Innledning. Man kan iaktta/observere fenomenene slik vi finner dem i naturen.

Transkript

1 Innledning Kurset vårt omfatter noe av det vakreste vi kan oppleve innen fysikk, nemlig fenomener knyttet til svingninger og bølger. Tenk deg verden uten lys og uten lyd, så fornemmer du kanskje hvor fundamentale svingninger og bølger er for vår tilværelse og for vår sivilisasjon! Når man lærer seg fysikken bak svinge- og bølgefenomener, kan det gjøres på flere ulike måter: Man kan iaktta/observere fenomenene slik vi finner dem i naturen. Man kan lære seg matematisk formalisme som egner seg for å beskrive fenomenene. Man kan forsøke å forstå mekanismene som er ansvarlig for svingninger og bølger. Mennesker er forskjellige av natur, og dere studenter har også møtt fysikken på ulikt vis før dere nå møter Svingninger og bølger. Jeg vet av erfaring at noen av dere vil være fascinert av matematikken og andre av fenomenene i seg selv. Det er sjeldent jeg treffer studenter som har like stor kjærlighet til begge disse sidene. I vårt kurs vil vi forsøke å gi næring til begge leire, for det er først og fremst dette som er fysikk! Fysikk må ikke reduseres til ren matematikk, og fysikk må ikke bare være estetikk for å sette ting på spissen. En vaskeekte fysiker bør ha nær kontakt med både fenomenene og formalismen. I tillegg kommer fokus på mekanismene bak fenomenene. Innen svingninger og bølger er det tradisjonelt sett ikke lagt noe særlig vekt på mekanismene. Det tror jeg skyldes at man hittil stort sett har anvendt analytiske matematiske metoder for å løse de differentialligningene som inngår. Når man bruker analytiske metoder, setter man riktignok opp ligningene som ligger bak fenomenene, men man løser diffligningene og ender opp med et analytisk uttrykk, og konsentrerer seg deretter nesten utelukkende om løsningen. Man ser f.eks. at løsningen blir en bølge, og beskriver denne grundig. Denne fremgangsmåten har flere begrensninger. For det første forsvinner fokuset fra de bakenforliggende ligningene som forteller om mekanismen for f.eks. en bølge. For det andre er det bare noen ganske få forenklede problemstillinger man da er i stand til å takle, ellers blir ligningene for vanskelige til å løse (analytisk). Man må ofte nøye seg med å betrakte løsninger under forenklede randbetingelser og/eller løsninger som først gjelder etter at transiente forløp har dødd ut. Figur 1: Svingninger og bølger inngår i et vell av fenomener vi opplever hver eneste dag, så som lyd og lys. Foto: Bjørn Lybekk. Det betyr at mange fysikere opp gjennom tidene har gått ut med forenklede bilder av svingninger og bølger, og tror at disse gjelder generelt. For eksempel er det mange som går rundt med bildet av plane elektromagnetiske bølger i vakum, langt fra kilden og langt 1

2 fra forstyrrende elementer, og antar at denne forenklede løsningen er en generell løsning man kan anvende overalt. Så feil, så feil!!! Vi har her ved UiO lagt opp en utdannelse hvor studentene lærer å bruke numeriske løsningsmetoder bl.a. for å løse fysikkproblemer. Vi kommer i dette kurset til å dra direkte nytte av dette, ikke bare med hensyn på å bygge opp en kompetanse hver enkelt av dere vil ha glede av i et senere yrke, men også som et pedagogisk hjelpemiddel for å forstå stoffet bedre. Ved numeriske beregninger kan man lettere fokusere på selve algoritmene, basisligningene, enn ved analytiske metoder. Dessuten kan vi ta fatt i et vell av interessante problemstillinger vi ikke kunne studert bare ved analytiske metoder. Også dette bidrar til økt forståelse. En omlegging til bruk av numeriske metoder er imidlertid krevende, og vi vil bruke lang tid på å forme et godt undervisningsopplegg. I mellomtiden er dere prøvekaniner og jeg håper dere er tålmodige med meg. I stedet for å komme med unyansert kritikk, ville jeg sette stor pris på å få konstruktive tilbakemeldinger som kan brukes for å forbedre opplegget til neste år. De forslagene dere kommer med i vår kan komme neste års studenter til gode! Kompendiet er bygget opp av kjernestoff og eksempelstoff. Kjernestoffet er markert med en stjerne etter overskriften, og dette bør beherskes meget godt før eksamen. Eksempelstoffet viser eksempler på hvordan kjernestoffet kan anvendes i ulike sammenhenger. Enkelte år vil noe av eksempelstoffet vektlegges, mens andre år vil vekten legges på andre deler. Obliger og prosjektoppgaver vil basere seg på kjernestoffet, men i praksis være knyttet opp mot eksempelstoffet. Vi kan da gå ganske dypt i beskrivelsen av enkelte fenomener. Jeg håper at dere i løpet av kurset vil oppleve at svingninger og bølger er en morsom del av fysikken, og at dere sitter igjen med en dypere forståelse enn dere hadde da dere begynte på kurset. Blindern, januar 2009 Arnt Inge Vistnes 2

