Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet"

Transkript

1 Innhold Funksjonstegner... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 3 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 4 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving i bruk av verktøyene... 6 Større skrift og tykkere linjer... 6 Fra funksjonsuttrykk til graf... 7 Lagre... 7 Slette og angre... 8 Endre egenskaper... 8 Fra graf til koordinatpar og tabell... 9 Punkt på grafen... 9 Å finne funksjonsverdier grafisk når vi kjenner x-verdien Å skrive inn koordinatene til et punkt på grafen Å tegne en loddrett linje og finne skjæringspunktet Å finne x-verdier grafisk når vi kjenner funksjonsverdien Praktisk situasjon som beskrives ved hjelp av en funksjon Å tegne grafen i et intervall Enheter og forklarende tekst på aksene Å regne ut verdien av en variabel Lineære funksjoner: Stigningstall og konstantledd Konstantledd Stigningstall Variable koeffisienter, bruk av glider Fra tabell til graf Arbeid med flere typer funksjoner Brøkfunksjoner, asymptoter Ekstremalpunkt - største og minste verdi Nullpunkt og skjæringspunkt H. Aschehoug & Co. Side 1

2 Eksempel på føring av en oppgave som løses ved bruk av GeoGebra Empiriske data som ikke passer til noen funksjonstype vi kjenner H. Aschehoug & Co. Side 2

3 Funksjonstegner GeoGebra er et program som har mange bruksområder innenfor matematikk. Her skal vi først og fremst fokusere på de mulighetene vi har til å jobbe grafisk med funksjoner og likninger. Ordet GeoGebra er sammensatt av to deler: Geo som kommer fra geometri og Gebra som kommer fra algebra. GeoGebra kan også brukes til arbeid med algebra og geometri. Nå er det imidlertid funksjoner som er i fokus. I opplæringen leser du beskrivelser av hvordan noe skal gjøres og løser en eller flere oppgaver for å øve selv. Skjermbildene som vises her er fra GeoGebra 5.0 eller senere. Du kan laste ned GeoGebra fra Programmet er gratis. Skjermbildet i GeoGebra Når du starter GeoGebra ser skjermbildet vanligvis slik ut: Angreknapp Menylinje Aktivt verktøy med mørkeblå kant Verktøylinje Grafikkfelt Algebrafelt Velge 0ppsett Inntastingsfelt Verktøylinja Verktøylinja inneholder verktøyikoner utformet som knapper. Under hver knapp er det flere verktøy. Hvis vi klikker på den lille pilen i nederste høyre hjørne av en knapp, vises en liste med de verktøyene som fins under knappen. Vi kan da velge hvilket verktøy knappen skal representere. Legg også merke til at når du holder musepekeren over et verktøy, vises en forklaring på hvordan verktøyet brukes. H. Aschehoug & Co. Side 3

4 Det kan være lurt å vise verktøytipsene til høyre på verktøylinja. Velg Innstillinger, Utforming, og huk av for Vis hjelp for verktøylinja Verktøyet Flytt eller velg objekt Med verktøyet Flytt eller Velg objekt kan vi endre plasseringen av objekt i tegneflaten. Vi bruker også dette verktøyet for å velge hvilket objekt som skal være det aktive objektet. Det kan være smart å ha dette verktøyet som det valgte verktøyet når vi ikke er i ferd med å tegne noe. Å trykke på escape-tasten (esc) er det samme som å velge dette verktøyet. Oppsett av skjermbildet Når vi bruker GeoGebra til arbeid med funksjoner, er det som oftest smart å velge oppsettet Algebra og grafikk. Da har vi de funksjonene vi trenger lett tilgjengelig, nemlig verktøylinja, algebrafeltet, inntastingsfeltet og grafikkfeltet. Vinduet for valg av oppsett vises om du klikker på den lille pilen i høyre kant av grafikkfeltet. H. Aschehoug & Co. Side 4

5 Du kan også, om du ønsker det, vise rutenettet i grafikkfeltet. Mens grafikkfeltet og klikk på Rutenett. er valgt, høyreklikk i Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene Når vi jobber med funksjoner og likninger har vi ofte behov for å flytte tegneflaten eller å endre enheten på aksene. Vi kan da bruke verktøyet Flytt grafikkfeltet. Mens dette verktøyet er valgt kan du endre enhet på aksene ved å «dra» i aksene med musepekeren mens du holder venstre museknapp nede. Å holde nede shift-tasten (den tasten du holder nede for å få store bokstaver) har samme virkning som å velge verktøyet Flytt grafikkfeltet. Mens du holder shift-tasten nede kan du både flytte grafikkfeltet og endre enhet på aksene med musepekeren. Oppgave 1 Velg oppsett Algebra og vis rutenett. Plasser origo midt i grafikkfeltet. Vis enheter fra 15 til 15 på førsteaksen og enheter fra 100 til 100 på andreaksen. H. Aschehoug & Co. Side 5

6 Mer øving i bruk av verktøyene Matematikk for ungdomstrinnet Dersom du har brukt NUMMER 8, vil du kanskje ha stiftet bekjentskap med GeoGebra når du jobbet med geometri. I verktøyopplæringen knyttet til geometri er det en del øving i bruk av de forskjellige verktøyene knyttet til å tegne geometriske figurer. Dersom du ikke har brukt GeoGebra før, kan det være en idé å gå gjennom starten av verktøyopplæringen i tilknytning til geometri for å bli bedre kjent med hvordan de forskjellige verktøyene fungerer. Større skrift og tykkere linjer Når grafer tegnet i GeoGebra skal limes inn i tekstdokument og skrives ut, blir ofte teksten vanskelig å lese. Velg Innstillinger fra menylinja, deretter Skriftstørrelse. Du velger så hva skriftstørrelsen skal være, 18 punkt er ofte passelig. Det kan være en god ide å lagre denne innstilingen. Klikk på Innstillinger i menylinja og velg Lagre innstillinger. H. Aschehoug & Co. Side 6

7 Fra funksjonsuttrykk til graf Vi kan skrive funksjonsuttrykket i inntastingsfeltet og GeoGebra vil tegne grafen til funksjonen i grafikkfeltet. Funksjonsuttrykket vises i algebrafeltet. Ofte bruker vi x som navn på variabelen i likninger og funksjoner. Det betyr at x vil svare til en verdi på førsteaksen. Verdiene på andreaksen vil svare til den verdien som regnes ut når vi setter inn verdier for x i likningen eller funksjonsuttrykket. GeoGebra gir funksjoner navn med små bokstaver og starter med bokstaven f. For å markere at f får verdi ved å regne ut funksjonsuttrykket med en verdi for x, skrives navnet til funksjonen slik: f(x). Du kan enten la GeoGebra gi funksjonene dine navn eller du kan selv velge navn ved å kalle funksjonene f(x), g(x), h(x), p(x), osv. Vi skal tegne grafen til f(x) = 2x + 1. Vi skriver i inntastingsfeltet: Du ser nå i algebrafeltet at funksjonen har fått navnet f(x) og i grafikkfeltet at grafen er en rett linje. Hvis variabelen skal hete noe annet enn x, eller vi ønsker å velge hvilken bokstav som skal brukes som navn på funksjonen, må vi skrive inn for eksempel slik: s(t)=60t Vær oppmerksom på at i GeoGebra bruker vi punktum som desimalskilletegn. Du må dermed skrive for eksempel k(x)=0.2x +4 Oppgave 2 Tegn grafen til disse tre funksjonene i samme koordinatsystem f(x) = x + 3 g(x) = 2x + 4 p(x) = x v(t)=0,3t Oppgaver fra NUMMER 9: 3.14, 3.15, 3.43 Lagre På filmenyen finner vi valget for å Lagre GeoGebra-filen vi har jobbet med. Den lagres med filtypen ggb, for eksempel oppgave2.ggb H. Aschehoug & Co. Side 7

