Oppgave 1.1. Den første er en klassiker. Studer figur A4.1 i vedlegg 1. Finn overføringsfunksjonen ved hjelp av manuelle, grafiske metoder.

Transkript

1 Inst. for teknisk kybernetikk TELE2001 Reguleringsteknikk Øving 4 Revidert sist Fredrik Dessen Del 1. En klassiker, og en litt mer utfordrende Du skal her finne overføringsfunksjonen representert ved to ganske enkle sprangresponser. I alle slike oppgaver legger jeg vekt på begrunnelser og opptegninger. Skriv ut vedleggene, gjør påføringer og scann inn igjen. Oppgave 1.1. Den første er en klassiker. Studer figur A4.1 i vedlegg 1. Finn overføringsfunksjonen ved hjelp av manuelle, grafiske metoder. Oppgave 1.2. Den andre krever litt mer omtanke. Utfordringen ligger i at responsen ikke er helt ferdig med å stige, så du må prøve deg fram litt for å få omtrent riktig sluttverdi. Studer figur A4.2 i vedlegg 1. Finn overføringsfunksjonen ved hjelp av manuelle, grafiske metoder. Del 2. Annenordens system sprangrespons Anta overføringsfunksjonen h(ss) xx(ss) uu(ss) = KK (1 + TT 1 ss)(1 + TT 2 ss) ee ττττ Dette er den generiske ligningen for et 2. ordens system med reelle poler. Oppgave 2.1. Sett i første omgang inn tallverdiene KK = 3, TT 1 = 0,5, TT 2 = 6 og ττ = 0,5. Prosessen utsettes for pådraget u = 2 fra tiden t = 0. Bruk invers Laplace-transformasjon til å lage et uttrykk for utgangen xx(tt) som en funksjon av tid. Skriv opp bokstavuttrykk, og sett til slutt inn tall. Oppgave 2.2. Nå er det meningen du skal tegne godt med hjelpelinjer. Det lønner seg å starte med konstantleddet og den største tidskonstanten. Disponer også tidsskalaen bra. Antagelig passer det å gi plass til 2-3 forløp av den største tidskonstanten. Tegn opp for hånd hvordan xx(tt) utvikler seg.

2 TELE2001 Reguleringsteknikk, øving 4 Side 2 Oppgave 2.3. Gå nå over til tallverdiene KK = 3, TT 1 = 2, TT 2 = 6 og ττ = 0,5. Prosessen utsettes fortsatt for pådraget u = 2 fra tiden t = 0. Lag en separat figur. Tegn opp for hånd hvordan xx(tt) utvikler seg. Oppgave 2.4. (Frivillig) Lag samme sprangrespons i Matlab eller Simulink. Sammenlign. Skriv ut kurven. Prøv å gjøre det motsatte; altså, finn K, T1, T2 og τ ut fra sprangresponsen. Se dette i relasjon til oppgave 2.2 og 2.3. Oppgave 2.5. Se på dette som en diskusjonsoppgave. Studer kap i læreboka. Anta at du har en sprangrespons som i fig og skal finne parametrene i overføringsfunksjonen. Denne sprangresponsen kommer selvfølgelig ikke med hjelpelinjer. Hvordan forstår du kapittelet spesielt figur 4.10? Kan du se hvordan man finner TT 1? Ser du flere alternativer så angi alle. Hvis du ikke ser noen kan du gjøre antagelser. Oppgave 2.6. Referer i denne oppgaven til de to sprangresponsene du har tegnet. I løsningsforslaget tar jeg kopi av mine, og gjør flere påtegninger derfra. Hvis du så åpning for flere svar i forrige oppgave, så diskuter gjerne hvert enkelt av dem. Hvor godt blir estimatet av TT 1? Er det evt. snakk om over- eller underestimering? Del 3. Frekvensresponser Her skal du analysere frekvensresponser. Husk å begrunne de antagelsene du gjør. Skriv ut vedleggene, og lag markeringer og hjelpelinjer i dem. Scann vedlegg med markeringer og legg dem ved besvarelsen. Oppgave 3.1. Studer Bode-diagrammet i vedlegg 2. Ut over selve kurvene er det gitt minimalt med informasjon om skala etc. Anta at diagrammet er tegnet i et 5 mm rutenett, med 50 mm per dekade både horisontalt og vertikalt. Anta også at skalaen for fase (vertikalt) er 10 grader per rute. Finn overføringsfunksjonen som plottet representerer. Oppgave 3.2. Fortsett i Bode-diagrammet i vedlegg 2. Prosessen det er snakk om kobles i serie med en transportforsinkelse på 2,5 sekunder. Tegn opp den resulterende overføringsfunksjonen.

