Diffraksjonsgitter (diffraction grating)

Transkript

1 Diffraksjonsgitter (diffraction grating) Et diffraksjonsgitter består av et stort antall parallelle spalter med konstant avstand d. Det finnes to hovedtyper, transmisjonsgitter og refleksjonsgitter. Et refleksjonsgitter består av tettliggende riper i en reflekterende flate. De to gittertypene gir de samme interferensmønstre og vi vil i det følgende se på transmisjonsgitre. Et typisk gitter har spalter med lengde 1-1 cm, spalteavstand d = µm og antall spalter fra 1 til 5. Gitre blir brukt til å spalte sammensatt lys opp i dets enkelte bølgelengder eller farger og til å bestemme bølgelengdene av de enkelte fargekomponentene. Vi lar en plan monokromatisk lysbølge komme inn vinkelrett og med konstant intensitet på et gitter i figur 1. skjerm gitter P d d θ Figur 1: Gitter med N = 4 spalter. Spaltebredden er d. Avstand mellom gitter og skjerm er R >> d. Veilengdeforskjellen for to nabostråler er derfor med god tilnærmelse d θ. Vi antar at avstanden R mellom gitter og skjerm >> d. Lysbølgene fra to nabospalter har dermed en veilengdeforskjell som med god tilnærmelse er d θ når de når frem til punktet P på skjermen. Dette tilsvarer en faseforskjell på = πd θ /. Vi antar foreløpig at intensiteten fra hver av spaltene er I i alle retninger. E-feltene fra de N kildene (spaltene) antas å ha samme amplitude E i punktet P. Resultantfeltet E P er: EP() t = E1+ E + E3+ + EN = E cos( ωt) + E cos( ωt+ ) + E cos( ωt+ ) + E cos( ωt+ ( N 1) ) = N-1 = E cos( ωt+n ) n= R Summen over kan bestemmes ved å bruke komplekse tall. Med bruk av Eulers formel iθ e = cosθ + iθ får vi cos( ωt+ n) = Re e = Re e e (1) N 1 N 1 N 1 i( ωt+ n) iωt in n= n= n= FYS13 vår 6. AD 1

2 En geometrisk rekke med koeffisient k kan skrives som: k k N 1 k N 1 n k n= N k = = k 1 Summen N 1 in e n= i (1) er nettopp en geometrisk rekke med koeffisient i k e (1) kan dermed skrives slik: =. cos( ωt+ n) = Re e = Re e e N 1 N 1 N 1 i( ωt+ n) iωt in n= n= n= i i/ i/ i/ iωte 1 iωt e ( e e ) = Re e Re e i = i/ i/ i/ = e 1 e ( e e ) i iωt i( / /) i( ωt+ / /) Re e e = Re e = i cos( ωt + ) Vi har altså funnet at det resulterende tidsvarierende E-feltet i P som skyldes bidrag fra de N spaltene er: Intensiteten i P er E () P t = E cos( ωt+ ) I P = ε c E (dvs tidsmiddelet) P Intensitetsfordeling på skjermen er da: FYS13 vår 6. AD

3 1 IP = εce cos ( ωt ) εce + = = 1 ε ce I = I P har maksimum når teller og nevner i brøken. Fra L Hôspitals regel får vi: N cos = = N cos lim lim 1 Maksimal intensitet er dermed N I, der I er intensiteten fra hver av de N spaltene. Vi har altså følgende resultat for intensitetsfordelingen for diffraksjonsgitter med N spalter: d θ I = I der π = () Imaks = N I Vi finner tilbake til ligning 35.1 i læreboka ved å sette N = og bruke relasjonen = cos. Den maksimale intensiteten N I inntreffer altså når teller og nevner i intensitetsuttykket i () er null samtidig, dvs. =± 1 =± πm ( m=,1,,...) Innsatt for φ får vi at intensitetsmaksima inntreffer når m θ =± d FYS13 vår 6. AD 3

4 4. 5E+ 4. E+ 3. 5E+ 3. E+. 5E+. E+ 1. 5E+ 1. E+ 5. E-1. E+ 1.E +1 9.E + 8.E + 7.E + 6.E + 5.E + 4.E + 3.E +.E + 1.E +.E + 1.8E+1 1.6E+1 1.4E+1 1.E+1 1.E+1 8.E+ 6.E+ 4.E+.E+.E+ 1.8E+3 1.6E+3 1.4E+3 1.E+3 1.E+3 8.E+ 6.E+ 4.E+.E+.E+ Vinkelposisjonene til intensitetsmaksima er altså uavhengig av antall spalter (N =, 3, 4,...). Intensitetsfordelingen for N spalter med N =, 3, 4 og 4 er vist i figur. Vi ser at for store N vil intensitetsfordelingen gå over til et linjespektrum. Dette betyr at for store N-verdier vil bølgene fra de forskjellige spaltene kombinere på en slik måte at de gir nesten fullstendig kansellering mellom maksimumsverdiene hh θ [grader] θ [ d ] θ [grader] Figur : Intensitetsfordeling som funksjon av θ for gitter med N = spalter (øverst), N = 3, N = 4 og N=4. Legg merke til at vinkelposisjonene til intensitetsmaksima er uavhengig av antall spalter. Merk at intensitetstoppene har verdien N I. (Spalteavstand d =. µm og bølgelengde = 5 nm er benyttet i beregningene.) FYS13 vår 6. AD 4