8 Slette og angre Matematikk for ungdomstrinnet Når vi tar i bruk et nytt verktøy med mange muligheter må vi regne med at vi ikke alltid lykkes i første forsøk. Det er derfor viktig å kunne angre og slette når vi har gjort noe feil. I GeoGebra kan du angre med Ctrl + Z. Alternativt kan du bruke knapp for å angre. Den finner du helt til høyre på verktøylinja. For å slette et objekt, velger du objektet med og trykker Delete. Når du sletter et objekt, vil eventuelle andre objekt som er avhengige av det objektet du sletter, også forsvinne. Endre egenskaper Det kan være flere grunner til at du vil endre egenskapene til en graf, for eksempel at du har skrevet feil eller at du vil endre navn, farge eller linjestil. Da høyreklikker du på funksjonen, enten i grafikkfeltet eller i algebrafeltet og velger Egenskaper. I feltet Verdi kan du endre funksjonsuttrykket. På fanen Farge kan du velge hvilken farge grafen skal ha og på fanen Stil kan du velge hva slags linje grafen skal tegnes med. H. Aschehoug & Co. Side 8

9 Oppgave 3 Tegn de tre funksjonene i samme koordinatsystem. De tre grafene skal ha hver sin farge. Den siste skal være stiplet. k(x) = 0,2x + 4 p(x) = 4x s(x) = 5 Tips: Ved å vise stilmenyen øverst i grafikkfeltet kan du raskt skifte farge på grafene. Vis Velg, klikk deretter på den grafen du vil endre. Da vises relevante valg i stilmenyen. Oppgaver fra NUMMER 9: 3.26, 3.31, 3.34, 3.50, 312, 317, 337 Fra graf til koordinatpar og tabell Vi skal se på flere muligheter vi kan bruke i ulike situasjoner når vi skal finne koordinater til punkt på grafen. I noen situasjoner bruker vi koordinatene til disse punktene når vi skal sette opp en verditabell. Punkt på grafen Ved å plassere punkt på linja kan vi lese av x-verdien og funksjonsverdien som hører til punktets x- verdi. H. Aschehoug & Co. Side 9

10 Tegn grafen til den funksjonen du skal arbeide med. Velg verktøyet Punkt flere punkt på linja. og plasser ett eller I eksemplet har vi tegnet grafen til f(x) = 2x + 1 og plassert punktene A, B og C på linja. Legg merke til at når punktene er plassert på linja kan de flyttes med slik at de havner der vi vil ha dem. Vi ser punktenes koordinater i algebrafeltet, og disse endres når punktet flyttes. Vil du se koordinatene til et punkt i stedet for punktets navn i grafikkfeltet, er det enkleste å velge punktet med, og deretter velge å vise verdi ved hjelp av stilmenyen øversti grafikkfeltet. Du kan også høyreklikke på punktet, enten i algebrafeltet eller i grafikkfeltet, velge Egenskaper og deretter velge Verdi eller Navn og Verdi fra nedtrekkslista ved Vis navn. Oppgave 4 Finn koordinatene til fire punkt som ligger på grafen til denne funksjonen: f(x) = 2,8x 5 Oppgave 5 Finn koordinatene til følgende punkt som ligger på grafen til g(x) = 4 5x a Punktet der x-koordinaten = 0 b Punktet der y-koordinaten = 0 c Punktet der y-koordinaten = 20 d Punktet der x-koordinaten = 10 H. Aschehoug & Co. Side 10

11 Oppgave fra NUMMER 9: 3.28, 317, 329 Å finne funksjonsverdier grafisk når vi kjenner x-verdien Vi har to metoder å velge mellom. Å skrive inn koordinatene til et punkt på grafen Av og til kan det være vanskelig å plassere punkt på grafen nøyaktig nok. Da kan vi i stedet plassere punktene ved å skrive dem inn i inntastingsfeltet. Denne metoden kan vi bruke dersom vi kjenner x- koordinaten til punktet. Som du har sett setter GeoGebra navn på punkt med store bokstaver. Hvis vi har en funksjon som heter f og skal plassere punktet A på grafen til f slik at x-koordinaten er 8 skriver vi i inntastingsfeltet: A = (8,f(8)). Eksempel Funksjonen f(x) = 2,71x beskriver hvor mye det koster å lage x kopper kaffe med en bestemt kaffemaskin. Vi tegner grafen til f(x). Vi skal bruke grafen til å finne ut hva det koster å lage 2000 kopper. Skriv i inntastingsfeltet: Den verdien vi skal finne er andrekoordinaten til A. Du kan se den i algebrafeltet, eller du kan vise verdien til punktet A slik at koordinatene vises i grafikkfeltet. Å tegne en loddrett linje og finne skjæringspunktet En alternativ måte er å tegne linja x = Deretter finner vi skjæringspunktet mellom linja x = 2000 og grafen. Skriv i inntastingsfeltet Marker skjæringspunktet mellom den loddrette linja og linja x = 2000 ved hjelp av koordinatene til punktet i grafikkfeltet ved å velge å vise Verdi i stedet for Navn.. Vis H. Aschehoug & Co. Side 11

12 Å finne x-verdier grafisk når vi kjenner funksjonsverdien Matematikk for ungdomstrinnet Funksjonen f(x) = 2,71x beskriver hvor mye det koster å lage x kopper kaffe med en bestemt kaffemaskin. Vi tegner grafen til f(x). Vi skal finne hvor mange kopper vi kan lage for kr. Da tegner vi linja g(x) = Marker deretter skjæringspunktet mellom g(x) og f(x) ved hjelp av. Vis koordinatene til punktet i grafikkfeltet ved å velge å vise Verdi i stedet for Navn. Et alternativ er å «dra punktet» over til grafikkfeltet fra algebrafeltet. Da vises både navn og verdi. Oppgave 6 Overskuddet ved produksjon og salg av en vare er gitt ved funksjonen O(x)= 1100x der x er antall varer og overskuddet er en pengesum (kroner). Hva blir overskuddet når det produseres 20 enheter? Hvor mange enheter produserer de når overskuddet er kr? Oppgave fra NUMMER 9: 3.25, 3.44, 311, 321 H. Aschehoug & Co. Side 12

13 Praktisk situasjon som beskrives ved hjelp av en funksjon Funksjonen f(x) = 2,71x beskriver hvor mye det koster å lage x kopper kaffe med en bestemt kaffemaskin. Vi skal tegne grafen til funksjonen. Vi kan ikke bruke negative tall for x her da x betyr et antall kopper kaffe. Vi regner med at kaffemaskinen er utslitt etter å ha laget kopper kaffe. Å tegne grafen i et intervall For å begrense grafen til de gyldige verdiene av x bruker vi kommandoen Dersom. Skriv følgende i inntastingsfeltet: Vi kan alternativt bruke kommandoen Funksjon slik: Etterpå må vi tilpasse aksene i grafikkfeltet slik at vi ser funksjonen. Vi kan vise navnet til funksjonen i grafikkfeltet ved å velge funksjonen i algebrafeltet og dra den over til grafikkfeltet. (Alternativ: høyreklikk på funksjonen, velg Egenskaper og Vis, Navn og verdi) Oppgave fra NUMMER 9: 3.25 Enheter og forklarende tekst på aksene Høyreklikk et sted du ikke har tegnet noe i grafikkfeltet. Velg Grafikkfelt. H. Aschehoug & Co. Side 13

