Stabilitetsanalyse. Hans- Pe/er Halvorsen, M.Sc.

Transkript

1 Stabilitetsanalyse Hans- Pe/er Halvorsen, M.Sc.

2 Tilstandsrom- modeller Dataverktøy MathScript LabVIEW Differensial - likninger Tidsplanet Laplace Blokk- diagrammer Transfer- funksjoner 2.orden 1.orden Analyse/Design Stabilitets- analyse Det komplekse plan 2. Frekvensrespons 1. Systemets poler Bodediagram Realisering/ Implementering Reguleringsteknikk Serie, Parallel, Feedback Det komplekse plan S- planet K = Forsterkning T=Tidskonstant Sprang- respons 1.orden Diskre@sering Reguleringssystem Asympto@sk stabilt system Air Heater Tidsplanet Ustabilt system Marginalt stabilt system Asympto@sk stabilt system Marginalt stabilt system Ustabilt system

3 Reguleringssystem (Tilbakekoblet) Mål: systemet (med regulator) må være stabilt og gi god regulering

4 Stabilitetsanalyse Hensikt: Finne ut om systemet er stabilt eller ikke. Ulike metoder: 1. Impuls- /Sprangrespons 2. Polplassering 3. Frekvensrespons (lærer om de/e senere)

5 Sløyfetransferfunksjonen Loop Transfer MathScript: Hr =... Hp =... Hm =... L = series(series(hr, Hp), Hm) Sløyfetransferfunksjonen er definert som produktet av alle transferfunksjonene i det lukkede systemet.

6 Trackingfunksjonen Følgeforholdet MathScript: L =... T = feedback(l, 1) Følgeforholdet sier noe om hvor godt utgangen følger referansen. Reguleringssystemet har gode følgeegenskaper når

7 Det polynom En transferfunksjon kan skrives på følgende generelle polynomform: Der transferfunksjonen beskriver systemet, mens nevneren beskriver systemet. Rø/ene i tellerpolynomet b(s) kalles systemets eller transferfunksjonens nullpunkter Rø/ene i nevnerpolynomet a(s) kalles systemets eller transferfunksjonens poler Nevnerpolynomet a(s) kalles for transferfunksjonens karakteris@ske polynom

8 Poler og Nullpunkter - Eksempel Gi/ følgende system: Poler, Penn og papir: Finn nullpunkter og poler for de/e systemet. Bruk Penn og papir samt MathScript. MathScript: num=... den= H = tf(num,den) zero(h) pole(h) eller: num=... den= H = tf(num,den) roots(num) %Zeros roots(den) %Poles

9 Poler og Nullpunkter Eksempel - Løsning MathScript: %Transfer Function num=[2,1]; den=[0.5, 2, 1]; H=tf(num,den) %Zeros z = zero(h) %roots(num) %Poles p = pole(h) %roots(den)

10 Impuls- /Sprangrespons stabilt system: impulse(h) step(h) Marginalt stabilt system: Ustabilt system:

11 Stabilitetsanalyse Sprangrespons MathScript - Eksempel T(s) De/e er den totale transferfunksjonen ( The Tracking transfer func@on ) fra referansen utgangen (y) for et gi/ system. Systemet blir regulert av en P regulator (proporsjonalregulator). Implementer (transferfunksjon) og simuler (sprangrespons) systemet i MathScript. Prøv forskjellige verdier av Kp Hva blir resultatet??

12 Kp=1; MathScript Løsning num = [Kp]; den = [1, 2, 1, Kp]; H = tf(num, den); Asympto@sk stabilt step(h) Li/ mer avansert utgave: clc clear K = [1, 2, 4]; N = length(k); for i= 1:N Kp = K(i); num = [Kp]; den = [1, 2, 1, Kp]; H = tf(num, den); figure(i) step(h) end Marginalt stabilt Ustabilt

13 Stabilitetsanalyse 2.ordens systemer Det er verdien på zeta som bestemmer stabilitetsegenskapene ifm 2.ordens systemer

14 Stabilitetsanalyse 2.ordens systemer - Eksempel Masse- Fjær- demper system Implementer systemet i MathScript. Prøv ulike verdier av zeta slik at vi kan gjenskape de ulike responsene (sprangrespons) som er typisk for et 2.ordens system. Begynn med f.eks. m=1, k=1, d=1

15 Masse- Fjær- demper system MathScript kode % Mass-spring-damper clear clc clear all Prøv ulike verdier av zeta slik at vi kan gjenskape de ulike responsene som er typisk for et 2.ordens system % Define variables m = 1; d = 1; k = 1; zeta= d/(2*sqrt(m*k)) % Define Transfer function num = 1/m ; den = [1, (d/m), (k/m)]; H = tf(num, den); % Step Response step(h)

16 Masse- Fjær- demper system MathScript kode Noen eksempler på z verdier m=1, k=1, d=1 - > z=0.5 dvs 0<z<1 - > Stabilt (Underdempet) m=1, k=1, d=- 1 - > z=- 0.5 dvs z<0 - > Ustabilt m=1, k=1, d=2 - > z=1 - > Stabilt (Kri@sk dempet) m=1, k=1, d=0 - > z=0 - > Marginalt stabilt

17 Polplassering Eksempel: Systemets poler finner man ved å se/e nevneren i transferfunksjonen lik 0 Stabilt Ustabilt MathScript: num = [3]; den = [0.5, 1]; H = tf(num, den) p = poles(h) pzgraph(h) Studenter: Prøv ut de/e scriptet!

18 Polplassering stabilt system: Marginalt stabilt system: En eller flere poler ligger på den imaginære akse (har realdelen lik 0), og alle polene er forskjellige/ikke sammenfallende. Dessuten, ingen poler i høyre halvplan Alle polene ligger i venstre halvplan (nega@v realdel). Ingen poler på den imaginære akse. Ustabilt system: En eller flere poler ligger i høyre halvplan (har realdel større enn 0). Eller: Det er mul@ple/sammenfallende poler på den imaginære akse.

19 Stabilitetsanalyse Poler MathScript - Eksempel De/e er den totale transferfunksjonen ( The Tracking transfer func@on ) fra referansen utgangen (y). Systemet blir regulert av en P regulator (proporsjonalregulator). Implementer (transferfunksjon) og finn systemet vha MathScript. Prøv forskjellige verdier av Kp (Kp=1, Kp=2, Kp=3) Hva blir resultatet??

20 Stabilitetsanalyse Poler MathScript - Løsning MathScript: Poler: De/e er den totale transferfunksjonen ( The Tracking transfer func@on ) fra referansen utgangen (y). Systemet blir regulert av en P regulator (proporsjonalregulator). Kp=1 num = [Kp]; den = [1, 2, 1, Kp]; H = tf(num, den) figure(1) step(h) poles(h) figure(2) pzmap(h)

21 Masse- Fjær- demper system Eksempel - MathScript kode % Mass-spring-damper system clear clc clear all Prøv ulike verdier av zeta slik at vi kan gjenskape de ulike responsene som er typisk for et 2.ordens system. Metode 1 (Sprangrespons) Metode 2 (Polplassering) % Define variables m = 1;d = 1; k = 1; zeta= d/(2*sqrt(m*k)) % Define Transfer function num = 1/m ; den = [1, (d/m), (k/m)]; H = tf(num, den); % Step Response figure(1), step(h) % Stability Analysis p = poles(h) figure(2), pzmap(h) Studenter: Prøv ut de/e!

22 Hans- PeSer Halvorsen, M.Sc. Telemark University College Faculty of Technology Department of Electrical Engineering, Technology and E- mail: Blog: hsp://home.hit.no/~hansha/ 22