Dette er et utdrag fra kapittel 6 i boka: Reguleringsteknikk, skrevet av. Per Hveem og Kåre Bjørvik

Transkript

1 Dette er et utdrag fra kapittel 6 i boka: Reguleringsteknikk, skrevet av Per Hveem og Kåre Bjørvik Kapittelnummering og eksempelnummering stemmer ikke overens med det står i boka. 1

2 5.1 Fra overføringsfunksjon til frekvensrespons Vi har tidligere sett hvordan vi kan finne frekvensresponsen eksperimentelt ved å sende et sinus-signal inn på prosessen og så måle det stasjonære sinus-signalet vi får ut. På den måten er det mulig å finne fram til amplitudeforholdet og faseforskyvinga ved forskjellige frekvenser. Dersom overføringsfunksjonen for prosessen allerede er kjent så er det bare å erstatte Laplaceoperatoren s med j. Vi får da overføringsfunksjonen som funksjon av frekvensen,. Resultatet blir på kompleks form med realdel og imaginærdel. Dette må ordnes så vi får det på polar form og kan skille ut amplitudeforholdet og faseforskyvinga hver for seg som funksjoner av frekvensen. NB! Når vi erstatter s med j får vi bare den stasjonære overføringsfunksjonen for sinusformete signal. Vi mister informasjon om transiente forhold som oppstår umiddelbart etter innkopling av et sinussignal. Se figur 6.1. Skal vi regne på transiente forhold må vi bruke vanlig Laplace-regning. Figur 6.1 Ved bruk av frekvensresponser mister vi informasjonen om transiente forhold ved innkopling av reine sinussignal, men beholder informasjonen om stasjonære sinussignal ut. Det er verdt å merke seg at for å være matematisk stringent settes det som tidligere var en funksjon av s nå som en funksjon av j. Fortsatt er det amplitudeforholdet og faseforskyvinga som funksjoner av frekvensen vi får fram: (6,1)

3 6.1 Fra overføringsfunksjon til frekvensrespons 3 Eksempel : Første orden prosess Figur 6.2 Første ordens lavpassfilter. Et lavpassfilter med en motstand og en kondensator som vist på figur 6.2 har følgende overføringsfunksjon: (6,2) For å finne frekvensresponsen erstattes s med j : (6,3) Dette må så gjøres om til polar form: (6,4) Setter inn for R og C og får følgende uttrykk for amplitudeforhold og faseforskyving: (6,5)

4 Figur 6.3 Bodediagram for 1. ordens lavpassfilter. [rad/s] h(j ) h(j ) [db] h(j ) [ ] 0,01 1,00 0,00-1,26 0,02 1,00-0,01-2,52 0,05 0,99-0,05-6,28 0,10 0,98-0,21-12,41 0,20 0,92-0,77-23,75 0,45 0,71-3,01-45,00 0,50 0,67-3,44-47,73 1,00 0,41-7,66-65,56 2,00 5,00 0,091-20,86-84,81 10,00 0,045-26,86-87,40 20,00 0,023-32,87-88,70 50,00 0,009-40,83-89,48 100,00 0, ,85-89,74 200,00 0, ,87-89,87 Figur 6.4 Tabell for amplitudeforhold og faseforskyving som funksjon av første ordens lavpassfilter. Rekn ut verdiene som mangler i tabellen for =2 rad/s. Disse verdiene kan regnes ut for forskjellige frekvenser og resultatene kan tegnes opp i et Bodediagram. Se Bodediagram i figur 6.3 og tabell i figur 6.4. Utregning av verdier for