14 På fanen xakse skriver vi x (Antall kopper) i feltet Navn på aksen På fanen yakse skriver vi som Navn på aksen K(x) (kr). H. Aschehoug & Co. Side 14

15 Som et alternativ kan du sette på navn på aksene ved å sette inn et tekstfelt. Velg verktøyet Tekst, skriv inn den teksten du ønsker og plasser tekstboksen et passende sted ved siden av aksen. Oppgave 7 Månedsprisen for et mobilabonnement er gitt ved funksjonen s(x) = 0,99x + 49 der x er antall ringeminutt. Tegn grafen til s(x). Vi snakker ikke mer enn 500 minutt hver måned. Bruk grafen til å finne ut hvor mange minutt en kan ringe for 200 kr. Oppgaver fra NUMMER 9: 326, 333, 334 Å regne ut verdien av en variabel Vi tegner grafen til f(x) = 4,5x og plasserer tre punkt på grafen ved hjelp av. x koordinat Vi skal nå få beregnet for disse tre punktene. Under ser du hvordan du oppgir x- og y- y koordinat koordinaten til punkt A. Svaret lagres i variabelen a. Divisjonstegnet er / og * brukes som multiplikasjonstegn i GeoGebra. H. Aschehoug & Co. Side 15

16 Oppgave 9 a Tegn grafen til f(x) = 3x b Plasser tre punkt på grafen. c Fyll ut tabellen: Punkt x f(x) fx ( ) x A B C d e f Hva er verdien til fx ( ) fx ( ) x? Hva skjer med x Hva kaller vi en slik funksjon? dersom du flytter på ett eller flere av punktene? H. Aschehoug & Co. Side 16

17 Lineære funksjoner: Stigningstall og konstantledd Oppgave 10 Tegn grafen til funksjonene a x b 2x c 10x d 3x Hva kan du si om grafen til disse funksjonene? Konstantledd Matematikk for ungdomstrinnet Likningen for en rett linje kan skrives på formen y = ax + b. Vi kaller b konstantleddet, a kalles stigningstallet. Vi finner konstantleddet ved å finne det punktet der linja skjærer andreaksen (y-asken). Bruk verktøyet Skjæring mellom to objekt til å markere punktet der grafen skjærer andreaksen. Konstantleddet er andre-koordinaten til skjæringspunktet. Stigningstall I GeoGebra kan vi tegne grafen til både likninger og funksjoner. Når vi jobber med funksjoner er det slik at for en bestemt verdi av x fins det bare en funksjonsverdi. Vi kan imidlertid ha flere y-verdier for samme x-verdi når vi jobber med en likning. Det innebærer, for eksempel, at vi i GeoGebra kan skrive likningen for en sirkel, og få tegnet sirkelen, selv om dette ikke er en funksjon. Når det gjelder rette linjer, kan vi skrive disse enten som likning eller som funksjon. Hvis vi skriver f(x) = 0.5x + 2 har vi skrevet inn en funksjon. Hvis vi ønsker å jobbe med det samme uttrykket som en likning skriver vi y = 0.5x + 2 H. Aschehoug & Co. Side 17

18 Når grafen er skrevet inn som en likning, og ikke som en funksjon, kan vi finne stigningstallet med verktøyet Stigning. Vi kan alltid se stigningstallet som koeffisienten foran x i likningen eller funksjonsuttrykket. Oppgave 11 Tegn grafen til a en lineær funksjon med stigningstall 2 og konstantledd 4 b en lineær funksjon som har graf som er parallell med grafen tegnet i a) og som går gjennom (0, 2) c en lineær funksjon som går gjennom origo og som har stigningstall 1,5 Oppgave 12 Merk av to punkter i koordinatsystemet. Bruk verktøyknappen Linje gjennom to punkt til å tegne den rette linja. Bruk verktøyknappen Skjæring mellom to objekt til å finne skjæringspunktet med y- aksen og skjæringspunktet med x-aksen. Finn linjas stigningstall ved hjelp av verktøyet Stigning (Alternativ: Skriv i inntastingsfeltet der a er linjas navn). Sjekk at verdiene stemmer med likningen for linja som du ser i algebravinduet. Oppgave 13 Tegn linja som går gjennom A( 2, 1) og B(4, 3). Vis konstantledd og stigningstall på grafen. Bruk og flytt på linja. Følg med på hvordan konstantleddet endrer seg. Plasser linja slik at konstantleddet er 1. Flytt deretter på A eller B og se hvordan stigningstallet endrer seg. a Beskriv linja når stigningstallet er et positivt tall. b Beskriv linja når stigningstallet er et negativt tall. c Hva er forskjellen på linja når stigningstallet er 1 og når det er 5? d Hva er forskjellen på linja når stigningstallet er 1 og når det er 5? e Beskriv linja når stigningstallet er 0. H. Aschehoug & Co. Side 18

19 Oppgaver fra NUMMER 9: 3.26 og 3.29 Variable koeffisienter, bruk av glider Vi kan gjøre likninger og funksjoner dynamiske ved å bruke variabler som koeffisienter og variere disse ved hjelp av glidere. Eksempel Vi skal undersøke sammenhengen mellom stigningstallet til en lineær funksjon og grafen. 1 Start med å definere en variabel ved å skrive s = 2 i inntastingsfeltet. 2 Skriv deretter inn likningen for linja f(x) = s*x Gjør variabelen synlig som en glider ved å klikke på den lille sirkelen foran den i algebrafeltet. 4 Bruk og dra i glideren. Observer hva som skjer med linja og likningen. 5 Du kan endre største og minste verdi ved å høyreklikke på glideren og velge Egenskaper. Oppgave 14 Opprett en variabel, og bruk den til å utforske hva som skjer med en rett linje når du endrer konstantleddet. Oppgave 15 Opprett fire variabler ved å skrive i inntastingsfeltet: a=1, b= 2, c= og d=1. Skriv deretter inn funksjonen f slik : f(x)=ax+b. Gjør variablene synlige som glidere, enten ved å høyreklikke på dem i algebrafeltet og velge Vis objekt, eller ved å klikke på den lille sirkelen foran variabelen i algebrafeltet slik at den blir farget. Skriv g(x)=cx+d H. Aschehoug & Co. Side 19

20 Endre farge på grafene til f og g slik at de får hver sin farge. Hvilket punkt har de to grafene felles? Finn koordinatene til skjæringspunktet. Hva er det som kjennetegner koordinatene til dette punktet? Bruk gliderne og finn ut: Når overlapper grafen til f grafen til g? Forklar. Når har ikke grafen til f og grafen til g noe skjæringspunkt? Forklar Fra tabell til graf Vi kan tegne en linje som går gjennom to faste punkt ved først å avsette punktene med verktøyet Linje gjennom to punkt. Vi tenger linja gjennom ( 2, 1) og (4, 4). Nå må du legge merke til to ting. For det første så oppgir GeoGebra formelen som en likning, ikke som en funksjon. Likningen for en rett linje har formen y = ax + b Legg også merke til at GeoGebra ikke nødvendigvis ordner likningen i algebrafeltet på formen y = ax + b. For å vise likningen på denne formen høyreklikker du på linja i algebrafeltet eller i grafikkfeltet og klikker på Likning y = ax + b. Oppgave 18 Tegn linjene gjennom de to punktene. Kan du ut fra grafen se hvordan likningen blir på formen y = ax + b? Hva bestemmer a? Hva bestemmer b? a (0, 4) og (6, 3) b (0, 0) og (4, 12) H. Aschehoug & Co. Side 20

