Funksjonsregler.notebook. January 04, jun 7-12:55 jun 7-12:57. jun 7-12:58 jun 7-13:00

Transkript

1 3. februar 2018 FUNKSJONER Samledokument med materiell brukt i undervisningen i 10A Vormedal ungdomsskole januar ALF HARRY ØYGARDEN SOLANUM KOMPETANSE

2 Funksjonsregler.notebook January 04, 2018 jun 7-12:55 jun 7-12:57 jun 7-12:58 jun 7-13:00 1

3 Funksjonsregler.notebook January 04, 2018 jun 7-13:01 Forklar hvorfor den siste funksjonen er rett mar

4 Hva forteller konstantleddet og stigningsforholdet?

5 Fasit Konstantleddet viser hvor den lineære grafen krysser y-aksen. Stigningsforholdet er tallet foran den ukjente (x), som finnes ved å dele «a» i figuren på «b». For den blå grafen er dette 1/1 = 1, altså 1x=x.

6 Lineære funksjoner konstantledd og stigningsforhold Oppgave 1 finner du på denne siden, oppgave 2 på baksiden av arket. Oppgave 1: Tegn i inn grafene for funksjonene a d i grafikkfeltet nedenfor. Bruk bare stigningsforhold og konstantledd.

7 Oppgave 2: Skriv inn funksjonene ved å studere stigningsforhold og konstantledd i grafene nedenfor. Oppgave 2a: Oppgave 2b: Oppgave 2c: Oppgave 2d:

8 FASIT Lineære funksjoner konstantledd og stigningsforhold Oppgave 1 finner du på denne siden, oppgave 2 på baksiden av arket.oppgave 1: Tegn i inn grafene for funksjonene a d i grafikkfeltet nedenfor. Bruk bare stigningsforhold og konstantledd.

9 Oppgave 2: Skriv inn funksjonene ved å studere stigningsforhold og konstantledd i grafene nedenfor. Oppgave 2a: y = x + 2 Oppgave 2b: y = x + 1 Oppgave 2c: y = x - 2 Oppgave 2d: y = x + 3,5

10 Geogebra 10. TRINN. PRAKTISK ØVING TIL EKSAMEN Hva forventes til eksamen? Enheter og navn på aksene Grafer og navn på grafer Navn og verdi på: o Skjæringspunkt o Toppunkt, bunnpunkt og nullpunkt Funksjonsuttrykk Tydelig markering ved avlesning Kommandoer og formler Vormedal ungdomsskole Revidert 3. januar 2018 ALF HARRY ØYGARDEN

11 Tre viktige knapper Flytt grafikkfeltet. Flytter hele grafikkfeltet. Kan også brukes til å endre aksene. Flytt. Flytter eller velger objekter. Objekter er alle «ting» i grafikkfeltet, tekst, kurver, punkter, etc. Skjæring mellom to objekt. Skjæringspunkt mellom to objekter. Klikk på det første objektet, deretter det neste eller klikk på skjæringspunktet mellom objektene. Eksempeloppgave Skriv inn funksjonen to alternativer Har funksjonen en avgrensing? 1 NEI JA Eks.: U(x) = 0,046x 2 6,7x Eks.: U(x) = 0,046x 2 6,7x Tegn grafen til U i et koordinatsystem for 20 x Dersom det for eksempel står at du skal tegne grafen for 20 x 100, har grafen en avgrensing. Det vil si at du skal «tegne» grafen i x-området mellom 20 og

12 1. Skriv U(x) = 0,046x 2 6,7x i inntastingsfeltet og trykk enter. HUSK bruk punktum istedenfor komma. 1. Skriv funksjon i inntastingsfeltet, og klikk på alternativ to: Deretter arbeider du på samme måte som under JA Bruk Flytt grafikkfeltet-knappen og juster aksene for å få vist grafen. Vis rutenett (under Grafikkfeltet når Flytt grafikkfeltet-knappen er merket. IKKE klikk på det blå feltet, men skriv inn det som står på høyre side av likhetstegnet i funksjonen, altså 0,046x 2 6,7x (punktum istedenfor komma), og trykk høyre piltast for å gå til start. Skriv 20 og deretter høyre piltast, og til slutt 100 og så enter. 3. Legg inn x og y-akse: Studer oppgaven grundig. Finn aksetitlene som du bør bruke. (Har du problemer med å finne aksetidlene, kan du se på figuren på forsiden) 4. Oppgave a: Skriv inn i inntastingsfeltet x=60. Velg knappen Skjæring mellom to objekt og klikk på skjæringpunktet 3 (se figur). Svar på oppgaven. 5. Oppgave b: Legg inn y=160, og gjør som i punkt 4 ovenfor. NB: Her har du to svar (i oppgaven står det også hastighetene!) Svar deretter på oppgaven. 2 Her kan du høyreklikke i grafikkfeltet og velge «Vis alle objekter» før du eventuelt finjusterer i punkt 2 nedenfor. 3 Alternativt klikke på begge linjene (en om gangen). 2

