Elektrisk motor med last

Transkript

1 Inst. for teknisk kybernetikk Fag TELE2001 Reguleringsteknikk Øving 3, løsningsforslag Revidert sist Fredrik Dessen Elektrisk motor med last Figuren nedenfor viser en prinsippskisse for en likestrømsmotor med last. Systemet består av to deler; en elektrisk og en mekanisk. Skillet mellom de to går i luftgapet inni motoren. Der er det magnetfelt som sørger for energioverføringen. På den elektriske siden har vi konstantene Ra og La for hhv. ankermotstand og ankerinduktans. På den mekaniske siden karakteriseres systemet av treghetsmomentet J og dempningskonstanten d. + i a R a L a + J, d e I forbindelse med luftgapet opptrer i tillegg følgende sammenhenger: e = og T = i a, T, T v Her er e indusert spenning som følge av motorens rotasjonshastighet, mens T er moment ut fra motoren som følge av ankerstrømmen ia. Merk at det er vanlig å benytte om rotasjonshastigheten i en elektromotor, målt i rad/s. Dette må ikke forveksles med slik symbolet brukes i frekvensresponser (Bode eller Nyquist). Blokkdiagrammet nedenfor beskriver samme elektriske motor med last. For orden skyld oppgis at det trekantede symbolet i figuren representerer integrasjon over tid. Elektrisk Mekanisk i a 1/L a 1/J R a d Vedlagt oppgaven er et datablad for en bitteliten likestrømsmotor. Her henter vi følgende tallverdier for modell 08G61107: Ra = 11,8 Ω, La = 30 μh, KT = 2,86 mnm/a og Ke = 0,30 mv/rpm = 2,86 mv/(rad/s). Det er ikke tilfeldig at de to siste tallene er like. Det innebærer at de såkalte jerntapene i motoren er svært små.

2 TELE2001 Reguleringsteknikk, øving 3 Side 2 Vi ser også at rotorens treghetsmoment er 0,04 gcm 2 = kgm 2. Friksjon i motoren er oppgitt å være konstant lik 20 μnm. Dette kommer inn som en del av forstyrrelsen. Men: Vi skal anta at vi, når last er tilkoblet, har J = kgm 2 og d = 0,5 μnm/(rad/s). Du kan godt sette inn disse tallene. I så fall må du huske på modifikatorene milli-, mikro- og 10-9 som er benyttet. Jeg anbefaler alltid å vente lengst mulig med å sette inn tall. Del 1. Reduksjon av blokkdiagram Blokkdiagrammer inneholder nøyaktig samme informasjon som tilsvarende algebraiske ligninger. Oppgave 1.1. Forklar med egne ord hvilke fysiske sammenhenger blokkdiagrammet beskriver, og hvordan de henger sammen. Den elektriske delen er basert på spenningsbalanse: Kirchhoffs spenningslov. Her ser vi spenningene over spenningskilden, motstanden, spolen og motoren enten inn eller ut av summeringspunktene til venstre. Den mekaniske delen er basert på kraftbalanse. Her ser vi de forskjellige momentene (kreftene) på vei inn i summeringspunktet til høyre. Ut av summeringspunktet kommer motmomentet (-kraften) til den akselererende massen. Koblingen mellom elektrisk og mekanisk del er gitt av momentet i luftgapet er styrt av ankerstrømmen, og at motindusert spenning er gitt av rotasjonshastighet. Oppgave 1.2. Forklar kort hva man formelt gjør for å lage en Laplace-transformert utgave av dette blokkdiagrammet. Hvorfor må dette gjøres før man kan utføre neste deloppgave? Kort fortalt foretar man Laplace-transformasjon ved å erstatte derivasjon i tid med multiplikasjon med s. I praksis vil man erstatte integrasjonsblokkene i diagrammet med multiplikasjon med 1/s. I tillegg erstattes (eksplisitt eller implisitt) alle variable som er funksjoner av tid med, Laplace-transformerte variable som er funksjoner av s. Hele hensikten med Laplace-transformasjon er å gjøre det mulig å løse eller analysere lineære differensialligninger ved hjelp av algebraiske manipulasjoner. Reduksjon av blokkdiagrammer tilsvarer 1:1 algebraiske manipulasjoner. Oppgave 1.3. Reduksjonsreglene, som også omfatter regler for flytting av summasjons- og forgreningspunkter, er samlet i figur 3.2 i boka. Du finner noen flere i forelesningsnotatene. Sluttresultatet i denne oppgaven skal være i form av ett summeringspunkt og to blokker som representerer overføringsfunksjonene fra hhv. ua og Tv til.

