Eksamen i MAT102 våren 2017, løsningsforslag

Transkript

1 Eksamen i MAT102 våren 2017, løsningsforslag Oppgave 1 (vekt 16 %) a) Løs ligningen og sett prøve på svaret: 2xx = 3 2xx = 3 2xx 10 = 3 2 2xx 10 = 1 2xx = 1 10 xx = 10 2 = 5 Prøve: V.s.: 2xx = = = 3 H.s.: 3 V.s. = h.s. OK. b) Løs ligningen: (3xx + 12)(5xx 10) = 0 3xx + 12 = 0 eller 5xx 10 = 0 3xx = 12 eller 5xx = 10 xx = 12 3 LL = { 4, 2} = 4 eller xx = 10 5 = 2 c) Løs ligningen: xx 2 3xx 10 = 0 xx = 3 ± ( 3)2 4 1 ( 10) 2 xx = 2 eller xx = 5 = 3 ± 49 2 = 3 ± 7 2 d) Forenkle uttrykket: 2ss 2 4ssss 2ss 2ss 2 4ssss 2ss = 2ss(ss 2tt) 2ss = ss 2tt

2 Side 2 av 11 Oppgave 2 (vekt 5 %) En student har meldt seg opp til en privatisteksamen og skal studere på egen hånd. Det er 100 dager igjen til eksamen. Av de dagene skal en andel brukes på repetisjon i forkant av pensumet. I tillegg regner han med at han av ulike grunner vil miste 10 av dagene, enten på grunn av sykdom eller familie som plutselig kommer på besøk. Repetisjonsøktene beregner han slik at noe som tar fem dager å lese i den «ordinære» pensumgjennomgangen, vil han bruke én dag på å repetere. Hvor mange dager må han sette av til «ordinær» pensumgjennomgang, og hvor mange dager må settes av til repetisjon? Sett opp som to ligninger med to ukjente og løs ligningssettet. La x være antallet dager til ordinær pensumgjennomgang, og y være antallet dager til repetisjon. Da er I: xx + yy + 10 = 100 II: yy = xx 5 Ligning II kan settes direkte inn i ligning I, og vi får I: xx + xx + 10 = xx = xx = 450 xx = 75 Setter inn i ligning II: yy = xx = 75 = (xx, yy) = (75, 15) Oppgave 3 (16%) La ff(xx) = 2xx + 1, AA = (2,2) og BB = (4,1). a) Tegn inn grafen til ff(xx) i et koordinatsystem, og finn funksjonsuttrykket til grafen som er parallell med grafen til ff(xx) og skjærer y-aksen i y = 2.

3 Side 3 av 11 Grafer som er parallelle har samme signingstall. Vi vet derfor at funksjonsutrykket skal ha stigningstall a=2. Siden grafen skal skjære y-aksen i y=-2, vet vi at b=-2. Funksjonsutrykket til grafen er derfor. gg(xx) = 2xx 2 Studentene trenger kun tegne opp f(x). b) Finn ved regning funksjonsuttrykket til linjen som går gjennom AA og BB. Her kan vi bruke topunktsformelen: yy yy 1 = (yy 2 yy 1 ) (xx 2 xx 1 ) (xx xx 1) yy 2 = (1 2) (xx 2) (4 2) yy 2 = 1 (xx 2) 2 yy = 1 2 xx + 3 c) Vis at funksjonen gg(xx) = 2xx 2 + 4xx har nullpunkter for xx = 0 og xx = 2. Finn toppunkt/bunnpunktet til funksjonen og minimal/maksimal-verdien. Nullpunkter finner vi ved gg(xx) = 0. Vi kan skrive om utrykket til 2xx(xx + 2) = 0

4 Side 4 av 11 For at produktet av to faktorer skal være null må minst en av faktorene være null. Vi har derfor: 2xx = 0 eller xx + 2 = 0. For å få dette må xx = 0 eller xx = 2. Fordi kvadratiske funksjoner er symmetriske om en linje gjennom topp/bunnpunktet så vet vi at topp/bunnpunkt ligger midt mellom nullpunktene, i vårt tilfelle gir dette oss xx = 1. Siden konstanten foran andregradsleddet er positive vet vi at xx = 1 er et bunnpunkt. Funksjonsverdien i dette punktet er en minimalverdi, og vi finner den ved å sette inn for xx = 1. gg( 1) = 2( 1) 2 + 4( 1) = 2 Bunnpunkt og minimalverdi er derfor punktet (-1,-2). d) Du setter kr på en sparekonto med rente på 1,2 %. Hvor mye er det på konto etter 5 år om du ikke setter inn eller tar ut penger i denne perioden? Dette er et tilfelle av prosentvis vekst som har formelen: S=10 000, n=5 og p=1,2. SS nn = 1 + pp 100 nn SS SS 5 = 1 + 1, = 1, = Etter 5 år er det kroner på kontoen. Oppgave 4 (vekt 7 %) Familien Hansen skal på ferie i Italia og vil leie en bil. Leie av bilen koster 640 pluss 0,35 per kilometer. Sett opp funksjonsutrykket for hvor mye de må betale i leie og regn ut hvor langt de har kjørt om de må betale 948. Prisen de må betale avhenger av hvor langt de kjører. Leiepris er derfor den avhengige variablene og antall kilometer de kjører er den uavhengige. Siden prisen på 640 må betales uansett hvor mye som kjøres vil dette være den prisen de betaler om de kjører 0 kilometer. Dette vil være skjæringspunktet med y-aksen (leie) og 640 er derfor konstantleddet.

