Elektromagnetiske bølger

Transkript

1 Elektromagnetiske bølger. Bølgeligningen I læreboka er det vist hvordan bølgeligningen kan utledes fra Maxwells ligninger på integralform. Vi skal her vise at bølgeligningen kan utledes fra Maxwells ligninger på differensialform. Vi gjør ingen forutsetninger om feltet, slik at utledningen nedenfor blir mer generell enn det som er gjort i boka. Nedenfor (ligning -4) har vi skrevet opp Maxwells ligninger på integralform til venstre og på differensialform til høyre. Faradays induksjonslov: d E dr= B da dt A B E = () t Gauss lov: D da= ρdv D = ρ () A V Ampères lov: D H dr= J+ da t A D H= J + (3) t Gauss lov for magnetfelt: d = B A B = (4) A Den elektriske forskyvningsvektoren D er en hjelpestørrelse definert ved D= εe= Kε E (5) der K er dielektrisitetskonstanten som er lik i vakuum og > ellers. Sammenhengen mellom magnetfeltet B og magnetisk intensitet, H, er B= µ H= µµ r H (6) µ r er den relative permeabilitet som har verdien i vakuum og er > ellers. Vi antar nå at vi har et dielektrisk (ikke-ledende) medium. Siden det ikke finnes frie ladninger er strømtettheten J =.

2 Vi starter med å anvende curl-operatoren ( ) på begge sider av (): Vi tar først for oss høyre side av ligning (7) B ( E ) = ( ) (7) t B ( ) = ( B) = ( µ H) = µ ( H ) t t t t her har vi først byttet om og Ved å bruke (3) får vi / t og dernest benyttet (6). D ( εe) E µ ( H ) = µ ( ) = µ ( ) = εµ (8) t t t t t t Her har vi benyttet at strømtettheten J = siden vi ikke har frie ladninger. Ved å bruke følgende vektrorrelasjonen på venstre side i ligning (7) a ( b c) = ( a b) c+ ( a c) b (se f.eks. Rottman) får vi: ( ) = + ( ) = E E E E (9) I siste overgang har vi benyttet ligning () og at vi ikke har frie ladninger ( E = ) (8) og (9) gir bølgeligningen for E-feltet i tre dimensjoner for et dielektrisk medium: =εµ E t E () Vi kan utlede bølgeligningen for magnetfeltet B ved å benytte samme prosedyre som over. (Bruk curl-operatoren på ligning (3) og følg samme prosedyre som over). Vi får da dvs. samme form som for E-feltet. =εµ B t B ()

3 I detalj kan () skrives på formen E E x y Ez ( Ex Ey Ez ) εµ + + i+ j+ k = i+ j+ k () x y z t t t der i, j og k som vanlig er enhetsvektorer langs henholdsvis x-, y- og z-aksen. F.eks. kan komponenten i i-retning skrives som: E E E E x y z t x x x x + + = εµ Vi antar nå at vi har en plan bølge som beveger seg i x-retning: E= E ( x, t). Dette betyr at E har samme verdi og retning i alle punkter i et plan normalt på x-aksen. Dette er illustrert i Figur hvor retningen på E-feltet er angitt ved en generell retning som i utgangspunktet ikke nødvendigvis ligger i planet. (Vi skal imidlertid om litt vise at E- feltet faktisk må ligge i dette planet.) y E(x,t) E(x,t) z E(x,t) Figur : Det elektriske feltet for en plan bølge i x-retning har samme verdi i alle punkter i et plan normalt på x-aksen. Retningen til E-feltet er her angitt ved en retning som peker på skrå ut av planet. Vi antar nå at vi har en plan harmonisk bølge: Siden E(x,t) bare avhenger av x og t er E( x, t) = E sin( kx ωt) x E E = = y z (3) Venstre side i () kan skrives som E E x y Ez i + j+ k x x x 3

4 Bølgeligningen for hver av komponentene i i, j og k-retning er da E x E x x = εµ x t Ey Ey = εµ x t Ez Ez = εµ t Vi ser at disse tre ligningene har samme form som bølgeligningen for mekaniske bølger som vi kjenner fra tidligere: y y = x v t der v er bølgehastigheten. Dermed er bølgehastigheten for den elektromagnetiske bølgen i et dielektrisk medium: v =. µε I vakuum er µ = µ og ε = ε og bølgehastigheten til elektromagnetiske bølger i vakuum er c = = m/s µ ε For et dielektrisk medium er v = c εµ = Kεµµ K ε µ = K r vi har her benyttet at den relative permeabiliteten µ r med god tilnærmelse kan settes lik. Siden dielektrisitetskonstanten generelt er > ( = for vakuum) er bølgehastigheten størst i vakuum og mindre i andre medier. Vi definerer brytningsindeksen, n, som c n= = v K 4

