Spørretime / Oppsummering

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Spørretime / Oppsummering"

Transkript

1 MAS107 Reguleringsteknikk Spørretime / Oppsummering AUD F 29. mai kl. 10:00 12:00 Generell bakgrunnsmateriale Gjennomgang av eksamen 2006 MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 1 G. Hovland Presentasjon tilgjengelig på: PID Regulator n Hva står PID for? n P - Proportional n I - Integrator n D - Derivator MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 2 Referanse - e P I D Pådrag u (Gasspedal) System (Cruisecontrol) Referanse: er i dette eksempelet ønsket hastighet e: er et feilsignal. Forskjellen mellom ønsket og reell hastighet Måling y (Hastighet)

2 MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 4 MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 3 P-Leddet P e u Proporsjonalitetskonstanten For eksempel, K=2 og feilsignal som nedenfor: Utsignal fra P-Leddet e u

3 PC-basert reguleringssystem D/A A/D y ref Regulator System - MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 5 Noen PC-baserte reguleringssystem: LabView, Matlab/xPC, vxworks, Mekanisk P-regulator K Kraft F 0 Avstand x Hvis kraften F er pådrag og avstanden x reguleringsfeilen, så tilsvarer en mekanisk fjær en P-regulator. MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 6 Hvis vi drar i fjæren med en kraft F, så prøver fjæren å regulere punktet x tilbake til null. Kraften F blir proporsjonal med avstanden x.

4 D-Leddet e D u For eksempel, K D =2 og feilsignal som nedenfor: Derivatkonstanten = 1 e MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 7 u Mekanisk PD-regulator K Kraft F K D 0 Avstand x Hvis kraften F er pådrag og avstanden x reguleringsfeilen, så tilsvarer en mekanisk demper en D-regulator. MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 8 Hvis vi drar i fjæren med en kraft F, så prøver fjæren og demperen å regulere punktet x tilbake til null. Kraften F blir en kombinasjon av avstanden x og hastigheten til x.

5 I-Leddet e I u For eksempel, K I =0.5 og feilsignal som nedenfor: Integralkonstanten u MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 9 e Mekanisk PID-regulator K Kraft F K D Aktivt element K I 0 Avstand x MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 10 Integratoren er et aktivt element. Så lenge det finnes en avstand som er større enn null (e = 0 x er negativ) så kommer integratoren til å øke (integrere) kraften i negativ retning helt til x er tilbake til null. En integrator brukes derfor ofte for å få null avvik, mens derivatoren brukes for å dempe svingninger (fjerne energi).

6 PID regulator skrevet på ulike former MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 11 Eksamensoppgave 1, 2006 n Gitt et tilbakekoplet reguleringssystem der prosessen bl.a. er påvirket av forstyrrelsen v. Settpunktet (referansen) y SP er konstant. Skisser i ett og samme diagram den prinsippelle responsen i prosessutgangen y etter et sprang i v for følgende 5 regulatorfunksjoner. Det antas at det nominelle (manuelt innstilte) pådraget har korrekt verdi før spranget i v. K 1 Manuelt innstilt pådrag u MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 12 0 D 1 Avstand y SP Masse m Forstyrrelse v NB: Fjæren og demperen er en del av prosessen, ikke regulatoren!

7 MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 14 MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 13 Fast (konstant) pådrag K1 D1 Masse m Manuelt innstilt pådrag u Forstyrrelse v Avstand ysp Her begynner forstyrrelsen Av/på regulator K1 D1 Masse m 0 1 Forstyrrelse v Avstand ysp

8 P-regulator K 1 Manuelt innstilt pådrag u D 1 Masse m Forstyrrelse v K (P-regulator) y SP Med P-regulator MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 15 Uten PI - regulator Manuelt innstilt pådrag u D 1 Masse m Forstyrrelse v K (P-regulator) Aktivt element y SP PI-regulator MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 16 Det aktive I-leddet blir til slutt lik forstyrrelsen, men med motsatt fortegn.