5 Side 5 av 11 For hver kilometer de kjører vil prisen øke med 0,35, så dette vil være stigningstallet i funksjonsutrykket. Vi får derfor følgende utrykk for prisen Der x er antall kilometer de har kjørt. PP(xx) = 0,35xx For å finne hvor langt de har kjørt om de må betale 948 setter vi funksjonsutrykket lik denne summen og løser for x: 0,35xx = 948 0,35xx = ,35xx = 308 xx = 308 0,35 = 880 Familien Hansen har kjørt 880 kilometer dersom de må betale 948 Oppgave 5 (16%) ff(xx) = 2xx+4 1 xx er et eksempel på en rasjonal funksjon. a) Hva er definisjonen på en rasjonal funksjon? En rasjonal funksjon er en funksjon på formen RR(xx) = PP(xx) QQ(xx) Der PP(xx) og QQ(xx) er polynomer og Q(x) er minst av grad 1. b) Finn eventuelle null- og bruddpunkt for funksjonen. Vi finner nullpunktene ved å sette telleren lik 0: 2xx + 4 = 0 xx = 2 Funksjonen har bruddpunkt når nevneren er 0, og da er xx = 1.

6 Side 6 av 11 c) Finn eventuelle asymptoter For å finne den vertikale asymptoten undersøker vi funksjonsverdiene rundt bruddpunktet. Vi ser at når vi nærmer oss xx = 1 fra høyre vil vi få noe som er negativt og nesten null i nevneren og noe som er nesten 6 i telleren. Deler vi seks på noe som er negativt og nesten null vil vi få noe som er negativt og veldig stort. Nærmer vi oss xx = 1 fra venstre får vi noe som er nesten null og positivt i nevner og fortsatt nesten 6 i telleren. Deler vi seks på noe som er nesten null og positivt får vi en verdi som er veldig stor og positiv. Eventuelt: ff(xx) ± når xx 1. Vi har derfor vertikal asymptote i xx = 1. For å finne den horisontale asymptoten skriver vi om funksjonen ved å dele på x over og under brøkstreken. (2xx + 4)/xx ff(xx) = (1 xx)/xx = xx 1 xx 1 Når vi lar x blir veldig stor vil 4 og 1 bli nesten null, det vi står igjen med er derfor xx xx ff(xx) = 2 1 = 2 Vi har altså ff(xx) 2 når xx ± og vi kan si at vi har en horisontal asymptote i yy = 2. d) Skisser funksjonen

7 Side 7 av 11 Oppgave 6 (vekt 16 %) Familien Normann består av to voksne, ett barn og en baby. De voksne og eldstemann pleier å dusje hver morgen. Men, siden bleiebøtten til minstemann er plassert på badet og denne kun tømmes hver lørdag, varierer tiden de bruker på badet i løpet av uken. En uke skrev pappa ned hvor mye tid han brukte på badet hver morgen. Tiden ble fordelt slik: Mandag: 25 minutter Tirsdag: 22 minutter Onsdag: 17 minutter Torsdag: 15 minutter Fredag: 10 minutter a) Lag et søylediagram og sektordiagram over hvor mye tid pappa brukte på badet disse fem dagene. (Hvis du mangler gradskive, holder det å lage en skisse av sektordiagrammet. Men du må vise hvordan du kommer frem til gradene i diagrammet.) Søylediagram:

8 Side 8 av 11 For å finne sektordiagrammet, må vi først regne ut gradene. Total tidsbruk: = 89 Mandag: = 101 Tirsdag: = 89 Onsdag: = 69 Torsdag: = 61 Fredag: = 40 Sektordiagrammet ser slik ut: b) Hvilket diagram passer best for å representere disse tallene? Begrunn svaret ditt.

