2 d + d φ m 2 )s 2 + (d d φ + m m 2 gr + m 2 2 gr)s + (m 2 grd ) s Oppgave.5. Studer blokkskjemaet øverst i oppgaveteksten. Hvilken grad tror du nevnerpolynomene til de to overføringsfunksjonene har? Blokkskjemaet inneholder 4 integratorer, så nevnerpolynomet skal ha grad 4. Dette stemmer med det vi har kommet fram til.

6 TELE200 Reguleringsteknikk, Ekstra 3 LF Side 6 Del 2. Overføringsfunksjoner for regulert system Vi skal nå regulere hastigheten på lasten. I denne forbindelse benyttes hhv. F som pådrag og hastigheten v2 som måling. Vi har også en forstyrrelse i form av F2. I reguleringsteknisk symbolbruk benevnes disse størrelsene hhv. u, y og v, og vi skal gå over til å bruke disse benevnelsene sammen med r og e som vi også kjenner fra forelesningene. Oppgave 2.. La oss kalle overføringsfunksjonene fra u(s) til y(s) og fra v(s) til y(s) i det åpne (uregulerte) systemet for hhv. huy(s) og hvy(s). Basert på det du gjorde i forrige oppgavedel; skriv opp detaljerte uttrykk for overføringsfunksjonene huy(s) og hvy(s). Dette blir omtrent avskrift fra oppgave.4. Siden overføringsfunksjonene er til hastighet (og ikke til posisjon) må vi imidlertid fjerne integratoren. d φ s + m 2 gr h uy (s) = (r 2 m m 2 )s 3 + (d φ m + r 2 m 2 d + d φ m 2 )s 2 + (d d φ + m m 2 gr + m 2 2 gr)s + (m 2 grd ) r 2 m s 2 + (d φ + r 2 d )s + m 2 gr h vy (s) = (r 2 m m 2 )s 3 + (d φ m + r 2 m 2 d + d φ m 2 )s 2 + (d d φ + m m 2 gr + m 2 2 gr)s + (m 2 grd ) Matlab: Sett inn tall, og lag overføringsfunksjonene ved hjelp av funksjonen tf(). Her er et Matlab-skript som gjør dette % Skript Ox3_2 % Parametre for løpekatt m = 00; m2 = 000; d = 000; dfi = 0; r = 3; g = 9.8; % Prosess c = dfi; c0 = m2*g*r; a3 = r*r*m*m2; a2 = dfi*m + r*r*m2*d + dfi*m2; a = d*dfi + m*m2*g*r + m2*m2*g*r; a0 = m2*g*r*d; tpros = [c c0]; npros = [a3 a2 a a0]; pros = tf(tpros, npros) % Forstyrrelse b2 = r*r*m; b = dfi + r*r*d; b0 = m2*g*r; tfors = [b2 b b0]; nfors = npros; fors = tf(tfors, nfors)

7 TELE200 Reguleringsteknikk, Ekstra 3 LF Side 7 Kjøres dette får vi utskriften >> Ox3_2 pros = 0 s s^ e06 s^ e07 s e07 Continuous-time transfer function. fors = 900 s^ s s^ e06 s^ e07 s e07 Continuous-time transfer function. Oppgave 2.2. Overføringsfunksjonen for en PI-regulator kan f. eks. kalles hpi(s), og uttrykkes h PI (s) u(s) e(s) K + T i s p T i s Du kan sette inn proporsjonalforsterkning Kp = 4500 og integraltiden Ti = sek. Matlab: Sett inn tall, og lag overføringsfunksjonen ved hjelp av funksjonen tf(). % Script Ox3_22 % PI-regulator Kp = 4500; Ti = ; treg = Kp*[Ti ]; nreg = [Ti 0]; reg = tf(treg, nreg) Kjøres dette får vi utskriften >> Ox3_22 reg = 4500 s s Continuous-time transfer function. Oppgave 2.3. Du skal nå tegne et blokkdiagram som viser samspillet mellom disse blokkene i et regulert system. Diagrammet skal inneholde alle signaler og overføringsfunksjoner. Tegn blokkdiagrammet for det regulerte systemet. Svaret på denne oppgaven er som det alltid:

