Eksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra
|
|
- Thorvald Borge
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Eksamensoppgavehefte 2 MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Matematisk institutt, UiO, våren 2010
2 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor temaet Lineær algebra gitt ved Matematisk institutt, UiO. Utvalget er gjort med hensyn på bruk i kurset MAT1012 Matematikk 2. Noen av oppgavene er litt forkortet for å tilpasse dette kurset. Oppgavene er ordnet kronologisk. Involverte personer i utplukking av stoff, og skriving og tilrettelegging av oppgaver har vært Erik Bédos, Inger Christin Borge, Dina Haraldsson, Tom Lindstrøm, Elisabeth Seland og Arne B. Sletsjøe. 2
3 Eksamen i MA 104, 22. mai 1992 Oppgave 1 Et sett på fire vektorer i R 5 v 1 = (1, 1, 8, 0, 1) v 2 = (0, 1, 7, 3, 1) v 3 = (1, 0, 1, 3, 0) v 4 = (2, 1, 9, 3, 1) utspenner et underrom V. Bestem en basis for V med vektorer fra settet. Skriv eventuelle resterende vektorer fra settet som lineære kombinasjoner av basisvektorene. Eksamen i MA 104, 28. mai 1994 Oppgave 2 (forkortet) La A = a) Vis at A er diagonaliserbar og finn en matrise P s.a. P 1 AP er diagonal. Eksamen i MA 001, 3. desember 1994 Oppgave 4 Løs differensiallikningssystemet = 3x + 2y med initialverdier x(0) = 0 og y(0) = 3. = 2x 2y 3
4 Oppgave 6 Vi tenker oss en stemmegaffel som vibrerer. Vi velger et punkt på en av armene. For enkelhets skyld antar vi at punktet beveger seg fram og tilbake langs en rett linje. La hvilestillingen svare til 0-punktet på linja. Vi skal finne en formel for posisjonen x(t) på linja. I modellen tenker vi oss at akselerasjonen alltid er i retning av den stabile posisjonen, dvs. peker mot 0, og er proporsjonal med avstanden fra 0. Spesielt er x (t) negativ når x(t) er positiv og positiv når x(t) er negativ. Dette leder til differensiallikningen x (t) = k 2 x. (1) der k er en positiv konstant. a) Ved å sette y = x, skriv opp et system av to lineære differensiallikninger som vil gi en løsning av (1), og beregn egenverdiene til systemet. b) Anta at punktet er i posisjon 0 ved tiden t = 0. Skriv opp alle løsninger av (1). (Du skal få en harmonisk svingning.) Hint: Løs først differensiallikningssystemet du skrev opp i foregående punkt. I det følgende antar vi at stemmegaffelen er stemt til enstrøken A. Denne tonen har 440 svingninger pr. sekund. Vi antar at tiden t måles i sekunder. c) Bestem svingningens periode, og finn så konstanten k i modellen. d) Hva er amplituden hvis initialhastigheten x (0) er 2 meter pr. sekund? 4
5 Eksamen i MA 001, 30. mai 1995 Oppgave 4 a) Finn den generelle løsningen til systemet = x + y + 1 = x + 2 b) Finn løsningen bestemt av x(0) = 2, y(0) = 1. Eksamen i MA 001, 29. november 1996 Oppgave 1 a) Finn egenverdiene til matrisen [ ] (Merk: De blir komplekse.) b) Finn den generelle løsningen av differensiallikningssystemet = 5x + 16y 4 = x + 5y + 9 c) Skriv følgende harmoniske svingninger på formen C 0 + C cos[w(t t 0 )]. (i) f(t) = cos(4t) + sin(4t) (ii) g(t) = cos(4t) sin(4t) d) La x(t) og y(t) være to funksjoner som løser systemet under b), og anta at x(0) = 4y(0) + 8, samt y(0) 0. Skisser grafene til x(t) og y(t) så go det lar seg gjøre ut fra disse opplysningene. 5