3 TELE2001 Reguleringsteknikk, øving 3 Side 3 Reduser blokkdiagrammet fra innledningen. Gjør dette i trinn, som hvert representerer akkurat én konkret regel for reduksjon eller manipulasjon av blokkdiagrammer. Tips: For å spare plass kan du utføre reduksjoner i elektrisk og mekanisk del parallelt, så lenge disse ikke berører hverandre. Trinn 1: Reduksjon av seriekobling. To steder samtidig. i a 1/L a s 1/Js R a d Trinn 2: Reduksjon av tilbakekobling. To steder samtidig. 1/L a s i a 1/Js 1 + d/js Trinn 3. Reduksjon av seriekobling. Ett sted. /L a s i a 1/Js 1 + d/js

4 TELE2001 Reguleringsteknikk, øving 3 Side 4 Trinn 4: Flytting av summasjonspunkt /L a s /L a s 1/Js 1 + d/js Trinn 5 Flytting av summasjonspunkt over summasjonspunkt (forelesningsnotat) /L a s /L a s i a 1/Js 1 + d/js Trinn 6: Reduksjon av seriekobling /L a s ( /L a s) (1/Js) ()(1 + d/js) Her benytter vi anledningen til å rydde litt i uttrykkene før vi fortsetter ( )(Js + d)

5 TELE2001 Reguleringsteknikk, øving 3 Side 5 Trinn 7: Reduksjon av tilbakekobling ( )(Js + d) + Trinn 8: Flytting av summasjonspunkt ( )(Js + d) ( )(Js + d) + Trinn 9: Reduksjon av seriekobling - ( )(Js + d) ( )(Js + d) + Kommentar: Ved eksamen kan det være lurt å se nøye på spørsmålene. Dette kan redusere arbeidet ditt betydelig. I denne oppgaven står det «Gjør dette i trinn». Hadde det stått «Vis hvordan du gjør dette i trinn» ville du ikke trengt å finne overføringsfunksjonene hele veien. I dette tilfellet måtte du det. Oppgave 1.4. En alternativ måte å komme fram til overføringsfunksjonene er ved manipulasjon av algebraiske ligninger. Du trenger ingen kunnskap om elektromotorer for å gjøre dette. Sett opp tilstrekkelig mange algebraiske ligninger ut fra blokkdiagrammet over. Kombiner og manipuler ligningene slik at du kommer fram til de samme to overføringsfunksjonene som i forrige oppgave. Rundt summasjonspunktene til venstre i blokkdiagrammet finner vi L a si a (s) = (s) (s) R a i a (s) Venstresiden er dannet ved å gå fra i a bakover over integratoren og over 1/L a. L a si a (s) + R a i a (s) = (s) (s) ( )i a (s) = (s) (s) i a (s) = (s) (s) Rundt summasjonspunktet til høyre i blokkdiagrammet finner vi Js(s) = i a (s) + T v (s) d(s)

6 TELE2001 Reguleringsteknikk, øving 3 Side 6 Venstresiden er dannet ved å gå fra bakover over integratoren og over 1/J. Setter nå inn uttrykket vi fant for i a (s): Js(s) + d(s) = i a (s) + T v (s) (Js + d)(s) = i a (s) + T v (s) (Js + d)(s) = (s) (s) + T L a s + R v (s) a ( )(Js + d)(s) = (s) (s) + ( )T v (s) ( )(Js + d)(s) + (s) = (s) + ( )T v (s) (( )(Js + d) + )(s) = (s) + ( )T v (s) (s) = (s) + ( )T v (s) ( )(Js + d) + Vi kjenner igjen overføringsfunksjonene fra oppgave 1.3: h ua (s) (s) (s) = h Tv (s) (s) T v (s) = ( )(Js + d) + ( )(Js + d) + Kommentar: Igjen kan det være lurt å se nøye på spørsmålene. Dette kan redusere arbeidet ditt betydelig. I denne oppgaven står det ingenting om hvilken form overføringsfunksjonene skal presenteres på. Se likevel neste oppgave. Del 2. Matlab I reguleringsteknisk symbolbruk benevnes disse størrelsene hhv. u, y og v, og vi skal gå over til å bruke disse benevnelsene sammen med r og e som vi også kjenner fra forelesningene. Standard form: Du bør normalt sette opp polynomene i teller og nevner ekspandert til formen a 0 + a 1 s + a 2 s 2 + a 3 s 3 + a 4 s 4 + Tenk gjerne også på å gjøre uttrykkene totalt sett minst mulig kompliserte. Det er denne formen overføringsfunksjonene over er på. Likevel; hvis det er lett å dele opp nevneren i enklere faktorer av typen a 1 s, (1 + a 1 s), (1 + a 1 s + a 2 s 2 ) osv, så gjør det. Da vil det være lettere å løse med hensyn på s ved en eventuell senere anledning. Oppgave 2.1. La oss kalle overføringsfunksjonene fra u(s) til y(s) og fra v(s) til y(s) i det uregulerte systemet for hhv. h uy (s) og h vy (s). Basert på det du gjorde i forrige oppgavedel; skriv opp detaljerte uttrykk på standard form for disse overføringsfunksjonene.