5 6.1 Manuell opptegning i Bodediagrammet 5 forskjellige frekvenser kan være kjedelig å gjøre for hånd. Det beste er å ha et dataprogram som tegner opp kurver i Bodediagram direkte ut fra den gitte overføringsfunksjonen. Et alternativ kan være å bruke et regneark til slike utregninger. Dagens regneark inneholder også muligheter til å få tegna ut mange forskjellige diagram. Både tabellen og Bodediagrammet i figur 6.4 og 6.3 er laget med regnearket PlanPerfect. 5.2 Manuell opptegning i Bodediagrammet basert på asymptoter Opptegning av frekvensresponsen i Bodediagrammet kan gjøres uten at det er nødvendig å regne ut amplitudeforhold og faseforskyving ved mange forskjellige frekvenser. Ser du nærmere på amplitudeforholdet i figur 6.3, så kan du se at ved frekvenser under 0,1 rad/s så er amplitudeforholdet tilnærma ei vannrett linje. Tilsvarende er amplitudeforholdet ved frekvenser over 1 rad/s ei rett linje som skrår nedover. Stigningsforholdet til denne linja kan vi finne fra tabellen i figur 6.4. Når frekvensen dobles fra 5 rad/s til 10 rad/s så synker amplitudeforholdet med 6 db. ( 26,86 ( 20,86) = 6) Dette er tilfelle også om vi dobler frekvensen fra 50 til 100 rad/s. En dobling av frekvensen kalles en oktav. Stigningsforholdet til den rette linja som skrår nedover er dermed 6 db/oktav. Dersom vi istedet ser på amplitudeforholdet ved en 10-dobling av frekvensen fra 5 rad/s til 50 rad/s så synker amplitudeforholdet med 20 db. ( 40,83 ( 20,86) = 20) Dette gjelder også om vi tidobler frekvensen fra 20 til 200 rad/s. En tidobling av frekvensen kalles en dekade. En annen måte å angi stigningsforholdet til den rette linja som skrår nedover på blir dermed 20 db/dekade.

6 Figur 6.5 Amplitudeforhold: Virkelig kurve og hjelpekurver. Legg merke til at den virkelige kurva passerer 3 db under knekkpunktet. Disse to rette linjene kan brukes som hjelpelinjer, såkalte asymptoter, når vi skal tegne opp amplitudeforholdet. Der disse to linjene krysser hverandre får vi et punkt som kalles knekkpunktet. Frekvensen dette skjer ved kalles knekkfrekvensen, k. Dette er vist i figur 6.5. Legg merke til at ved knekkfrekvensen passerer den virkelige kurva 3 db under knekkpunktet. Legg også merke til at knekkfrekvensen blir det inverse av tidskonstanten for denne første ordens prosessen. =1/T=1/(RC)=1/2,2=0,45[rad/s] k Forskjellige standardprosesser har spesielle regler for opptegning av disse hjelpelinjene. I tillegg finnes det enkle tommelfingerregler for hvordan de virkelige kurvene går i forhold til hjelpelinjene. Ved en mer nøyaktig opptegning kan det være nødvendig å regne ut verdiene ved noen få utvalgte frekvenser.

7 6.1 Manuell opptegning i Bodediagrammet 7 Figur 6.6 Faseforskyvingskurve med hjelpelinjer. Legg merke til at faseforskyvinga er 0 ved lave frekvenser, 45 ved knekkfrekvensen og 90 ved høge frekvenser. Tilsvarende hjelpelinjer kan også brukes ved opptegning av faseforskyvinga, sjøl om den virkelige faseforskyvinga avviker litt mer fra hjelpelinjene. Det kan derfor være nødvendig å regne ut noen flere verdier her. Figur 6.6 viser hjelpelinjene for faseforskyvinga for lavpassfilteret. For denne første ordens prosessen starter faseforskyvinga på 0 ved lave frekvenser og øker til 90 ved høye frekvenser. Ved knekkfrekvensen er faseforskyvinga 45. Tilsvarende hjelpelinjer kan tegnes opp for alle standardprosesser. All opptegning av hjelpelinjer er basert på at vi ser på tre tilfeller: 1) Hva som skjer ved lave frekvenser, 2) hva som skjer ved knekkfrekvensen og 3) hva som skjer ved høye frekvenser. Med lave frekvenser menes her frekvenser som er mye lavere enn knekkfrekvensen. Høye frekvenser er mye høyere enn knekkfrekvensen. Knekkfrekvensen er lik absoluttverdien til polene og nullpunktene i overføringsfunksjonen. Ved knekkfrekvensene skifter hjelpelinjene stigningsforhold.