9 PID - regulator Manuelt innstilt pådrag u D 1 K (P-regulator) Aktivt element Masse m Forstyrrelse v PID D y SP MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 17 D-leddet kan forhindre store oversvingninger Eksamensoppgave 2, 2006 n Figur 1 viser en flistank med mateskrue og transportbånd (båndet går med konstant hastighet). Det er forbruk av flis fra bunnen av tanken. Massestrømmen w s fra mateskruen til båndet antas å være proporsjonal med skruestyresignalet u: n Massestrømmen w inn inn til flistanken antas å være lik w s tidsforsinket med tiden τ: MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 18 n Utvikle en matematisk modell for flisnivået.

10 Eksamensoppgave 2, 2006: Figur 1 MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 20 MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 19 Eksamensoppgave 2, 2006 n Volumet i tanken er arealet A multiplisert med høyden h (m 2 * m) n Total masse i tanken er tetthet ρ multiplisert med volumet V. n Massebalansen blir da: (kg/m 3 * m 3 )

11 Eksamensoppgave 3, 2006 n Tegn et detaljert matematisk blokkdiagram av følgende matematiske modell, der x er utgangsvariabel og u er inngangsvariabel og initialtilstanden er x 0 : n Første steg er å omskrive modellen på standard form: MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 21 Eksamensoppgave 3, 2006 n Begynn med å tegne x og den tidsderiverte ẋ x n Dette er ofte en fornuftig måte å begynne blokkdiagrammet på og som leder fram til en enkel tegning. Neste steg kan da leses fra systemligningen: MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 22 Ku(t-τ) + - x(t) 1/T ẋ x

12 Eksamensoppgave 3, 2006 Initialtilstand x 0 u(t) t-τ K + - 1/T ẋ x(t) x MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 23 Eksamensoppgave 4, 2006 n Beskriv Ziegler-Nichols lukket sløyfe-metode for innstilling av parametrene i en PID-regulator. Formler MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 24 n John Ziegler: n Nathanial Nichols: n Ziegler-Nichols Metoden presentert i 1941 da de var hhv. 32 og 27 år. Nichols også oppfinner av Nichols diagram.

13 Eksamensoppgave 4, 2006 n Lukket reguleringssystem y ref - PID u System y n Åpent reguleringssystem MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 25 y ref - PID u System y Eksamensoppgave 4, 2006 MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 26 n Prosessen bringes til eller nær det nominelle arbeidspunktet ved å justere det nominelle pådraget mens regulatoren står i manuell modus. n T i settes lik eller så stor som mulig eller kjempestor. T d settes lik 0. K p settes lik 0. n Regulatoren settes i automatisk modus. n K p økes inntil det oppstår stående svingninger i reguleringssløyfen. Denne K p -verdien betegnes K pk. Det kan være nødvendig å eksitere systemet med et lite sprang i settpunktet for å få tilstrekkelig tydelige (observerbare) responser. Periodetiden T k på svingningene i prosessmålingen (evt. i pådraget) leses av. n PID-parameterene beregnes ut fra det oppgitte formlene

14 Eksamensoppgave 4, 2006 n Stående svingninger T k MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 28 MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 27 Åpen-sløyfe Ziegler-Nichols n Eksitér systemet med for eksempel et sprang n P: K = T / (dpv * L) n PI: K = 0.9K, T i = 3.3L n PID: K = 1.2K, T i = 2L, T d = 0.5L

15 Eksamensoppgave 5, 2006 MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 29 n Beskriv kort adaptiv regulering basert på gain scheduling (også kalt parameterstyrt regulering). Beskriv kort et konkret eksempel der gain scheduling er fordelaktig. n Ved gain scheduling er PID-parametrene funksjoner av en gain scheduling (GS) variabel som representerer prosessens varierende dynamiske egenskaper. GSvariabelen brukes til oppslag i en PID-parametertabell. Parametertabellen inneholder et sett av PID-parameterverdier funnet ved regulatorinnstilling ved forskjellige verdier av GS-variabelen. Tabelloppslaget baseres på en eller form for interpolering. Et konkret eksempel der gain scheduling er fordelaktig er temperaturregulering av en blandetank der massegjennomstrømningen F varierer betydelig. Prosessdynamikken varierer med F. Eksamensoppgave 5, 2006 Gain scheduling GS variabel y ref - PID u Ulineært System y MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 30 PID regulering gjelder for lineære systemer. For ulineære systemer så benyttes flere ulike PID-innstillinger basert på ulike lineariserte modeller.