21 Arbeid med flere typer funksjoner Oppgave 19 Tegn funksjonene i figuren over i samme koordinatsystem. Marker grafene med hver sin farge. Hvis du vil skrive x 2 skriver du enten slik: x^2 eller du holder alt-tasten nede mens du skriver 2-tallet. Brøkstreken skrives med /. Brøkfunksjoner, asymptoter Funksjoner som har x i nevner kalles brøkfunksjoner. Disse har asymptoter. Asymptoter er linjer som grafen aldri vil skjære. Vi finner likningen til asymptotene og får dem tegnet i grafikkfeltet ved å bruke kommandoen Asymptote. 20 Tegn grafen til funksjonen gx ( ) 5. Skriv deretter i inntastingsfeltet: x H. Aschehoug & Co. Side 21

22 Oppgave 20 Tegn grafen til u(x)= for x-verdier som er større enn 0. x Tegn asymptotene til funksjonen. Hva er f(x) når x = 8? Hva er x når f(x) = 50? Oppgave 21 1 a Grafen til funksjonen fx ( ). x b Tegn asymptotene til grafen. c Plasser et punkt på den greina av grafen som er til høyre for y-aksen. d Beregn første-koordinat andre-koordinat (husk at * brukes som multiplikasjonstegn). e Flytt punktet langs grafen. Hvordan går det med produktet av koordinatene? 3 f Prøv å gjøre tilsvarende med gx ( ). x g Hva kaller vi funksjoner som har denne egenskapen? Oppgave 22 v Lag en glider for variabelen v og bruk denne til å undersøke hvordan grafen til ex ( ) endrer seg x når v endres. H. Aschehoug & Co. Side 22

23 Oppgave fra NUMMER 9: 3.50 Ekstremalpunkt - største og minste verdi Noen funksjoner har en maksimalverdi og/eller en minimalverdi. Slike punkt kaller vi ekstremalpunkt og verdien ekstremalverdi. Vi tegner først grafen til f(x) = 2x 2 2x + 1 Vi finner ekstremalpunkt ved å bruke kommandoen Ekstremalpunkt. Skriv i inntastingsfeltet: (funksjonen heter f i dette eksemplet). Vis koordinatene til bunnpunktet ved å vise verdien til bunnpunktet. Oppgave 23 Overskuddet ved produksjon og salg av en vare er gitt ved funksjonen O(x) = 10x x der x er antall varer og overskuddet er en pengesum (kroner). a Tegn grafen til O(x). Vi antar at x ikke kan være mer enn 150. b Finn hvor mange enheter en må produsere for å få størst mulig overskudd og hvor stort dette overskuddet er. Nullpunkt og skjæringspunkt Vi er ofte spesielt interessert i å vite for hvilke x-verdier funksjonen skjærer x-aksen. Dette kalles funksjonens nullpunkt. Vi tegner funksjonene f(x) = 0,7x + 2 og g(x) = x 2 4 H. Aschehoug & Co. Side 23

24 For å finne nullpunktene bruker vi kommandoen Nullpunkt. Skriv i inntastingsfeltet: og tilsvarende for g. Nullpunktet til f(x) er A, nullpunktene til g(x) er B og C. Vis verdiene i stedet for navnet til nullpunktene. Vi kan også få markert skjæringspunktene mellom de to grafene ved å bruke kommandoen Skjæring:. Skjæringspunktene er D og E. Oppgave 24 Overskuddet ved produksjon og salg av en vare er gitt ved funksjonen O(x) = 10x x der x er antall varer og overskuddet er en pengesum (kroner). Vi går ut fra at vi ikke selger mer enn 150 stk. av denne varen. a Tegn grafen til O(x). Hvilke verdier kan x ha? b Finn hvor mange varer en må produsere og selge for at overskuddet skal være 0. Oppgave 25 Bruk variabelen k til å undersøke hvordan grafen til f(x)= kx 2 endrer seg når k endres. H. Aschehoug & Co. Side 24

25 Oppgave 26 Du har fått deg jobb på en gård og skal lage en rektangulær innhegning ved å bruke 20 meter gjerde. Innhegningen skal ligge inntil en vegg, se figur nedenfor. Du lurer på hvordan innhegningen bør være for at arealet skal bli størst mulig. a b La bredden av innhegningen være x og lengden y. Finn y uttrykt ved x, og finn A av innhegningen uttrykt ved x og y. Finn arealet av innhegningen som en funksjon A(x) og skisser grafen til A(x). Hva må x være for at innhegningen skal gi størst mulig areal? Oppgaver fra NUMMER 9: 335, 338, 339 H. Aschehoug & Co. Side 25

26 Oppgave 27 (fra eksamen v13) Løsningsforslag Vi viser her et løsningsforslag der vi løser hele oppgaven grafisk. a Plasserer et punkt på kurven der x = 10 ved å skrive i inntastingsfeltet: A=(10,h(10)). Andrekoordinaten til A er 7. Sykkelen er 7 m over bakken når x = 10. H. Aschehoug & Co. Side 26

27 c Skriver i inntastingsfeltet: y = 4. Finner skjæringspunktene mellom grafen til h(x) og y = 4 ved hjelp av verktøyet Skjæring mellom objekt. Motorsykkelen er 4 m over bakken etter 2,25 m og etter 17,75 m. b H. Aschehoug & Co. Side 27

28 Oppgave 28 (fra eksamen 2014) Løsningsforslag b Vi løser her oppgaven med CAS-verktøyet. c d Tegner linja a ved å skrive y = , og bruker verktøyet Skjæring mellom objekt til å finne skjæringspunktet mellom V(x) og linja a. Svar: Det er liter igjen etter 20 timer. H. Aschehoug & Co. Side 28

29 Eksempel på føring av en oppgave som løses ved bruk av GeoGebra En potetprodusent får 3,09 kr per kg han leverer til Gartnerhallen. a Kall antall kg poteter produsenten selger for x. Sett opp et funksjonsuttrykk, i(x), som viser hva hun får betalt på salg av x kg poteter. b Tegn grafen til i(x). La x variere mellom 0 og 5000 kg. c Hva får produsenten betalt hvis hun leverer 2800 kg? d Hvor mange kilo må produsenten levere for å få betalt kr? Løsning a b c d Vi finner hva bonden får betalt ved å multiplisere kiloprisen med antall kilo hun leverer. Da har vi i(x) = 3,09x Vi skriver i inntastingsfeltet: i(x)=dersom[0<x<5000,3.05x] Vi tilpasser grafikkfeltet slik at vi ser hele grafen. Vi setter navn på aksene, x på førsteaksen og i(x) på andreaksen. På førsteaksen kan vi sette på enheten kg og på andreaksen enheten kr. Se grafen under. Vi markerer at hun har levert 2800 kg ved å avsette et punkt på grafen. Det gjør vi ved å skrive i inntastingsfeltet: (2800, i(2800)). Vi ser at punktet har koordinatene (2800,8652). Hun får betalt 8652 kr når hun leverer 2800 kg. For å finne hvor mye hun må levere for å få betalt kr tegner vi en horisontal linje som skjærer andreaksen i Vi skriver i inntastingsfeltet: y = og finner skjæringspunktet mellom den horisontale linja og grafen ved hjelp av verktøyet Skjæring mellom objekt. Skjæringspunktet har koordinatene (6472,49,20 000). Hun må levere 6472 kg for å få betalt kr. H. Aschehoug & Co. Side 29