3 Kapittel 1 Svingninger [Kapittel 1 i vårt kompendium omhandler til dels samme stoff som kapittel 13.1,2,7,8 i Young og Freedmans University Physics, og kapittel 1.1 i Perssons Vågrörelseslära og Arne Dahlback s kompendium Harmonisk oscillator. Copyright for kapittelet med tekst og figurer tilhører Arnt Inge Vistnes.] I mekanikken skilte vi mellom kinematikk og dynamikk, og det skillet er relevant også i vårt kurs. I kinematikken gir vi kun en beskrivelse av en svinging eller bølge, mens man i dynamikken forsøker å forklare bevegelsen ut fra kjente fysiske lover. Tar vi utgangspunkt i matematikken, kan vi si at man innen dynamikken setter opp differentialligningene for bevegelsene og løser disse enten ved analytiske eller numeriske metoder. Innen kinematikken betrakter man løsningen av differentialligningene (eller modelleringen av en eksperimentell observasjon) og diskuterer den uten å referere til de bakenforliggende fysiske lovene. 1.1 Kinematikk* La oss ta et eksempel: Et lodd henger i en fjær og svinger vertikalt opp og ned. Den kinematiske beskrivelsen kan da være som denne: Loddet svinger omkring et likevekstspunkt. Maksimalt utslag A relativt til likevektspunktet kalles svingningens amplitude. Tiden loddet bruker på hver svingning kalles periodetiden T. Svingefrekvensen f er den inverse av periodetiden, dvs f = 1/T og måles i inverse sekunder eller hertz (forkortes Hz). For et passe tungt lodd og amplitude for fjæra, vil utsvinget (posisjon versus tid) z(t) tilnærmet følge en matematisk sinus/cosinus-bevegelse: z(t) = A cos(2πt/t ) såfremt utslaget z er maksimalt ved det tidspunktet vi velger som nullpunkt for t. Utsving (cm) T Tid (sek) Figur 1.1: En harmonisk svingning karakteriseres ved amplitude, frekvens og fase, se teksten. Velger vi et annet tidspunkt som nullpunkt for vår beskrivelse, må vi legge inn en korrigasjonsfase φ: z(t) = A cos(2πt/t + φ) A 3

4 Størrelsen 2π/T går igjen i mange beskrivelser for svingebevegelser, og vi forenkler skrivingen mye ved å definere en vinkelfrekvens ω (omega) som følger: ω = 2π/T = 2πf Vår enkle harmoniske svingebevegelse kan da beskrives på flere ekvivalente måter: z(t) = A cos(ωt + φ) (1.1) z(t) = A cos(ωt) cos(φ) (1.2) A sin(ωt) sin(φ) (1.3) z(t) = B sin(ωt) + C cos(ωt) (1.4) z(t) = R { Ae i(ωt+φ)} (1.5) z(t) = R { De iωt} (1.6) hvor R betyr at man tar realdelen av det komplekse uttrykket, og D er et komplekst tall. I siste to uttrykk har vi brukt Eulers formel for eksponentialfunksjonen (kompleks form): e iα = cos(α) + i sin(α) Richard Feynmann har sagt at Eulers formel er en juvel, og den mest oppsiktsvekkende formel i matematikken! Formelen er fra Den er særskilt viktig fordi det er langt enklere å derivere og integrere en eksponentialfunksjon enn en sum av sinus/cosinus-ledd. d dt eiαt = iαe iαt Også når uttrykkene inngår i en brøk, kan regningen bli veldig forenklet: A = Ae iαt eiαt Vi kan også få en betydelig forenkling ved multiplikasjoner siden: Ae iφ e iαt = Ae i(αt+φ) Eulers formel danner forresten grunnlaget for en grafisk representasjon av harmonisk bevegelse. Tegner vi en vektor med lengde 1 inn i et to-dimensjoalt plan med starten av vektoren plassert i origo, og vektoren danner en vinkel α med x-aksen, vil vi kunne skrive vektoren på følgende måte: cos(α)ˆx + sin(α)ŷ Her er ˆx enhetsvektor i x-retning, og tilsvarende for y. Likheten med det forrige uttrykket er slående, forutsatt at vi oppfatter realdelen av uttrykket som komponenten i x-retning og imaginærdelen som komponenten i y-retning. Når vi skal beskrive en harmonisk bevegelse grafisk, lar vi vektoren rotere med en fast vinkelfrekvens ω, og vektorens lengde blir lik amplituden og faseleddet blir vinkelen med x-aksen ved t = 0. x-komponenten til vektoren angir da svingningens momentane utslag til enhver tid. Vi kaller en slik grafisk beskrivelse for en fasor beskrivelse. Fasor Imaginær akse A ω ωt + φ A cos(ωt + φ) Reell akse Figur 1.2: En fasor er en vektor med en gitt lengde. Fasoren roterer med en gitt vinkelfrekvens og fase, se teksten. Fasorer er svært nyttige når vi skal addere flere bidrag til en bevegelse/signal med samme frekvens. Summen av alle bidragene finner vi ved ren vektoraddisjon. Spesielt i vekselstrømsteknikk, der vi skal addere 4

5 spenninger over ulike kretskomponenter ved å bruke Kirchhoffs lov, er fasorer et utmerket hjelpemiddel. Vi kommer tilbake til dette siden i kurset. Også i andre sammenhenger er fasorer nyttige, men altså først og fremst når alle bidrag vi betrakter har samme vinkelfrekvens. Det er viktig (!) at du lærer deg alle uttrykkene for enkel svingebevegelse slik at du straks kan gjenkjenne dem og at du raskt kan konvertere mellom de ulike formene. Du kommer til å møte dem i mange ulike sammenhenger i kurset vårt! Før vi forlater den komplekse eksponentialfunksjonen, som vel er ny for de fleste av dere, skal vi se på hvordan funksjonen oppfører seg under derivasjon. Vi har fra Eulers formel: e iωt = cos(ωt) + i sin(ωt) (1.7) Vi deriverer eksponentialfunksjonen på vanlig måte, ved å bruke kjerneregelen: d dt eu(t) u(t) du(t) = e dt I vårt tilfelle er u(t) = iωt, og vi får derfor: d dt eiωt = iωe iωt Dersom vi nå skriver ut siste uttrykket ved å bruke Eulers formel direkte på uttrykket, får vi: iω(cos(ωt) + i sin(ωt)) = ω( sin(ωt) + i cos(ωt)) Her har vi byttet rekkefølgen på leddene for å få det komplekse leddet sist. Sammenligner vi nå med likning 1.7, ser vi at vi får samme resultat som om vi hadde derivert høyresiden i ligning 1.7 direkte. Det er ofte arbeidsbesparende å gjøre derivasjon på eksponentialfunksjons-varianten av et komplekst tall heller enn på realledd og imaginærledd hver for seg. Bruk av eksponentialformen letter også løsning av differentialligninger betydelig, noe vi skal se næremere på ganske snart. 1.2 Dynamisk beskrivelse * En fjær følger ofte Hook s lov, det vil si at utslaget fra likevektspunktet er proporsjonalt med kraften man trekker med. Anta at fjæra henger loddrett uten lodd i enden. Den har da en lengde L 0. Henger man et lodd med masse m i fjæra, og man venter til systemet har kommet i ro, vil fjæra ha en ny lengde L 1 som tilfredsstiller ligningen: k(l 1 L 0 ) = mg hvor k er fjærkonstanten og g er tyngdens akselerasjon. Trekker man nå loddet litt ned og slipper det, vil kraften som virker på loddet til enhver tid være F (t) = k(l(t) L 0 ) mg hvor L(t) er den momentane lengden av fjæra. Kombinerer vi de to ligningene, får vi: F (t) = k(l(t) L 1 ) + k(l 1 L 0 ) mg = k(l(t) L 1 ) Dersom vi døper utslaget relativt til likevektspunktet, dvs L(t) L 1 til z(t), er kraften som virker på loddet lik: F (t) = kz(t) Fortegnet er valgt slik at når effektiv kraft er rettet oppover, er z negativ (loddet er under likevektspunktet). 5