6 Eksamen i MA 104, 30. mai 1997 Oppgave 2 (forkortet) 3/2 1/2 0 La A = a) Vis at A er inverterbar og finn egenverdiene til A. b) Vis at A er diagonaliserbar og finn en basis for R 3 som består av egenvektorer for A. Eksamen i MA 001, 28. november 1997 Oppgave 6 a) Finn den generelle løsningen av differensiallikningssystemet = x 5y = 2x y b) Finn løsningen av det inhomogene systemet = x 5y 8 = 2x y 7 som oppfyller x(0) = 4 og y(0) = 1. Eksamen i MA 001, 2. juni 1998 Oppgave 3 En sylinderformet bøye flyter i vannflaten med sylinderaksen vertikalt, og beveger seg bare i vertikal retning. Vi antar at høyden i sylinderen er h og at 6
7 forholdstallet mellom tettheten av bøyen og tettheten av vann er ρ. Tyngdens akselerasjon settes lik g = 980 cm/s 2. La x = x(t) være bden av bunnen av bøyen og y = y(t) hastigheten til bøyen ved tiden t, hvor hastigheten regnes positiv nedover. Hvis vi antar at de eneste kreftene som virker på bøyen er tyngden og oppdriften, og forutsetter 0 x h, så får vi ved Newtons kraftlov og Arkimedes lov likningssystemet = y = g g (1) ρh x. a) Angi likevektsløsningen for systemet (1). Finn deretter den generelle løsningen av (1). b) Anta initialbetingelsene x(0) = y(0) = 0, og bestem løsningen av (1) for dette tilfellet. Med ρ 0.5 blir bevegelsen av bøyen en harmonisk svingning. Beregn amplituden C og perioden T for svingningen når h = 200 cm og ρ = 0.5. Eksamen i MA 114, 2. desember 1998 Oppgave La A = og v = a) Finn Av og A 10 v. b) Finn A 1. 7
8 c) Finn egenverdiene til A og bestem deres multiplisitet. Finn også dimensjonen til hvert av egenrommene til A. d) Finn en diagonal matrise D og en inverterbar matrise C slik at A = CDC e) Beregn A Hint: Skriv 1 som en sum av egenvektorer. 0 Eksamen i MA 001, 3. juni 1999 Oppgave 6 0 Vi tenker oss en insektfelle med to rom, rom 1 og rom 2. Fra omverdenen kommer insektene først inn i rom 1, og noen av dem går videre til rom 2. Fra rom 2 er det mulig å komme tilbake til rom 1, og fra rom 1 er det mulig å forlate fellen. La N 1 = N 1 (t) og N 2 = N 2 (t) være antall insekter i hvert av rommene ved tiden t (t 0). Insektene går inn i fellen med konstant innstrømningsrate v = 900 (per tidsenhet), og går ut igjen med rate bn 1. De går fra rom 1 til rom 2 med rate an 1, og fra rom 2 til rom 1 med rate bn 2. Dette leder til følgende system av differensiallikninger: dn1 = v bn 1 an 1 + bn 2 dn 2 = an 1 bn 2 I det følgende lar vi a = 81 (per tidsenhet) og b = 10 (per tidsenhet). a) Etter hvert som tiden går vil antall insekter i de to rommene stabilisere seg på visse likevektsverdier. Finn disse. b) Finn den generelle løsningen til differensiallikningssystemet. c) Gå ut fra at det ved tiden t = 0 er 20 insekter i rom 1, og ingen i rom 2. Hvor mange er det i hvert av rommene ved et vilkårlig tidspunkt t? 8
9 Eksamen i MA 114, 3. desember 1999 Oppgave 1 (forkortet) La s og t være reelle tall og la A være matrisen s A = 0 s t t a) Avgjør når A er inverterbar. 1 1 b) La b =. Bestem for hvilke verdier av s og t systemet A x = b har 4 4 uendelig mange løsninger og angi da løsningsmengden til systemet på parameterform. c) Begrunn hvorfor A er diagonaliserbar for alle verdiene av s og t. Beregn det karakteristiske polynomet til A. 1 1 d) Vi setter nå s = t = 1 og x 0 = 0. Finn en basis for R4 som består 0 av egenvektorer for A. Avgjør om grensen lim n + An x 0 eksisterer. Eksamen i MA 104, 31. mai 2000 Oppgave 4 La t være et reelt tall og la A t være matrisen 1 + t t 0 A t = t 1 t