30 Empiriske data som ikke passer til noen funksjonstype vi kjenner Når vi har empiriske data som ikke passer til noen graftype vi kjenner kan vi bruke verktøyet Polylinje til å tegne grafen. Skriv inn de målte dataene som koordinatene til punktene. Tegn deretter en polylinje gjennom punktene. Vi bruker dataene i denne tabellen som eksempel: Klokkeslett Temperatur, Skriv inn punktene slik: Når alle punktene er skrevet inn velger du. Klikk i punktene ett etter ett, start fra venstre. Etter at du har klikket i punktet som er lengst til høyre klikker du igjen i det punktet som er lengst til venstre. H. Aschehoug & Co. Side 30

31 Vi kan gjøre punktene usynlige og ikke vise navnet til polylinja til slutt. Oppgaver fra NUMMER 9: 3.5, 300 H. Aschehoug & Co. Side 31

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

Funksjoner med GeoGebra

Funksjoner med GeoGebra Funksjoner med GeoGebra Wallace Anne Karin 2015 G e o G e b r a 5. 0 Innhold Oppsett for arbeid med funksjoner... 2 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 4 Flytt inntastingsfeltet øverst... 4

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Flytt inntastingsfeltet

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

Lineære funksjoner. Skjermbildet

Lineære funksjoner. Skjermbildet Lineære funksjoner I dette opplæringsløpet lærer du å tegne funksjoner i GeoGebra samt å bruke verktøy til å løse oppgaver som dreier seg om funksjoner. Alle oppgavene handler om lineære funksjoner. I

Detaljer

GeoGebra. Menylinje Angreknapp. Verktøylinje. Aktivt verktøy med mørkeblå kant. Innstillinger. Algebrafelt. Velge oppsett.

GeoGebra. Menylinje Angreknapp. Verktøylinje. Aktivt verktøy med mørkeblå kant. Innstillinger. Algebrafelt. Velge oppsett. GeoGebra Menylinje Angreknapp Verktøylinje Aktivt verktøy med mørkeblå kant Innstillinger Algebrafelt Grafikkfelt Inntastingsfelt Velge oppsett GEOGEBRA SOM FUNKSJONSTEGNER OPPSETT FLYTTE TEGNE- FLATEN,

Detaljer

Geometri med GeoGebra

Geometri med GeoGebra Geometri med GeoGebra Del 1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres

Detaljer

Geometri med GeoGebra

Geometri med GeoGebra Geometri med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner uten å måtte tegne dem på nytt. Dette gir oss mange muligheter til å utforske

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold DYNAMISK GEOMETRIPROGRAM... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Oppsett av skjermbildet... 4 Verktøylinja... 4 PUNKT OG SIRKLER... 5 Punkt... 5 Sirkel... 6 Linjer... 7 NYTTIGE VERKTØY... 8 Lagre...

Detaljer

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1 1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres dynamisk. Dette gir oss

Detaljer

Matematikk for ungdomstrinnet

Matematikk for ungdomstrinnet Innhold Dynamisk geometriprogram... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Oppsett av skjermbildet... 4 Verktøylinja... 4 Punkt og sirkler... 5 Punkt... 5 Sirkel... 6 Lagre... 6 To nyttige verktøy: «Flytt eller

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P Emne Underkapittel Perspektivtegning I 3.8 Perspektivtegning II 3.8 Terningkast 4.1 Valgtre I 4.3 Valgtre II 4.7 Graftegning 5.2 Linje gjennom to punkter 5.2 Nullpunkter

Detaljer

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10.

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. 2 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Akser Rutenett Avrunding GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. Funksjonen får automatisk navnet f. Hvis grafen ikke vises, kan du høyreklikke i grafikkfeltet

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T Emne Underkapittel Rettvinklede trekanter 2.4 Ikke-rettvinklede trekanter I 2.6 Ikke-rettvinklede trekanter II 2.7 Graftegning 3.2 Graftegning med definisjonsmengde 3.2

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P Emne Underkapittel Perspektivtegning I 3.8 Perspektivtegning II 3.8 Regulære mangekanter 3.9 Flislegging I 3.9 Flislegging II 3.9 Flislegging III 3.9 Terningkast 4.1

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk S1

GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 Emne Underkapittel Utregning av algebraiske uttrykk 1.4 Forenkle uttrykk 1.5 Faktorisering 1.5 Kvadratsetningene 1.6 Grafisk løsning av eksponentiallikninger 1.8 Grafisk

Detaljer

1 Introduksjon GeoGebra 2 Speiling, rotasjon og parallellforskyvning 3 Perspektivtegning 4 Symmetriakser

1 Introduksjon GeoGebra 2 Speiling, rotasjon og parallellforskyvning 3 Perspektivtegning 4 Symmetriakser 1 Geometri i kunsten: 1 Introduksjon GeoGebra 2 Speiling, rotasjon og parallellforskyvning 3 Perspektivtegning 4 Symmetriakser MKH GeoGebra - Geometri i kunsten Innhold 1 Introduksjon GeoGebra... 1 1.1

Detaljer

Hurtigstart. Hva er GeoGebra? Noen fakta

Hurtigstart. Hva er GeoGebra? Noen fakta Hurtigstart Hva er GeoGebra? En dynamisk matematisk programvare som er lett å ta i bruk Er egnet til læring og undervisning på alle utdanningsnivå Binder interaktivt sammen geometri, algebra, tabeller,

Detaljer

Kurs. Kapittel 2. Bokmål

Kurs. Kapittel 2. Bokmål Kurs 9 Kapittel 2 Bokmål 1 av 9 Kurs i GeoGebra Funksjoner og grafer I dette kurset skal vi se nærmere på hvordan vi kan bruke GeoGebra som en graftegner. Grunnleggende innstillinger Når vi skal bruke

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T Emne Underkapittel Vektorer 1.4 Lengden av vektorer 1.5 Skalarprodukt. Vinkel mellom to vektorer 1.6 Parameterframstilling 1.8 Binomialkoeffisient I 2.7 Binomialkoeffisient

Detaljer

GeoGebra-opplæring i 2P-Y

GeoGebra-opplæring i 2P-Y GeoGebra-opplæring i 2P-Y Emne Underkapittel Terningkast 2.1 Valgtre I 2.3 Valgtre II 2.7 Graftegning 3.2 Nullpunkter 3.3 Å finne y- og x-verdier 3.4 Andregradsfunksjoner 3.5 Grafisk løsning 3.5 Tredjegradsfunksjoner

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 1P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 GeoGebra som kalkulator. Eksempel side 55... 3 Omforming av formler. Side 82 i læreboka... 4 Rette linjer. Side 89 i læreboka...

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Innstillinger................................... 5 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold DYNAMISK GEOMETRIPROGRAM... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Oppsett av skjermbildet... 4 Verktøylinja... 4 PUNKT OG SIRKLER... 5 Punkt... 5 Sirkel... 6 Linjer... 7 NYTTIGE VERKTØY... 8 Lagre...

Detaljer

3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter

3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter 3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter MKH Innholdsfortegnelse 1. Graftegner - GeoGebra... 2 1.1 Introduksjon GeoGebra... 2 1.2 Endre innstillinger på aksene...

Detaljer

Geometri med GeoGebra Del 2

Geometri med GeoGebra Del 2 Geometri med GeoGebra Del 2 Å endre linjestil eller farge, og vise navn på objekt Vi kan endre farge og stil på hjelpelinjer for å framheve det objektet vi egentlig skal lage. Ved hjelp av ikonene på stilmenyen

Detaljer

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a f( x) = 4x+ 0 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+0,-5,5]. Grafen viser at [ 0, 40] V =. f b gx ( ) =,5x+ 10 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[,5x+10,-10,4].

