Øving 6, løsningsforslag

Transkript

1 Inst. for teknisk kybernetikk Fag TELE2001 Reguleringsteknikk Øving 6, løsningsforslag Revidert sist Fredrik Dessen I løsningsforslaget til øving 2, oppgave 2.3 finner vi overføringsfunksjonene h FFuu vv(ss) ΔΔvv(ss) ΔΔFF uu (ss) = h FFff vv(ss) ΔΔvv(ss) ΔΔFF ff (ss) = mm ss mm ss Tall for konstantene er mm = 1000 kg. CC = 3 kg/m. vv a = 30 m/s. Vi skal etter hvert jobbe i Bode-diagram, og der kan det være litt upraktisk å jobbe med krefter oppgitt i newton og hastigheter i meter per sekund. Formelt sett er det heller ikke bra, fordi alle tall egentlig skal være dimensjonsløse. Vi løser dette med å innføre referansehastigheten vv rr og referansekraften FF rr slik at vi får de dimensjonsløse størrelsene vv vv vv rr ; FF uu FF uu FF rr ; FF ff FF ff FF rr La oss nå samtidig si at vi jobber med avviksvariable hele tiden, og for enkelhets skyld dropper symbolet ΔΔ. Dette gjør at ligningene over kan skrives h FFuu vv(ss) vv(ss) FF uu (ss) vv (ss)vv rr (ss) FF uu (ss)ff rr (ss) vv (ss) FF uu (ss) = h FFff vv(ss) vv(ss) FF ff (ss) vv (ss)vv rr (ss) FF ff (ss)ff rr (ss) vv (ss) FF ff (ss) = La oss for enkelhets skyld si at mm ss FF rr vv rr mm ss FF rr vv rr vv rr vv aa = 30 m/s ; FF rr CCvv 2 aa = 2700 N I løsningsforslaget til ekstra øving 4, oppgave 1.2 finner vi overføringsfunksjonen xx(ss) vv(ss) = 1 ss Fra hastighet til posisjon. I innledningen til del 3 i samme øving finner vi for dynamikken i posisjonsmålingen 1 yy(ss) = 1 + TT ff ss xx(ss) Vi skal denne gangen anta at TT ff = 1 sek. Vi skal gjøre en ting til før vi starter: Redefinere symbolbruken fullstendig, dvs. til standardisert form.

2 TELE2001 Reguleringsteknikk, øving 6 LF Side 2 Del 1. Modell på standard form Vi går nå over til en prosessmodell med standard reguleringstekniske benevninger, dvs. på formen yy(ss) = h uy (ss)uu(ss) + h vy (ss)vv(ss) Vær oppmerksom på at vv(ss) i dette uttrykket har en helt annen betydning enn vv(ss) og ΔΔvv(ss) i uttrykkene som du så innledningsvis. Oppgave 1.1. Forklar denne standardiserte modellen uten å gå inn i detaljer om prosessen. Bruk ord som ikke er spesifikke for noen bestemte prosesser. Modellen er bygget opp slik at en måleverdi (eller prosessverdi) yy(ss) beskrives som summen av to bidrag. Det ene er bidraget fra pådraget uu(ss) gjennom overføringsfunksjonen h uy (ss). Det andre er fra forstyrrelsen vv(ss) gjennom overføringsfunksjonen h vy (ss). Forskjellen på uu(ss) og vv(ss) er at førstnevnte kan/skal brukes til å styre prosessen, mens sistnevnte er en forstyrrelse vi ikke kan gjøre noe med. Oppgave 1.2. Vi kan i dette tilfellet få prosessen over på formen i oppgave 1.1, og videre si at h uy (ss) = h vy (ss) = KK ss(1 + TT 1 ss)(1 + TT 2 ss) Forklar hvorfor, ut fra det du vet om prosessen. Forklar hvorfor det er lurt å ha et sett med generiske symboler for variabler og konstanter, og hvorfor det er lurt å få den fysiske prosessen man jobber med over på denne formen. Prosessen er innledningsvis beskrevet av overføringsfunksjonene h FFuu vv(ss) og h FFff vv(ss) fra hhv. motorkraft og forstyrrende kraft til hastighet. Disse overføringsfunksjonene er identiske. Forskjellen er bare at den ene kraften regnes som pådrag og den andre som forstyrrelse. Hver av disse overføringsfunksjonene er av første orden (reell pol) uten forsinkelse. Deretter kommer en integrator fra hastighet til posisjon og en ny førsteordens prosess fra virkelig posisjon til posisjonsmåling. Hver av overføringsfunksjonene har altså to reelle poler og en integrator. Innføringen av generiske symboler gjør det lettere å holde rede på hva som er pådrag, forstyrrelse og måling. Uttrykkene vi så innledningsvis forenkles til tidskonstanter og forsterkninger. Vi treffer etter hvert på en del formler, f. eks. for overføringsfunksjonene til tilbakekoblede systemer, som bruker denne standard notasjonen. Oppgave 1.3. Finn tallverdier for K, T 1 og T 2 i uttrykket over. Lag asymptotisk Bode-plott for h uy (ss) og h vy (ss). 50 mm per dekade og per 100º. Her er tallverdiene beregnet i Matlab med dette skriptet:

3 TELE2001 Reguleringsteknikk, øving 6 LF Side 3 % Fysiske parametre for prosessen i øving 6 m = 1000; C = 3; va = 30; Tf = 1; vr = va; Fr = C*va*va; % Oppgave 1.3. Generiske parametre K = (Fr/vr)/(2*C*va); T1 = m/(2*c*va); T2 = Tf; fprintf('k = %4.4f, T1 = %4.4f, T2 = %4.4f\n', K, T1, T2); Resultatet blir K = , T1 = , T2 = Asymptotene er vist med rødt i vedlagt figur (Del 1). Samme plott for begge overføringsfunksjonene. Oppgave 1.4. Vær lur, og bruk enklest mulige betraktninger når du svarer på dette: Hva blir ωω 180 for denne prosessen med en ren proporsjonalregulator? Symmetribetraktninger forteller oss at ωω 180 må befinne seg midt mellom 1/TT 1 og 1/TT 2. Punktet er avmerket med en blå + i vedlegget. Verdien må bli Oppgave 1.5. ωω 180 = 1 TT 1 TT 2 = 0,42 Anta at noen står foran et virkelig system som kan beskrives med modellen ovenfor. Anta videre at de ikke har kjennskap til modellen slik vi ser den, men at de skal bruke Ziegler og Nichols metode (ZN) for å finne regulatorparametre. Hva er sammenhengen mellom ωω 180 i forrige oppgave og kritisk periodetid TT k i ZN? Svaret skal inneholde både en verbal forklaring og en kort formel. Hva blir TT k? ωω 180 er den frekvensen (i rad/sek) som systemet vil svinge med hvis forsterkningen i tilbakekoblingen justeres slik at vi får en udempet svingning. Forsterkningen er nå slik at amplituden til den åpne sløyfens overføringsfunksjon krysser 0 db ved ωω 180. Frekvensen vil ha en tilsvarende periodetid TT kk = 2ππ Dette gir ωω 180 TT kk = 2ππ TT 1 TT 2 = 15 sek

4 TELE2001 Reguleringsteknikk, øving 6 LF Side 4 Oppgave 1.6. Her skal du basere svaret på informasjonen i det asymptotiske Bode-plottet: Hva kan du si om kritisk forsterkning K k? Frekvensen ωω 180 er avmerket med grønt i vedlegget. Vi ser at det asymptotiske plottet har verdien minus 6 db ved denne frekvensen. Vi innser videre at den virkelige verdien (altså ikke den asymptotiske) vil ha en litt lavere verdi. Dette innebærer at forsterkningen kan økes med litt mer enn 6 db. Altså kan vi si at kritisk forsterkning må bli større enn, men omtrent lik 2. Oppgave 1.7. Beregn absoluttverdien(e) til h uy (ωω 180 ) og h vy (ωω 180 ). Finn K k eksakt. Her er beregningene foretatt i Matlab med % Oppgave 1.7 pros = tf(k, conv([t1 1 0], [T2 1])); w180 = 1/sqrt(T1*T2); [mag, phase] = bode(pros, [w180]); fprintf('kk = %4.4f (%4.4f db)\n', 1/mag, -20*log10(mag)); Resultatet blir Kk = ( db) Punktet er avmerket med en blå o i vedlegget. Del 2. PI-regulator Du skal fortsette med samme prosess som i første del av øvingen, men skal nå se hva som skjer når den reguleres med en PI-regulator. Det kan være lurt å lage noen kopier av det asymptotiske diagrammet fra del 1 før du fortsetter. Kanskje du også bør spare originalen til du vet hvor mange du trenger. På den måten kan svarene på denne oppgavedelen presenteres på et passe antall ark. Oppgave 2.1. Med utgangspunkt i resultatene fra del 1: Finn regulatorparametrene ved hjelp av tabellen til Ziegler og Nichols. Det er altså snakk om en PI-regulator, så Oppgave 2.2. KK pp = 0,45 KK kk = 1,062 TT ii = 0,85 TT kk = 12,59 Lag asymptotisk Bode-plott av regulatoren i samme diagram som prosessen, deretter et asymptotisk Bode-plott av den åpne sløyfens overføringsfunksjon. Asymptotene er vist med rødt i vedlagt figur (Del 2A).