8 5.2.1 Sammenheng mellom asymptotene for amplitudeforhold og faseforskyving Hjelpelinjene kalles ofte asymptoter og har alltid et stigningsforhold på n 20 db/dekade for amplitudeforholdet og n 90 grader for faseforskyvinga. n er her et heltall som bestemmes av ledd av typen eller. Vi skal se seinere at n har er lik den orden det er på ledd i telleren. For ledd i nevneren vil n være negativ. For andre ordens ledd med komplekse poler som står i nevneren er n= 2. Virkningen av et ledd på de asymptotiske hjelpelinjene gjør seg først gjeldende fra knekkfrekvensen og oppover i frekvens. Legg merke til at når vi ser bort fra tidsforsinkelsen så er det alltid sånn at asymptotene for faseforskyvinga er plassert på vinklene n 90 og at stigninga for asymptotene til amplitudeforholdet er n 20 db/dekade, hvor n har samme verdi for faseforskyving og amplitudeforhold ved den samme frekvensen. Dette betyr at dersom du f eks har funnet at asymptoten til amplitudeforholdet i et frekvensområde har et stigningsforhold på 40 db/dekade (dvs n= 2) så vil verdien asymptoten til faseforskyvinga i det samme frekvensområdet være 2 90 = Første ordens prosess (6,6) Erstatter først s med j. Deretter settes overføringsfunksjonen opp på polar form og vi finner fram til amplitudeforholdet og faseforskyvinga: (6,7) Amplitudeforholdet Ser først på amplitudeforholdet ved lave frekvenser, ved høye frekvenser og ved knekkfrekvensen. Knekkfrekvensen er den frekvensen hvor T=1. Det betyr at =1/T. k

9 6.1 Manuell opptegning i Bodediagrammet 9 Ved lave frekvenser: (6,8) Ved frekvenser under knekkfrekvensen er alltid stigningsforholdet lik null. Vi får her ei vannrett linje med verdien 20 log K. Ved høye frekvenser: (6,9) Dette blir ei rett linje som synker med 20 db/dekade fordi det første leddet blir en konstant og det andre leddet øker med 20 db i tallverdi hver gang argumentet blir 10-doblet. (20 log 10=20 og 20 log 100=40). (Ved frekvenser over knekkfrekvensen blir stigningsforholdet n 20 db/dekade. Fordi vi her har et første ordens ledd i nevneren blir n= 1. Stigningsforholdet blir derfor 1 20 db/dekade = 20 db/dekade.) Ved knekkfrekvensen er T=1 og verdien på denne linja blir 20 log K. Det betyr at denne skrå hjelpelinja treffer hjelpelinja for lave frekvenser akkurat ved kryssfrekvensen. Dette punktet kalles knekkpunktet. Ved knekkfrekvensen: (6,10) Vi ser her at den virkelige kurva passerer 3dB under knekkpunktet. Vi tegner derfor opp hjelpelinja h =20 logk fram til knekkfrekvensen og tegner deretter ei linje som synker med 20 db/dekade fra knekkpunktet. Ved knekkfrekvensen passerer den virkelige kurva 3dB under knekkpunktet.

10 Faseforskyvinga Ser på faseforskyvinga ved lave frekvenser, ved knekkfrekvensen og ved høye frekvenser: (6,11) (Alternativt: Ved lave frekvenser under knekkfrekvensen er faseforskyvinga alltid lik 0. Ved høye frekvenser er n= 1 og faseforskyvinga lik 1 90 = 90.) Bruker hjelpelinja h=0 fram til knekkfrekvensen og hjelpelinja h= 90 etter knekkfrekvensen. Ved knekkfrekvensen er h= 45. For å få tegna en helt skikkelig faseforskyvingskurve er det nødvendig å regne ut noen få verdier. F eks = 0,1 = 0.5 gir en fasevinkel lik arctan( 0,1) = 5,7. Eksempel 6.2.2: Første ordens prosess k Gitt følgende overføringsfunksjon: (6,12) Tegn først opp aysmptotiske frekvenskurver i Bodediagrammet og skisser deretter de virkelige kurvene. (Med asymptotiske frekvenskurver menes at vi bare tegner opp asymptotene (hjelpelinjene).) Løsning: a) Sammenlikner med standardformen: (6,13) Finner at K=2 og T=5 i vårt eksempel. b) Regner ut knekkfrekvensen: k=1/t=1/5=0,2[rad/s] c) Regner ut amplitudeforholdet ved lave frekvenser i desibel: h =20 log K=20 log 2=6[dB] d) Tegner opp hjelpelinjene (asymptotene) for amplitudeforholdet: 6 db fram til knekkfrekvensen (0,2 rad/s) og deretter ei rett linje med stigningsfoholdet 1 20 db/dekade = 20 db/dekade. Se figur 6.7.