6 L 0 L 1 z(t) L(t) løsning: k k z(t) = B sin( t) + C cos( m m t) hvor B og C er to konstanter (med dimensjon lengde). Vi gjenkjenner denne løsningen med ligning 1.4 ovenfor såfremt vi setter vinkelfrekvensen ω til k ω = m I ro I bevegelse Figur 1.3: Definisjon av ulike lengder på fjæra med og uten lodd, se teksten. Ifølge Newtons annen lov er kraften lik massen til loddet multiplisert med den momentane akselerasjonen, med andre ord: F (t) = m z(t) = kz(t) hvor vi til slutt har satt inn uttrykket for sum av krefter (fjærkraft pluss gravitasjonskraft, regnet med positivt fortegn oppover). Her er z den dobbelt deriverte av z med hensyn på tid (dvs akselerasjon i vertikal retning oppover), dvs z d2 z dt 2 Ligningen kan nå skrives: z(t) = k m z(t) Dette er en annen ordens homogen differentialligning med konstante koeffisienter, og fra matematikken vet vi at denne har en generell Konstantene B og C bestemmes ut fra amplituden og fasen til svingebevegelsen (det vil si at vi må bruke f.eks. initialbetingelsene for å bestemme bevegelsen entydig). Hva har vi lært av denne gjennomgangen? Jo, vi har sett at et lodd som henger i en fjær og påvirkes av fjærkraft og tyngdekraften, vil svinge pent og pyntelig i en enkel harmonisk bevegelse, opp og ned, med en gitt amplitude og periodetid. Vi har derved forklart svingebevegelsen ved å ta utgangspunkt i Hook s lov og Newtons annen lov. Den kinematiske beskrivelsen vi hadde i forrige delkapittel, er identisk med løsningen av den dynamiske ligningen vi satte opp i dette delkapitlet ut fra Newtons annen lov. 1.3 Dempede svingninger * Ingen makroskopiske svingninger varer ved i det uendelige uten at det tilføres energi. Grunnen er at det alltid vil være krefter som forsøker å motsette seg bevegelsen. Vi kaller disse for friksjonskrefter. Friksjonskrefter kan være vriene å forholde seg til, for det er komplisert fysikk i grenseland mellom atomær og makroskopisk beskrivelse som ligger bak. En grunnleggende forståelse av friksjon har man først begynt å 6

7 få de siste tiår, fordi denne del av fysikken er nesten helt avhengig av omfattende modellering ved hjelp av datamaskiner. Friksjon i luft er et eksempel på kompleksitet. Selv en klassisk måte å beskrive denne friksjonen på innebærer at vi bør ha med to ledd: F = bv dv 2 Her er fortegnet tatt med for å indikere at friksjonskraften virker i motsatt retning av hastigheten v. Her er b og d konstanter, det vil si d er faktisk ikke en konstant en gang, men endrer seg med hastigheten. Det betyr at dersom man skal forsøke å beskrive en opprinnelig harmonisk bevegelse når friksjon innføres, får man et overordentlig vrient problem dersom man vil beregne bevegelsen analytisk. Med numeriske metoder er det langt, langt enklere. Men det er mulig å bruke analytiske metoder dersom vi gjør forenklingen å sette friksjonskraften kun lik bv. Beskrivelsen vi da får er brukbar dersom man begrenser seg til å betrakte langsomme bevegelser i luft (en mer presis angivelse av hva som menes med langsom finner du annetsteds, og er basert på Reynolds tall). Siden det ikke er noe spesiell heksekunst å løse den aktuelle forenklede differentialligningen, tar vi den utfordringen! Løsningsmetoden kan det være nyttig å kjenne til fordi vi vil bruke komplekse eksponenter og får vist formalismens eleganse. Dessuten er dette standard, klassisk lærebokfysikk, og resultatene er attpåtil nyttige i mange sammenhenger. Utgangspunktet er som før Newtons annen lov, og vi anvender den for et lodd som svinger sakte opp og ned i enden av en fjær, loddet beveger seg i luft. Ligningene kan nå skrives: ΣF = ma m z kz(t) bż(t) = m z(t) z(t) + b mż(t) + k m z(t)+ = 0 Dette er en homogen annen ordens differentialligning, og vi forsøker oss med en løsning av typen: z(t) = Ae αt (1.8) MERK: Her antar vi at såvel A og α kan være komplekse tall. Derivering av en eksponentialfunksjon er som vi allerede har sett enkel, og vi får ved innsetting (og til slutt forkorting med eksponential-leddene og faktoren A): α 2 + b m α + k m = 0 Vi omdøper brøkene for å få et enklere sluttuttrykk: b m 2γ k m ω2 Ligningen blir da: α 2 + 2γα + ω 2 = 0 Dette er en vanlig kvadratisk ligning som har følgende løsning (når faktoren 2 i det vanlige løsningsuttrykket er forkortet bort): α = γ ± γ 2 ω 2 (1.9) Vi skiller her mellom tre ulike former for løsninger alt etter fortegn under rottegnet: γ > ω : Overkritisk demping. Dette tilsvarer at den maksimale friksjonskraften er større enn en viss prosentdel av den maksimale effektive fjærkraften som forsøker å dra loddet tilbake til likevektspunktet. Dette kan også angis på følgende måte: b > 2 km. 7