5 TELE2001 Reguleringsteknikk, øving 6 LF Side 5 Oppgave 2.3. I denne oppgaven må du beregne eksakt verdi for den åpne sløyfens overføringsfunksjon i noen punkter. Du må selv finne ut hvilke. Legg også merke til at ωω 180 ikke har samme verdi som i del 1. Om du vil kan oppgaven løses i Matlab. Finn fase- og forsterkningsmargin for det regulerte systemet. Kan du forbedre fasemarginen ved kun å endre K p? Hva er maksimal verdi? Hva blir K p der? Hva med forsterkningsmarginen? Eksakt verdi for den åpne sløyfens overføringsfunksjon er tegnet med blått i vedlegget. Fase- og forsterkningsmargin er svært nær null fordi amplituden krysser 0 db omtrent ved samme frekvens hvor fasen krysser -180 grader. Hvis vi reduserer K p kan vi forbedre fasemarginen. Oppmerkinger i grønt. Vi reduserer K p slik at amplituden krysser 0 db omtrent der hvor fasen har størst verdi dvs. der ωω 0,095. Dette tilsvarer at K p = -16 db = 0,16. Fasemarginen blir 17 og forsterkningsmarginen 16 db. Her passer det for øvrig med en kommentar til Ziegler og Nichols metode. Den åpenbare kommentaren er at Ziegler og Nichols metode ikke alltid fungerer. Oppgave 2.4. Nå skal du gjøre det samme en gang til med ytterlig justerte regulatorparametre. Still T i 3 ganger så stor som i oppgave 2.1. Det er ikke så farlig hva du gjør med K p enda. Lag asymptotisk Bode-plott av regulatoren i samme diagram som prosessen, deretter et asymptotisk Bode-plott av den åpne sløyfens overføringsfunksjon. Nå blir T i = 37,8. Setter foreløpig K p = 1. Asymptotene er vist med rødt i vedlagt figur (Del 2B). Asymptotene med og uten regulator er identiske for frekvenser større enn 1/T i dvs. nesten hele diagrammet. Oppgave 2.5. I denne oppgaven må du beregne eksakt verdi for den åpne sløyfens overføringsfunksjon i noen punkter. Du må selv finne ut hvilke. Legg også merke til at ωω 180 igjen forandrer seg. Om ønskelig kan oppgaven løses i Matlab. Still K p så du oppnår størst mulig fasemargin. Hva er maksimal verdi? Hva blir K p? Hva med forsterkningsmarginen? Kommenter forskjeller fra oppgave 2.3. Eksakt verdi for den åpne sløyfens overføringsfunksjon er tegnet med blått i vedlegget. Oppmerkinger i grønt. Fasekurven har maksimal verdi -135 ved ωω 0,063. Her får vi en fasemargin på 45. Vi får amplitudekryssfrekvens på ωω cc 0,063 hvis K p = -18 db = 0,126. Forsterkningsmarginen blir da 24 db. Vi ser at det er mulig å oppnå større fasemargin ved å øke T i og T d. For å faktisk øke fasemarginen må vi i tillegg redusere K p. Dette vil redusere kryssfrekvensen ωω cc og dermed båndbredden tilsvarende.