11 6.1 Manuell opptegning i Bodediagrammet 11 Figur 6.7 Asymptotisk amplitudeforhold 1. ordens prosess i Bodediagram. Ved håndtegning på ruteark bør en dekade bortover velges lik 20 db oppover. Tips: Når vi tegner opp Bodediagram på vanlig ruteark er det lurt å velge 20 db i y- retningen lik 1 dekade i x-retningen. Linjer som stiger eller synker med 20 db/dekade får dermed 45 helling. Deretter deles hver dekade i 3 omtrent like deler. Delingspunktene får verdiene 1, 2 og 5. e) Tegner opp hjelpelinjene for faseforskyvinga: 0 fram til knekkfrekvensen (0,2 rad/s) og 1 90 etter knekkfrekvensen. Ved knekkfrekvensen bindes disse to linjene sammen med en tredje hjelpelinje. Se figur 6.8. Figur 6.8 Asymptotisk faseforskyving i Bodediagram. Det er ingen fast regel for valg av skala for faseforskyving i forhold til frekvensskalaen. f) Tegner skissemessig opp det virkelige amplitudeforholdet ved først å markere punktet som ligger 3 db under knekkpunktet. Trekker deretter en kurve fra den ene asymptoten, gjennom 3 db punktet og over til den andre asymptoten. Se figur 6.9. g) Tegner skissemessig opp faseforskyvinga ved å markere et punkt på 45 ved knekkfrekvensen. Trekker deretter en kurve som starter langs 0 -asymptoten.

12 Figur 6.9 Virkelig amplitudeforhold og hjelpelinjer for første ordens prosess i Bodediagrammet. Den forlater asymptoten ca en dekade før kryssfrekvensen, svinger seg gjennom 45 punktet og over på 90 -asymptoten ca en dekade etter knekkfrekvensen. Se figur Figur 6.10 Virkelig faseforskyving og hjelpelinjer for første ordens prosess i Bodediagrammet Ideell PD-regulator (6,14) Vi ser her at dette er svært likt med første ordens prosess, men nå står (1+Ts) leddet på tellerplass. Det betyr at nå er n=+1 etter knekkfrekvensen. Eksempel 6.2.3: Ideell PD-regulator Gitt følgende overføringsfunksjon: Tegn opp aysmptotiske frekvenskurver i Bodediagrammet og skisser deretter de virkelige kurvene. Løsning: a) Sammenlikner med standardformen og finner at K=0,25 og T=3,3 i vårt eksempel.

13 6.1 Manuell opptegning i Bodediagrammet 13 b) Regner ut knekkfrekvensen: k=1/t=1/3,3=0,3[rad/s] c) Regner ut amplitudeforholdet ved lave frekvenser i desibel: h =20 log K=20 log 0,25= 12[dB] d) Tegner opp hjelpelinjene (asymptotene) for amplitudeforholdet: 12 db fram til knekkfrekvensen (0,3 rad/s) og deretter ei rett linje med stigningsforhold db/dekade fordi n=+1. Se figur Figur 6.11 Asymptotisk og virkelig amplitudeforhold for PD-regulator. e) Tegner opp hjelpelinjene for faseforskyvinga: 0 fram til knekkfrekvensen (0,3 rad/s) og etter knekkfrekvensen fordi n=+1. Ved knekkfrekvensen bindes disse to linjene sammen med en tredje hjelpelinje. Se figur Figur 6.12 Asymptotisk og virkelig faseforskyving for PD-regulator. f) Tegner skissemessig opp det virkelige amplitudeforholdet ved først å markere punktet som ligger +3 db over knekkpunktet. Trekker deretter en kurve fra den ene asymptoten, gjennom 3 db punktet og over til den andre asymptoten. Se figur g) Tegner skissemessig opp faseforskyvinga ved å markere et punkt på +45 ved knekkfrekvensen. Trekker deretter en kurve som starter langs 0 -asymptoten. Den forlater asymptoten ca en dekade før kryssfrekvensen, svinger seg gjennom +45 punktet og over på +90 -asymptoten ca en dekade etter knekkfrekvensen. Se figur 6.12.