8 I dette tilfellet er såvel A som α reelle tall, og en generell løsning blir: z(t) = A 1 e ( γ+ γ 2 ω 2 )t (1.10) + A 2 e ( γ γ 2 ω 2 )t (1.11) Det er altså en sum av to eksponentielt avtakende funksjoner, der den ene går raskere mot null enn den andre. Det finnes ikke noe spor av svingning i bevegelsen. Merk at A 1 og A 2 for visse initialbetingelser kan ha forskjellige fortegn, og at tidsforløpet derfor kan by på overraskelser! γ = ω : Kritisk demping. Friksjonskraften og effektiv fjærkraft matcher nå hverandre på en slik måte at bevegelsen blir spesielt enkel. Tar vi utgangspunkt i likning 1.8 og 1.9, finner man én løsning: Den kan beskrives som en enkel eksponentialfunksjon: z(t) = Ae γt Vi vet imidlertid fra matematikken at det må finnes to valgfrie konstanter i en generell løsning av en annen ordens differentialligning for å kunne tilfredsstille initialbetingelsene. Vi har derfor ikke funnet den fulle løsningen ennå. Den fulle løsningen finner vi ved å benytte en metode kalt reduksjon av orden. Vi bruker da en prøveløsning av typen: z(t) = f(t)e αt Settes denne prøveløsningen inn i vår differentialligning når γ = ω, finner vi nokså raskt at f = 0, og etter to gangers integrering mhp t finner man til slutt den endelige generelle løsningen: z(t) = Ae γt + Bte γt Utsving (m) Kritisk demping svarer i mange tilfeller til den raskeste dempingen for et system, og er den man etterstreber for f.eks. bilfjærer Kritisk Overkritisk Underkritisk Tid (sek) Figur 1.4: Eksempler på overkritisk, kritisk og underkritisk demping av en svingning som ville vært harmonisk dersom det ikke fantes friskjon. Det er en faktor fire mellom friksjonen i de ulike variantene. γ < ω : Underkritisk demping. I dette tilfellet blir α i likning 1.9 kompleks, og det medfører at vi får en løsning som inneholder såvel en ekspoentielt avtakende faktor som sinus/cosinus-ledd. Fra ligning 1.9 får vi da: α = γ ± γ 2 ω 2 (1.12) = γ ± iω (1.13) hvor ω ω 2 γ 2 er et reelt tall. Den generelle løsningen blir da: z(t) = e γt R(Ae iω t + Be iω t ) Denne løsningen kan skrives på en enklere måte slik: z(t) = e γt A cos(ω t + φ) Her er det konstantene A og φ som må bestemmes for at den generelle løsningen skal bli til en konkret løsning for 8

9 et gitt fysisk system. Vi ser at utslaget vil oscillere på begge sider av likevektspunktet mens amplituden avtar mot null. Svingefrekvensen er lavere enn om vi ikke hadde demping (noe som er naturlig siden friksjonen forsøker å sakke av på all bevegelse). Det er vanlig i lærebøker å ta med en figur som viser typisk tidsforløp for en dempet bevegelse, og vi følger opp tradisjonen i figur 1.4. Det bør imidlertid bemerkes at slike figurer kan være svært misvisende, for de tar ofte utgangspunkt i at hastigheten er lik null ved tiden lik null (slik vi også har gjort ved vår figur). I en oppgave sist i kapittelet ber vi deg om å undersøke hvordan f.eks. en overkritisk bevegelse ser ut for noen andre initialbetingelser, og da vil du se at løsningsmengden er langt mer mangfoldig enn det de tradisjonelle figurene tilsier! 1.4 Tvungne svingninger* Foucault-pendelen i vestibylen på Fysikkbyggget svinger med samme amplitude i år etter år, selv om den blir påvirket av luftfriksjon som i prinsippet skulle gitt en dempet bevegelse. Grunnen er at pendelen får et lite dytt hver gang den passerer det laveste punktet (elektromagnetisk dytt). Dyttet kommer akkurat på det tidspunktet pendelen er på vei bort fra likevektspunktet. På den måten er svingetiden praktisk talt fullstendig bestemt av pendelens egen naturlige svingetid (gitt av pendellengde og jordens gravitasjon). I andre sammenhenger kommer dyttene i en annen takt enn systemet selv kunne ønsket å bevege seg. Elektroner i en antenne, membranen i en høyttaler, en båt som vugger fra side til side når bølger passerer er alle eksempler på systemer som blir påtvunget en svingebevegelse ut fra en ytre kraft som varierer i tid helt uavhengig av systemets egen bevegelse. Vi snakker da om tvungne svingninger. Den ytre tidsavhengige kraften kan i prinsippet variere på uendelig mange måter, men en interessant underklasse er karakterisert ved en harmonisk tidsvarierende kraft, det vil si som en sinus eller cosinusfunksjon. Dersom vi holder oss til den enkle friksjonsbeskrivelsen vi benyttet i forrige underkapittel, og nøyer oss med harmoniske ytre krefter, kan vi løse problemet analytisk. Utgangspunktet blir igjen Newtons annen lov: Sum av krefter er lik masse ganger akselerasjon: F cos(ω F t) kz(t) bż(t) = m z(t) hvor F cos(ω F t) er den ytre kraften som svinger med sin egen vinkelfrekvens ω F. Ligningen kan også skrives slik: m z(t) + bż(t) + kz(t) = F cos(ω F t) (1.14) Dette er en inhomogen annen ordens differentialligning, og den har en generell løsning av typen: z(t) = z h (t) + z p (t) hvor z h er en generell løsning av den tilsvarende homogene diffligningen (F satt lik null), mens z p er en partikulær løsning av den fulle inhomogene diffligningen. Vi har allerede funnet den generelle løsningen av den tilsvarende homogene ligningen (på en konstant faktor m nær), så utfordringen blir å finne en partikulær løsning. Vi vet at løsningen av den homogene ligningen avtar mot null. Når det er gått lang tid fra oppstart, vil vi derfor ha en bevegelse som er dominert av den ytre periodiske 9