6 TELE2001 Reguleringsteknikk, øving 6 LF Side 6 Del 3. PID-regulator Du skal fortsette med samme prosess som i første del av øvingen, men skal nå se hva som skjer når den reguleres med en PID-regulator. Det kan være lurt å starte med en ny kopi det asymptotiske diagrammet fra del 1. Oppgave 3.1. Med utgangspunkt i resultatene fra del 1: Finn regulatorparametrene ved hjelp av tabellen til Ziegler og Nichols. Det er altså snakk om en PID-regulator, så KK pp = 0,65 KK kk = 1,5 TT ii = 0,50 TT kk = 7,4 TT dd = 0,12 TT kk = 1,78 Oppgave 3.2. Overføringsfunksjonen for en PID-regulator på produktform finner du i kap. 8.1 i læreboka. Sett n = 10. Lag asymptotisk Bode-plott av regulatoren i samme diagram som prosessen, deretter et asymptotisk Bode-plott av den åpne sløyfens overføringsfunksjon Asymptotene er vist med rødt i vedlagt figur (Del 3A). Oppgave 3.3. I denne oppgaven må du beregne eksakt verdi for den åpne sløyfens overføringsfunksjon i noen punkter. Du må selv finne ut hvilke. ωω 180 er endret igjen. Om du vil kan oppgaven løses i Matlab. Finn fase- og forsterkningsmargin for det regulerte systemet. Kan du forbedre fasemarginen ved kun å endre K p? Hva er maksimal verdi? Hva blir K p der? Hva med forsterkningsmarginen? Eksakt verdi for den åpne sløyfens overføringsfunksjon er tegnet med blått i vedlegget. Der er det også vist hvordan man finner at fasemarginen blir ca. 15 mens forsterkningsmarginen blir ca. 20,5 db. Det ser ikke ut som det går an å øke fasemarginen med bare å endre K p, fordi fasen er allerede på sitt maksimale rundt den nåværende amplitudekryssfrekvensen. Her passer det igjen med en kommentar til Ziegler og Nichols metode. Det kan være på sin plass å nevne at vi fikk en fasemargin som tilsvarer minimum amplitude, mens ZN etter sigende skal gi oss minimum areal. Nok en påstand som godt kan tas med en klype salt.

7 TELE2001 Reguleringsteknikk, øving 6 LF Side 7 Oppgave 3.4. Nå skal du gjøre det samme en gang til med ytterlig justerte regulatorparametre. Still både T i og T d dobbelt så store som i oppgave 3.1. Det er ikke så farlig hva du gjør med K p enda. Lag asymptotisk Bode-plott av regulatoren i samme diagram som prosessen, deretter et asymptotisk Bode-plott av den åpne sløyfens overføringsfunksjon. Nå blir T i = 14,8 og T d = 3,55. Setter foreløpig K p = 1. Asymptotene er vist med rødt i vedlagt figur (Del 3B). Asymptotene med og uten regulator er identiske for frekvenser mellom 1/T i og 1/T d. Oppgave 3.5. I denne oppgaven må du beregne eksakt verdi for den åpne sløyfens overføringsfunksjon i noen punkter. Du må selv finne ut hvilke. Bruk gjerne Matlab. Still K p så du oppnår størst mulig fasemargin. Hva er maksimal verdi? Hva blir K p? Hva med forsterkningsmarginen? Kommenter forskjellen fra oppgave 3.3. Eksakt verdi for den åpne sløyfens overføringsfunksjon er tegnet med blått i vedlegget. Oppmerkinger i grønt. Fasekurven har maksimal verdi -136 ved ωω 0,21. Her får vi en fasemargin på 44. Vi får amplitudekryssfrekvens på ωω cc 0,21 hvis K p = -5,5 db = 0,53. Forsterkningsmarginen blir da 25 db. Doblingen av T i og T d gjorde at vi kunne øke fasemarginen. Vi kan velge mellom å beholde båndbredden i forhold til oppgave 3.3 og oppnå en fasemargin på ca. 35, eller (som vi gjorde) redusere båndbredden og oppnå en enda bedre fasemargin.

8

9

10

11

12