16 Eksamensoppgave 6, 2006 n Forklar hvorfor integralleddet i en PID-regulator sikrer null statisk reguleringsavik. n Se slide nummer 10. K D Kraft F MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 31 0 Aktivt element K I Avstand x Eksamensoppgave 7, 2006 n a) Skisser den prinsipielle sprangresponsen for et 1. ordens system med tidskonstant T og forsterkning K n b) Hva er forsterkningen, tidskonstanten og -3dB båndbredden (knekkfrekvensen) for systemet MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 32

17 Eksamensoppgave 7a, 2006 MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 34 MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 33 Eksamensoppgave 7b, 2006 n Vi skriver først H(s) på standardform n Vi får dermed forsterkning K=1, tidskonstant T=0.5 og -3dB båndbredden er w b = 2 rad/s

18 Sinusoidal Frequency Response Figure 10.2 MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 35 a. system; b. transfer function; c. input and output waveforms Frequency Response Definitions M o ( w) φ ( w) = M ( w) M ( w) [ φ ( w) + φ( w)] o i i Measured Outputs Inputs The System s Frequency Response MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 36 M ( w) φ( w) M M ( w) ( w) o = Gain = φ ( w) φ ( w) o i i Phase

19 Example Magnitude Response MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 38 MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 37 Eksamensoppgave 8, 2006 n Tegn mulige Bodeplott for sløyfetansferfunksjonens amplitudeforsterkningsfunksjon og faseforskyvningsfunksjon for et reguleringssystem som har forsterkningsmargin lik 6dB, fasemargin 45 grader og båndbredde 0.2Hz. Generelt: Hva er rimelige verdiområder for forsterkningsmarginen og fasemarginen for et reguleringssystem?

20 MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 40 MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 39 Eksamensoppgave 8, 2006 Eksamensoppgave 9, 2006 n Utled amplitudeforsterkningsfunksjonen og faseforskyvningsfunksjonen for følgende transferfunksjon:

21 MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 42 MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 41 Eksamensoppgave 9, 2006 n Nyttige formler for komplekse tall Eksamensoppgave 9, 2006 n Frekvensresponsen er: Amplitude funksjon Rektangulær form Fase funksjon

22 Eksamensoppgave 10, 2006 n Beskriv kort et konkret eksempel på kaskaderegulering (tegn teknisk flytskjema av reguleringssystemet). Forklar hvorfor kaskaderegulering er fordelaktig i ditt eksempel. MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 43 n Figuren på neste side viser et instrumenteringsskjema for et temperaturreguleringssystem for en varmeveksler basert på kaskaderegulering. Trykkreguleringssløyfen vil kompensere for trykkvariasjoner i damptilførselen. Dette vil medføre at effektfilførselen blir jevnere, dvs. mindre påvirket av trykkvariasjonene, og dette vil igjen medføre at temperaturen får et jevnere forløp. n Generelt kan man benytte kaskaderegulering når man vil at en indre størrelse skal reguleres raskere enn en ytre størrelse. Eksamensoppgave 10, 2006 MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 44

23 Foroverkobling n Foroverkobling (FFW) brukes når en har en god matematisk modell av prosessen. n Foroverkobling kan føre til en mye raskere respons enn tilbakekobling. n Det kan sammenlignes med å kjøre bil: n tilbakekobling er som å styre ved å kikke på midtlinjen i speilet. n foroverkobling er som å styre ved å kikke på midtlinjen rett foran bilen. n Model Predictive Control (utenfor pensum) ser fram i tid. MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 45 y ref - FFW PID + System FFW er ofte en invers modell av systemet y Foroverkobling n Kan også gjøre FFW fra en forstyrrelse (hvis denne kan måles) C ff (s) G ff (s) D(s) G d (s) MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 46 Y sp (s) + - G c (s) C fb (s) + + G p (s) + + Y(s)