8 TELE200 Reguleringsteknikk, Ekstra 3 LF Side 8 Siden jeg tegner diagrammet med uttrykk som ikke er benyttet i oppgaven eller besvarelsen så langt, må jeg også ta med at hv(s) = hvy(s) ; hpros(s) = huy(s) ; hreg(s) = hpi(s) Det greieste er nok å skrive korrekte benevnelser direkte inn i hver blokk. Oppgave 2.4. Overføringsfunksjonene for det regulerte systemet kan skrives h ry(reg) (s) = h PI(s)h uy (s) + h PI (s)h uy (s) h vy (s) h vy(reg) (s) = + h PI (s)h uy (s) Vis hvordan man kommer fram til disse uttrykkene. Det enkleste er å bruke tilbakekoblingsreglen. For begge blir åpen sløyfefunksjon h QQ (s) = h PI (s)h uy (s) Dermed får vi under brøkstreken i begge tilfeller + h PI (s)h uy (s) For overføringsfunksjonen fra referanse til måling finner vi direktefunksjonen h PR (s) = h reg (s)h pros (s) = h PI (s)h uy (s) Dette skal stå over brøkstreken. Dermed har vi overføringsfunksjonen h ry(reg) (s). For overføringsfunksjonen fra forstyrrelse til måling finner vi direktefunksjonen h PR (s) = h v (s) = h vy (s) som skal stå over brøkstreken. Da har vi h vy(reg) (s). Matlab: Lag en m-funksjon som tar inn de tre overføringsfunksjonene og returnerer de to det spørres om i oppgaven. Kopier gjerne fra løsningsforslaget for øving 3. Funksjonen kan se slik ut: function [hryreg, hvyreg] = tilbk(hreg, huy, hvy) % Overføringsfunksjoner for regulert system % Denne funksjonen returnerer overføringsfunksjonene referanse til måling % og fra forstyrrelse til måling for et regulert system % % Input: Overføringsfunksjonene hreg, huy og hvy for hhv. regulator, % prosess og forstyrrelse % % Returnerer: Overføringsfunksjonene hryreg og hvyreg fra hhv. referanse % og forstyrrelse til måling % % Se også tf() h0 = hreg*huy;

9 TELE200 Reguleringsteknikk, Ekstra 3 LF Side 9 end hryreg = h0/( + h0); hvyreg = hvy/( + h0); Oppgave 2.5. Sett opp og regn ut de detaljerte uttrykkene for dette konkrete tilfellet. Presenter disse på standard form. d φ s + m 2 gr h uy (s) = (r 2 m m 2 )s 3 + (d φ m + r 2 m 2 d + d φ m 2 )s 2 + (d d φ + m m 2 gr + m 2 2 gr)s + (m 2 grd ) r 2 m s 2 + (d φ + r 2 d )s + m 2 gr h vy (s) = (r 2 m m 2 )s 3 + (d φ m + r 2 m 2 d + d φ m 2 )s 2 + (d d φ + m m 2 gr + m 2 2 gr)s + (m 2 grd ) Det blir fort ganske tungt å holde på med denne typen algebraiske manipulasjoner, så det kan være lurt å bruke litt tid på strategi før man gyver løs. Ta følgeforholdet først: h ry(reg) (s) = h 0(s) + h 0 (s) = t 0 (s) n 0 (s) + t 0(s) n 0 (s) = t 0 (s) n 0 (s) + t 0 (s) Her er h 0 (s) separert i en teller og en nevner, og det kan se ut som vi får en god start ved å sette inn tellere og nevnere på den måten: h ry(reg) (s) = 4500( + s)(0s ) s(900000s e06s e07s e07) ( + s)(0s ) Se på telleren til dette uttrykket. Den er av produktet av to polynomer som hver må kunne sies å være på standard form. Det er ingen vits i å multiplisere ut dette for å få ett polynom på standard for, så vi trenger ikke gjøre noe mer med telleren. Nevneren derimot må prosesseres videre slik at n ry(reg) (s) = s e06s e07s e07s (0s s s) n ry(reg) (s) = s e06s e07s e08s +.323e08 Dermed blir sluttresultatet h ry(reg) (s) = 4500( + s)(0s ) s e06s e07s e08s +.323e08 For overføringsfunksjonen fra forstyrrelse er bedre å ta tak i det litt mer detaljerte uttrykket, og se på tellere og nevnere i dette: h vy(reg) (s) = h vy (s) h vy(reg) (s) = + h PI (s)h uy (s) t vy (s) n vy (s) + t PI(s)t uy (s) n PI (s)n uy (s) t vy (s) n vy (s) (n PI(s)n uy (s)) = n PI (s)n uy (s) + t PI (s)t uy (s) Det vi nå må legge merke til er at n vy (s) = n uy (s), og at vi dermed kan skrive