9 Side 9 av 11 Søylediagrammet passer best. Sektordiagrammet gir ikke veldig mye mening, i og med at det ikke er snakk om et totalt antall minutter som skal spres utover i uken. Om man bruker en time på badet på mandagen, betyr ikke det at man må «spare» på minuttene resten av uken. Det er ikke noen naturlig helhet å sette minuttene opp mot. c) Hvor mye tid brukte pappa på badet i gjennomsnitt disse fem dagene? Finn også median og standardavviket. Gjennomsnitt: = 17,8 89 Median: Midterste tall av 25, 22, 17, 15, 10, hvilket er 17. Standardavvik: (25 17,8)2 +(22 17,8) 2 +(17 17,8) 2 +(15 17,8) 2 +(10 17,8) 2 5 5,3 Hos familien Olsen er de også glade i statistikk. En måned målte mamma Olsen sin tidsbruk på badet hver dag, og endte opp med et gjennomsnitt på 22 minutter og standardavvik på 1,4. d) Gi en beskrivelse av hvordan spredningen til mamma Olsens tidsbruk kan sies å være i forhold til pappa Normanns tidsbruk. Vi kan regne med at minst 75 % av dataene ligger innenfor to standardavvik fra gjennomsnittet. For mamma Olsens del betyr det at hun ihvertfall 4 av dagene befinner seg på badet mellom 19 og 25 minutter. Spredningen er altså mye mindre enn den vi finner hos pappa Normann. Det kan nok tyde på at familien Olsen har bleiebøtten plassert et annet sted i huset, eller tømmer den litt oftere enn én dag i uken. Oppgave 7 (vekt 24 %) a) Skriv opp definisjonen på en sannsynlighetsmodell. Hva vil det si at sannsynlighetsmodellen er uniform? En sannsynlighetsmodell er et utfallsrom U med sannsynligheter knyttet til hver begivenhet slik at følgende er oppfylt: 1. For en vilkårlig begivenhet A er 0 PP(AA) PP(UU) = For en begivenhet, f.eks. AA = {uu 1, uu 2, uu 3 }, er PP(AA) = PP(uu 1 ) + PP(uu 2 ) + PP(uu 3 ). Det vil si at sannsynligheten for en begivenhet A er lik summen av sannsynlighetene til hvert av utfallene i A.

10 Side 10 av 11 Sannsynlighetsmodellen er uniform hvis det er lik sannsynlighet for hvert av utfallene i utfallsrommet. På nettstedet Ebay.com er det mulig å kjøpe elektronikk billig fra Kina, hvor porto er inkludert og prisen alltid holder seg godt under 350 kroner, som er grensen for å innføre varer avgiftsfritt til Norge. Problemet er bare at mange av varene er defekte når du får dem. Du regner med, av erfaring, at 15 prosent av alt du kjøper fra Kina, ikke virker. Du bestiller et nytt batteri til mobilen din, en ny mobillader, et trafikkovervåkningskamera til bilen og en lader til nettbrettet ditt. b) Hva er sannsynligheten for at alt du har kjøpt, virker? P(alle fire varene virker) = 0,85 4 0,522. c) Hva er sannsynligheten for at minst én av varene du mottar, er defekt? Vi bruker her komplementsetningen. P(minst én er defekt) = 1 P(alle virker) = 1 0,522 = 0,478. Dere får oppgitt her at det er 36,8 % sjanse for at nøyaktig én av varene du mottar, er defekt. d) Hva er sannsynligheten for at to eller flere av varene du har bestilt, ikke virker? Vi bruker igjen komplementsetningen. P(minst to er defekte) = 1 P(alle virker) P(nøyaktig én er defekt) = 1 0,522 0,368 = 0,110 Du trenger også en ny strømledning til stereoanlegget ditt. Du går inn på Ebay og finner 10 forskjellige selgere av slike. Du bestemmer deg for å kjøpe to strømledninger, i tilfelle den ene ikke virker. Du velger to selgere og kjøper én ledning fra hver av disse. e) Hvor mange kombinasjoner av selgere kan du velge mellom? Forklar hvilken kombinatoriske modell du har brukt (ordnet/uordnet med/uten tilbakelegging). Her er det uordnet utvalg uten tilbakelegging. Det er uordnet fordi det ikke spiller noen rolle hvilken rekkefølge man bestiller de to strømledningene i. Det er uten tilbakelegging fordi det er to forskjellige selgere man skal bestille fra. Antall kombinasjoner er da = 2 = 45. 2

11 Side 11 av 11 Vi oppgir her at kun tre av selgerne av strømledninger, har ledninger som virker. f) Hva er sannsynligheten for at begge strømledningene du har kjøpt, virker? Vi bruker her produktsetningen. Første leverandør er det 3 sjanse for at selger 10 ledninger som virker. Neste leverandør er det 2 sjanse for at selger ledninger som 9 virker. Altså er det 3 2 = 6 = 1 sjanse for at begge ledningene virker