10 Vis at egenverdiene til A t er 1 og 1 for alle t og drøft hvordan dimensjonen til egenrommene E 1 og E 1 varierer med t. For hvilke verdier av t er A t diagonaliserbar? Eksamen i MA 104, 1. desember 2000 Oppgave 4 a) Forklar hvorfor egenverdiene til matrisen A = er reelle. Finn så disse egenverdiene. b) Hva er den algebraiske multiplisiteten til disse egenverdier? c) Finn en basis for R 4 som består av egenvektorer. d) Finn en matrise C som diagonaliserer A (dvs. C 1 AC er en diagonal matrise). Hva blir denne diagonale matrisen? Eksamen i MA 001, 11. desember 2000 Oppgave 5 a) Finn egenverdiene til matrisen [ ] b) Finn den generelle løsningen (x(t), y(t)) til differensiallikningssystemet: ( ) = x + 2y = x 10
11 c) Finn den spesielle løsningen til differensiallikningssystemet ( ) med initialbetingelsen x(0) = 1 og y(0) = 2. Finn også den andre spesielle løsningen som oppfyller x(0) = 1 og lim t y(t) = 0. Eksamen i MA 104, 31. mai 2001 Oppgave 2 (forkortet) La T : R 3 R 3 være gitt ved T x 1 x 2 2x 1 + 4x 2 4x 3 = x 1 + 2x 2 x 3 x 3 x 1 2x 2 + 3x 3 La M være standardmatrisen til T. a) Finn M. b) Finn en basis for nullrommet til M. c) Finn egenverdier og egenvektorer til M. Finn en matrise P slik at P 1 MP blir en diagonal matrise. d) Finn M 8. e) Vis at matrisen N = har de samme egenvektorene som M. 11
12 Eksamen i MA 001, 10. desember 2001 Oppgave 6 a) Finn egenverdiene til matrisen [ ]. b) Finn den generelle løsningen x(t), y(t)} til differensiallikningssystemet = 3x y = 2x. c) Finn den spesielle løsningen av differensiallikningssystemet i b) som oppfyller betingelsen x(0) = 2 og y(0) = 3. Eksamen i MA001, 10. juni 2002 Oppgave 4 Betrakt differensiallikningssystemet = x + y = 4x + y. a) Finn systemets egenverdier. b) Finn systemets løsning med initialbetingelsen x(0) = 0, y(0) = 1. c) Ved derivasjon kontrollér at svaret du har fått, er riktig. 12
13 Eksamen i MA 001, 11. desember 2003 Oppgave 7 a) Finn den generelle løsningen av differensiallikningssystemet = 10x + y = 2x + 9y b) Betrakt så det inhomogene systemet = 10x + y 1 = 2x + 9y + 2 Finn systemets likevektstilstand. c) Løs differensiallikningene i punkt b) under initialbetingelsen x(0) = 3, y(0) = 0. 8 Eksamen i MA 001, 26. mai 2004 Oppgave 5 Et medikament tilføres blodbanene ved kontinuerlig intravenøs injeksjon og med konstant positiv rate k (mg/h). Vi lar y = y(t) og x = x(t) være mengden av medikament (målt i mg) i henholdsvis blodbane og vev ved tiden t. Medikamentet er av en slik natur at vi under behandlingen kan se bort fra at noe av medikamentet blir utskilt i urinen. Vi stiller opp følgende skjema Her er k 1 y og k 2 x ratene (mg/h) som uttrykker hvor raskt medikamentet går fra den ene boksen til den andre, og k 1 og k 2 er positive konstanter. 13
14 a) Vis at dette fører til differensiallikningssystemet = k 2x + k 1 y = k 2x k 1 y + k (1) og avgjør om dette systemet har noen konstant løsning (altså løsninger hvor både x og y er konstante.) b) Finn den generelle løsningen av det homogene systemet vi får ved å sette k = 0 i (1). c) Vis at det fins konstanter a, b og c slik at funksjonene x(t) = at, y(t) = bt + c er løsninger av (1). d) Finn de løsninger av (1) som oppfyller initialbetingelsen x(0) = 0, y(0) = 0 Hint: Bruk uten bevis at den generelle løsningen av (1) er summen av løsningen funnet under c) og den generelle løsningen funnet under b). Eksamen i MAT 1010, 11. juni 2004 Oppgave 4 a) Finn den generelle løsningen av differensiallikningssystemet x = x 5y 1 y = 5x + y 5. b) Bestem den løsningen av systemet ovenfor som tilfredstiller initialbetingelsen x(0) = 5 y(0) = 5. 14
