Løsningsforslag øving 4

Transkript

1 TTK405 Reguleringsteknikk, Vår 206 Oppgave Løsningsforslag øving 4 Når k 50, m 0, f 20, blir tilstandsromformen (fra innsetting i likning (3.8) i boka) Og (si A) blir: (si A) [ ] [ ] 0 0 ẋ x + u ([ ] [ ]) [ ] s 0 0 s 0 s s + 2 Her vi brukt at den inverse av en 2 2 matrise [ ] a b B c d s 2 + 2s + 5 [ s + 2 ] 5 s kan uttrykkes: der B det(b) [ d ] b c a det(b) ad bc (2) () Videre har vi: Φ(t) L { (si A) } φ 2 (t) L { { (si A) } 2 L s 2 + 2s + 5 } L { } (s + ) Transformpar 0 i tabellen i bokens appendiks B (side 549) med a og b 2 gir: φ 2 (t) 2 e t sin(2t)

2 Oppgave 2 a) (4.78) og () gir følgende sett av ligninger: ẋ x 2 ẋ 2 x 3 ẋ 3 α 0 x α x 2 α 2 x 3 + u Dette gir blokkdiagrammet vist i figur. y ρ 0 x + ρ x 2 + ρ 2 x 3 Figure : Elementært blokkdiagram i tidsplanet b) Vi skal redusere blokkdigrammet i figur. For å komme over i s-planet bytter vi ut hver integrator med s. Metoden er vist i figurene 2, 3, 5 og 6. 2

3 Figure 2: Overføring til Laplacetransformert elementært blokkdiagram Figure 3: Bruk av reglene e) på side 2 3

4 Figure 4: Bruk av reglene g) på side 22 Figure 5: Bruk av regel a) og b) på side 2 Fra figur 6 får vi (4.8) med orden 3: h(s) y(s) u(s) ρ 2 s 2 + ρ s + ρ 0 s 3 + α 2 s 2 + α s + α 0 Når vi har gitt fasevariabel form kan vi direkte sette modellen opp på tilstandsromform. Merk at det finnes uendelig mange tilstandsromrepresentasjoner for samme transferfunksjon. Transferfunksjonen er en entydig inn-ut representasjon for det aktuelle systemet. 4

5 Figure 6: Ved å gjenta prosedyren fra figur 3-5 gir endelig blokkdiagram Fordelen med fasevariabel form eller tilsvarende kanoniske former, er at koeffisientene i transferfunksjonen direkte inngår i matrisene for tilstandsromformen. Når en i Matlab skal finne tidsresponsen til et system, f.eks. vha funksjonene step eller lsim, så gjør Matlab først systemet om til tilstandsromform, dersom det ikke er oppgitt på denne formen. Denne konverteringen resulterer i den så kalte controllable canonical form som er et annet navn på fasevariabel form. Oppgave 3 Benytter residuregning for å finne tidsresponsene: h(t) L [h(s] i Res[h(s)e ts ] sai (3) a) Fra tabellen er gitt et system med to distinkte poler: h(s) Kλ λ 2 (s λ )(s λ 2 ) (4) Vi får: h(t) Res[h(s)e ts ] sλ + Res[h(s)e ts ] sλ2 (5) e ts Kλ λ 2 ( s λ 2 + ets sλ s λ ) sλ2 Kλ λ 2 (λ λ 2 ) (eλ t e λ 2t ) (6) Benytter likning (6) til å finne løsningen for komplekskonjugerte poler, dvs λ,2 α ± jβ. h(t) Kλ λ 2 (λ λ 2 ) (eλ t e λ2t ) (7) K( α + jβ)( α jβ) (e ( α+jβ)t e ( α jβ)t α + jβ + α + jβ K(α2 + β 2 ) e αt (e jβt e jβt ) 2jβ Kω2 0 β e αt 2j Kω2 0 β e αt sin(βt) (8) Her benyttes Eulers formel og den udempede resonansfrekvensen ω 2 0 α2 + β 2. 5

6 b) For sammenfallende poler lar vi den komplekse delen β i likning (8) gå mot null: h(t) lim β β 0 Kω 2 0 e αt sin(βt) lim Kω 2 αt t cos(βt) β 0 0e Kte t T (9) Der vi benytter tidskonstanten fordi α ω 0 T. Grenseverdien finnes ved bruk av L Hopitals regel. c). Vi har at sprangresponsen kan uttrykkes som følger: Residuregning gir: k(s) h(s) s Kλ2 (s λ) 2 s (0) [ ets] [ d Kλ 2 ets] k(t) ds Kλ + s sλ (s λ) s0 2 [ Kλ 2 eλt λ 2 + t ] λ eλt + Kλ 2 λ 2 K( e λt + λte λt ) K( [ + t T ]e t T ) () 2. Fra oppgave vet vi at sprangresponsen er gitt som integralet av impulsresponsen. Dette kan vi også bruke for å sjekke svaret. Impulsresponsen for et 2. ordens system med to sammenfallende poler er: Da er sprangresponsen: h(t) K te t T (2) k(t) t 0 t 0 h(τ)dτ (3) K τe τ T dτ (4) For å løse likning (3) må vi bruke delvis integrasjon: udv [uv] b a b a vdu. Velger dv e τ T dτ og u τ. Får da etterhvert: k(t) K ( T (te t T 0) + T (T ( e t T )) ) K T te t T + K( e t T ) K( [ + t T ]e t T ) (5) 6

7 d) Statisk forsterkning K finnes når s 0, dvs. K k. Det betyr at jo stivere fjæra er (stor k) jo mindre statisk forsterkning får vi. Dette vet alle som har prøvd å trykke inn en stiv fjær. Udempet resonansfrekvens: ω 0 er gitt av ω 0 k m. Det betyr at stor masse gir lav svingefrekvens og stiv fjær gir høy svingefrekvens. Dette er også rimelig å forvente. Relativ dempningsfaktor ζ er gitt av ζ f 2mω 0 2m f m k. Vi ser at den relative dempingsfaktoren avtar med massen m, øker med den viskøse dempingen f og avtar med stivere fjær (stor k). Oppgave 4 a) Vi får her et negativt utslag ved start (ofte kalt inversrespons) pga. nullpunktet T halvplan. i høyre y(s) g (s) s K( T s) s( + s) K s( + s) KT + s ( ) K s( + s) T K(y a (s) + y b (s)) (6) + s der: y a (s) s( + s) y b (s) T + s T sy a (s) Fra linje 8 i tabellen i Appendiks B i boka, finner vi: y a (t) ( e t ) dy a (t) y b (t) T T e dt t det gir ( y(t) K ( e t ) T e ( 0 7 ) 4 e t 4 ) t b) For å finne tidsresponsen ved residuregning finner vi først polene i y(s) og multiplisiteten. Vi ser raskt at vi her har to poler s og s 0, begge med multiplisitet m. Residuformelen ved m kan skrives [ res* y(s)e ts ] [ (s ai )y(s)e ts]. (7) sa i sa i i i 7

8 Vi får dermed y(t) L [y(s)] i res* sa i [ y(s)e ts ] (8) (s + ) K( T ) s( + s) ets s + (s) K( T ) s( + s) ets s0 (9) K( + T )e t + K (20) 0( 7 4 e t 4 ) (2) 8

9 c) Se Figur 7 nedenfor. Sprangresponsen y(t) Tid [sek] Figure 7: Sprangrespons for g (s) d) Skissen blir som figur 6, men forskøvet T 3 5 sekunder mot høyre. Se 4.7 s