5 For vakuum er n = og v = c. I alle medier er dielektrisitetskonstanten K > og dermed er n > og v < c. F.eks. for vann er brytningsindeksen n.3 for synlig lys som gir v.77c. Den plane bølgen som vi tidligere tok utgangspunkt i kan skrives som E(,) x t = E cos( kx ωt) = ( E i+ E j+ E k )cos( kx ωt) x y z Vi skal nå finne retningen på E-feltet. Siden tettheten av frie ladninger ρ = er D= E = (ligning ). Vi får da: E E x y Ez Ex E = + + = = Exsin( kx ωt) Exkcos( kx ωt) x y z x x = = her har vi benyttet at Ey / y =Ez / z = (ligning 3). For at ligningen over skal være tilfredsstilt for allt x og t må E x = Dette betyr at amplituden E (og dermed E(x,t) ) må ligge i yz-planet og stå vinkelrett på forplantningsretningen x. Vi velger nå et koordinatsystem der E ligger langs y-aksen. Bølgefunksjonen E(x,t) kan da skrives som E( x, t) = j E sin( kx ωt) For å bestemme B-feltet bruker vi Faradays lov, ligning, Siden E y = E z = får vi: B E =. t i j k Ey Ey Ey E= = i+ k= + k= ke cos( kx ωt) k x y z z x x E y (OBS: k står her for bølgetallet mens k står for enhetsvektoren i z-retning!) 5

6 Vi har nå funnet at Faradays lov E x B E= j = z t i vårt tilfelle kan skrives som ke cos( kx t) B ω k = t Vi integrerer over tiden t og finner ke B( x, t) = k ke cos( kx ωt) dt = k sin( kx ωt) + C ω C er en integrasjonskonstant og svarer til et konstant magnetfelt. Vi setter denne lik null fordi vi er interessert i et tids- og romvarierende B-felt. Resultatet er da ke B( x, t) = sin( kx t) k = B sin( kx t) k (4) ω ω ω Amplituden til B-feltet er I vakuum er B ke E E = = ω ω = / k v B E = c Vårt utgangspunkt var et harmonisk varierende E-felt langs y-aksen: E( x, t) = E sin( kx ωt) j (5) (4) og (5) viser at E og B står normalt på hverandre og normalt på bølgens forplantningsretning (i vårt tilfelle x-aksen). Vi ser at fasevinkelen (kx-ωt) er den samme for E- og B-feltet og varierer altså i vårt tilfelle i x-retning som er bølgens forplantningsretning. Fasen er også uavhengig av y og z som betyr at punkter i rommet som ligger i et plan vinkelrett på forplantningsretningen, har samme fase. Bølgen er altså en plan bølge. 6

7 Figur : En plan harmonisk elektromagnetisk bølge beveger seg med lyshastigheten c i vakuum. Figuren viser E- og B-feltvariasjonene ved et bestemt tidspunkt. Oppsummering: Bølgeligningene for en elektromagnetisk bølge i et dielektrikum er: =εµ E E t B B =εµ t Bølgehastigheten i vakuum er: c = µ ε I et dielektrikum er bølgehastigheten c v = n der brytningsindeksen n= K hvor K er dielektrisitetskonstanten. For en elektromagnetisk plan bølge er E B, E og B står begge normalt på forplantningsretningen. E B peker i bølgens forplantningsretning. I vakuum er B = E / c. I et dielektrikum er B = E/ v= En/ c 7