14 5.2.4 Integrator (6,15) Knekkfrekvensen er lik absoluttverdien til polen. Setter vi nevneren lik null får vi polen s=0. Dette tilsvarer en knekkfrekvens når =0. Denne frekvensen kommer aldri med på Bodediagrammet. Fordi vi har et første ordens ledd i nevneren så betyr dette at n= 1 og at amplitudeforholdet har et stigningsforhold på 1 20 db/dekade for alle frekvenser større enn null. Tilsvarende er faseforskyvinga lik 1 90 for alle frekvenser større enn null. Amplitudeforholdet Vi får ei rett linje som synker med 1 20 db/dekade. For å bestemme denne linja entydig så må vi finne et punkt på denne linja. Et godt valg er å velge frekvensen hvor = K. Da blir h = 20 log 1 = 0 db. Dette blir da kryssfrekvensen, c for integratoren. Faseforskyvinga Faseforskyving blir 1 90 for alle frekvenser. Eksempel 6.2.4a: Integrator Gitt følgende overføringsfunksjon: (6,16) Tegn først opp aysmptotiske frekvenskurver i Bodediagrammet og skisser deretter de virkelige kurvene. Løsning: a) Sammenligner med standardformen og finner at K=10. b) Regner ut kryssfrekvensen: c=k=10 [rad/s]. c) Tegner amplitudeforholdet som ei rett linje med stigningsforholdet 1 20 db/dekade og krysser 0 db-linja ved frekvensen 10 rad/sek. Tegner deretter faseforskyvinga som ei rett linje lik 1 90 ved alle frekvenser. For integratoren er hjelpelinjene lik de virkelige kurvene. Se figur 6.13.

15 6.1 Manuell opptegning i Bodediagrammet 15 Figur 6.13 Amplitudeforhold og faseforskyving for en integrator. Eksempel 6.2.4b: Dobbeltintegrator Gitt følgende overføringsfunksjon: (6,17) Tegn først opp aysmptotiske frekvenskurver i Bodediagrammet og skisser deretter de virkelige kurvene. Løsning: a) Som for en vanlig integrator blir knekkfrekvensen også her lik null. Nevneren er av 2. orden. Det betyr at n= 2. b) Kryssfrekvensen er den frekvensen som gjør at amplitudeforholdet blir lik null i db 2 og 1 i vanlig tallverdi: K/ =1. Det gir [rad/s]. c) Tegner amplitudeforholdet som ei rett linje med stigningsforholdet 2 20 db/dekade = 40 db/dekade og krysser 0 db-linja ved frekvensen 5 rad/sek. Tegner deretter faseforskyvinga som ei rett linje lik 2 90 = 180 ved alle frekvenser. For integratoren er hjelpelinjene lik de virkelige kurvene. Se figur 6.14.

16 Figur 6.14 Amplitudeforhold og faseforskyving for en dobbeltintegrator Andre ordens prosess med komplekse poler (6,18) I kapittel 4 ble det vist at denne andre ordens prosessen med komplekse poler har polene:. Knekkfrekvensen er lik absoluttverdiene til polene dvs k= 0. Ved knekkfrekvensen er / 0=1. Erstatter først s med j. Deretter settes overføringsfunksjonen opp på polar form og vi finner fram til amplitudeforholdet og faseforskyvinga: (6,19)

17 6.1 Manuell opptegning i Bodediagrammet 17 Amplitudeforholdet Ser først på amplitudeforholdet ved lave frekvenser, ved høye frekvenser og ved knekkfrekvensen. (6,20) Ved lave frekvenser så vil 1 tallet dominere over alle ledd som inneholder / 0. Dette gjør at amplitudeforholdet her er tilnærma lik 20 log K og asymptoten er ei vannrett linje. 2 Ved høye frekvenser vil leddet som inneholder ( / 0) dominere. Nevneren er av 2. orden. Dette gjør at stigningsforholdet for asymptoten blir 2 20 db/dekade = 40 db/dekade. Når = 0 så blir amplitudeforholdet 20 log K 20 log (2 ). Hjelpelinjene for amplitudeforholdet blir først ei rett linje med verdien 20 log K fram til knekkfrekvensen, 0. Fra knekkpunktet blir det ei rett linje med stigningsforhold 2 20 db/dekade. Den virkelige verdien ved knekkfrekvensen ligger 20 log (2 ) over knekkpunktet. Den virkelige kurva avhenger av verdien på dempefaktoren,. Se figur (6,21). Faseforskyvinga (6,21) Ved lave frekvenser (dvs før knekkfrekvensen) er faseforskyvinga 0. Ved høye frekvenser (dvs etter knekkfrekvensen) er faseforskyvinga 2 90 = 180. (n= 2 pga andre ordens ledd i nevner.)