7 TELE2001 Reguleringsteknikk, øving 3 Side 7 Disse uttrykkene er hentet nesten direkte fra oppgave 1.3 eller 1.4: h uy (s) y(s) u(s) (s) (s) = h vy (s) y(s) v(s) (s) T v (s) = Her er forresten uttrykkene med tall innsatt: Oppgave 2.2. h uy (s) = h vy (s) = L a Js 2 + (L a d + R a J)s + R a d + L a Js 2 + (L a d + R a J)s + R a d (3.0000e-13)s 2 + (1.1802e-07)s + (1.4080e-05) (3.0000e 05)s (3.0000e-13)s 2 + (1.1802e-07)s + (1.4080e-05) Her skal du gjøre akkurat det samme som i oppgaven over, men bruke Matlab. Du finner noen tips i notatet Polynomer i Matlab som legges ut på Blackboard. Som script i Matlab: Sett opp uttrykkene, sett inn tall, og lag overføringsfunksjonene h uy (s) og h vy (s) ved hjelp av standardfunksjonen tf(). Følgende script er laget en gang for alle: % Script Ov3_22 % Parametre for elektromotor Kt = 2.86e-3; Ke = 2.86e-3; Ra = 11.8; d = 0.5e-6; La = 30e-6; J = 10e-9; % Prosess tpros = Kt; a2 = La*J; a1 = La*d + Ra*J; a0 = Ra*d + Kt*Ke; npros = [a2 a1 a0]; pros = tf(tpros, npros) % Forstyrrelse tfors = [La Ra]; nfors = npros; fors = tf(tfors, nfors)

8 TELE2001 Reguleringsteknikk, øving 3 Side 8 Dette er utskriften i kommandovinduet: >> Ov3_22 pros = e-13 s^ e-07 s e-05 Continuous-time transfer function. fors = 3e-05 s e-13 s^ e-07 s e-05 Continuous-time transfer function. Oppgave 2.3. Overføringsfunksjonen for en PI-regulator kan skrives h PI (s) u(s) e(s) K 1 + T i s p T i s Du kan sette inn proporsjonalforsterkningen K p = 0,1 og integraltiden K p = 3 μs. Som script i Matlab: Sett opp uttrykkene, sett inn tall, og lag overføringsfunksjonen h PI (s) ved hjelp av standardfunksjonen tf(). Følgende script er kjørt: % Script Ov3_23 % Regulator Ti = 3e-6; Kp = 0.1; treg = Kp*[Ti 1]; nreg = [Ti 0]; reg = tf(treg, nreg) Dette er utskriften i kommandovinduet: >> Ov3_23 reg = 3e-07 s e-06 s Continuous-time transfer function. Del 3. Overføringsfunksjoner for regulert system Vi skal nå regulere hastigheten på motoren. I denne forbindelse benyttes ankerspenningen ua som pådrag og vinkelhastigheten som måling. Vi har fortsatt en forstyrrelse i form av Tv. Vi fortsetter likevel å benytte benevnelsene u, y og v sammen med r og e som vi også kjenner fra forelesningene. Oppgave 3.1. Tilbake til reduksjon av blokkdiagrammer. Denne gangen av den overordnede typen. Du har overføringsfunksjonene h PI (s), h uy (s) og h vy (s), og skal nå tegne et blokkdiagram som viser samspillet mellom disse blokkene i et regulert system. Diagrammet skal inneholde alle signaler og overføringsfunksjoner.