15 Eksamen i MA 001, 10. desember 2004 Oppgave 6 a) Finn den generelle løsningen av differensiallikningssystemet = x 5y = 2x y b) Finn løsningen av det inhomogene systemet = x 5y 8 = 2x y 7 som oppfyller initialbetingelsen x(0) = 4 og y(0) = 1. Eksamen i MA 001, 7. juni 2005 Oppgave 7 a) Bestem egenverdiene, og finn tilsvarende egenvektorer for matrisen M = hvor k og l er positive reelle tall. [ k l ] k En kopp kaffe varmes opp til kokepunktet i en mikrobølgeovn. Deretter slås ovnen av, og kaffen blir stående i ovnen en stund til avkjøling. Vi vil anta at temperaturene x = x(t) i kaffen og y = y(t) i ovnen som funksjoner av tiden, da oppfyller differensiallikningssystemet l = k(x y) = l(x y) (1) 15
16 Når temperaturene er gitt i C og tiden i timer, antar vi k = 4.0, l = 1.0 (per time). b) Finn løsningen av systemet (1) med initialbetingelsen x(0) = 100 C, y(0) = 20 C. c) Ut fra løsningen av (1), hvilken verdi vil x(t) og y(t) gå mot når t? Hvor lang tid vil det ta før temperaturen i kaffen er sunket til 55 C? Eksamen i MAT 1010, 12. juni 2007 Oppgave 1 a) Finn den generelle løsningen av differensiallikningssystemet = 3x 2y = 2x 2y b) Finn den løsningen av systemet som oppfyller x(0) = 6 og y(0) = 2. = 3x 2y 9 = 2x 2y 4 Eksamen i MAT 1010, 9. juni 2008 Oppgave 2 Finn funksjoner x(t) og y(t) slik at og x(0) = 1, y(0) = 4. = y = 4x 16
17 Eksamen i MAT 1010, 8. juni 2009 Oppgave 1 a) Finn den generelle løsningen av differensiallikningssystemet = 3x 5y = 2x + y b) Finn den løsningen av systemet = 3x 5y + 1 = 2x + y + 5 som oppfyller x(0) = 1 og y(0) = 2. 17
UiO MAT1012 Våren Ekstraoppgavesamling
UiO MAT1012 Våren 2011 Ekstraoppgavesamling I tillegg til eksamen og prøveeksamen fra våren 2010 inneholder denne samlingen en del oppgaver som er blitt gitt til eksamen i diverse andre emner ved UiO i
DetaljerMAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012
MAT Våren UiO. / 7 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar) og D (diagonal) som diagonaliserer
DetaljerMAT UiO mai Våren 2010 MAT 1012
200 MAT 02 Våren 200 UiO 0-2. 200 / 48 200 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar)
DetaljerLøsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1
Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene
DetaljerEKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4110/TMA4115 MATEMATIKK 3
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 25 2. januar 25 EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4/TMA45 MATEMATIKK 3 Oppgave A- a) Finn kvadratrøttene til det komplekse tallet
DetaljerLøsningsforslag MAT 120B, høsten 2001
Løsningsforslag MAT B, høsten Sett A = ( ) (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til A ( ) λ =, e = ( λ =, e = ) (b) Finn matrisen e ta og den generelle løsningen på initialverdiproblemet Ẋ = AX, X()
Detaljer5.6 Diskrete dynamiske systemer
5.6 Diskrete dynamiske systemer Egenverdier/egenvektorer er viktige for å analysere systemer av typen x k+1 = A x k, k 0, der A er en kvadratisk diagonaliserbar matrise. Tenker her at x k angir systemets
DetaljerMAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag
MAT0 - Prøveeksamen 9 mai - Løsningsforslag Oppgave Sett A = 4 4 0 x 0, x = x, b =, x 0 og la v, v, v betegne kolonnevektorene til A a) Skriv A x = y som en vektorlikning x Svar : Siden A x = [v v v ]
DetaljerEksamensoppgave i TMA4110/TMA4115 Calculus 3