Detaljer

Kurs. Kapittel 2. Bokmål

Kurs. Kapittel 2. Bokmål Kurs 8 Kapittel 2 Bokmål D.8.2.1 1 av 4 Introduksjon til dynamisk geometri med GeoGebra Med et dynamisk geometriprogram kan du tegne og konstruere figurer som du kan trekke og dra i. I noen slike programmer

Detaljer

CAS GeoGebra. Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

CAS GeoGebra. Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet CAS GeoGebra Innhold CAS GeoGebra... 1 REGNING MED CAS-VERKTØYET... 2 Rette opp feil, slette linjer... 3 Regneuttrykk... 4 FAKTORISERE TALL... 4 BRØK... 4 Blandet tall... 5 Regneuttrykk med brøk... 5 POTENSER...

Detaljer

Lær å bruke GeoGebra 4.0

Lær å bruke GeoGebra 4.0 Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Likninger og ulikheter... 5 Implisitte likninger... 5 Ulikheter... 9 Statistikkberegninger i regnearket...

Detaljer

Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra

Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra Arbeidskrav 2 Læring med digitale medier 2013 Magne Svendsen, Universitetet i Nordland Innholdsfortegnelse INNLEDNING... 3 GRAFISK LØSNING AV LIGNINGER I GEOGEBRA...

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk S2

GeoGebra-opplæring i Matematikk S2 GeoGebra-opplæring i Matematikk S Emne Underkapittel Faktorisering.1 Grafisk løsning av likningssett I.3 Størst mulig overskudd 3. Vendepunkter 3.4 Den naturlige eksponentialfunksjonen 3.5 3.6 Den naturlige

Detaljer

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger.

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger. GeoGebra GeoGebra 1 GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Ved hjelp av dette programmet kan du framstille forskjellige geometriske figurer, forskjellige likninger (likningssett) og ulike funksjonsuttrykk,

Detaljer

MATEMATISK MODELLERING Modellering med pendel

MATEMATISK MODELLERING Modellering med pendel MATEMATISK MODELLERING Modellering med pendel Utstyr: Mynter, hyssing, tape, stoppeklokke Mål: 1. Hva påvirker svingtiden til en pendel? Lag hypoteser a. Lengden på hyssingen? b. Antall mynter (vekt)?

Detaljer

KORT INNFØRING I GEOGEBRA

KORT INNFØRING I GEOGEBRA Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER... 9 ØVELSE 2. TEGNE GRAFER TIL RASJONALE FUNKSJONER... 11 ØVELSE 3. LIKNINGSLØSNING... 15 ØVELSE 4. TANGENTER OG MAKS OG MIN

Detaljer

S1 kapittel 3 Lineær optimering

S1 kapittel 3 Lineær optimering S kapittel 3 Lineær optimering Løsninger til oppgavene i boka 3. a b c d Aschehoug www.lokus.no Side av 66 3. a b c d Aschehoug www.lokus.no Side av 66 3.3 Løsninger til oppgavene i boka Ulikhetene i oppgave

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER...

Detaljer

GeoGebra 6. GeoGebra 6 kan lastes ned fra:

GeoGebra 6. GeoGebra 6 kan lastes ned fra: GeoGebra 6 Den vanlige GeoGebra brukeren må bruke litt tid til å sette seg inn i GeoGebra 6. Noen viktige endringer blir vist i dette dokumentet. Tema er valgt spesielt med tanke på arbeid med elever.

Detaljer

Funksjoner, likningssett og regning i CAS

Funksjoner, likningssett og regning i CAS Funksjoner, likningssett og regning i CAS MKH, TUS 2014, GeoGebra 4.4 Innholdsfortegnelse Funksjoner og likningssett i GeoGebra... 2 Introduksjon til lineære funksjoner... 2 Oppgave om mobilabonnement...

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Geogebra for Sigma matematikk 1P Innledning Denne bruksanvisningen er ment som en beskrivelse av dataprogrammet

Detaljer

Undervisningsopplegg. Kapittel 2. Bokmål

Undervisningsopplegg. Kapittel 2. Bokmål Undervisningsopplegg 9 Kapittel 2 Bokmål 1 av 10 Bruk av GeoGebra i eksamensoppgaver I dette undervisningsopplegget skal vi se nærmere på hvordan vi kan bruke GeoGebra som en graftegner i eksamensoppgaver

Detaljer

Stigningstall og konstantledd, løsningsforslag

Stigningstall og konstantledd, løsningsforslag Stigningstall og konstantledd, løsningsforslag Oppgave: Løsningsforslag Listen [1] Oppgave Oppgave 1 a) Skriv ned stigningstallet og konstantleddet i de tre funksjonene under. 1. f(x) = x + Stigningstall

Detaljer

GeoGebra. brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals

GeoGebra. brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals GeoGebra brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals Innhold Hva er GeoGebra?... 2 Hvilken nytte har elevene av å bruke GeoGebra?... 2 Hvor finner vi GeoGebra?... 2 Oppbyggingen av programmet...

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P Emne Underkapittel Graftegning 2.1 Linje gjennom to punkter 2.1 Å finne y- og x-verdier 2.1 Lineær regresjon 2.3 Andregradsfunksjoner 2.4 Polynomregresjon 2.4 Eksponential-

Detaljer

Sigbjørn Hals. Øving i bruk av GeoGebra på eksamensoppgaver for 10. Klasse. Eksamensoppgave, Utdanningsdirektoratet V-2011

Sigbjørn Hals. Øving i bruk av GeoGebra på eksamensoppgaver for 10. Klasse. Eksamensoppgave, Utdanningsdirektoratet V-2011 Øving i bruk av GeoGebra på eksamensoppgaver for 10. Klasse Eksamensoppgave, Utdanningsdirektoratet V-2011 1 Framgangsmåten med GeoGebra Vi vil her bare se på løsningen av oppgavene c og d. Åpne GeoGebra.

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 1T av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Faktorisering. Side 55 i læreboka... 3 Rette linjer. Side 73 i læreboka... 3 Digital løsning av likninger. Side 77 i læreboka...

Detaljer

QED Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen

QED Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER...

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene

Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Origo er skjæringspunktet mellom x-aksen og y-aksen. Koordinatene til origo er altså. (0, 0) b Førstekoordinaten til

Detaljer

Plotting av grafer og funksjonsanalyse

Plotting av grafer og funksjonsanalyse Opplæringshefte i GeoGebra Innholdsfortegnelse: Plotting av grafer og funksjonsanalyse... 2 Oppgave 1... 2 Oppgave 2... 4 Oppgave 3... 8 Å plassere et bilde i GeoGebra... 8 Oppgave 4... 8 Vektorregning

Detaljer

Lær å bruke GeoGebra 4.0

Lær å bruke GeoGebra 4.0 Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Statistikkberegninger i regnearket... 5 Nye muligheter for funksjonsanalyse... 8 Nullpunkt og ekstremalpunkt...