8 . Strålingstrykk Når elektromagnetiske bølger blir absorbert eller reflektert i en flate utøver bølgene et trykk på flaten. I læreboka er uttrykket for strålingstrykk satt opp uten videre. Vi skal bruke en enkel modell for å vise hvordan dette kommer frem. overflate y E v x B q Figuren over viser en plan elektromagnetisk bølge i vakuum som kommer inn fra venstre i x-retning og absorberes på overflaten av et medium. Overflaten ligger i yz-planet. Vi lar det elektriske feltet oscillere langs y-aksen. En ladning q som befinner seg på overflaten av mediet vil være påvirket av en kraft fra det elektriske feltet F E = qe. q vil oscillere langs y-aksen i takt med E og med en hastighet v som også varierer i takt med E. Når ladningen q er i bevegelse vil den også være påvirket av en kraft fra magnetfeltet, F = qv B (Lorentzkraft). L Ladningen q er altså påvirket av både F E og F L. Den elektriske kraften F E veksler mellom positiv og negativ y-retning og er derfor i middel. Som vi straks skal redegjøre for er F L alltid rettet i positiv x-retning og det er derfor Lorentzkraften som bidrar til et trykk på overflaten. Figuren viser et tidspunkt hvor E-feltet peker i positiv y-retning og magnetfeltet B vil da peke ut av papirplanet. Vi antar at q > og F L vil da peke i positiv x-retning. Hvis derimot q < vil v være rettet i motsatt retning av det som er vist i figuren men også nå vil F L være rettet i positiv x-retning. Bruk FL = qv B til vise at dette er korrekt. Hvis E er rettet i negativ y-retning vil B peke inn i papirplanet. Også nå vil F L peke i positiv x- retning både for q < og q >. Trykket på en flate med areal A er p = F/A der F er nettokraften som virker normalt på flaten. F er etter diskusjonen over lik Lorentzkraften, F L. Absoluttverdien av Lorentzkraften er E v v F = qvb = qv = qe = F. L E c c c 8

9 Her har vi benyttet at B = E/c. Hastigheten v til den oscillerende ladningen q er mye mindre enn bølgehastigheten, c. Av utrykket over ser vi derfor at F L << F E. Det betyr at det er den elektriske kraften F E som bidrar til den absorberte effekten, P: P= nf v E n er antall ladninger på overflaten med areal A og F E er den elektriske kraften på hver ladning q, nf E er derfor nettokraften på flaten A. Det elektromagnetiske trykket er p rad nfl nfe v / c nfev P = = = = A A Ac ca Intensiteten I = P/A og strålingstrykket fra den elektromagnetiske bølgen er dermed p rad I =. c Uttrykket over gjelder for en fullstendig absorberende flate. Hvis flaten er totalreflekterende er strålingstrykket dobbelt så stort: p rad I =. c Dette kan forklares ved å sammenligne med elastisk og uelastisk mekanisk støt. Hvis f.eks. en ball med masse m og hastighet v treffer en vegg og deretter spretter tilbake med samme hastighet, er endringen i ballens bevegelsesmengde mv (elastisk støt). Hvis støtet er fullstendig uelastisk, fester ballen seg i veggen og endring i bevegelsesmengde er mv. 3. Refleksjon og transmisjon Når en elektromagnetiske bølge treffer et medium vil en del bli reflektert og og en del bli transmittert inn i det dielektriske mediet. Vi skal se på en elektromagnetisk bølge som faller normalt inn fra et medium med brytningsindeks n på et medium med brytningsindeks n som illustrert i figuren under. Retningen på de elektriske feltene i grenseflaten som er vist for et bestemt tidspunkt er tilfeldig valgt. 9

10 medium medium E r reflektert bølge E t innkommende transmittert E i Fra Maxwells ligninger kan det vises at tangentialkomponenten av E-feltet er bevart i overgangen mellom to medier. Da er E + E = E () i Absoluttverdien av Poyntingsvektoren beskriver energitransport per flate og tid. Energibevaring innebærer at inn reflektert r t S = S + S () transmittert der S er absoluttverdien av Poyntingsvektoren. Vi har tidligere funnet at S = E B, µ B = E/ v og n= c/ v, der v er bølgehastigheten og n brytningsindeksen i mediet. Da kan S skrives som Innsatt i () får vi E E n S = E B= E = (3) µ µ v µ c En En En = + µ c µ c µ c i r t ne = ne + ne i r t ved å sette inn () får vi n ( E + E )( E E ) = n E i r i r t n ( E E ) = n E i r Ved å bruke () en gang til, Et = Ei + Er, finner vi uttrykk for forholdet mellom den reflekterte og innkommende bølgens elektriske felt i grenseflaten mellom mediene: t