24 Foroverkobling n Tilbakekobling venter til en forstyrrelse har påvirket prosessen før den begynner å korrigere n Foroverkobling begynner å korrigere allerede før forstyrrelsen har påvirket prosessen. n Foroverkobling krever både en modell og måling av forstyrrelsen, noe som ofte ikke er tilfelle. MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 48 MAS107 Reguleringsteknikk, 2007: Side 47 Mekatronikk fra høsten 2007

Eksperimentell innstilling av PID-regulator

Eksperimentell innstilling av PID-regulator Kapittel 4 Eksperimentell innstilling av PID-regulator 4.1 Innledning Dette kapitlet beskriver noen tradisjonelle metoder for eksperimentell innstilling av regulatorparametre i P-, PI- og PID-regulatorer,

Detaljer

Finn Haugen. Oppgaver i reguleringsteknikk 1. Nevn 5 variable som du vet eller antar kan være gjenstand for regulering i industrianlegg.

Finn Haugen. Oppgaver i reguleringsteknikk 1. Nevn 5 variable som du vet eller antar kan være gjenstand for regulering i industrianlegg. Finn Haugen. Oppgaver i reguleringsteknikk 1 Oppgave 0.1 Hvilke variable skal reguleres? Nevn 5 variable som du vet eller antar kan være gjenstand for regulering i industrianlegg. Oppgave 0.2 Blokkdiagram

Detaljer

Reguleringsteknikk med LabVIEW og MathScript eksempler

Reguleringsteknikk med LabVIEW og MathScript eksempler Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics Reguleringsteknikk med LabVIEW og MathScript eksempler HANS- PETTER HALVORSEN, 2013.11.08 Faculty

Detaljer

Forord. Mer enn bare papirbok

Forord. Mer enn bare papirbok MED NETTRESSURS Forord Forord Dette er en av to bøker om praktisk automatiseringsteknikk. Denne boken, automatiseringsteknikk 2, tar for seg praktisk reguleringsteknikk og systemforståelse. Bok 2, automatiseringsteknikk

Detaljer

Eksempel på løsning DEL 1

Eksempel på løsning DEL 1 Eksempel på løsning DEL 1 Eksamen MAT0010 Matematikk 10. årstrinn (Elever) 0.05.011 Bokmål Innledning Formålet med Eksempel på løsning av Del 1 i Eksamen MAT0010 Matematikk, 10. årstrinn, er blant annet

Detaljer

Hvorfor er ikke hvitt en farge? Hvorfor blir speilbildet speilvendt? Hvor kommer fargene i regnbuen fra? Hvorfor er solnedgangen rød?

Hvorfor er ikke hvitt en farge? Hvorfor blir speilbildet speilvendt? Hvor kommer fargene i regnbuen fra? Hvorfor er solnedgangen rød? Hvorfor er ikke hvitt en farge? Hvorfor blir speilbildet speilvendt? Hvor kommer fargene i regnbuen fra? Hvorfor er solnedgangen rød? Er en tomat rød i mørket? Dette kapittelet kan gi deg svar på disse

Detaljer

Seismisk inversjon ved bruk av genetiske algoritmer

Seismisk inversjon ved bruk av genetiske algoritmer Seismisk inversjon ved bruk av genetiske algoritmer Fredrik Helland Master i elektronikk Oppgaven levert: Juni 2006 Hovedveileder: Åge Kristensen, IET Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt

Detaljer

Start et nytt Scratch-prosjekt. Slett kattefiguren, for eksempel ved å høyreklikke på den og velge slett.

Start et nytt Scratch-prosjekt. Slett kattefiguren, for eksempel ved å høyreklikke på den og velge slett. Hvor i All Verden? Del 1 Introduksjon Hvor i All Verden? er et reise- og geografispill hvor man raskest mulig skal fly innom reisemål spredt rundt i Europa. I denne første leksjonen vil vi se på hvordan

Detaljer

Tilstandsrommodeller. Hans- Pe1er Halvorsen, M.Sc.