18 Figur 6.15 Frekvensanalyse av 2. ordens prosess med komplekse poler og varierende : 0,1 0,2 0,4 0,7 og 1,0. (K=0,5 og =1 rad/s) Ved knekkfrekvensen er = 0 og vi får arctan(2 /0). Dette gir arctan til uendelig. Faseforskyvinga ved knekkfrekvensen blir dermed 90. Hjelpelinjene for faseforskyvinga blir ei linje lik 0 fram til knekkfrekvensen, 0, og ei rett linje lik 2 90 = 180 etter knekkfrekvensen. Ved knekkfrekvensen er faseforskyvinga 90. Den virkelige faseforskyvinga varierer også med dempekonstanten,. Se figur (6,21). For å få tegna en helt skikkelig faseforskyvingskurve er det nødvendig å regne ut noen få verdier. F eks ( / )=0.5 gir en fasevinkel lik arctan( 4 /3). Eksempel 6.2.5: Andre ordens prosess Gitt følgende overføringsfunksjon: 0 0 (6,22)

19 6.1 Manuell opptegning i Bodediagrammet 19 Tegn først opp aysmptotiske frekvenskurver i Bodediagrammet og skisser deretter de virkelige kurvene. (Med asymptotiske frekvenskurver menes at vi bare tegner opp aymptotene (hjelpelinjene).) Løsning: a) Må først få overføringsfunksjonen på standardform. Dette kan foregå ved direkte sammenlikning med standardformen. Det første som må sjekkes er om konstantleddet i nevneren er lik 1. I vårt tilfelle er den 2. Det er derfor nødvendig å dividere både teller og nevner med 2. Da blir overføringsfunksjonen: (6,23) Ved å sammenlikne tellerne ser vi at K=3,1. Videre sammenlikning av nevnerne 2 gir 1/ =100 dvs =0,1 og 2 / =4 dvs =0, b) Regner ut amplitudeforholdet ved lave frekvenser: 20 log 3,1 = 9,8 db. Finner knekkfrekvensen: = =0,1 [rad/s]. k 0 c) Tegner amplitudeforholdet som ei rett linje med verdien 9,8 db fram til knekkfrekvensen, 0,1 rad/s. Fra knekkpunktet går det ei rett linje som synker med 40 db/dekade. Se figur Figur 6.16 Amplitudeforhold for en andre ordens prosess med komplekse poler. d) Faseforskyvinga er 0 fram til knekkfrekvensen og deretter er den 180. Se figur 6.17.

20 Figur 6.17 Faseforskyving for en 2. ordens prosess med komplekse poler. e) Den virkelige kurva passerer 20 log 2 = 20 log 2 0,2=8 db over knekkpunktet. Tegner det virkelige amplitudeforholdet som ei linje som starter langs den første hjelpelinja til den nærmer seg knekkfrekvensen. Deretter stiger den opp og går i en bue gjennom punktet 8 db over knekkpunktet før den går ned til asymptoten som skrår nedover med 40 db/dekade. NB! Maksverdien inntrer ved litt lavere frekvens enn knekkfrekvensen. Se figur f) Faseforskyvinga starter langs 0 linja. Ved knekkfrekvensen er den 90 før den svinger seg ned til 180. For å få et litt bedre bilde av faseforskyvinga kan det være lurt å regne ut faseforskyvinga ved et eller flere punkter rundt 0. Merk også symmetrien for faseforskyvinga. Kan f eks regne ut når =0,5 0=0,5 k=0,05 rad/s. Da er faseforskyvinga: arctan(4 /3)= arctan(4 0,2/3)= 15. Bruker det som et hjelpepunkt under opptegninga. Se figur Tidsforsinkelse (6,24) Tidsforsinkelsen har ingen poler eller nullpunkter og dermed heller ingen knekkfrekvenser. Vi kan derfor ikke tegne opp noen asymptoter for tidsforsinkelsen. Det er i stedet nødvendig å regne ut faseforskyvinga ved forskjellige frekvenser for å få tegna opp tidsforsinkelsen i Bodediagrammet. Erstatter først s med j. Deretter settes overføringsfunksjonen opp på polar form og vi finner fram til amplitudeforholdet og faseforskyvinga:

21 6.1 Manuell opptegning i Bodediagrammet 21 (6,25) Av dette ser vi at amplitudeforholdet alltid er 0 db. Faseforskyvinga er direkte proporsjonal med tidsforsinkelsen og frekvensen. Fordi det brukes logaritmisk frekvensskala i Bodediagrammet så blir faseforskyvinga ei kurve som heller stadig brattere nedover. Det er greit å klare seg uten hjelpelinjer for faseforskyvinga til en tidsforsinkelse. Det som trengs er å kjenne en verdi på kurva. Velger frekvensen som gjør at =1. Dvs =1/. Ved denne frekvensen er faseforskyvinga lik 1 radian= 57. Hver gang vi dobler frekvensen i forhold til så dobles faseforskyvinga. Hver gang frekvensen halveres i forhold til så halveres faseforskyvinga. Eksempel 6.2.6a: Tidsforsinkelse Gitt følgende overføringsfunksjon: (6,26) Tegn opp de virkelige frekvenskurver i Bodediagrammet direkte. Løsning: a) Sammenlikner med standardformen og finner =5. b) Regner ut =1/ =1/5=0,2[rad/s] c) Amplitudeforholdet er 0 db for alle frekvenser. Tegner opp dette som ei rett linje. d) Starter faseforskyvingskurva med å tegne opp 57 ved frekvensen = 0,2 rad/s. Deretter avsettes punkter hvor en halvering av frekvensen gir en halvering av faseforskyvinga og en dobling av frekvensen gir en dobling av faseforskyvinga. Se figur 6.18.

22 Figur 6.18 Amplitudeforhold og faseforskyving for tidsforsinkelse Sammensatte prosesser De aller fleste overføringsfunksjoner vil være et produkt av delprosesser hvor hver delprosess er en av de fem standardtypene vi har sett på, eller en variant av disse. Når amplitudeforholdene til hver delprosess er i desibel så blir amplitudeforholdet for hele prosessen lik summen av amplitudeforholdet til hver enkelt delprosess. Tilsvarende blir faseforskyvinga til hele prosessen lik summen av faseforskyvinga til hver enkelt delprosess. Dette er vist under for en prosess som er produktet av tre delprosesser: (6,27) Amplitudeforholdet i db blir summen av amplitudeforholdet for hver delprosess: (6,28)

23 6.1 Manuell opptegning i Bodediagrammet 23 Faseforskyvinga blir summen av faseforskyvinga for hver delprosess: (6,29) Ved opptegning av asymptotene summerer vi bidraget fra hver enkelt delprosess. Eksempel 6.2.7A: Sammensatt prosess Gitt følgende overføringsfunksjon: (6,30) Tegn først opp asymptotiske frekvenskurver og deretter de virkelige frekvenskurver i Bodediagrammet. Løsning: a) Finner knekkfrekvensene og sorterer i stigende rekkefølge: k1=1/10=0,1 [rad/s] og =1/2=0,5 [rad/s]. k2 b) K=4. Fram til den første knekkfrekvensen er det asymptotiske amplitudeforholdet bestemt av konstantleddet. Tegner derfor opp asymptotisk amplitudeforhold i Bodediagrammet for dette leddet. (20 log 4 = 12 db) Se figur 6.19.

24 Figur 6.19 Amplitudeforhold og faseforskyving for sammensatt prosess med to tidskonstanter. Asymptoter og virkelige kurver. c) Etter første knekkfrekvens ( k1=1/10=0,1 [rad/s]) kommer leddet 1+10s i nevneren inn med et bidrag til asymptoten på 20 db/dekade. Det andre leddet 1+2s i nevneren gir ikke noe bidrag til det asymptotiske amplitudeforholdet før vi kommer til knekkfrekvensen for dette leddet, dvs når vi kommer til k2=1/2=0,5 [rad/s]. Her bidrar det andre leddet med ytterligere 20 db/dekade. Siden asymptoten til det første leddet allerede synker med 20 db/dekade ved denne frekvensen blir resultanten en asymptote som synker med summen av disse; dvs 40 db/dekade. Se figur d) Det virkelige amplitudeforholdet følger asymptotene, men tar innersvingen. Ligger knekkfrekvensene langt fra hverandre så passerer den riktige kurva ca 3 db under hvert knekkpunkt. Ligger knekkfrekvensene veldig tett passerer kurva nesten 6 db under knekkpunktene. Ved skissemessig opptegning tar vi dette på skjønn. Ved en mer nøyaktig opptegning bør amplitudeforholdet regnes ut for noen få frekvenser. I vårt tilfelle blir formelen: (6,31) e) Tegner deretter opp asymptoten til faseforskyvinga for konstantleddet dvs 0 fram til den første knekkfrekvensen, =1/10=0,1 [rad/s]. Se figur k1 f) Asymptoten til faseforskyvinga til det første leddet i nevneren 1+10s kommer inn med 90 etter den første knekkfrekvensen, mens bidraget til asymptoten til det andre leddet 1+2s først begynner å gjøre seg gjeldende etter knekkfrekvensen til