10 TELE200 Reguleringsteknikk, Ekstra 3 LF Side 0 h vy(reg) (s) = t vy(s)n PI (s) t 0 (s) + n 0 (s) h vy(reg) (s) = ( 900s s )s s(900000s e06s e07s e07) ( + s)(0s ) Igjen: det er ingen vits i å multiplisere ut telleren. Nevneren er den samme som over, så vi avslutter med h vy(reg) (s) = ( 900s s )s s e06s e07s e08s +.323e08 Matlab: Kjør funksjonen fra forrige oppgave, og sammenlign svaret med det du fant for hånd. Dette er utskriften i kommandovinduet: [hryreg, hvyreg] = tilbk(reg, pros, fors); hryreg = 4.05e0 s^6 +.95e4 s^5 +.33e5 s^ e5 s^ e5 s^ e5 s e s^ e3 s^ e4 s^ e4 s^ e5 s^ e5 s^ e5 s^ e5 s Continuous-time transfer function. hvyreg = 8.e08 s^ e0 s^ e s^ e s^3 +.26e2 s^ e s e s^ e3 s^ e4 s^ e4 s^ e5 s^ e5 s^ e5 s e5 Continuous-time transfer function. Det ser ut som at Matlab gjør dette litt mer komplisert enn oss, og ender opp med mye høyere grad enn nødvendig både i tellere og nevnere. Funksjonen har i tillegg funnet to forskjellige nevnere, mens vi har funnet at den samme kan brukes begge steder. Kan dette være samme overføringsfunksjoner? Vi kunne nok ha regnet ut uttrykkene for forskjellige verdier. En annen variant er å se på grenseverdier. Vi finner at s 0 h ry(reg) (s) s 0 h vy(reg) (s) s s h ry(reg) (s) 0.05s 2 s h vy(reg) (s) 0 3 s Dette gjelder både for svarene vi fant manuelt og gjennom Matlab. Del 3. Polynomer i Matlab Litt avhengig av ditt resultat på oppgave 2.5 ser du at det ikke alltid er lurt å basere seg på Matlabs funksjon tf(). En alternativ måte å jobbe på er beskrevet i notatet Polynomer i Matlab som du finner i katalogen Undervisningsmateriell på Bb.