Tilstandsrommodeller. Hans- Pe1er Halvorsen, M.Sc. Tilstandsrommodeller Hans- Pe1er Halvorsen, M.Sc. Tilstandsrom- modeller Dataverktøy Spesial>lfelle MathScript LabVIEW Differensial - likninger Tidsplanet Laplace Blokk- diagrammer Transfer- funksjoner

Detaljer

Planlegging og utførelse av komprimeringsarbeid

Planlegging og utførelse av komprimeringsarbeid Vegdirektoratet Trafikksikkerhet, miljø- og teknologiavdelingen Vegteknologi Februar 2014 Planlegging og utførelse av komprimeringsarbeid Varige veger 2011-2014 STATENS VEGVESENS RAPPORTER Nr. 284 Foto:

Detaljer

Kapittel 5. Regning med forhold

Kapittel 5. Regning med forhold Kapittel 5. Regning med forhold Forholdet mellom to tall betyr det ene tallet delt med det andre. Regning med forhold er mye brukt i praktisk matematikk. I dette kapitlet skal vi bruke forhold i blant

Detaljer

GeoGebra 3.2. for. ungdomstrinnet

GeoGebra 3.2. for. ungdomstrinnet GeoGebra 3.2 for ungdomstrinnet av Sigbjørn Hals 1 Innhold: Hva er GeoGebra?... 3 Hvor kan jeg få tak i dette programmet?... 3 Hvordan kommer jeg i gang med å bruke programmet?... 4 Å hente og legge til

Detaljer

Har gradert sykmelding effekt på sykefraværet?

Har gradert sykmelding effekt på sykefraværet? Har gradert sykmelding effekt på sykefraværet? Av Inger Cathrine Kann, Søren Brage, Arne Kolstad, Jon Petter Nossen og Ola Thune 1 Sammendrag I artikkelen beskriver vi resultater fra en analyse av gradert

Detaljer

Forslag til ny eksamensordning med kommentarer 2012

Forslag til ny eksamensordning med kommentarer 2012 Forslag til ny eksamensordning med kommentarer 2012 MAT0010 Matematikk 10. årstrinn (Elever) Del 1 Forslag til ny eksamensordning fra våren 2015: Del 1: 2 timer Del 2: 3 timer Nye minstekrav til digitale

Detaljer

3.1 Mølla er grovt sett bygget opp av fem hoveddeler:

3.1 Mølla er grovt sett bygget opp av fem hoveddeler: 3 Teknikk For å få en forståelse av hvordan en vindmølle fungerer, hva reaktiv effekt er og hvorfor det må fasekompenseres må den grunnleggende teorien om møllenes komponenter være på plass. Tallene som

Detaljer

HVORDAN NÅ DINE MÅL. http://pengeblogg.bloggnorge.com/

HVORDAN NÅ DINE MÅL. http://pengeblogg.bloggnorge.com/ HVORDAN NÅ DINE MÅL http://pengeblogg.bloggnorge.com/ Innledning Dersom du har et ønske om å oppnå mye i livet, er du nødt til å sette deg ambisiøse mål. Du vil ikke komme særlig langt dersom du ikke aner

Detaljer

Operativ temperatur, robusthet enebolig kjøkken-allrom. Operativ temperatur, tiltakspakke 24 cellekontor. Operativ temperatur, tiltak 5.

Operativ temperatur, robusthet enebolig kjøkken-allrom. Operativ temperatur, tiltakspakke 24 cellekontor. Operativ temperatur, tiltak 5. Ida H. Bryn, Arnkell J. Petersen, Line R. Karlsen og Søren Gedsø Tiltak mot høye temperaturer i passivhus Del I Teori, erfaringer, anbefalinger og case-studier C 30 28 26 24 Operativ temperatur, tiltakspakke

Detaljer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer REGEL 1: Addisjon av identitetselementer Addisjon av identitetselementer a + 0 = a x + 0 = x Et identitetselement (nøytralt element) er et element som ikke medfører noen endring når det kombineres med

Detaljer

Beslutninger på lang sikt prosjektanalyse

Beslutninger på lang sikt prosjektanalyse kapittel 4 Beslutninger på lang sikt prosjektanalyse Investeringsbeslutninger er langsiktige og gjerne betydelige i størrelse. Det krever helt andre analyseverktøy enn beslutninger på kort sikt. Når vi

