Løsningsforslag, eksamen i matematikk 1, modul 2, for 2NGLU(ss) våren 2012

Transkript

1 Løsningsforslag, eksamen i matematikk 1, modul 2, for 2NGLU(ss) våren 2012 OPPGAVE 1 (8 %) a) 2 b) Totalt areal: (a + b)² Areal av rektanglene: a², b², ab og ab. c) d) OPPGAVE 2 (15 %) a) b) Eleven betrakter bokstavene i algebraen som objekter. I dette tilfellet betyr uttrykkene eleven setter opp, at den tredje bilen er lik den første bilen pluss 11 minutter, den andre bilen er lik den første bilen pluss 7 minutter, og at alle tre bilene totalt tar 87 minutter. Generelt er det mange elever som tror at bokstavene i algebraen står for objekter. Dette skyldes flere forhold. Ett problem er at lærere er upresise i språkbruken, og f.eks. sier at «2 a er pluss 3 a er blir 5 a er», og at f.eks. «h står for høyden til Per». En bakenforliggende grunn for misforståelsene er de ulike rollene bokstavene spiller.

2 Elevene har vært borti bokstaver i matematikken tidligere, og da som navn på sider og hjørner i geometriske objekter, i tillegg til benevninger i målingen. Når bokstavene nå plutselig skal få en helt ny rolle i matematikken, er det mange som faller tilbake på den opprinnelige betydningen av bokstavene når de ikke finner mening i den nye bruken bokstavene får. Manglende forståelse i aritmetikken er en viktig årsak til disse problemene. Tidligere i barneskolen er det mange elever som prøver seg frem til riktig svar i oppgavene i tallregningen, og får dermed ingen forståelse for de metodene som egentlig skal brukes. Det å bruke minus for å regne ut forskjellen mellom to tall, eller å vite når man skal bruke pluss, minus, ganging og deling i tekstoppgaver, vil ofte erstattes med å bare «se» hva svaret blir hvis tallene er greie nok. Og det er de svært ofte. Det som dermed skjer når elevene skal lære algebra, er at de støter på generaliseringer av metoder som ikke er kjente for dem. F.eks., hvis Per er 180 cm høy og Ola er 187 cm høy, ser elevene med en gang at forskjellen er 7 cm. Men hvis Per er x cm høy og Ola er y cm høy, forstår ikke elevene at høydeforskjellen er. Når det som dermed kommer opp på tavlen oppleves som meningsløst, vil assosiasjonen gå til det tidligere bruksområdet av bokstaver i skolematematikken, nemlig geometrien eller kanskje også måling. Som lærer kan man holde øynene åpne for elever som bare prøver seg frem når de skal løse tekstoppgaver i tallregningen. Det er viktig at elevene utvikler forståelse for bruken av pluss, minus, ganging og deling. OPPGAVE 3 (6 %) a) Prøve: V.s.: H.s.: V.s. = h.s. =. OK.

3 b) , 2 Merk! Mange studenter kommer her til å ha en mellomregning der de deler med de ulike faktorene på begge sider av likhetstegnet istedenfor å bare se at en av faktorene må være null. Dette er på grunn av hvordan jeg har undervist dette. (Jeg skal gjøre dette litt annerledes neste år.) c) , Kommentar: Her burde man kanskje se at det gikk an å dele med 3 på hvert lett i andregradsligningen før man satte inn i formelen. Men akkurat denne typen forenkling har ikke studentene vært gjennom, så det bør ikke kreves at de får til dette. d) I: II: I: II: Addisjonsmetoden: Ganger II med 2: II: I+II: I+II: 7 21

4 3 I: 3345 I: , 3,1 Kommentar: Studentene har ikke fått noe trening i å se når addisjonsmetoden og innsettingsmetoden er best å bruke. De har derfor fått beskjed om at begge metoder gir full uttelling på eksamen. OPPGAVE 4 (6 %) Det er Melodi Grand Prix, og landene holder på å avgi poeng til de ulike musikkbidragene fra deltagerlandene. De vesteuropeiske landene var først ute, og nå gjenstår landene i øst. Norge ligger for øyeblikket på første plass med 90 poeng. Aserbajdsjan ligger på andre plass med 54 poeng. Men landene som nå holder på å stemme, gir konsekvent 12 poeng hver til Aserbajdsjan og 3 poeng hver til Norge. Hvor mange land må avgi stemme før Aserbajdsjan har passert Norge i poeng? Sett opp en ulikhet og løs. La være antall land som må avgi stemme før Aserbajdsjan har passert Norge i poeng. Kommentar: Her bør både løsninger med > og med > godkjennes, men med krav om at svaret spesifiserer at de ligger likt etter 4 lands stemmer, og at Aserbajdsjan leder etter 5 stemmer. Men vi kan kanskje ha i bakhodet hvilke studenter som nevner forskjellen mellom "større enn" og "større enn eller lik" hvis det er noen som vipper mellom to karakterer Etter 4 lands stemmer ligger Norge og Aserbajdsjan likt. Etter 5 stemmer leder Aserbajdsjan foran Norge.