13 6. Oppgave c: Vi skal her bruke verktøyet «Ekstremalpunkt». Ekstremalpunkt vil merke toppunkter og bunnpunkter på en kurve (dersom de fins). Det er to måter å gjøre dette på a) velg Ekstremalpunkt knappen og klikk på kurven, eller skriv inn Ekstremalpunkt og velg Polynom. Skriv U (bokstaven foran (x) i funksjonen), følg opplegget i punkt 1 oven for. 7. Bruk Ctrl e, og merk alt. Velg Navn og verdi. 8. Juster plassering av tekst, ved å bruke Flytt-knappen. 9. Et løsningsforslag finner du på forsiden av dette notatet 10. Bruk utklippsverktøy og klipp og lim til Word. Her skriver du svar på alle oppgavene (og henviser til figuren). Ferdig? På neste side har du en ny oppgave som du kan øve deg på. Lykke til! Alf Harry 3

14 Sommerglede Et svømmebasseng rommer L vann. Når bassenget skal fylles, pumpes det inn L vann per time. Vi kan si at antall liter F som er fylt i bassenget etter x timer, kan beskrives ved hjelp av funsjonen F(x) = x a) Tegn grafen til F. b) Les av på grafen hvor mange liter det er fylt i etter 25 timer. Når svømmebassenget skal tømmes, tappes det ut L per time. c) Forklar at antall liter V som er igjen i svømmebassenget etter x timer, kan beskrives ved hjelp av funksjonen V(x) = x eller V(x) = x d) Bestem ved regning når bassenget er tømt for vann. e) Tegn grafen til V. f) Marker på grafen når det er L igjen i bassenget. 4

15 Harry Blåstrupmoen, 10E Vormedal ungdomsskole Heldagsprøve 9. februar 2017 Eksempeloppgave 1 a) Grafen er tegnet i Geogebra og er kopiert til denne Word-fila via utklippsverktøyet i Windows. Bilen slipper ut 149,6g CO 2 når farten er 60 km/t (punkt A i figuren ovenfor). b) Når hastigheten er 53,06 km/t og 92,59 km/t slipper bilen ut 160g CO 2/t (punkt B og C) i figuren. c) Hastigheten i bunnpunktet på kurven gir det laveste utslippet av CO 2/t. Jeg brukte verktøyet «Ekstremalpunkt» og «klikket» på kurven for å få markert bunnpunktet (punkt D i figuren). Jeg kunne også ha brukt kommandoen «Ekstremalpunkt», og «Polynom» istedenfor. «Polynom» må jeg i tilfelle erstatte med navnet til kurven (i dette tilfelle «U»). Farten ved lavest CO 2-utslipp er 72,82 km/t (punkt D i figuren).

16 Harry Blåstrupmoen, 10E Vormedal ungdomsskole Heldagsprøve 9. februar 2017 Eksempeloppgave 2 a) Grafen til F er gjengitt i figuren nedenfor, som er tegnet i Geogebra. b) Jeg opprettet den vertikalen linjen f gjennom x=25, og så brukte jeg verktøyet «Skjæring mellom to punkt» for å finne skjæringspunktet A = (25, ). Det betyr at etter 25 timer er det liter vann i bassenget. c) I utgangspunktet er bassenget fullt med liter vann. For hver time minker det med liter, og etter x timer multiplisert med antall timer (dvs x). Etter x antall timer er det dermed igjen V liter vann i bassenget: V(x) = x (og dersom vi snur de to siste tallene: V(x) = ) d) Når bassenget er tomt, er V(x) = 0, og dermed kan vi skrive: 0 = x x = x x 18000x = xx = x = 38,9 Det tar ca. 39 timer å tømme bassenget. e) Grafen til V er tegnet i figuren nedenfor. f) Jeg opprettet den horisontale linjen g gjennom y= , og så brukte jeg verktøyet «Skjæring mellom to punkt» for å finne skjæringspunktet B = (20, ). Det betyr at det er liter igjen etter 20 timer tapping.