11 Er n n = E n + n i (4) Av dette uttrykket ser vi at når n > n har E i og E r samme retning i grenseflaten. I figuren har E i og E r motsatt retning som tilsvarer at n < n. Forholdet mellom E-feltet til den reflekterte og transmitterte bølgen i grenseflaten finnes på tilsvarende måte og er Et n = E n + n i (5) Vi ser at E-feltet til den transmitterte og innkommende bølge alltid har samme retning. Dette resultatet er analogt med det vi har funnet for bølger på to strenger med forskjellig masse per lengde som er skjøtet sammen. Vi kan nå finne forholdet mellom absoluttverdiene av Poyntingvektorene ved å bruke (3) og (4): i r E r i i + Sr En n n = = = S En E n n (6) Intensiteten, I, for en elektromagnetisk bølge er lik middelverdien av S. Vi får da I n n = I n + n r i Forholdet mellom intensitetene i den transmitterte og innkommende bølge blir: It 4nn I = i n n ( + ) Hvis medium er luft (n = ) og medium vann (n =.33) er Ir / I i =.. At refleksjonen er liten kan observeres hvis man f.eks. befinner seg i et fly og ser ned på flatt hav som nærmest fortoner seg svart. Uttrykkene vi har funnet forutsetter normalt innfall. Med Maxwells ligninger kan man også finne uttrykk for skrått innfall. Hvis retningen på den innfallende strålingen i eksempelet over danner en vinkel på 6º i forhold til flatenormalen vil refleksjonen være ca. %. For en vinkel på 8º øker refleksjonen til ca 5% (havflaten ser lys ut ved lav kveldssol!).

12 4. Dipolstråling Fra Maxwells ligninger kan det vises at elektromagnetiske bølger oppstår når elektriske ladninger akselereres. Elektromagnetiske bølger kan f.eks. produseres med en dipolantenne koplet til en vekselspenningskilde med periode T som vist i Figur. Vi vil da få vekselvis overskudd og underskudd på elektroner i de to delene av antennen. Figur : Elektriske feltvariasjoner produseres av oscillerende ladninger i en dipolantenne. Felter beveger seg vekk fra antennen med lysets hastighet. I Figur a har den øvre delen maksimal positiv ladning og den nedre maksimal negativ ladning. Det elektriske feltet nær midtpunktet av antennen har da maksimal verdi og er rettet parallelt med antennen med retning som vist på figuren. Etter t = T/4 (Figur b) er begge antennedelene utladet og det elektriske feltet nær antennen er null. Det elektriske feltet ved t = har beveget seg med lysets hastighet og befinner seg nå i avstand r = c(t/4) fra antennen. Ved t = T/ (Figur c) har den øvre antennedelen maksimal negativ ladning og den nedre maksimal positiv ladning og det elektriske feltet nær antennen er rettet nedover. Elektriske feltvariasjoner vil bre seg vekk fra antennen og feltet i forskjellige avstander fra antennen vil etter en tid t = T se ut som vist i Figur d. Ladningene i antennen har da oscillert en hel periode og har produsert en bølgelengde. Siden vi har et tidvarierende elektrisk felt følger det av Maxwells ligninger at vi også må

13 ha et magnetfelt som står normalt på og svinger i fase med det elektriske feltet og slik at E B peker i bølgens forplantningsretning. Fra elektromagnetismekurset (FYS) er det vist at det elektriske feltet fra en statisk elektrisk dipol avtar med /r 3. Dette feltet avtar derfor raskt med avstanden fra dipolantennen. Vi skal bruke et enkelt resonnement for å bestemme avstandsavhengigheten til E-feltet (og dermed også B-feltet) i den elektromagnetiske bølgen som sendes ut fra den oscillerende dipolen. Vi betrakter først en punktkilde som sender ut bølger symmetrisk i alle retninger med effekt P. Intensiteten i avstand r fra kilden er dermed P I = 4π r dvs. I r Vi har tidligere funnet at intensiteten i en plan elektromagnetisk bølge er I = ε ce Betrakter vi et lite område på kuleflaten kan den elektromagnetiske bølgen betraktes som plan. Fra de to uttrykkene over finner vi da at det elektriske feltet avtar med /r: E r Den oscillerende dipolen er imidlertid ikke en punktkilde og den utsendte bølgen vil ikke være sfærisk symmetrisk. I Figur ligger dipolen langs y-aksen. y O θ x Figur : Dipolantennen er rettet langs y-aksen. En observatør i O registrerer en elektromagnetisk bølge fra antennen. Hvis θ = 9º vil E-feltamplituden være maksimal. Hvis θ = º er E-feltamplituden minimal og lik. Generelt vil E-feltamplituden være proporsjonalt med sinθ. Vi kan først konstatere at vinkelfordelingen av den utsendte strålingen fra dipolen må være symmetrisk om y-aksen (sylindersymmetri). Hvis en observatør er plassert i en vinkel θ som vist i Figur vil det observerte E-feltet være proporsjonalt med hvor stor 3