Detaljer

Funksjoner med og uten hjelpemidler

Funksjoner med og uten hjelpemidler Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for i dag og i morgen Dag 1: 09.00-11.45 Del 1: teori. 11.45-12.30 Lunsj 12.30-13.15 Del 2: bruk av GeoGebra. 13.15-15.15 Oppgaveregning, del 1. Dag 2: 09.00-10.45

Detaljer

1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 50 a Vi ser at grafen har et toppunkt i (11, 380). Det var altså flest besøkende 11. juni. Antall besøkende var da 380. b Vi ser at grafen har

Detaljer

Innføring i GeoGebra (2 uv-timer)

Innføring i GeoGebra (2 uv-timer) 03/06/17 1/5 Innføring i GeoGebra (2 uv-timer) Innføring i GeoGebra (2 uv-timer) GeoGebra er et dynamisk matematikkprogram for skolebruk som forener geometri, algebra og funksjonslære. Programmet er utviklet

Detaljer

Eksamen S1, Høsten 2013

Eksamen S1, Høsten 2013 Eksamen S1, Høsten 013 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Funksjonen f er gitt ved Bestem f. f x 3x 3x 1, Df f

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk R1

GeoGebra-opplæring i Matematikk R1 GeoGebra-opplæring i Matematikk R1 Emne Underkapittel Vektorer 1.4 Lengden av vektorer 1.5 Skalarprodukt og vinkel mellom to vektorer 1.6 Forenkle uttrykk 2.1 Faktorisering 2.1 Grafisk løsning av eksponentiallikninger

Detaljer

Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra

Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra Anne-Mari Jensen Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra Innledning I ungdomsskolen kommer funksjoner inn som et av hovedområdene i læreplanen i matematikk. Arbeidet

Detaljer

Hvordan forandrer jeg på innstillingene langs aksene, slik at hele grafen viser? Dette kan du gjøre på seks ulike måter:

Hvordan forandrer jeg på innstillingene langs aksene, slik at hele grafen viser? Dette kan du gjøre på seks ulike måter: Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 3.0 bokmål. Jeg har lastet ned en installasjonsfil fra www.geogebra.org og installert programmet, men får det ikke til å fungere. Hva kan dette skyldes? Den vanligste

Detaljer

Løsningsforslag for eksempeloppgave REA3026 Matematikk S1 - April 2007. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksempeloppgave REA3026 Matematikk S1 - April 2007. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksempeloppgave REA3026 Matematikk S1 - April 2007 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i S1 er gratis, og det er

Detaljer

GeoGebra for Sinus 2T

GeoGebra for Sinus 2T GeoGebra for Sinus 2T Innhold Vektorer med GeoGebra Skalarproduktet med GeoGebra Parameterframstilling med GeoGebra Ordnede utvalg eksempelet på side 89 med GeoGebra Uordnede utvalg eksempelet på side

Detaljer

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS 03.10.2013 Manual til GeoGebra Ungdomstrinnet Ressurs til Grunntall 8 10 Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innhold Verktøy... 4 Hva vinduet i GeoGebra består av...

Detaljer

Skolelaboratoriet for matematikk, naturfag og teknologi. Kurshefte i GeoGebra. Ungdomstrinnet

Skolelaboratoriet for matematikk, naturfag og teknologi. Kurshefte i GeoGebra. Ungdomstrinnet Skolelaboratoriet for matematikk, naturfag og teknologi Kurshefte i GeoGebra Ungdomstrinnet Astrid Johansen - NTNU Skolelaboratoriet - 29.10.2013 GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk

Detaljer

Ny, GeoGebra til forkurset ved HiOA sommeren 2016

Ny, GeoGebra til forkurset ved HiOA sommeren 2016 Ny, GeoGebra til forkurset ved HiOA sommeren 2016 Fra Prøveveiledning, Matematikk 1P + 2P, Sentralt gitt skriftlig prøve etter forkurs i lærerutdanningene, 2016 1.6.2.1 Graftegner (programvare på datamaskin).

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Menyer..................................... 4 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

GeoGebraøvelser i geometri

GeoGebraøvelser i geometri GeoGebraøvelser i geometri av Peer Andersen Peer Andersen 2014 Innhold Innledning... 3 Øvelse 1. Figurer i GeoGebra... 4 Øvelse 2. Noen funksjoner i GeoGebra... 8 Øvelse 3. Omskrevet sirkelen til en trekant...

Detaljer

Introduksjon og installasjon Tegninger i motsetning til geometriske konstruksjoner

Introduksjon og installasjon Tegninger i motsetning til geometriske konstruksjoner Introduksjon og installasjon Tegninger i motsetning til geometriske konstruksjoner GeoGebra arbeidsark 1 Judith og Marcus Hohenwarter www.geogebra.org Oversatt av Anders Sanne og Jostein Våge Tilpasset

Detaljer

Matematisk visualisering

Matematisk visualisering 02/01/17 1/5 Matematisk visualisering Matematisk visualisering GLU 1.-7. trinn: Matematisk visualisering og konstruksjon - GeoGebra Innføring i GeoGebra (2 uv-timer) Denne delen er direkte knyttet til

Detaljer

Hva er nytt i GeoGebra 3.0? Sigbjørn Hals

Hva er nytt i GeoGebra 3.0? Sigbjørn Hals Hva er nytt i GeoGebra 3.0? Sigbjørn Hals 1 Dersom du vil ha en fullstendig oversikt over det som er nytt i versjon 3.0, kan du gå til denne nettsida: http://www.geogebra.org/static/geogebra_release_notes_prerelease.txt

Detaljer

GEOGEBRA (Versjon 5.0.150.12.september 2015)

GEOGEBRA (Versjon 5.0.150.12.september 2015) 1 INNFØRING GEOGEBRA (Versjon 5.0.150.12.september 2015) Østerås 12. september 2015 Odd Heir 2 Innhold Side 3-10 Innføring i GeoGebra 10-12 Utskrift 12-13 Overføring til Word 13-15 Nyttige tips 15-16 Stolpediagram

Detaljer

GeoGebra. Menylinjer og de vanligste funksjonene. GeoGebra

GeoGebra. Menylinjer og de vanligste funksjonene. GeoGebra 1 er et dynamisk geometriprogram. Ved hjelp av dette programmet kan du framstille forskjellige geometriske figurer, forskjellige likninger (likningssett) og ulike funksjonsuttrykk, og du kan gjøre endringer

Detaljer

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den

Detaljer

Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy

Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy 1 Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy Graftegner Det skal gå klart fram av den grafiske framstillingen hvilken skala og hvilken enhet som er brukt, på hver av aksene. Det er en

Detaljer

Del 1. Generelle tips

Del 1. Generelle tips Innhold Del 1. Generelle tips... 2 Bruk en "offline installer"... 2 Øk skriftstørrelsen... 3 Sett navn på koordinataksene... 3 Vis koordinater til skjæringspunkt, ekstremalpunkt m.m.... 4 Svar på spørsmålene

Detaljer

Lineær optimering med GeoGebra

Lineær optimering med GeoGebra Lineær optimering med GeoGebra av Sigbjørn Hals Eksempler fra læreboka Sinus S1 Cappelen, 2007 1 Før vi viser fremgangsmåten for lineær optimering, vil vi vise noen nyttige kommandoer og menyvalg i GeoGebra,

Detaljer

Kapittel 5. Lineære funksjoner

Kapittel 5. Lineære funksjoner Kapittel 5. Lineære funksjoner Funksjon er et av de viktigste begrepene i matematikken. Funksjoner handler om sammenhengen mellom to størrelser. I dette kapitlet repeterer vi stoffet om lineære funksjoner

Detaljer

GEOGEBRA (3.0) til R1-kurset

GEOGEBRA (3.0) til R1-kurset GEOGEBRA (3.0) til R1-kurset INNHOLD Side 1. Konstruksjon 2 1.1 Startvinduet 2 1.2 Markere punkter 3 1.3 Midtpunkt 4 1.4 Linje mellom punkter 5 1.5 Vinkelrett linje 6 1.6 Tegne en mangekant 6 1.7 Høyden