10 kraften. Det er da naturlig å forsøke om en partikulær løsning kan ha følgende form: z p (t) = Ae iω F t (1.15) Samtidig velger vi å skrive også den ytre kraften på eksponentiell form slik: F (t) = F cos(ω F t) F e iω F t (1.16) Her er det underforstått at vi bare benytter den reelle delen av uttrykket. Vi setter disse to uttrykkene (for z p (t) og F (t)) inn i ligning 1.14 og etter å ha forkortet bort den felles faktoren e iω F t får vi: mω 2 F A + ibω F A + ka = F Denne ligningen skal da holde i alle fall for realdelen av uttrykket. Løser mhp A: A( mω 2 F + ibω F b + k) = F A = F k mω 2 F + ibω F (1.17) Vi ser at vi har endt opp med at A er et komplekst tall (bortsett fra dersom b = 0). Hva betyr det? Sammenligner vi ligning 1.15 og 1.16, skjønner vi at siden A er kompleks, vil utslaget z(t) ikke være i fase med den påtrykte kraften F (t) (bortsett fra når b = 0). Dette er et viktig karakteristisk trekk for tvungne svingninger Resonans* Vi skal straks vise matematisk at utslaget alltid vil ligge etter i tid sammenlignet med tidsvariasjonen i kraften. Når vi får overført aller mest energi fra kraften til det svingende systemet, er faseforskjellen om lag π/2 (dvs 90 o ). Svingningene blir da aller kraftigst, og vi kaller dette for resonans. Vi kan studere disse detaljene videre ved først skrive A i ligning 1.17 som en reell lengde (på en fasor) multiplisert med et faseledd (som gir retningen på fasoren). Vi betakter kun nevneren foreløpig: B = (k mω 2 F ) + ibω F og omformer uttrykket litt: B = m{( k m ω2 F ) + i b m ω F } Vi husker at systemets egen naturlige svingefrekvens (uten demping) er git ved ω = k/m. Følgelig kan vi skrive: B = mω 2 {(1 ( ω F ω )2 ) + i b ω F mω ω } Vi innfører symbolet r for å angi forholdet mellom frekvensene: r = ω F ω (1.18) og omformer den felles konstanten og imaginærleddet litt videre, og får: B = k{(1 r 2 b ) + i r} mk Da skriver vi endelig B som en lengde ganger et fasorfase-ledd: B = k (1 r 2 ) 2 + b2 mk r2 e iθ Hvor fasen θ er gitt ved: eller: tan(θ) = b mk r 1 r 2 b r θ = arctan{ mk 1 r } (1.19) 2 10

11 Faseskift (grader) Liten demping Q = 10 Q = 2 Stor demping Q = Relativ frekvens Figur 1.5: Faseskift mellom påtrykt kraft og systemets utsving når påtrykt frekvens endres relativt til systemets naturlige svingefrekvens (r er forholdstallet mellom disse). Merk at ved resonans ligger utslaget om lag 90 grader etter den påtrykte kraften.. B var nevneren i uttrykket for A (ligning 1.17), følgelig får vi: A = F e iθ k (1 r 2 ) 2 + b2 mk r2 Alternativt kan vi skrive: A = A 0 e iθ hvor amplituden A 0 er gitt ved: A 0 = F (1.20) k (1 r 2 ) 2 + b2 mk r2 Og vi får endelig ( ved å bruke ligning 1.15) et uttrykk som beskriver bevegelsen for denne partikulære løsningen av vår opprinnelige differentialligning: z p (t) = A 0 e i(ω F t θ) (1.21) Her er A 0 reell, og når vi da holder oss til realdelen av uttrykket, kan løsningen også skrives på den vanlige måten: z p (t) = A 0 cos(ω F t θ) Dette uttrykket er en generell løsning for svingeforløpet til et system som utsettes for en ytre harmonsik kraft som fører til tvungne svingninger. Løsningen gjelder bare når kraften har virket så lenge at mer kompliserte svingeforløp i starten har dødd ut. Ligningene 1.19 og 1.20 kan gi oss uttrykk for hvilken frekvens den påtrykte kraften må ha for å få resonans. Vi opererer faktisk med to ulike typer resonans, nemlig faseresonans og amplituderesonans. Faseresonans er karakterisert ved at faseforskjellen mellom ytre kraft og utslag er 90 grader. Fra ligning 1.19, ser vi at dette svarer til at tan θ = ± hvilket vil si at r = 1 som i sin tur gir: ω F = ω = km Følgelig (ved å gå over fra vinkelfrekvens til frekvens): f faseresonans = 1 2π ω = f uforstyrret svingefrekvens For amplituderesonans må vi finne minimalverdien til radikanden i rottegnet i nevneren til A 0 i ligning Vi deriverer innholdet i rottegnet mhp ω F og setter denne lik null: {2(1 r 2 )( 2r) + 2 b2 mk r} 1 ω = 0 1 r 2 b2 2mk = 0 r = 1 b2 2mk ω F = 1 b2 2mk ω Resonansfrekvensen er 1 av vinkelfrekvensen, altså: 2π f amplituderesonans = 1 1 b2 2π 2mk ω 11

