FYS2130. Tillegg til kapittel 13. Harmonisk oscillator. Løsning med komplekse tall

Transkript

1 FYS130. Tillegg til kapittel 13 Haronisk oscillator. Løsning ed koplekse tall Differensialligningen for en udepet haronisk oscillator er && x+ ω x = 0 (1) so er en hoogen lineær differensialligning av. orden. Vi forsøker ed en løsning på foren x() t = De α t. Dette gir α + ω = 0 der i = 1 α =± iω Den generelle løsningen av (1) kan skrives so en linærkobinasjon av to lineært uavhengige løsninger: iωt 1 x() t = De + D e iωt der D 1 og D er konstanter. Vi setter A iϕ D1 = e i A D = e i iϕ iϕ Vha. Eulers forel, e = cosϕ + isinϕ (Se for eksepel Rottann), får vi i( ωt+ ϕ) i( ωt+ ϕ) i( ωt+ ϕ) i( ωt+ ϕ) A A e e xt () = e e = A = Asin( ω t+ ϕ) () i i i Mekaniske svingninger FYS januar 007 1

2 Depede svingninger I praksis er alle svingessteer er eller indre depet. Vi betrakter vårt vanlige eksepel ed en fjær ed fjærstivhet k so er fastspent i den ene enden. Den andre enden er festet til en asse so kan gli friksjonsfritt på et underlag. Vi antar at oscillatoren er ogitt av væske eller gass og svingningene vil derfor være depet. kx k f v x=0 x Figur1: Eksepel på depet haronisk oscillator. Her beveger assen seg ot venstre og den depende kraften f er rettet ot høre. I tillegg til kraft fra fjæren er assen påvirket av en depende kraft, f, so virker ot bevegelsesretningen. Hvis beveger seg ot venstre vil f være rettet ot høre so vist på figuren over. Videre antar vi at den depende kraften er proporsjonal ed hastigheten til. Vi setter f = bv = bx & Dette er en god approksiasjon for bevegelse i væske eller gass hvis hastigheten v ikke er for stor. b er depningskonstanten so beskriver graden av depningen. Merk at uttrkket over krever at b > 0 siden den depende kraften er rettet ot bevegelsesretningen. Newtons. lov på assen gir: kx bx& = x && b k && x + x& x 0 + = (3) So for tilfellet ed ren haronisk oscillator uten depning foreslår vi at løsningen kan skrives på foren x() t = C e α t Mekaniske svingninger FYS januar 007

3 Innsatt i (3) får vi b k + + = 0 αt αt αt Cα e Cαe Ce b k α + α + = 0 So gir følgende to løsninger: α 1, b b k = ± Den generelle løsning av den lineære. ordens differensialligningen (3) er en lineærkobinasjon av to lineært uavhengige løsninger: b k b k b t t 1t t () t α α xt Ce 1 Ce e Ce 1 Ce = + = + (4) Svingeforløpet x(t) avhenger av verdien på k, og b. Vi skal se på tre tilfeller so dekker alle ulig svingeforløp. Konstantene C 1 og C kan bestees hvis vi f.eks kjenner utslaget x(t) og hastigheten vt () = xt &() for et bestet tidspunkt, f.eks. t = 0. 1) Overkritisk depning b k > dvs. b> k Radikandene i (4) er nå positive. Da er α 1 og α i (4) begge negative reelle tall og vi får et eksponentielt avtagende forløp. I dette tilfelle er depningskonstant b så stor at svingningene ikke koer i gang. ) Underkritisk depning b k < dvs. b< k Vi oskriver (4) : Mekaniske svingninger FYS januar 007 3

4 k b k b k b k b b t t i t i t b t t xt () e Ce = 1 + Ce = e Ce 1 + Ce = Ae b t sin( ω t + ϕ) d Der vi i siste overgang har benttet resultatet for udepet haronisk oscillator, ligning k b (), og ωd = b t Vi får nå et oscillerende forløp ed vinkelfrekvens ω d og ed en aplitude Ae so dered avtar eksponentielt ed tiden. Legg erke til at ω d er indre enn den naturlige vinkelfrekvens ω (haronisk oscillator uten depning). 3) Kritisk depning b k = dvs. b= k Dette gir α = b Siden den generelle løsningen av differensialligningen skrives so en lineærkobinasjon av to uavhengige løsninger, trenger vi en α-verdi til. Vi bentter en etode so kalles reduksjon av orden. Vi forsøker ed en prøveløsning på foren x() t = f() t e α t hvor vi ønsker å bestee f(t). Differensialligningen ( 3) kan i dette tilfellet skrives k der vi har benttet at α = && x x& + x= α α 0 so gir Der C 1 og C er konstanter. && f = 0 f& = C1 f () t = C + C t 1 Mekaniske svingninger FYS januar 007 4

5 Den generelle løsningen kan da skrives xt () = ( C + C te ) 1 b t Vi får også nå et eksponentielt avtagende forløp. Denne løsningen beskriver grensen ello et ikke-svingende og et svingende forløp. Figur 3 viser utslaget x(t) so funksjon av tiden t for overkritisk, kritisk og underkritisk depning x(t) overkritisk underkritisk kritisk t Figur 3: Eksepel på overkritisk, kritisk og underkritisk depning. I dette eksepelet er utslaget xt= ( 0) = 1 og hastigheten vt ( = 0) = xt & ( = 0) = 0. Stiplete kurver viser forløpet av Ae for underkritisk depning. b t Mekaniske svingninger FYS januar 007 5