Detaljer

Oppgave 1 a) Tegn grafene til de tre funksjonene nedenfor i samme koordinatsystem i GeoGebra

Oppgave 1 a) Tegn grafene til de tre funksjonene nedenfor i samme koordinatsystem i GeoGebra kompetansemålet: Funksjoner - undersøkje funksjonar som beskriv praktiske situasjonar, ved å fastsetje nullpunkt, ekstremalpunkt og skjeringspunkt og tolke den praktiske verdien av resultata. Oppgave 1

Detaljer

GEOGEBRA (Versjon desember 2016)

GEOGEBRA (Versjon desember 2016) 1 MANUAL 1P 2P 2PY GEOGEBRA (Versjon 5.0.303.0 10. desember 2016) Østerås 14. desember 2016 Odd Heir 2 Innhold Side 3-12 Innføring i GeoGebra 12-15 Utskrift 16-17 Overføring til Word 17-18 Regneark i GeoGebra

Detaljer

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy Sinus 1P Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.0 og 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS 1 Innhold Litt om programmene... 4 GeoGebra

Detaljer

Løsningsforslag matematikk S1 V14

Løsningsforslag matematikk S1 V14 Løsningsforslag matematikk S1 V14 Oppgave 1 Bruker ABC-formelen: ABC-formelen gir x = 2 x = 3 x 2 + 3x 3 = 3 2x x 2 + 5x 6 = 0 x = b ± b 2 4ac 2a lg(x + 2) = 2 lg x lg(x + 2) = lg x 2 10 lg(x+2) lg x2

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

Løsningsforslag kapittel 3

Løsningsforslag kapittel 3 Løsningsforslag kapittel 3 Innhold Oppgave 3.2... 2 Oppgave 3.4... 2 Oppgave 3.8... 3 Oppgave 3.14... 5 Oppgave 3.17... 6 Oppgave 3.23... 7 Oppgave 3.29... 8 Oppgave 3.35... 9 Oppgave 3.38... 10 Oppgave

Detaljer

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk T Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1008 Matematikk T HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en

Detaljer

Oppgave 578. Tilleggsspørsmål: a. (Som i original oppgave)

Oppgave 578. Tilleggsspørsmål: a. (Som i original oppgave) Oppgave 578 Med tilleggsspørsmål og eksempler på bruk av GeoGebra. (I forsøket på å illustrere flere forskjellige teknikker er det ikke til å unngå at noen av spørsmålene til en viss grad overlapper hverandre.)

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Geogebra

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Geogebra Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra 1 Geogebra for Sigma matematikk 2P Innledning Denne bruksanvisningen er ment som en beskrivelse av dataprogrammet

Detaljer

R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a)

R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a) R kapittel 4 Funksjonsdrøfting Løsninger til oppgavene i boka 4. a 4 f( ) f ( ) 4 4 b g ( ) 6 c d e f 4. a b c d e f 4. a g ( ) 0 h ( ),8 4 h ( ),8,8 i ( ),8,8 i 0 ( ) j ( ) π j ( ) 0 k ( ) k ( ) f( )

Detaljer

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er 7.5 Potensfunksjoner Funksjonen f gitt ved f () = 3 er et eksempel på en potensfunksjon. For alle potensfunksjoner er funksjonsuttrykket på formen f () = a k der tallet a og eksponenten k kan være både

Detaljer

GeoGebra er et dynamisk matematikkprogram som kan lastes ned fra

GeoGebra er et dynamisk matematikkprogram som kan lastes ned fra GeoGebra er et dynamisk matematikkprogram som kan lastes ned fra http://www.geogebra.no/ eller http://www.geogebra.org/ Du kan velge å kjøre GeoGebra som en applikasjon i nettleseren, men jeg anbefaler

Detaljer

SINUS R1, kapittel 5-8

SINUS R1, kapittel 5-8 Løsning av noen oppgaver i SINUS R1, kapittel 5-8 Digital pakke B TI-Nspire Enkel kalkulator (Sharp EL-506, TI 30XIIB eller Casio fx-82es) Oppgaver og sidetall i læreboka: 5.43 c side 168 5.52 side 173

Detaljer

GeoGebra 3.2. for. ungdomstrinnet

GeoGebra 3.2. for. ungdomstrinnet GeoGebra 3.2 for ungdomstrinnet av Sigbjørn Hals 1 Innhold: Hva er GeoGebra?... 3 Hvor kan jeg få tak i dette programmet?... 3 Hvordan kommer jeg i gang med å bruke programmet?... 4 Å hente og legge til

Detaljer

Odd Heir John Engeseth Håvard Moe Ørnulf Borgan BOKMÅL. Matematikk 1P. forenklet

Odd Heir John Engeseth Håvard Moe Ørnulf Borgan BOKMÅL. Matematikk 1P. forenklet Odd Heir John Engeseth Håvard Moe Ørnulf Borgan BOKMÅL Matematikk P forenklet 0 Funksjoner Funksjoner Koordinatsstemet Andreaksen (-aksen) På figuren til venstre ser du et vanlig koordinatsstem. Den vannrette

Detaljer

QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen

QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære, 2. utgave Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene

Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Koordinatene til origo er (0, 0). b Vi leser av førstekoordinaten langs x-aksen og andrekoordinaten langs y-aksen for

Detaljer

Funksjoner med og uten hjelpemidler

Funksjoner med og uten hjelpemidler Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for dagen Del 1: 09:00-11:45 Lunsj: 11:45-12:15 Del 2: 12:15-14:30 Eksamensinformasjon: 14:30-15:00 Plan for tiden før lunsj Økt 1: 09:00-09:45 Økt 2: 10:00-10:45

Detaljer

2.1 Regnerekkefølge. 2.4 Brøkregning. 3.6 Rette linjer 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42

2.1 Regnerekkefølge. 2.4 Brøkregning. 3.6 Rette linjer 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42 Dette dokumentet oversetter kapittelet Lommeregnerstoff i Sinus 1P boka til Cappelen Damm til Excel- og GeoGebrastoff. Se brukerveiledningen i Lokus for perspektivtegning med GeoGebra..1 Regnerekkefølge

Detaljer

Fagdag CAS-trening

Fagdag CAS-trening Fagdag 03.12.2015 - CAS-trening Innhold: Viktige kommandoer på side 1. Eksempler på bruk av CAS side 1-4. Arbeidsoppgaver på side 5 og utover. Viktige kommandoer: Se oversiktene side 444 og side 446 i

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2015 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2015 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017 Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 215 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 217 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere funksjonen f(x) = x 3 + 2x. Formelen vi må bruke er (x n ) =

Detaljer

Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 bokmål

Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 bokmål Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 bokmål Jeg har lastet ned en installasjonsfil fra www.geogebra.org og installert programmet, men får det ikke til å fungere. Hva kan dette skyldes? Den vanligste

Detaljer

Løsning eksamen 2T våren 2008

Løsning eksamen 2T våren 2008 Løsning eksamen 2T våren 2008 Del 2 løst med pc Noen gode grunner til å lære å utnytte pc-en effektivt på eksamen: I eksamensinformasjonen står det: Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Introduksjon og installasjon Tegninger i motsetning til geometriske konstruksjoner

Introduksjon og installasjon Tegninger i motsetning til geometriske konstruksjoner Introduksjon og installasjon Tegninger i motsetning til geometriske konstruksjoner GeoGebra arbeidsark 2 Judith og Marcus Hohenwarter www.geogebra.org Oversatt av Anders Sanne og Jostein Våge Tilpasset

Detaljer