17 Oppgaver 1 Geogebra med fasit Oppgave 1 Funksjonen f er gitt ved: f(x) = x 2 2x 3 a) Tegn grafen digitalt b) Finn bunnpunktet til f Oppgave 2 En modell for temperaturen i celsiusgrader x timer etter midnatt en vinterdag er gitt ved T(x) = 3/8x /2x 135/2 TT(xx) = 3 8 xx xx 2 2 Når x er mellom 8 og 20 (8<x>20) a) Tegn grafen til T b) Når på dagen var temperaturen 0 o C c) Når på dagen var temperaturen høyest? Hva var temperaturen da? Oppgave 3 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 2 12x a) Tegn grafen digitalt b) Finn bunnpunkt og toppunkt til f Oppgave 4 Funksjonen p er gitt ved p(x) = x 4-4x 2 a) Tegn grafen digitalt b) Hvor mange nullpunkter har p? c) Hvor mange ekstremalpunkter har p? Oppgave 5 Når vi slipper en stein fra høyden x målt i meter, er farten v(x) målt i meter per sekund (m/s) når steinen treffer bakken, gitt ved: v(x) = 4,4x 0,5. a) Tegn grafen til v når x er mellom 0 og 70 b) Finn farten ved bakken når 1. x = x = 30 c) Finn grafisk hvilken høyde vi slipper steinen fra når farten er 35 m/s nede ved bakken 1 Oppgave 1-6 er sammenstilt av Inge J. Froestad

18 Oppgave 6 a) Forskere har funnet en sammenheng mellom veksten til en dinosaur og omkretsen av lårbeinsknokkelen. Dersom vekten er D(x) målt i kilogram når lårbeinsknokkelen har en omkrets på x millimeter er: DD(xx) = 0,00016 xx 2,73. Finn vekten til en dinosaur når omkretseb av lårbeinsknokkelen er mm mm b) Tegn grafen til D når x er mellom 0 og 600 c) Finn grafisk omkretsen av lårbeinsknokkelen til en dinosaur som veier 5400 kg Oppgave 7 Tegn de to funksjonene f(x) = 2x 2 + 4x + 2 og gg(xx) = 4 xx i samme koordinatsystem. a) Hva er koordinatene til skjæringspunktene mellom de to grafene? b) Forklar at x og g(x) i den siste funksjonen er omvendt proporsjonale størrelser Oppgave 8 Hubert og Kaja skal lage en elevbedrift for å kunne produsere og selge fuglebrett. For å bruke sløydsalen om kveldene i den perioden de skal drive bedriften, må de betale 500 kr. Materialene koster 40 kr per fuglebrett. I tillegg må de kanskje hente inn ekstrahjelp hvis pågangen blir stor. De setter opp en funksjon som skal gi kostnadene ved produksjon av x fuglebrett: k(x) = 0,12x x a) Bruk Geogebra til å tegne grafen til k b) Hvor mye koster det å lage 50 fuglebrett? c) Hvor mange fuglebrett kan de produsere for 4500 kr? d) Hubert og Kaja selger fuglebrettene for 65 kr per stykk. Forklar at inntektene deres er gitt ved i(x) = 65x e) Hvor mange fuglebrett må de produsere og selge for å gå med overskudd? f) Forklar at overskuddet til bedriften er gitt ved i(x) k(x). Skriv denne funksjonen inn i Geogebra og bestem hvor mange fuglebrett Hubert og Kaja må produsere og selge for at overskuddet skal bli størst mulig. Lykke til! Alf Harry

19 Fasit Oppgave 1 a) Grafen til funksjonen er tegnet i Geogebra, og vist nedenfor. b) Verktøyet «Ekstremalpunkt» er brukt for å finne bunnpunktet til f. Bunnpunktet er -4 (punkt A i figuren nedenfor. Oppgave 2 a) Grafen til funksjonen er tegnet i Geogebra, og vist nedenfor. b) Jeg brukte verktøyet «Nullpunkt» i Geogebra og fant at temperaturen var 0 o klokken 1000 og 1800 (punkt A og B i figuren). c) Jeg brukte verktøyet «Ekstremalpunkt» i Geogebra og fant at temperaturen var høyest klokken 1400 (punkt C i figuren). Oppgave 3 a) Grafen til funksjonen er tegnet i Geogebra, og vist på neste side. b) Jeg brukte verktøyet «Ekstremalpunkt» for å finne toppunkt og bunnpunkt for funksjonen f. Grafen har ikke noe topppunkt, men bunnunktet er -36 (punkt A i figuren på neste side).

