Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT101 høsten 2016

Transkript

1 Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT101 høsten 2016 Oppgave 1 (vekt 30 %) a) Gjør om tallene til det angitte tallsystemet i) 754 ni = ti ii) 255 ti = syv i) 754 ni = = 616 ii) 255 ti = = 513 syv b) Tallet 52 er skrevet i et ukjent tallsystem. Vi vet imidlertid at tallet tilsvarer 42 i titallssystemet. Hvilket tallsystem er 52 skrevet i? Vi kaller det ukjente tallsystemet for x tallsystemet. Vi har da 52 x = 42 Dette gis oss videre 5 x + 2 = 42 Løser vi denne likningen så får vi 5x = x = 40 x = 8 Med andre ord, det ukjente tallsystemet er åttetallssystemet.

2 Side 2 av 10 c) Regn ut i det angitte tallsystemet i) 465 syv syv = ii) 402 seks 214 seks = iii) 55 åtte 67 åtte = i) 465 syv syv = 1300 syv ii) 402 seks 214 seks = 144 seks iii) Under er utregningen på gangestykket vist. Dette er regnet i åttetallsystemet, men jeg har tatt indeksene vekk da det ble så rotete hvis jeg tok dem med. (Strekene kom over indeksene.) d) I figuren under ser du et utdrag fra kladdeboken til Lille Ole Forklar hva Lille Ole har tenkt. Hvordan kan du hjelpe Lille Ole videre i arbeidet med subtraksjon av flersifrede tall? Her ser det ut som Lille Ole har tatt det største tallet minus det minste tallet. Det gjør at det første stykket tilfeldigvis blir riktig. Vi ser imidlertid at stykke 2 og 4 blir feil. Det tredje stykket har han gjort riktig. Hva som er årsaken til der, er ikke så lett å si.

3 Side 3 av 10 Kanskje han har sett tallene før og kjenner de igjen? En annen mulighet er at dette er mye mindre tall og at han telt på fingrene eller brukt annen hoderegningsstrategi. Jeg tror jeg ville først sett på to sifrede tall og sett om han har samme feilmønster der. Deretter ville jeg brukt konkretisering som f. eks penger for å den måten forsøke å få lille Ole til å forstå tankegangen. En kan f. eks ta utgangspunkt i stykker som og deretter brukt penger for å konkretisere g illustrere subtraksjonsalgoritmen. e) Regn ut gangestykket 4 37 ved å bruke multiplikasjonsalgoritmen. Ta utgangspunkt i denne oppgavene og forklar hvordan du vil jobbe med multiplikasjonsalgoritmen i klassen din. Målet for arbeidet er at elevene skal forstå tenkemåten i algoritmen og ikke bare lære den mekanisk. (Det er nok at du ser på situasjonen med ettsifret tall multiplisert med et tosifret tall) Løsningene på stykkene er vist under NB. Dere bør i løsningen deres har med mentetall, men det er litt knotete å skrive det inn her, så derfor har jeg droppet det. Siste del av spørsmålet Her kan dere være fornuftig å bruke en rektangelmodell. La oss se på rektangelet under

4 Side 4 av 10 Arealet til rektangelet tilsvarer gangestykket. Vi ser også at arealet kan beregnes ved å først ta det lille rektangelet og så det store. Det kan vi sette opp slik I algoritmen vi har brukt innledningsvis er disse to linjene slått sammen i en regneoperasjon. Dette kan spare noe tid, men på den andre side er det ikke noe som fremmer noe forståelse. Den gangen en ikke hadde kalkulator var det viktig å kunne regne raskt og feilfritt, men nå som alle har kalkulator tilgjengelig til enhver tid er det viktigere med forståelsen og algoritmen blir lettere å forstå om en tar det i to sted slik vi har gjort det. Oppgave 2 (vekt 25 %) a) Konstruer en trekant der lengden til AB = 8, A = 30 o og B = 90 o. Hvor stor er C? Finn hvor lang sidene AC og BC er. Vi kaller BC for x. Siden dette er en 30, 60, 90 graders trekant vil hypotenusen være dobbelt så lang som kateten. Vi har derfor at AC = 2x. Vi bruker deretter Pytagoras x 2 = (2x) x 2 = 4x 2 64 = 3x 2

5 Side 5 av 10 x 2 = x = = 4,62 Dermed har vi at BC = 4,62 og AC = 9,24. b) I figuren under er det vist en trekant ABC. Størrelsen på vinklene i trekanten er A = 35 o, B = 55 o og C = 90 o Vi antar nå at lengden på AB = 8 cm og BC = 5 cm. Linjen CD står normalt på linjen AB. Regn ut lengden på siden AC. Regn ut hva arealet av trekant ABC blir. Vi kaller AC for x. Da får vi fra Pytagoras x = 8 2 x = 64 x 2 = 39 x = 39 = 6,24 Arealet finner vi ved å regne ut A = 6,24 5 = 15,6 2