9 TELE2001 Reguleringsteknikk, øving 3 Side 9 Tegn blokkdiagrammet for det regulerte systemet, inklusive generiske signalnavn. v(s) h vy (s) r(s) e(s) h PI (s) u(s) h uy (s) y(s) Oppgave 3.2. I denne oppgaven skal svaret oppgis i form av generelle uttrykk, altså basert på h PI (s), h uy (s) og h vy (s), så du trenger i første omgang ikke sette inn de detaljerte uttrykkene. Finn overføringsfunksjonene fra r(s) til y(s) og fra v(s) til y(s) i det for det regulerte systemet. Kall dem gjerne h ry(reg) (s) og h vy(reg) (s). Hvis vi tenker reduksjon av blokkdiagrammer, går vi gjennom følgende operasjoner, denne gangen uten illustrasjon: Flytt angrepspunkt for forstyrrelse bakover, til angrepspunktet for settpunktet. Reduser tilbakekoblingen. Flytt angrepspunkt for forstyrrelse forover igjen, til prosessverdien. Alternativt: Vi har lært følgende formler for overføringsfunksjonene i regulerte systemer h ry(reg) (s) = h 0(s) 1 + h 0 (s) h vy(reg) (s) = h vy(s) 1 + h 0 (s) Her er h 0 (s) den åpne sløyfens overføringsfunksjon. Fra blokkdiagrammet i oppgave 2.3 ser vi at: For begge alternativer ender vi med h 0 (s) = h PI (s)h uy (s) h ry(reg) (s) = h PI(s)h uy (s) 1 + h PI (s)h uy (s) h vy (s) h vy(reg) (s) = 1 + h PI (s)h uy (s)

10 TELE2001 Reguleringsteknikk, øving 3 Side 10 Oppgave 3.3. Her spørres det om det samme som i oppgaven over, men som Matlab-kode. Du finner noen tips i notatet Polynomer i Matlab som legges ut på Blackboard. Still opp svaret en gang til. Denne gangen i form av en m-funksjon som tar inn de tre overføringsfunksjonene og returnerer de to som det spørres om i forrige oppgave. Funksjonen kan se slik ut: function [hryreg, hvyreg] = tilbk(hreg, huy, hvy) % Overføringsfunksjoner for regulert system % Denne funksjonen returnerer overføringsfunksjonene fra referanse til måling % og fra forstyrrelse til måling for et regulert system. % % Tar inn: Overføringsfunksjonene hreg, huy og hvy for hhv. regulator, % prosess og forstyrrelse. Alle argumenter er i tf-format. % % Returnerer: Overføringsfunksjonene hryreg og hvyreg fra hhv. referanse % og forstyrrelse til måling for det regulerte systemet. Alle retur- % verdier er i tf-format. % % Se også tf() h0 = hreg*huy; hryreg = h0/(1 + h0); hvyreg = hvy/(1 + h0); end Oppgave 3.4. Her skal du kjøre funksjonen du nettopp har laget, overføringsfunksjonene du har funnet tidligere skal være argumenter inn i denne. Du vil se at resultatet kan bli ganske overveldende, men at det likevel går an å finne ut litt fra dem. Kjør funksjonen fra forrige oppgave med overføringsfunksjonene fra tidligere. Hva blir grenseverdiene for overføringsfunksjonene når s 0 og s? Følgende kommando er kjørt: >> [hryreg, hvyreg] = tilbk(reg, pros, fors) Dette er utskriften i kommandovinduet: hryreg = 7.722e-28 s^ e-22 s^ e-16 s^ e-14 s e-37 s^ e-31 s^ e-25 s^ e-22 s^ e-16 s^ e-14 s Continuous-time transfer function. hvyreg = 2.7e-23 s^ e-17 s^ e-12 s^ e-10 s e-31 s^ e-25 s^ e-20 s^ e-16 s^ e-11 s e-09 Continuous-time transfer function. Dette ser jo slett ikke pent ut. Imidlertid finner vi at h ry(reg) (s) går mot 9, s 2 når s. h ry(reg) (s) går mot 1 når s 0.

11 TELE2001 Reguleringsteknikk, øving 3 Side 11 og h vy(reg) (s) går mot s 1 når s. h vy(reg) (s) går mot 0,12 s når s 0.