20 Oppgave 4 a) Grafen til funksjonen er tegnet i Geogebra, og vist nedenfor. b) Jeg brukte verktøyet «Nullpunkt» for å finne nullpunktene for funksjonen f. Funksjonen har tre nullpunkt (se punkt A, B og C i figuren nedenfor). c) Jeg brukte verktøyet «Ekstremalpunkt» for å finne toppunkter og nullpunkter for grafen til funksjonen. Funksjonen har to bunnpunkter (D og F i figuren), og et toppunkt (punkt E i figuren). Toppunktet er samtidig nullpunkt (B og E i figuren). Oppgave 5 a) Grafen til funksjonen v er tegnet mellom 0 og 70 m i Geogebra, og gjengitt på neste side. b) Farten til steinen ved bakken er 19,69 m/s (x=20 m, punkt A i figuren) og 24,1 m/s (x=30 m, punkt B). c) Når farten er 35 m/s, er høyden vi slipper steinen fra 63,27 m (punkt C i figuren).

21 Oppgave 6 a) Jeg skrev inn *535^2.73 og deretter *680^2.73 i inntastingsfeltet i Geogebra og trykket «enter». Da fikk jeg opp henholdsvis tallene a og b (se figur nedenfor). Det betyr at vekten er ca kg, når omkretsen av lårbeinsknokkelen er 535 mm, tilsvarende ca kg når omkretsen av lårbeinsknokkelen er 680 mm. b) I Geogebra valgte jeg 5 desimaler (Innstillinger/Avrundinger), før jeg skrev inn funksjonen D. Dermed vises funksjonen i algebrafeltet med alle desimalene ( ). c) Linjen y=5400 ble lagt inn, og skjæringspunktet med kurven ble funnet ved hjelp av verktøyet «Skjæring mellom to objekt». Den grafiske omkretsen er ca. 572 mm (punkt A i figuren). Oppgave 7 a) Vi har tre skjæringspunkter mellom de to grafene, (1,4), (2,2) og (-1,-4), henholdsvis punkt A, B og C i figuren på neste side. b) x og g(x) er omvendt proporsjonale dersom x g(x)=4. Generelt x y = k (en konstant), kan også skrives y = k/x, der x er forskjellig fra 0.

22 Oppgave 8 a) Jeg tegnet grafen til k i Geogebra som vist i figuren nedenfor. Antall desimaler er avrundet til 0. b) Jeg opprettet linjen x=50, og brukte verktøyet «Skjæring mellom objekt» for å finne skjæringspunktet A mellom linjen og grafen. Det kostet 2800 kr å lage 50 fuglebrett (punkt A i figuren). c) Jeg opprettet linjen y=4500, og brukte verktøyet «Skjæring mellom objekt» for å finne skjæringspunktene B og C mellom linjen og grafen. Punktet B gir ingen mening i vår oppgave (negativ produksjon). Det kan produseres 81 fuglebrett for 4500 kr (punkt C i figuren). d) De selger fuglebrettene for 65 kr stk. Dersom antall solgte fuglebrett er x, vil inntekten kunne beregnes ved å multiplisere antallet med 65 kr, altså 65 x eller 65x. Inntekten (i) er dermed en funksjon av antall solgte fuglebrett (x), eller i(x)=65x.