3 TELE2001 Reguleringsteknikk, øving 4 Side 3 Oppgave 3.3. Studer Bode-diagrammet i vedlegg 3. Her ser du ett amplitudeplott og to faseplott. Disse representerer nøyaktig to overføringsfunksjoner. Forklar hvordan dette har seg. Finn overføringsfunksjonen som tilsvarer forskjellen mellom de to. Oppgave 3.4. Vi fortsetter med Bode-plottet i vedlegg 3, men konsentrer oss om det med minst fall i fase, altså det som ikke ser ut til å falle lavere enn -180º. Uansett: Viktigste informasjonskilde er nå amplitudeplottet. Finn overføringsfunksjonen som tilsvarer dette Bode-plottet. Del 4. Karakteristisk ligning Anta en prosess med overføringsfunksjonen h 4 (ss) = 1 ss(1 + 5ss + 50ss 2 ) Denne skal til slutt reguleres med en PI-regulator med overføringsfunksjonen Oppgave 4.1. h PPPP (ss) = KK PP 1 + TT ii ss TT ii ss Her kommer klassikeren med skissering av det regulerte systemet. Få også med overføringsfunksjonene ovenfor. Skisser Laplace-transformert blokkdiagram for det komplette systemet, altså med tilbakekobling og regulator. Få med, og beskriv, alle relevante signaler. Oppgave 4.2. Hva kan et karakteristisk polynom eller en karakteristisk ligning fortelle oss? Oppgave 4.3. Anta nå at prosessen skal reguleres med PI-regulatoren. Sett opp karakteristisk polynom for systemet. Svaret skal være på standard polynomform. Det skal ikke settes inn tallverdier for regulatorparametrene. Oppgave 4.4. Lag en Matlab-funksjon som tar proporsjonalforsterkning og integraltid som argumenter, og returnerer karakteristisk polynom som en vektor av koeffisienter.

4 TELE2001 Reguleringsteknikk, øving 4 Side 4 Oppgave 4.5. Utfordringen nå er å søke etter, finne og anvende riktig Matlab-funksjon. Når du har funksjonen fra forrige oppgave: Hvordan går du fram for å finne egenverdiene til den regulerte prosessen? Del 5. Ziegler og Nichols metode (FRIVILLIG DEL) Dette er en frivillig fortsettelse av forrige oppgavedel. Når du først har kommet så langt, anbefales det at du utfører denne siste delen også. Svært lite arbeid i forhold til en mulig aha-opplevelse. Du har lært hvordan Ziegler og Nichols metode benyttes til å finne kritisk forsterkning og -periodetid. Også i Matlab kan du eksperimentere med forsterkningen til du når stabilitetsgrensen. Kritisk periodetid finner du da som TT kk = 2ππ ββ Som i forelesningene er ββ absoluttverdien av imaginærdelen til det komplekskonjugerte polparet som i det tilfellet ligger på den imaginære aksen. Oppgave 5.1. Vi trenger å finne egenverdiene til prosessen regulert med en P-regulator, altså med h PP (ss) = KK PP Sett opp karakteristisk ligning for lukket sløyfe av prosess og regulator. Svaret skal være på standard polynomform. Ikke sett inn tall for proporsjonalforsterkningen. Oppgave 5.2. Lag en Matlab-funksjon som tar proporsjonalforsterkningen som argument, og returnerer karakteristisk polynom som en vektor av polynomkoeffisienter. Oppgave 5.3. Bruk nå Matlab til å finne kritisk forsterkning og -periodetid. Oppgave 5.4. I følge formeltabellen i kapittel 2.6 i læreboka; hvilke parametre finner du for en PIregulator? Oppgave 5.5. Nå må du tilbake til Matlab-funksjonen du skrev for en PI-regulator. Bruk Matlab til å beregne polene til systemet regulert med PI-regulator

5 Vedlegg til øving 4 Vedlegg 1

6 Vedlegg til øving 4 Vedlegg 2

7 Vedlegg til øving 4 Vedlegg 3