12 = 1 b2 2mk f uforstyrret svingefrekvens Vi ser at de to resonansfrekvensene sammenfaller kun dersom dempingen b er lik null, men ellers ikke. Det henger sammen med det vi fant da vi betraktet dempet svingning foran. Frekvensen for svingningene er noe lavere når demping forekommer enn uten demping. Bevegelsen har jo en tendens til å bli saktere når man har demping i et system enn ellers Kvalitetsfaktor Q* For tvungne svininger er det vanlig å karakterisere systemet med en såkalt Q-faktor. Q står for quality, så faktoren kalles også gjerne for kvalitetsfaktoren på norsk. Faktoren sier oss noe om hvor lett det er å få systemet til å svinge. Dette er mer eller mindre ensbetydende med hvor lite tap/friksjon det er. Kvalitetsfaktoren for et mekanisk system som vårt er definert som: Q = mω b = mk b 2 (1.22) Vi ser av selve formelen at jo mindre b er, desto høyere blir kvalitetsfaktoren Q.Vi ser også at det i prinsippet er lettere å få en høy kvalitetsfaktor for et system som har høy resonansfrekvens sammenlignet med et som har lav resonansfrekvens. Figur 1.6 viser hvordan svingeamplituden varierer med den påtrykte kraftens frekvens, og hvordan kvalitetsfaktoren spiller inn. Q- verdi på 0.5 svarer i dette tilfellet til kritisk demping, og vi ser ingen antydning til noe resonans for så stor demping. Det finnes også en annen og kanskje mer generell måte å definere Q-verdi på: Lagret energi Q = 2π Tap av energi pr periode (1.23) Svingeamplitude (rel) Q = Frekvens (rel f ) Figur 1.6: Når frekvensen til den påtrykte kraften endrer seg relativt til systemets egen svingefrekvens, vil ampituden bli størst når de to frekensene er omtrent like store. Jo høyere kvalitetsfaktor Q (dvs jo mindre tap), desto større blir amplituden ved resonans. Det kan vises at man kan måle Q-verdien grafisk ut fra eksperimentelle målinger på følgende måte: Man lager et plot som viser energi i det svingende systemet som funksjon av frekvens. Man finner så halvverdi-bredden f og relaterer denne til resonansfrekvensen f 0. Q-verdien er da gitt som: Q = f 0 f Q-verdier for ulike svingende systemer kan variere fra 0.5 (som svarer til kritisk demping) til mange tusen. Det er en spesiell detalj med hensyn til kvalitetsfaktor få kjenner til, men som er særdeles viktig i mange sammenhenger. Vi ser av likning 1.23 at et svingesystem med høy Q-verdi bare mister en bitte liten del av den totale energien pr periode. Tap av energi erstattes gjennom virkningen av den påtrykte kraften når vi har oppnådd en stabil tilstand (kraften har virket lenge og fortsatt virker). Anta nå imidlertid at vi kutter ut den ytre påtrykte kraften. Da vil energien i systemet 4 12

13 Svinge-energi E max E /2 max f etter hvert forsvinne, men det vil ta i størrelsesorden 2πQ perioder før energien er brukt opp og svingningen slutter. For en høykvalitets svingekavitet som brukes i mikrobølgeområdet kan man nokså lett oppnå Q-verdier på eller mer. Dersom man ønsker å bruke en slik kavitet i tidsoppløst (f.eks. pulset) mikrobølge-spektroskopi av en eller annen art, vil tidsoppløsningen være bestemt av hvor raskt man kan bygge opp energi og tømme energi fra svingekretsen. Ut fra argumentasjonen over, vil det ta i størrelsesorden perioder fra kaviteten er fylt opp til den er noenlunde tom. Dersom mikrobølgefrekvensen er 10 GHz (10 10 Hz), vil decay-tiden vare i størrelsesorden 6 mikrosekunder. Dersom man studerer nokså langsomme atomære prosesser, kan dette være akseptabelt, men ofte er dette ikke tilfelle. Det betyr at man ofte må operere med betydelig lavere Q-verdier enn det som er mulig å oppnå, dersom man skal studere tidsfenomener som nærmer seg periodetiden for systemet man betrakter. Vi har hittil fokusert på avklingingsforløpet, det vil si at svingningen etter hvert stopper opp etter at den ytre kraften har opphørt. Det er imidlertid en helt tilsvarende sak som gjelder ved oppstart av svingningen. Jo høyere Q-verdi, desto flere perioder må kraften virke i før man oppnår tilnærmet en stabil svingetilstand. 0 f 0 Frekvens Figur 1.7: Q-verdi kan også defineres ut fra en grafisk fremstilling av energi lagret i svingesystemet versus frekvens. Q-verdien er da gitt som resonansfrekvensen f 0 dividert på halvverdibredden f. 1.5 Numerisk beregning* I gamle dager (det vil si for mer enn ti år siden) lærte studentene bare å håndtere enkle harmoniske svingninger, det vil si rene sinussvinginger. Dersom man studerte en pendelbevegelse f.eks., nøyde man seg med små utslag. Grunnen var enkel: Det er nesten bare enkel harmonisk bevegelse man kan håndtere dersom man bare har analytisk matematikk i verktøykassen. Dere som er studenter her ved UiO har lært å bruke numeriske metoder ved løsning av fysikkproblemer. Da er det ofte omtrent like enkelt å bruke en realistisk, ikke tilnærmet beskrivelse av en bevegelse som en idealisert forenklet beskrivelse. Mange har brukt numeriske metoder i tidligere kurs, så vi skal nøye oss med en rask repetisjon av noen hovedtrekk. Mange av problemstillingene i vårt kurs er knyttet til oppintegrering av differentialligninger som beskriver de prosessene vi er interessert i. Det er mange mulige måter å foreta denne oppintegreringen på; mest kjent er kanskje Eulers metode, baklengs Euler, midtpunktsmetoden, leapfrog-metoden og sist, men ikke minst, Runge-Kutta metoden(e). De fleste av dere vet at man lett kan få en systematisk feil ved de enkleste metodene, og dere har undersøkt metodenes nøyaktighet med mere tidligere. I dette kurset vil vi anta at dette er kjent og vi vil bare bruke standard metoder som vi vet vil fungere godt i de fleste tilfeller. 13