6 Tvungne svingninger Vi vil nå inkludere en tre kraft, F, på ssteet. Vi lar denne tre kraften variere haronisk ed vinkelfrekvens ω og aplitude F : F = F cos( ω t) kx k f F = F cos( ω t) x=0 x Figur : Tvungne svingninger. Massen er i tillegg til kraft fra fjær og en depende kraft påvirket av en haronisk varierende kraft F. På figuren beveger assen seg ot venstre, slik at den depende kraften f er rettet ot høre. Newtons. lov gir nå: F cos( ω t) kx bx& = x& x && + bx& + kx = F cos( ω t) (5) (5 ) er en inhoogen lineær differensialligning av. orden. Den skiller seg ateatisk fra differensialligningen vi hadde i forrige avsnitt ved at den har et ledd so er forskjellig fra null på høre side av ligningen. ( 3) er en hoogen lineær differensialligning. Den generelle løsningen for den inhoogene differensialligningen (5) kan skrives so x() t = x () t + x () t H Der x H (t) er den generelle løsningen av den hoogene differensialligningen og x P (t) er en spesiell løsning (partikulærløsning) av den inhoogene differensialligningen. x H (t) har vi funnet tidligere (ligning 4). Den har et eksponentielt avtagende forløp og vil dered være neglisjerbar bare vi venter lenge nok. Vi er interessert i hvordan ssteet svinger etter at det har stabilisert seg slik at vi kan sette x() t x () t. Med kopleks notasjon kan vi skrive den oscillerende tre kraften so p P Mekaniske svingninger FYS januar 007 6

7 iω t F = Re( F e ) = F cos( ω t) { } iωt siden ( ) Re( Fe ) = Re F cos( ω t) + isin( ω t) = F cos( ω t) Vi skriver (5) på den koplekse foren: i t x && + bx& + kx = F e ω (6) Vi forsøker ed en prøveløsning på foren Ved å sette denne inn i (6) får vi: i x( t) = De ω t ω ω ω ω i t i t i t i t De ibdωe kde Fe ω + + = F F D = = k iω Z iω b+ i( ω ) ω (7) Z er den ekaniske ipedans og er generelt et koplekst tall. Den ekaniske ipedans spiller tilsvarende rolle so ipedans i en vekselstrøskrets. Vi kan frestille Z i det koplekse plan: Mekaniske svingninger FYS januar 007 7

8 I Z ϕ ω k/ ω (reaktans) b (resistans) R Figur 3: Svingessteets ekaniske ipedans frestilt i det koplekse plan. Ipedansens reelle del kalles resistans og den iaginære del kalles reaktans. Ipedansodulen Z 0 er k Z0 = Z = b + ( ω ) ω Den ekaniske ipedansen kan også skrives på foren Fra Figur 3 ser vi at tanϕ = Z = Z 0 eiϕ k ω ω b Vi finner et uttrkk for størrelsen D i prøveløsningen (7): F F F F D= = = = iω Z iω Z e ω Z iϕ π i 0 iϕ 0 e ω Z0e e π i( ϕ ) Den koplekse løsning av (6) er De F = ω Z i ω t ( ω t ϕ π /) i 0 e Mekaniske svingninger FYS januar 007 8

9 Løsningen vi er på jakt etter er realdelen av uttrkket over: F F xt ( ) = cos( ω t ϕ π / ) sin( ω t ϕ ) Asin( ω t ϕ ) ω = = Z0 ωz0 Aplituden til de tvungne svingningene er dered F F A = = ω Z0 b ω + ( ω k) (8) Aplituden avhenger blant annet av depningskonstanten b og av vinkelfrekvensen til den tre oscillerende kraften, ω. Uten depning (b = 0) vil aplituden A når ω k/ = ω (den naturlige vinkelfrekvensen for ssteet). Ssteet er da i resonans. I virkeligheten vil alle svingessteer være depet. Vi ønsker å bestee den aksiale aplituden og for hvilken vinkelfrekvens, ω, dette inntreffer. Aplituden A har aksialverdi når radikanden i nevneren i (8) har inialverdi. Minialverdien av radikanden finnes ved derivasjon hp ω : b ω + ( ω k)ω = 0 k b ω = = ω res der ω res er den vinkelfrekvens so gir aksial aplitude. Den frekvens so gir aksial aplitude kalles resonansfrekvensen. Resonansfrekvensen er f res = ωres 1 k b π = π Vi definerer kvalitetsfaktoren Q ved ω Q = b der ω = k/, ssteets naturlige vinkelfrekvens, dvs. den vinkelfrekvens ssteet ville svinge ed i fravær av depning. Kvalitetsfaktoren beskriver graden av depning. Når depningen er liten er kvalitetsfaktoren stor. Figur 4 viser aplituden so funksjon av ω / ω for forskjellige Q-verdier. Maksial aplitude (resonans) for svingningene Mekaniske svingninger FYS januar 007 9

10 øker ed Q. Vinkelfrekvensen for aksial aplitude er ω res, og ω res går ot ω når Q øker. Legg også erke til at kurveforen blir salere når Q vokser. Dette betr at vinkelfrekvensintervallet so gir store aplituder avtar ed Q. Store Q-verdier kan skape store probleer for ekaniske ssteer, f.eks. broer, so utsettes for periodiske tre krefter ed frekvenser nær ssteets naturlige svingefrekvens. Vi koer tilbake til kvalitetsfaktorer senere i forbindelse ed elektriske svingekretser. A Q=0.5 Q=.0 Q=4.0 Q= ω /ω Figur 4: Aplituden for tvungne svingninger so funksjon av vinkelfrekvensen til den påtrkte kraften, F, for en del Q-verdier. Aplituden for ω = 0 er satt lik 1 i dette ekseplet. Mekaniske svingninger FYS januar