23 e) Jeg la inn funksjonen i(x)=65x i Geogebra. For at de skal gå med overskudd, må inntektene fra salget (funksjon i(x)) være større enn kostnadene (funksjon k(x)). Dette skjer mellom skjæringspunktene mellom funksjonene (punkt D og E i figuren). Produksjonen må være mellom 22 og 186, dersom de skal gå med overskudd. f) Overskuddet i(x) k(x) er forklart i punkt e. Jeg la inn funksjonen f(x)=i(x) k(x) i Geogebra, og fikk dermed fram en graf som viser overskuddet i produksjonen. Deretter brukte jeg verktøyet «Ekstremalpunkt» for å finne toppunktet på grafen. Dette toppunktet viser det maksimale overskuddet i produksjonen. De må produsere 104 fuglebrett for å ha et maksimalt overskudd på 802 kr. Kommentarer til oppgave 8 Dette er nok den vanskeligste oppgaven i oppgavesettet. Vi har her tre funksjoner, en rettlinjet (i(x)), og to parabler («skålformet», f(x) og k(x)). Ved å bruke verktøyet «Skjæring mellom to objekt» i oppgave, får vi to skjæringspunkter. Matematisk er dette korrekt, men det er bare en «løsning» som er korrekt i dette praktiske eksemplet. Et alternativ er å bruke verktøyet «Nytt punkt» og klikke på skjæringspunktet (C) i figuren, dermed får en bare et punkt. Så langt har vi lært å avslutte arbeidet i Geogebra med å merke alle objektene (funksjoner, linjer og punkt) og å vise «navn og verdi» i «Egenskaper». Deretter kan vi justere plasseringen av teksten i grafikkfeltet litt. I dette tilfellet kom teksten av funksjonene oppå hverandre, og det var problematisk å justere disse på en god måte. Dette kan vi løse på følgende måte: Merk alle funksjonene i algebrafeltet, og høyreklikk. Klikk på «Vis navn». Tekstene til funksjonene vil dermed forsvinne fra grafikkfeltet. Ta deretter å venstreklikk på en av funksjonene i algebrafeltet, hold og dra inn i grafikkfeltet, og slipp. Du kan nå flytte teksten hvor du vil i grafikkfeltet (høyreklikk på teksten, velg «Egenskaper» og velg samme farge som grafen teksten hører til). Gjør det samme med de andre grafene. I algebrafeltet vises dette som «tekst1», «tekst2», osv. Prøv!

24 Kapittelprøve Funksjoner Navn: Prøveinformasjon Del 1 skal besvares på prøvearket: på svarstreker, ved avkrysning eller i regneruter. I regnerutene skal du vise hvordan du har kommet fram til svaret. Del 2 skal besvares på eget ark. Her kan du velge framgangsmåte selv, men du skal alltid vise hvordan du har kommet fram til svaret. Bruk blyant på figurer og konstruksjoner. Ellers bruker du sort eller blå penn. Maks. 19,5 poeng. Vurdering Karakteren blir gitt etter en samlet vurdering på grunnlag av Del 1 og Del 2. Kriteriene er om du: Viser regneferdighet og matematisk forståelse Vurderer om svarene er fornuftige Forklarer framgangsmåter og begrunner svarene Viser oversiktlige og nøyaktige utregninger, bruker riktige benevninger og lager gode grafiske framstillinger Bruker hensiktsmessige hjelpemidler Ser sammenheng i faget, er oppfinnsom og kan anvende fagkunnskap i ulike situasjoner Gjennomfører logiske resonnementer Hjelpemidler Del 1: Skrivesaker, passer, linjal og gradskive (vinkelmåler) Hjelpemidler Del 2: Alle ikke-kommuniserende hjelpemidler er tillatt. DEL 1 Det er tillatt å bruke skrivesaker, passer, linjal og gradskive (vinkelmåler). Ingen andre hjelpemidler er tillatt. Maks. 8,5 poeng. 1,5 p 1 Grafen viser sammenhengen mellom antall kroner x du handler for, og antall kroner y du betaler i mva. a) Hvor mange kroner betaler du i mva. hvis du handler for 500 kr? Svar: b) Hvor mange kroner handler du for hvis du betaler 100 kr i mva.? Vormedal ungdomsskole 10A Tirsdag 30. januar

25 c) Finn likningen til funksjonen (figur forrige side). Svar: 2 p 2 Hva er stigningstallet og konstantleddet til funksjonene? a) y = 4x + 8 Stigningstall: Konstantledd: b) Stigningstall: Konstantledd: 1 p 3 Framstill verditabellen nedenfor i koordinatsystemet. Kg Pris (kr) p 4 Tegn funksjonene (grafene) til disse likningene i koordinatsystemet ovenfor. a) y = 20x + 10 b) f(x) = Vormedal ungdomsskole 10A Tirsdag 30. januar

26 0,5 p 5 I hvilken av funksjonene nedenfor er xx og yy omvendt proporsjonale størrelser? y = 2x + 5 y = 2 5 0,5 p 6 Hvilken av linjene i koordinatsystemet til høyre har minst (lavest) stigningstall? k l m 1 p 7 En linje går gjennom punktet ( 1, 4) og (3, 0). a) Merk av punktene i et koordinatsystem, og trekk en linje gjennom dem. b) Finn likningen for linja. Svar: Vormedal ungdomsskole 10A Tirsdag 30. januar