14 Dersom du ønsker oppfrisking av oppintegrering av differentialligninger, anbefales tidligere lærebøker/kompendier og/eller at du slår opp på Eulers metode og Runge- Kutta på engelsk Wikipedia, og leser de delene du synes du har utbytte av (og lar resten ligge). En generell pseudokode for våre numeriske oppgaver kan forsøksvis se slik ut: Før du setter deg til datamaskinen, må du ha etablert differentialligningen som beskriver bevegelsen vi er interessert i. Tenk gjennom hvordan du kan finne/- bestemme alle størrelser som inngår i differentalligningen. Bestem deg for initialverdier. Gå til datamaskinen... Skriv inn programmet: Definer alle variable du trenger og gi dem deres verdier, blant annet oppløsningen (N) du skal bruke i oppintegreringen. Nullstill arrays, eller gi arrays verdier. Slå sammen alle uttrykk av faste konstanter som skal brukes i hovedløkken (se nedenfor), slik at du ikke får flere regneoperasjoner enn nødvendig i løkken. Angi initialbetingelser. Gå inn i en løkke der du foretar oppintegreringen av differentialligningen, f.eks. ved hjelp av fjerde ordens Runge-Kutta. Bearbeid dataene videre dersom det er ønskelig. Plot resultatene eller presenter dem på annet vis. Lagre data på fil dersom det er ønskelig. Sjekk at programmet gir korrekt resultat for en forenklet versjon av problemet som også kan løses analytisk. Gjenta beregningene med ulik oppløsning (ofte t) for å se hvor mange punkter som trengs for å få god overensstemmelse med det analytiske svaret, eller at resultatet i liten grad avhenger av moderate endringer i oppløsning. Tenk minst to ganger gjennom hva du har gjort i beregningene og hvilke resultater du har fått, og forsøk å oppdage faktorer som kan ha ødelagt for kvaliteten i beregningene. Tenk også gjennom om den presentasjonsformen du har valgt er tilstrekkelig for det vi ønsker å studere i beregningene. Ofte er enkle plot ok, men man kan sjeldent lese ut nøyaktige detaljer fra et plot, i alle fall ikke uten at man har valgt helt spesielle plot som egner seg akkurat for det du vil vise. Mens du driver med programutviklingen og testingen er det viktig å lagre programmet flere ganger underveis, og helst skifte navn (versjons nummer) noen ganger i tilfelle noe katastrofalt skjer. Da slipper du å måtte starte helt fra nytt av om du mister alt i en fil. Det er også lurt å teste ut deler av programmet underveis når det lar seg gjøre Enkel pendel* La oss ta et konkret eksempel: En tilnærmet matematisk pendel som kan svinge med vilkårlig stort utslag (opp til ±π) uten å klappe sammen (dvs snora er stiv ). Vi regner at all masse ligger i en bitte liten kule i enden av snora. 14

15 Fra FYS-MEK 1100 vet vi at kraften som trekker pendelen langs banen mot likevektspunktet er F θ = mg sin θ når vinkelutslaget er θ. Kraftmomentet omkring opphengspunktet for en pendel med lengde L er: τ = mgl sin θ Spinnsatsen anvendt omkring opphengspunktet gir: τ = Iα = I θ Her er α = θ vinkelakselerasjonen. I er treghetsmomentet om opphengspunktet, og vi velger enkleste beskrivelse: I = ml 2 og ender opp med den endelige differentialligningen: ml 2 θ = mgl sin θ θ = g L sin θ Tidligere har dere løst denne ligningen ved å anta at vinkelen θ er så liten at sin(θ) θ og fant da en enkel harmonisk bevegelse med svingefrekvens (vinkelfrekvens) gitt ved: g ω = L Tilnærmingen sin(θ) θ ble gjort for å kunne bruke analytiske metoder. Denne tilnærmingen var ikke helt nødvendig i akkurat dette spesielle tilfellet, fordi man kan løse den opprinnelige differentialligningen også store vinkler ved å benytte seg av rekkeutviklingen til sinusfunksjonen. Det er imidlertid enklere å bruke numeriske metoder. Resultatet av numeriske beregninger hvor man Utsving (radianer) Utsving (radianer) Tid (sek) Tid (sek) Figur 1.8: En pendel svinger harmonisk når utslaget er lite, men svingeforløpet endres mye når svingevinkelen øker. Også svingetiden endres. Forøvrig: Se teksten. bruker fjerde ordens Runge Kutta, er vist i figur 1.8. Vi ser at bevegelsen er nær harmonisk for et lite vinkelutslag, men svært forskjellig for et stort. Fordelen med å bruke numeriske metoder kommer bare delvis til syne i dette eksemplet. Men dersom vi ville inkludere friksjon, ville numerikken være overlegen sammenlignet med en rent analytisk behandling. I numerikken kan vi til og med trekke inn ikke-lineær, ganske komplisert beskrivelse av friksjon ganske greit. Selve rammeverket for oppintegreringen ville bli som før. Siden mer eller mindre hele hovedstrukturen i dataprogrammet ville være den samme, uansett hvilken beskrivelse vi har av effektiv kraft som virker på systemet, faller fokus ved bruk av numeriske metoder lett på kraften og derved fysikken i problemet! Hvilken kraft 15