Detaljer

Den blokkerende misoppfatning

Den blokkerende misoppfatning Den blokkerende misoppfatning Olav Nygaard og Anja Glad Zernichow Vi vet alle at dersom det sitter en propp i et rør, så kan ikke vannet renne gjennom det. Lengden på proppen betyr ingenting for dens evne

Detaljer

ABSOLUTTVERDIKRETS FPGA

ABSOLUTTVERDIKRETS FPGA 8 Vedlegg: Rapport veiledning TFE4105: Lab høst 2009 Fag TFE4105 Digitalteknikk og datamaskiner Eksempel RAPPORT LAB 2 ABSOLUTTVERDIKRETS FPGA av Hans Hansen Ole Olsen Lab gruppe 123 Lab utført: 24.9.2009

Detaljer

Når Merge sort og Insertion sort samarbeider

Når Merge sort og Insertion sort samarbeider Når Merge sort og Insertion sort samarbeider Lars Sydnes 8. november 2014 1 Innledning Her skal vi undersøke to algoritmer som brukes til å sortere lister, Merge sort og Insertion sort. Det at Merge sort

Detaljer

3. utgave, ny versjon

3. utgave, ny versjon 3. utgave, ny versjon Høgskolen i Oslo Avdeling for journalistikk, bibliotek- og informasjonsfag 2005 Innhold. Hvorfor statistikk for bibliotekarer?............................................... 4.. Hva

Detaljer

NB! Det er nytt fra fakultetet at vi publiserer dette dokumentet.

NB! Det er nytt fra fakultetet at vi publiserer dette dokumentet. NB! Det er nytt fra fakultetet at vi publiserer dette dokumentet. Alle dokumenter i forbindelse med den nye prøveordningen vil bli vurdert underveis, og eventuelt revidert på slutten av semesteret. VEILEDNING:

Detaljer

Den nye studiehverdagen

Den nye studiehverdagen Evaluering av Kvalitetsreformen DELRAPPORT 6 Den nye studiehverdagen Per Olaf Aamodt, Elisabeth Hovdhaugen og Vibeke Opheim Evaluering av Kvalitetsreformen Delrapport 6 Den nye studiehverdagen Per Olaf

Detaljer

Hva er det? Steg 1: Få flere ting til å vise seg på tavlen. Sjekkliste. Test prosjektet. Introduksjon

Hva er det? Steg 1: Få flere ting til å vise seg på tavlen. Sjekkliste. Test prosjektet. Introduksjon Hva er det? Introduksjon Et bilde av en tilfeldig ting vises på tavlen. Men bildet er forvrengt, slik at du må gjette hva det er ved å klikke på et av alternativene som vises under. Desto raskere du gjetter

Detaljer

Den dialogiske barnesamtalen

Den dialogiske barnesamtalen Den dialogiske barnesamtalen Hvordan snakke med barn om sensitive temaer Åse Langballe 2011 Nasjonalt kunnskapssenter om vold og traumatisk stress a/s www.nkvts.no Den dialogiske barnesamtalen Hvordan

Detaljer

Effekten av fastpris pa bøker

Effekten av fastpris pa bøker NORGES HANDELSHØYSKOLE Bergen, vår 2012 Effekten av fastpris pa bøker En teoretisk tilnærming Jørgen Roberg Andersen Veileder: Sissel Jensen Masterutredning i fordypningsområdet Økonomisk Analyse (ECO)

Detaljer

Usikkerheter i gassparametre ut fra gasskomposisjon

Usikkerheter i gassparametre ut fra gasskomposisjon Usikkerheter i gassparametre ut fra gasskomposisjon Kjell-Eivind Frøysa, CMR Instrumentation De senere årene har det blitt et forsterket fokus på usikkerhetsberegning i forbindelse med gassmålinger. Dette

Detaljer

Oppsummering om kretser med R, L og C FYS1120

Oppsummering om kretser med R, L og C FYS1120 Oppsummering om kretser med R, L og C FYS1120 Likestrømskretser med motstander Strøm og spenning er alltid i fase. Ohms lov: V = RI Effekt er gitt ved: P = VI = RI 2 = V 2 /R Kirchoffs lover: Summen av

Detaljer