6 Side 6 av 10 c) Forklar hvorfor trekanten ABC er formlik med trekantene ACD og BCD. Vinklene i trekant ABC er 35, 55 og 90 grader. Ser vi på vinklene i trekant ADC så ser vi at de også er 35, 55 og 90 grader. Da er disse trekantene formlike. Tilsvarende ser vi at også trekant BCD har de samme vinklene slik at den er formlik med de to andre. d) Regn ut lengden på sidene CD og BD. Det er flere metoder en kan bruke her. Her er en måte: Vi ser på trekant ABC og BCD. Disse er formlike og da har vi sammenhengen CD AC = BC AB CD 6,24 = 5 8 CD = 5 6,24 = 3,9 8 Vi finner BD ved f. eks bruk av Pytagoras. (Formlikhet kan også brukes). Vi kaller BD = x x 2 + 3,9 2 = 5 2 x ,21 = 25 x 2 = 9,79 x = 9,79 = 3,13 e) Lille Kari kan formelen for hvordan en regner ut areal av en trekant. Hun lurer imidlertid på om dette gjelder for alle trekanter og hvorfor formelen er som den er. Gi Lille Kari en forklaring på hvordan vi kommer frem til formlen. Du kan forutsette at Lille Kari kjenner til formlene for areal av rektangel og parallellogram. Her er det verdt å merke seg at vi skal vise at dette alltid gjelder. Det kan være fristende å kun se på trekanter som dette:

7 Side 7 av 10 Her ser vi at arealet av trekanten er halvparten av rektangelet. Når vi vet at areal av rektangel er A = gh så vil arealet av en trekant være A = gh 2 Men dette er ikke nok. Vi må også se på trekanter som denne Skal vi vise at formelen også gjelder for slike trekanter er det enkleste å lage en kopi av trekanten, deretter rotere den og legge den inntil den vi startet slik som vist under.

8 Side 8 av 10 Lille Kari vet at formelen for areal av parallellogram er A = gh, og siden trekanten er halvparten av parallellogrammet blir arealet A = gh 2 Oppgave 3 (vekt 8 %) Gjør rede for eventuelle symmetrier i disse figurene: a) b) c) d) Løsning a) Her er det speilsymmetri med loddrett symmetriakse midt gjennom figuren b) Denne har ingen symmetrier c) Her er det speilingssymmetri med fire mulige symmetriakser, en vannrett, en loddrett og to diagonale Dessuten er det rotasjonssymmetri med rotasjonsvinkel på 90⁰, Grunnformen vil være en av de fire «armene» d) Her har vi rotasjonssymmetri med rotasjonsvinkel 72⁰ (360/5) Grunnformen vil da være en av de fem delene figuren kan deles i (denne femdelsbiten kan tas ut på flere måter) Oppgave 4 (vekt 7 %) Tegn en likesidet trekant. Roter trekanten med en rotasjonsvinkel på 120⁰ med midtpunktet til en av sidene som rotasjonspunkt

9 Side 9 av 10 I figuren under har jeg rotert trekant ABC 120 grader om punkt D som er midtpunktet på linjen BC. Dersom en velger å rotere om et annet punkt vil den midtpunktet på en av de andre linjene vil figuren se litt annerledes ut. Oppgave 5 (vekt 10 %) a) Forklar hvorfor det er slik at enhver firkant tesselerer Vinkelsummen i en firkant er 360⁰. Når vi legger fire firkanter inntil hverandre med ulike hjørner inn mot møtepunktet vil de fire hjørnene som møtes utgjøre 360⁰. b) Forklar hvorfor regulære sekskanter tesselerer Vinklene i en regulær sekskant er 120⁰. Når tre hjørner legges mot hverandre vil vinkelsummen være 360⁰ Oppgave 6 (vekt 20 %) a) Gjør greie for begrepene direkte og indirekte måling Direkte måling er når vi ser to gjenstander samtidig og kan sammenlikne dem uten bruk av målegjenstander. Indirekte måling er når vi ikke kan se gjenstandene samtidig, men må bruke et måleredskap for å kunne sammenlikne

10 Side 10 av 10 I 1975 satte Kulikov verdensrekord på 500 meter på skøyter for menn med tiden 37,00 sekunder b) Hva tilsvarer denne hastigheten, angitt i meter i sekundet? 500/37 = 13,5 m/s c) En bil kjører i 50 km/t. Hva tilsvarer dette i meter i sekundet? Løsning 50 km/t = m/3600 sek = 13,8 m/s d) Oljeprisen oppgis gjerne i dollar per fat. Et fat tilsvarer 159 liter. Hvor mange kubikkmeter tilsvarer et fat? Løsning 1 m 3 = 10x10x10 dm = 1000 liter 159/1000 = 0,159 m 3 e) Norges areal er km 2. Hvis det faller fem millimeter regn over hele landet, hvor mange kubikkmeter vann vil det tilsvare? km 2 = m 2 5 mm = 0,005 m x 0,005 = m 3