11 TELE200 Reguleringsteknikk, Ekstra 3 LF Side Oppgave 3.. Her skal du gjenta Matlab-delen i oppgave 2. og 2.2. Det kan være at du har gjort mye av dette allerede, og i så fall blir jo det enkelt. Lag et nytt skript for beregning av overføringsfunksjonene hhv. huy(s), hvy(s) og hreg(s). Denne gangen med separate tellere og nevnere. Jeg har allerede beregnet tellere og nevnere separat for alle disse overføringsfunksjonene. Se oppgave 2. og 2.2. Oppgave 3.2. Studer formlene i teksten til oppgave 2.4. Lag nye uttrykk hvor alle overføringsfunksjonene er delt i tellere og nevnere. Forenkle så godt som mulig. Dette er allerede gjort i oppgave 2.5. Oppgave 3.3. Her skal du gjenta Matlab-delen i oppgave 2.4. Målet denne gangen er å lage effektive uttrykk som resulterer i lavest mulig polynomgrad i teller og nevner. Bruk resultatet fra forrige oppgave. Lag en ny funksjon for beregning av huy(reg)(s) og hvy(reg)(s). Denne gangen med separate tellere og nevnere både som funksjonsargumenter og returverdier. Funksjonen kan se slik ut: function [tryreg, nryreg, tvyreg, nvyreg] = tilbk_tn(treg, nreg, tuy, nuy, tvy, nvy) % Overføringsfunksjoner for regulert system - teller-nevner-versjon % Denne funksjonen returnerer overføringsfunksjonene referanse til måling % og fra forstyrrelse til måling for et regulert system, men arbeider med % separate tellere og nevnere % % Input: Overføringsfunksjonene hreg, huy og hvy for hhv. regulator, % prosess og forstyrrelse, men separert i tellere og nevnere til % treg, nreg, tuy, nuy, tvy og nvy % % Returnerer: Overføringsfunksjonene hryreg og hvyreg fra hhv. referanse % og forstyrrelse til måling, men separert i tellere og nevnere % tryreg, nryreg, tvyreg og nvyreg % % Se også tf(), tilbk() t0 = conv(treg, tuy); n0 = conv(nreg, nuy); end tryreg = t0; nryreg = polyadd(t0, n0); tvyreg = conv(tvy, nreg); nvyreg = nryreg; Oppgave 3.4. Kjør funksjonen fra oppgave 3.3 med resultatet fra oppgave 3. som argumenter. Sammenlign med resultatene fra del 2.

12 TELE200 Reguleringsteknikk, Ekstra 3 LF Side 2 Når jeg kjører denne funksjonen får jeg >> [tryreg, nryreg, tvyreg, nvyreg] = tilbk_tn(treg, nreg, tpros, npros, tfors, tfors) tryreg = nryreg = tvyreg = nvyreg = Dette er det samme som vi fant manuelt i oppgave 2.5. Del 4. Bode-plott Bode-diagrammet vedlagt denne øvingen viser to overføringsfunksjoner. Svar kan i stor grad gis i form av påføringer i vedlegget. Skriv dette ut, og skann det etterpå. Oppgave 4.. Hvilket faseplott hører sammen med hvilket amplitudeplott? Dette Bode-plottet er svært sparsomt når det gjelder informasjon om skala. Du bør uten videre anta at det er snakk om 50 mm (eller 0 ruter) per dekade både vertikalt og horisontalt, og du kan også se at det er 0 grader per rute vertikalt. Det «øverste» av amplitudeplottene starter med en stigning - ved lave frekvenser, og bør derfor ha en fase på minus 90 grader ved lave frekvenser. Samme amplitude har stigning 0 ved høye frekvenser, og vi ser at den (eneste) fasen som starter på minus 90 grader går til null ved høye. Disse to hører sammen. Det «nederste» amplitudeplottet har stigning null ved lave- og antagelig stigning -3 ved høye frekvenser. Dette passer med en fase som starter på null grader ved lave- og synker til minus 270 ved høye frekvenser. Vi finner dette faseplottet, og ser at disse hører sammen. Oppgave 4.2. Multipliser overføringsfunksjonene i Bode-diagrammet. Produktet av de to overføringsfunksjonene er vist i rødt i vedlegget.

13 Vedlegg til ekstra øving 3 Vedlegg