16 gir hvilket resultat? Vi slipper å pønske på ulike til dels vrine analytiske løsningsmetoder og triks hver gang kraften endres. Fokus blir der den bør være: På utgangspunktet som er effektiv kraft og differentialligningen som gjelder, hvilke initialbetingelser vi har, og endelig hvilket resultat vi får. Man bør likevel huske, som alltid ved bruk av numeriske metoder, at det er gull verdt å ha et forenklet analytisk uttrykk tilgjengelig for å kontrollere beregningene våre (i et forenklet tilfellet). 1.6 Et hovedpoeng* Svingninger forekommer når et system har et likevektspunkt og påvirkes av en kraft som forsøker å dytte systemet tilbake til likevekt dersom det ikke er der allerede. Matematisk kan dette skrives: ẍ = ax der x er utslaget i svingebevegelsen og a er et reelt, positivt tall. For et mekanisk system er det oftest Newtons annen lov som er basis for svingeligningen. Også andre ledd kan inngå i ligningen, men de to gitte leddene må alltid være til stede. For å løse svingelingningen entydig, må man kjenne to egnede initialbetingelser. 1.7 Oppgaver MERK: For alle oppgaver gjelder en generell regel at riktig svar alene kun gir omtrent halvparten så god uttelling som om man i tillegg til riktig svar gir begrunnelser og angir forutetninger og tilnærminger man gjør o.l. Denne generelle regelen må brukes med skjønn siden oppgaver kan være ganske forskjellige i utgangspunktet. Regelen gjelder selvfølgelig også ved vurdering av eksamensoppgaver, så det er lurt å øve inn gode vaner på dette området så snart som mulig i tilfelle du ikke er helt vant med dette fra tidligere kurs. 1. Dersom en fjær kuttes på midten, hvilken fjærkonstant får da hver av delene sammenlignet med konstanten for den opprinnelige fjæra? Hvor stor blir svingetiden for et lodd i enden av den halve fjæra sammenlignet med svingetiden for loddet i den opprinnelige fjæra? 2. Anta at vi har et lodd i en fjær som svinger opp og ned med en bestemt periodetid. Vi tar det svingende loddet med oss inn i en heis og starter heisen oppover. Vil periodetiden endres? Forklar. 3. Anta at vi gjør som i forrige oppgave, men har en pendel i stedet for et lodd i en fjær. Vil periodetiden for pendelsvingningene endres? 4. En god sprettball kan hoppe opp og ned mange ganger mot en hard horisontal flate. Er dette en harmonisk bevegelse slik vi har brukt ordet i vår tekst? 5. I teksten er det brukt en vag formulering om tilpasning mellom fjær, masse og utslag for at vi skal ha mulighet for å få en tilnærmet harmonisk svingebevegelse. Kan du gi eksempler på hvilke forhold som kan ødelegge for en harmonisk bevegelse for svingningen i en fjær? 6. En svingebevegelse er gitt ved x(t) = 4.7 sin(ωt) 3.1 cos(ωt). Omform denne ligningen til den kommer på formen gitt i ligning

17 7. En annen svingebevegelse er gitt ved y(t) = R(( i)e iωt ). Omform denne ligningen til den kommer på formen gitt i ligning 1.1 såvel som formen gitt i ligning En fjær henger vertikalt i et stativ. Uten noe lodd er fjæra 30 cm lang. Henger man et 100 g lodd i enden, strekkes fjæra, og fjæra er 48 cm lang når loddet har kommet til ro. Man trekker så loddet 8.0 cm loddrett nedover, holder loddet i ro, og så slipper det. Finn svingetiden for bevegelsen. Angi et matematisk uttrykk som kan beskrive svingebevegelsen. Finn maksimal og minimal kraft som virker mellom loddet og fjæra. 9. Et svingende lodd i en fjær beveger seg med en frekvens 0.40 Hz. Ved tiden t = 2.0 sek har loddet posisjonen cm over likevektsposisjonen, og hastigheten til loddet er - 16 cm/sek. Finn akselerasjonen til loddet ved tiden t = 2.0 sek. Finn en matematisk beskrivelse som passer til bevegelsen. 10. For å finne en spesiell løsning av differentialligningen som beskriver en svingebevegelse trenger vi to uavhengige opplysninger om bevegelsen, f.eks. initialbetingelsene posisjon og hastighet. Kjennskap til posisjon og hastighet danner grunnlaget for mangt en beskrivelse av en svingebevegelse. Lag et plot som viser posisjon langs x-aksen og hastighet langs y-aksen for et lodd som svinger opp og ned i enden av en fjær. Vi har da laget et plot som viser bevegelsen i faserommet. Hvilken form får plottet i vårt tilfelle? Hvilken fordel kan et slikt plot ha sammenlignet med et plot av utslag versus tid? 11. Et lodd som veier 1.00 N henges i enden av en lett fjær med kraftkonstant 1.50 N/m. Lar vi loddet svinge opp og ned, er periodetiden T. Dersom vi i stedet lar loddet komme til ro, og trekker det litt ut til siden og slipper det, vil pendelbevegelsen ha en periodetid T/2 (utslaget i pendelbevegelsen er svært lite). Hvilken lengde har fjæra uten lodd? 12. Anta at vi har to fjærer med ulik fjærkonstant. Fjærene kan kobles sammen enten i parallell eller i serie. Finn et uttrykk for svingetiden til et lodd med masse m som henger i enden enten av de parallellkoblede eller seriekoblede fjærene. Loddet kan også spennes fast mellom de to fjærene (som da begge er strukket en viss lengde. Kan du finne et uttrykk for svingetiden til loddet i dette tilfellet også? 13. Ved gammeldags radiomottaking i mellombølgeområdet brukte man svingekretser bestående av en induktans (spole) og en kapasitans (kondensator) for å skille en radiostasjon fra en annen. Radiostasjonene tok opp 9 khz på frekvensbåndet, og to radiostasjoner kunne ligge så tett som 9 khz. For at man skulle kunne skille en radiostasjon fra en annen, måtte da mottakerens ha en variabel resonanskrets som kunne innstilles slik at den passet til en radiostasjon, men ikke til en annen. Frekvensen på Stavanger-senderen var 1313 khz. Hvilken Q-faktor måtte radiomottakerens resonanskrets ha? [Disse betraktningene er fortsatt gjeldende i vår moderne tid, selv om vi digitalteknikken gir visse endringer.] 14. NUMERISK: Lag et lite Matlab eller Python-program hvor du kan beregne 17

18 bevegelsen til et overkritisk dempet system. Forsøk flere ulike initialbetingelser (kan godt holde posisjonen konstant, men varier hastigheten, både i positiv og negativ retning. Beskriv hvilke typer bevegelser du kan få. Gjenta så de samme beregningene (i alle fall noen utvalgte noen) for kritisk demping. Er det noen forskjell mellom overkritisk og kritisk demping? Kan du forklare resultatet? (PS: I denne oppgaven behøver du ikke oppintegrere differentialligningen, men ta tak i den analytiske løsningen direkte.) 18