5 OPPGAVE 5 (20%) a) Tegn følgende funksjoner i samme koordinatsystem: b) Kall skjæringspunktet mellom og for, mellom og for og mellom og for. Finn koordinatene til disse punktene. Løsning Her legges det vekt på korrekt fremstilling av koordinatsystemet, akser mm i tillegg til riktige funksjoner. Skjæringspunktene er A= (-1, 3), B= (3,3) og C = (1, -1) c) Når vi ser bort fra luftmotstand så beskriver grafen 4,9 avstanden (i meter) en stein faller i løpet av tida (t i sekunder). i) Hvor langt vil den falle etter 2 sekunder? ii) Hvor lang tid vil den bruke for å falle 44 meter? LØSNING: : 2 4,9 2 4,9 4 19,6 19,6

6 : 4, /4,9 8,98 8,98 å OPPGAVE 6 (15%) Funksjonen her beskriver en sykkeltur. a) Beskriv sykkelturen (avstander, fart, terreng tidsbruk,..) Mellom A & B, 15 minutter, 5 km, 20 km/time Mellom B & C, 5 minutter, pause Mellom C & D, 10 minutter, 5 km, 30 km/time Mellom D & E, 20 minutter, 10 km, 30 km/time, (da i motsatt retning av A til D) Farten tyder på at det er en bakke mellom A og B, siden det går saktere her. Kanskje nedforbakke mellom D & E siden farten holdes høg og lenge. Sannsynligvis er D målet og turen går hjem igjen etterpå.

7 b) Hva er funksjonsuttrykket for en lineær funksjon som går gjennom punktene B og D? Her kan det brukes mange metoder for å finne: Merk at den variable er t og funksjonen er f(t). trekk for f(x) c) Hvilke misoppfatninger kan denne oppgaven forsterke og hva kan vi gjøre for å motvirke problemene? Misoppfatninger: Billedlig misoppfatning, nedforbakke mellom D & E Funksjonen mellom B & D går gjennom origo. Gjør alle funksjoner det? Vanskelig å tolke hva som er på 2.aksen, avstand, fart? Vanskelig å beregne enheten for fart. Hva kan vi gjøre for å motvirke problemene? Her er det snakk om forslag til oppgaver, undervisningsopplegg og diagnostisering OPPGAVE 7 (10 %) a) 0,15 b) 0,15 0,15 0,0225 c) 0,15 0,85 0,85 0,15 0,15 0,15 0,2775 En kan alternativt tenke at sjansen er 1 minus at ingen av dem vinner. Utregningen blir da 1 0,85 0,85 0,2775 OPPGAVE 8 (5 %) En uniform sannsynlighetsmodell kjennetegnes ved at alle enkeltutfall er like sannsynlige. Sannsynligheten for en hendelse vil da være

8 Eksempel på en uniform modell kan være kast med en terning. Her er det like stor sjanse for alle enkelt utfall. Eksempel på en modell som ikke er uniform kan være kast med en terning som ikke er symmetrisk, men som f. eks har en rektangulær form. Da vil det være større sjanse for at den lander på de store sidene i forhold til de små sidene. OPPGAVE 9 (15 %) a) 35 Medianen er den miderste observasjonen når de ordnes i stigende rekkefølge. Dersom det er et partall med observasjoner tar en snittet mellom de to i midten. I vårt tilfelle blir medianen 35,5 b) Variasjonsbredden er c) Ulempen med variasjonsbredden er først og fremst at det kan gi et uriktig bilde dersom en har en ekstremverdi med i materialet. Et eksempel på det er alderen på gjester på en sydendestinasjon. Hvis alle er i alderen år og en av gjestene har med en unge på 1 år vil variasjonsbredden bli stor selv om spredningen ellers er liten. 10 d) Vi ser at standardavviket er mye større enn for den bussen vi undersøkte. Det betyr at det er større spredning i alderen blant passasjerene generelt enn det vi opplevde på vår buss. Et standardavvik på 20 er ganske stort i denne situasjonen og det tyder på at det er stor variasjon i alderen til passasjerene. I tabellen under er det gitt et eksempel med 100 passasjerer der vi har et snitt på 35 og standardavvik med 100. Det forventes IKKE at dere setter opp en slik tabell til eksamen.

9

10