14 del av feltet observatøren kan se fra observasjonspunktet. Dette er det samme som dipolantennens projeksjon på en akse normalt på synslinjen. Det observerte E-feltet er dermed proporsjonalt med sinθ. Siden intensiteten er proporsjonalt med E vil intensiteten være proporsjonalt med sin θ. Vi har dermed at sin θ I r Den utsendte strålingen vil være polarisert i en retning normalt på observasjonsretningen, og polarisasjonen vil ligge i planet som dannes av antennen og observasjonsretningen. Figur 3 viser elektriske feltlinjer omkring dipolantennen for et bestemt tidspunkt. Merk at intensiteten er størst i et plan normalt på antennen og som går gjennom antennes midtpunkt. De tilhørende B-feltlinjene er ikke tegnet inn i figuren. B-feltet vil stå normalt på E-feltet og slik E B peker i utbredelsesretningen til bølgen. Figur 3: Elektriske feltlinjer rundt en dipolantenne. 4

15 5. Polarisasjon ved refleksjon Brewstervinkelen Når upolarisert lys treffer en reflekterende flate vil det elektriske feltet i den reflekterte bølgen bare ha en komponent normalt på innfallsplanet hvis innfallsvinkelen har en bestemt verdi kalt Brewstervinkelen, θ B, gitt ved n tanθ B = n der n er brytningsindeksen til mediet med det innkommende og reflekterte lyset, og n er brytningsindeksen til det andre mediet. Dette fenomenet kan vises eksperimentelt, men vi skal vise dette ved å bruke Maxwells ligninger. (I boka er Brewstervinkelen θ B kalt polarizing angle, θ p, se kapittel 33 side 66-67) Figuren under viser en planpolarisert bølge med elektrisk felt, E, som treffer grenseflaten mellom to medier med brytningsindekser n og n. En del av bølgen vil reflekteres tilbake i medium og resten vil trenge inn i medium. Det elektriske feltet i den reflekterte og transmitterte bølgen er i grenseflaten henholdsvis E r og E. Vi antar at E er polarisert i innfallsplanet. E x y E r x E y E θ θ E r E r y n n x E x θ E y E Figur : En innkommende elektromagnetisk bølge med innfallsvinkel θ vil delvis bli reflektert (refleksjonsvinkel θ r ) og delvis transmittert (brytningsvinkel θ ) i overgangen mellom to medier med forskjellig brytningsindeks. De inntegnete elektriske feltene er i figuren trukket vekk fra grenseflaten for å gjøre det hele mer oversiktlig. Med Maxwells ligninger kan det vises at horisontalkomponenten til E-feltet er bevart i overgangen mellom to medier. Fra figuren over får vi at () E cosθ E cosθ = E cosθ r 5

16 Dessuten er normalkomponenten til den elektriske forskyningsvektoren D bevart. Sammenhengen mellom D og E er D= Kε E Siden D og E er parallelle og har samme retning får vi at D sinθ + D sinθ = D sinθ r Kε E sinθ + Kε E sinθ = K ε E sinθ r Brytningsindeksen er n= K og ligningen over kan skrives som nesinθ + nesinθ = nesinθ r Med bruk av Snells lov nsinθ = nsin θ får vi Ligning gir nesinθ + nesinθ = nensinθ r ne + ne = ne r n E + E = E () r n cosθ E E = E (3) r cosθ π π π Hvis θ+ θ =, er sinθ = sin( θ) = cosθ og sinθ = sin( θ) = cosθ. Ligning (3) kan derfor skrives som cos sin n E E = θ θ E = E = E (4) r cosθ sinθ n der vi i siste overgang har brukt Snells lov. Differensen () (4) gir E =. r 6

17 Vi har nå følgende resultat: Hvis den innkommende bølgen er polarisert i innfallsplanet π og θ+ θ = får vi ingen reflektert bølge. π Når θ+ θ = kalles innfallsvinkelen θ Brewstervinkelen, θ B. Brewstervinkelen bestemmes ved hjelp av Snells lov: π n sinθ = n sinθ = n sin( θ ) = n cosθ B B B n tanθ B = n For upolarisert lys vil den elektriske feltvektoren svinge i alle retninger normalt på forplantningsretningen. Hvis den innkommende bølgen er upolarisert kan det elektriske feltet skrives som en sum av en komponent parallelt med innfallsplanet og en komponent normalt på innfallsplanet. Hvis innfallsvinkelen er lik Brewstervinkelen vil den reflekterte bølgen være fullstendig polarisert i horisontalretningen. Hvis θ θ B vil den reflekterte bølgen være delvis polarisert. Hvis θ er nær θ B vil horisontalkomponenten av E-feltet i den reflekterte bølgen dominere over den vertikale komponenten. 7