5 1. 8E E E+1 1. E+1 1. E+1 8. E+ 6. E+ 4. E+. E+. E+ Vi skal nå finne uttrykk for bredden til linjene i et linjespektrum. Figur 3 viser intensitetsfordelingen som funksjon av fasevinkelen φ omkring sentralmaksimum (nulte orden) for et gitter. Halvverdibredden φ ½ defineres som bredden hvor intensiteten har sunket til det halve av maksimumsverdien. I maks I maks / φ ½ φ Figur 3: Illustrasjon av halvverdibredde Vi finner først nullpunktene mellom nulte ordens maksimum (φ = ) og 1. ordens maksimum (φ = π). Nullpunktene inntreffer når teller = og nevner i intensitetsfordelingen (), dvs. når = nπ nπ = n = 1,,..., N 1 N (vi må stoppe ved n = N-1 fordi n = N gir φ = π som er 1. ordens maksimum.) Halvverdibredden til linjene i linjespektrumet er tilnærmet lik avstanden mellom hovedmaksimum til første minimum(nullpunkt), og siden det er N 1 nullverdier mellom hvert maksimum, vil halvverdibredden φ ½ være gitt ved 1/ = π /N Vi skal nå bestemme halvverdibredden uttrykt ved θ i stedet for φ: θ1/. Uttrykket for faseforskjellen mellom bølger fra to nabospalter er der = π d θ FYS13 vår 6. AD 5

6 Derivasjon mhp θ gir: d dcosθ = π dθ dθ = d πd cosθ θ = π d cosθ 1/ 1/ Vi setter inn 1/ = π /N θ = 1/ θ = 1/ N d cosθ N d 1 θ Betingelsen for lysmaksimum for m.te ordens linje er dθ = m θ = m/ d Settes dette inn i uttrykket for θ1/ over får vi θ = 1/ N 1 d m Vi ser at halvverdibredden avtar med økende antall spalter N (smalere linjebredde). Halvverdibredden øker med økende m. Nulte ordens linje er dermed bredest. Halvverdibredden avtar dessuten med økende d. En illustrasjon av halvverdibredden θ 1/ er vist i figur 4 FYS13 vår 6. AD 6

7 skjerm gitter θ 1/ R Figur 4: Illustrasjon av halvverdibredden for sentralmaksimum i et gitter (her er N = 3). Intensitetsfordeling for en enkelt spalte En enkelt spalte med bredde a kan oppfattes som et gitter med et stort antall spalter, N, med gitterkonstant d = a/n som illustrert i figur 5. P a d R Figur 5: Spredning (diffraksjon) fra en enkelt spalte kan oppfattes som spredning fra et gitter med et stort antall spalter N, og med gitterkonstant d = a/n. FYS13 vår 6. AD 7

8 I uttrykket for faseforskjellen i P fra to nabospalter får vi ved å erstatte d med a/n: dθ aθ β = π π = N = N der vi har satt π a θ β = Intensitetsfordelingen kan da skrives som β I I = I = β N β β β For store N vil være liten og nevneren i uttrykket over:. Vi får N N N I IN I M β β = β = β (3) I er intensiteten fra en infinitesimal del av spalten og går mot null når N. Vi har derfor satt I N = I. Intensiteten har sitt største maksimum I = I M for β og θ =. M Videre er I = når teller = og nevner i (3), dvs. β/ og ( β / ) =. Nullpunktene for I er dermed: β = β =± mπ m = 1,, 3,... πaθ =± mπ m θ =± m = 1,,... a Intensitetsfordelingen for en enkelt spalte er vist i figur 6. Intensiteten for de sekundære maksima faller raskt mot null. FYS13 vår 6. AD 8

9 1. E+ 1. E+ 8. E E E- 1. E- 1. E+ I M θ= - / a θ=+ / a θ [grader] Figur 6: Intensitetsfordeling som funksjon av θ for en enkelt spalte med bredde a. Pilene angir første nullpunkt på hver side av sentralmaksimum. Intensiteten i θ = er I M. De sekundære maksima utenfor sentralmaksimum faller raskt mot null. (I beregningene her er a = 1 µm og lysets bølgelengde er = 5 nm.) Den totale bredden av den sentral intensitetstoppen er bestemt av verdiene på θ når θ =± / a (nullpunkt på hver side av sentralmaksimum). Hvis = a er disse nullpunktene i retning θ = 9 (θ = ± 1), og da inntreffer ikke sekundære maksima og vi har maksimal spredning. Hvis a < oppnår vi bare å slippe mindre lys gjennom spalteåpningen uten å øke spredningen. Hvis a >> er spredningen liten. FYS13 vår 6. AD 9

10 Diffraksjonsgitter med spalteavstander d og spaltebredder a Ved utledning av et gitter med N spalter forutsatte vi at intensiteten fra en enkelt spalte var tilnærmet konstant lik I. Den korrekte intensitetsfordeling kan vi finne ved å erstatte I i () med I i (3). Intensitetsfordelingen for et diffraksjonsgitter med spalteavstand d og spaltebredde a blir: I β I = M β Intensitetsfordelingen for dobbeltspalte med spalteavstand d og spaltebredde a er vist i figur 7.. orden I M 1. orden. orden θ [grader] Figur 7: Intensitetsfordeling for dobbeltspalte (N = ) med spalteavstand d = 1 µm og spaltebredde a = 1.7 µm. Lysets bølgelengde er i dette eksempelet 5 nm. Posisjonene til m.te ordens maksimum påvirkes ikke av spaltebredden a. Det som påvirkes er intensitetsnivåene..te ordenslinjen (sentralmaksimum) har størst intensitet. FYS13 vår 6. AD 1