SIE30AR Ulineær bevegelsestyring - Servoteknikk Løsningsforslag til øving 11: Passivitet

Transkript

1 SIE3AR Ulineær bevegelsestyring - Servoteknikk Løsningsforslag til øving 11: Passivitet u u 1 H 1 y 1 y y H u Figure 1: To systemer i tilbakekobling 1 Fra Figur 1 kandet sees at u = u 1 + y y = y 1 = u Ved å benytte definisjonen av strengt passivt system (Korollar 5.1 fra boken), kan det sees at Skriver så om ulikheten hvor yu = y (u 1 + y )=u 1 y 1 + u y V 1 + δ 1 u 1 + g 1 + V + δ u + g V 1 + V + g 1 + g + δ y V yu δy g (1) V = V 1 + V () δ = δ g = g 1 + g Fra (1) og () kan det konkluderes med at et system bestående av to passive delsystemer i tilbakekobling er passivt (δ =), mens et system bestående av to strengt passive delsystemer i tilbakekobling er y-strengt passivt. 1

2 u 1 H 1 y 1 u y u H y Figure : To systemer i parallell Fra Figur kan det sees at u = u 1 = u y = y 1 + y Ved å benytte definisjonen av strengt passivt system (Korollar 5.1 fra boken), kan det sees at Skriver så om ulikheten hvor yu = (y 1 + y ) u = y 1 u 1 + y u V 1 + δ 1 u 1 + g 1 + V + δ u + g = V 1 + V +(δ 1 + δ ) u + g 1 + g V yu δu g (3) V = V 1 + V (4) δ = δ 1 + δ g = g 1 + g Fra (3) og (4) kan det konkluderes med at et system bestående av to passive delsystemer i tilbakekobling er passivt (δ =), mens et system bestående av to strengt passive delsystemer i tilbakekobling er strengt passivt. (a) passivt hvis begge delsystemene er passive (b) strengt passivt hvis begge delsystemene er strengt passive. 3 (a) L -normen til et signal x(t) er definert ved kxk = hx, xi 1 = µz 1 x (t)dt

3 (b) 4 (a) Lagringsfunksjonen er gitt av Deriverer denne og finner x 1,x L Z kx 1 + x k = (x 1 (t)+x (t)) dt Z = x 1 (t)+x 1 (t)x (t)+x (t) dt Z x 1 (t)+x (t) dt = kx 1 k + kx k < (siden x 1,x L ) x 1 + x L V = 1 qt M (q) q + P (q) V = 1 qt M(q) q + 1 qt M(q) q + 1 qt Ṁ(q) q + P (q) Benytter så følgende = q T M(q) q + 1 qt Ṁ(q) q + P (q) = q T ( C(q, q) q D q g(q)+u)+ 1 qt Ṁ(q) q + P (q) = q T D q + q T u q T C(q, q) q + 1 qt Ṁ(q) q q T g(q)+ P (q) = q T D q + u T q + 1 ³Ṁ(q) qt C(q, q) q + P (q) q T g(q) q T D q q T ³Ṁ(q) C(q, q) q = P P (q) (q) = q = q T g(q) q q = y Den deriverte av lagringsfunksjonen kan nå skrives hvilket viser at avbildingen er passiv. V u T y (5) 3

4 (b) Ved å benytte regulatoren u = K d q + v, der K d er en positiv definitt diagonal konstant matrise (K d = diag{k d1,k d,k d3 }), såkanulikheten(5)skrivessom V u T y = ( K d q + v) T q = q T K d q + v T q +v T q λ min (K d ) q T q hvilket viser at systemet er y-strengt passivt med v som inngang og q som utgang. (c) Lagringsfunksjonen V (q, q) = 1 qt M (q) q + P (q) er positiv definitt, da M (q) og P (q) er positiv definitt. Fra oppgave (b) kan det sees at ved å benytte regulatoren u = K d q, så kan den deriverte av lagringsfunksjonen skrives som V λ min (K d ) q T q hvor λ min (K d )=min{k d1,k d,k d3 }. Ettersom den deriverte av lagringsfunksjonen er negativ semidefinitt i (q, q) benyttes LaSalles teorem V = q = q = g(q) = q = 5 Eulers ligninger for et roterende romfartøy er gitt ved J 1 ω 1 = (J J 3 )ω ω 3 + u 1 J ω = (J 3 J 1 )ω 1 ω 3 + u J 3 ω 3 = (J 1 J )ω 1 ω + u 3 der ω i er komponentene til rotasjonhastigheten, J i er treghetsmomentet om akse nr i, og u i er pådraget (dvs moment) om akse nr i. (a) Definerer K = diag{k 1,k,k 3 } u = [u 1,u,u 3 ]T v = [v 1,v,v 3 ] T u = Kω + v Benytter lagringsfunksjonen V = 1 J1 ω 1 + J ω + J 3 ω 3 4

5 til å analysere systemet. Deriverer så lagringsfunksjonen V = J 1 ω 1 ω 1 + J ω ω + J 3 ω 3 ω 3 = ((J J 3 )+(J 3 J 1 )+(J 1 J )) ω 1 ω ω 3 + ω 1 u 1 + ω u + ω 3 u 3 (6) = ω T u (7) = ω T Kω + ω T v (8) v T ω k min ω T ω (9) hvor k min =min{k 1,k,k 3 } Fra ligning (9) kan det sees at avbildingen v ω er utgang-strengt passivt (ystrengt passiv) med g(t) =. For å vise L stabilitet, undersøkes det generelle y-strengt passive uttrykket Ẇ u T y δy T y (1) hvor δ er en positiv konstant og Ẇ er den deriverte av en positiv semidefinitt lagringsfunksjon (problemstilling identisk med (9)). Benytter så at u T u δy T y = 1 δ (u δy)t (u δy)+ 1 δ ut u δ yt y 1 δ ut u δ yt y hvor dette settes inn i den ulikheten (1) Ẇ 1 δ ut u δ yt y Denne ulikheten omformuleres slik at venstre side representerer indreprodktet til utgangen y y T y 1 δ ut u δ Ẇ Integrerer så ulikheten fra til T Z T Z T µ 1 y T ydτ δ ut u δ Ẇ dτ = 1 Z T δ u T udτ Z T Ẇdτ δ = 1 Z T δ u T udτ (W (τ) W ()) δ 1 Z T δ u T udτ + W () (11) δ hvordeterbenyttetatw (τ). Ved å benytte (), () og () kan det konkluderes med at avbildningen v ω er L stabil med endelig forsterkning. 5

6 1. (b) Ved å benytte lagringsfunksjonen fra deloppgave (a) og v =,harvi V = 1 J1 ω 1 + J ω + J 3 ω 3 V = ω T Kω hvor V er positiv definitt og radielt ubegrenset i ω, V er negativ definit i ω. Det kan derfor konkluderes med at ω =er et globalt asymptotisk stabilt likevektspunkt. 6