25 6.3 Sammendrag 25 dette leddet: k2=1/2=0,5 [rad/s]. Her bidrar det andre leddet med en asymptote på 90. Totalasymptoten havner dermed nede på 180 fordi asymptoten til det første leddet allerede er nede på 90 Se figur g) Den virkelige faseforskyvinga starter på 0 og skal ende på 180. Dersom knekkfrekvensene er langt fra hverandre passerer kurva midtveis mellom asymptotene ved de to knekkfrekvensene ( 45 ved 0,1 rad/s og 135 ved 0,5 rad/s). Er knekkfrekvensene svært nær passerer kurva nærmere 90 ved de to knekkfrekvensene. I vårt tilfelle blir det ca 55 ved 0,1 rad/s og 125 ved 0,5 rad/s. Se figur For en skikkelig opptegning er det nødvendig å regne ut faseforskyvinga ved noen få frekvenser. I dette eksempelet blir formelen: (6,32) 5.3 Sammendrag I dette kapitlet har vi sett på hvordan vi kan ta opp den stasjonære frekvensresponsen til en prosess ved å sende et sinusformet signal inn på prosessen og så måle signalet som kommer ut av prosessen. Frekvensresponsen karakteriseres av amplitudeforhold og faseforskyving som funksjon av frekvensen. Resultatet kan tegnes opp i et Bodediagram Dersom vi kjenner overføringsfunksjonen for prosessen så kan vi erstatte s med j og regne ut frekvensresponsen. Manuell opptegning av frekvensresponsen i Bodediagrammet kan gjøres ved hjelp av et sett hjelpelinjer (asymptoter) og krever lite regning.

26 5.3.1 Ord og begreper Amplitudeforhold Forholdet mellom amplituden på et sinusformet utsignal og amplituden til det sinusformete innsignalet. Som oftest er vi interessert i amplitudeforholdet som funksjon av frekvensen. I Bodediagrammmet tegnes amplitudeforholdet opp i db. Asymptotisk frekvensrespons Hjelpelinjer som brukes for opptegning av amplitudeforholdet (i db) og faseforskyvinga (i grader) som funksjon av frekvensen i Bode-diagrammet. Bodediagram Semilogaritmisk diagram hvor logaritmen til frekvensen blir brukt som horsontal akse, mens den verikale aksen er lineær. I Bodediagrammet tegnes amplitudeforholdet opp i db og faseforskyvinga i grader. I reguleringsteknikken er frekvensen i radianer pr sekund. Bodediagrammet blir også kalt AFF-diagram (Amplitude-Fase-Frekvens-diagram) Dekade En tidobling av frekvensen. Faseforskyving Avstanden i tid mellom innsignalet og utsignalet gir tidsforsinkelsen ved en bestemt frekvens. Dersom denne tidsforsinkelsen måles i grader relativt til at en periode er 369 grader, så framkommer faseforskyvinga ved denne frekvensen. Som oftest er vi interessert i faseforskyvinga som funksjon av frekvensen. Fasemargin Et mål på hvor mye ekstra faseforskyving reguleringssløyfa tåler før den blir ustabil. Større fasemargin gir normalt roligere reguleringssløyfe. Frekvensrespons Amplitudeforhold og faseforskyving som funksjon av frekvensen. Dette tegnes ofte opp i Bodediagram eller Nyquistdiagram. Frekvensgangen brukes noen ganger som en alternativ betegnelse på frekvensresponsen. Knekkfrekvens Frekvens hvor den asymptotiske frekvensresponsen får en knekk. Knekkfrekvensene er lik absoluttverdiene til nullpunktene og polene i overføringsfunksjonen. De opptrer ved udempa egenfrekvenser for andre ordens ledd med komplekse poler og ved den inverse av tidskonstanten for første ordens ledd. For integratorledd er knekkfrekvensen null. Knekkpunkt Punkt på den asymptotiske frekvensresponsen hvor knekker opptrer. Oktav En dobling av frekvensen.

27 6.3 Sammendrag 27 Asymptotiske forløp for noen typiske prosesser Overføringsfunksjon Asymptotisk amplitudeforhold Asymptotisk faseforskyving (virkelige kurver)

28 Amplitudeforhold 26 Asymptoter 6 Asymptotisk frekvensrespons 26 Bodediagram 26 Dekade 5, 26 Faseforskyving 26 Fasemargin 26 Frekvensanalyse 1 Frekvensrespons 26 Knekkfrekvens 6, 26 Knekkpunkt 26 Knekkpunktet 6 Oktav 5, 26