27 DEL 2 Navn: Oppgavene føres på eget ark. Alle ikke-kommuniserende hjelpemidler er tillatt. Dersom du bruker en digital graftegner, skal skala og navn på aksene være med. Maks. 11 poeng. 2 p 8 Tegn grafen til funksjonene i samme koordinatsystem. a) f(x) = 5x 5 b) y = 2x p 9 Tegn grafen til funksjonen. Vis bare positive verdier for x. 4 p 10 a) Tegn grafen til funksjonen f(x) = 0,05x 2 + 5x +5. b) Finn koordinatene til toppunktet (ekstremalpunktet) til grafen. c) Hvilke x-verdier har grafen når y = 20? 3 p 11 Sara sykler og Hanna går langs samme vei. Hanna starter 15 minutter før Sara. Hanna går med en fart på 100 m per minutt, mens Sara sykler med en fart på 200 m per minutt. Hvor lang tid tar det før Sara tar igjen Hanna? Løs oppgaven grafisk. Vormedal ungdomsskole 10A Tirsdag 30. januar

28 Ekstraoppgave 3 p 12 En kullsyremaskin (brusmaskin) koster 2000 kr i butikken. Driftsutgiftene per glass brus er 2,55 kr. a) Forklar at U(x) = 2,55x er en funksjon som viser de totale utgiftene for kullsyremaskin 1 når vi lager x glass brus. b) Lag tilsvarende funksjoner for kullsyremaskin 2 og 3. Tegn alle de tre grafene til funksjonene i samme koordinatsystem. Bruk x-verdier fra 0 til Kullsyremaskin 1 Pris: 2000,00 kr Driftsutgifter per glass: 2,55 kr Kullsyremaskin 2 Pris: 750,00 kr Driftsutgifter per glass: 3,25 kr Kullsyremaskin 3 Pris: 8500,00 kr Driftsutgifter per glass: 1,38 kr c) Avgjør hvor mange glass vi må lage for at det skal lønne seg å kjøpe kullsyremaskin 3. Vormedal ungdomsskole 10A Tirsdag 30. januar

29

30

31

32 Fasit del 2 Oppgave 8 Jeg tegnet grafen til funksjonene i Geogebra, og kopierte skjermvisningen til Word (se nedenfor). Oppgave 9 Grafen til funksjonen er tegnet i Geogebra, og skjermbildet er kopiert til Word (figuren nedenfor). Vormedal ungdomsskole 10A Tirsdag 30. januar

33 Oppgave 10 a) Grafen til funksjonen ble tegnet i Geogebra, og skjermbildet kopiert til Word (se figuren nedenfor). b) Jeg brukte verktøyet «Ekstremalpunkt» og klikket på grafen. Toppunktet til grafen er A (50,130), dvs. x = 50 og y = 130. c) Vi finner to ulike x-verdier når y = 20, henholdsvis 3,1 og 96,9 (punkt B og C i figuren nedenfor). Oppgave 11 Hanna går med 100 m pr. minutt, og Sara sykler 200 m pr. minutt. Når Sara starter og sykle, har Hanna kommet 1500 m avgårde (100m * 15 min). Derfor har jeg satt opp funksjonen f(x) = 100x Tilsvarende for Sara, g(x) = 200x. Jeg tegnet grafene til funksjonene i Geogebra, og brukte verktøyet «Skjæring mellom to objekt» for å finne skjæringspunktet mellom de to grafene (punkt A). Skjermbildet ble kopiert over i Word (se figuren på neste side) Sara tar igjen Hanna der grafene krysses, altså i punkt A i figuren. Da har det gått 15 minutter og de har gått/syklet 3000 m. Vormedal ungdomsskole 10A Tirsdag 30. januar

34 Oppgave 12 a) Uansett hvor mange glass vi produserer, koster kullsyremaskinen 2000 kr. Dette er dermed en konstant. For hvert glass vi produserer, har vi en utgift på kr 2,55. Dermed viser U(x) = 2,55x b) Jeg tegnet funksjonene i Geogebra, og kopierte skjermbildet til word (figuren nedenfor). c) Jeg brukte verktøyet «Skjæring mellom to objekt» og klikket på grafene til funksjonene U og h. Når produksjonen er høyere enn 5556 glass (punkt A i figuren) lønner det seg å kjøpe kullsyremaskin 3. Vormedal ungdomsskole 10A Tirsdag 30. januar