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4110/TMA4115 Calculus 3 Faglig kontakt under eksamen: Markus Szymik Tlf: 411 16 793 Eksamensdato: August 2018 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerKap. 5 Egenverdier og egenvektorer
Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen
DetaljerUniversitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra
Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT2 - Lineær algebra Onsdag 29 mai, 20, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets
DetaljerA 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer:
5.3 Diagonalisering Det ville være fint om en matrise A var similær med en diagonalmatrise D: da har vi funnet egenverdiene, og kan f.eks. lett beregne A k. Når er dette tilfelle? Det er tema i denne seksjonen.
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Haust 2011
Noregs teknisk naturvitskaplege universitet Institutt for matematiske fag TMA40 Matematikk 3 Haust 0 Løysingsforslag Øving Oppgåver frå læreboka kap 5, s 7-73 5 Eigenrommet som svarar til λ = 5 er det
DetaljerDiagonalisering. Kapittel 10
Kapittel Diagonalisering I te kapitlet skal vi anvende vår kunnskap om egenverdier og egenvektorer til å analysere matriser og deres tilsvarende lineærtransformasjoner Eksempel Vi begynner med et eksempel
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser høsten 2009.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 Løsningsforslag til eksamen i MA/MA6 Lineær algebra med anvendelser høsten 9 Oppgave a) Rangen til A er lik antallet
DetaljerMAT 1001, Høsten 2009 Oblig 2, Løsningsforslag
MAT 1001, Høsten 009 Oblig, sforslag a) En harmonisk svingning er gitt som en sum av tre delsvingninger H(x) = cos ( π x) + cos (π (x 1)) + cos (π (x )) Skriv H(x) på formen A cos (ω(x x 0 )). siden H(x)
DetaljerUNIVERSITET I BERGEN
UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte
DetaljerLØSNINGSSKISSE TIL EKSAMEN I FAG SIF august 2001
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSSKISSE TIL EKSAMEN I FAG SIF500 0. august 00 Oppgave 5 +6 ( 4 +6)0 dvs. at vi har en rot 0 og 4 røtter av
DetaljerUniversitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra
Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT - Lineær algebra Onsdag 5 september, 0, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets
Detaljer5.5 Komplekse egenverdier
5.5 Komplekse egenverdier Mange reelle n n matriser har komplekse egenverdier. Vi skal tolke slike matriser når n = 2. Ved å bytte ut R med C kan man snakke om komplekse vektorrom, komplekse matriser,
DetaljerEksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler
Eksamensoppgavehefte 1 MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor
DetaljerLineær algebra-oppsummering
Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:
DetaljerMA1201/MA6201 Høsten 2016
MA/MA6 Høsten 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematikk Løsningsforslag Øving Med forebehold om feil. Hvis du finner en, ta kontakt med Karin. Kapittel 6. a) Stemmer. Anta
DetaljerLøsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b)
Innlevering BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Fredag 05. februar 2016 kl 14:00 Antall oppgaver: 5 Løsningsforslag 1 Vi denerer noen matriser A [ 1 5 2 0 B [ 1
DetaljerUtkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 121 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 31. mai 2010, kl. 09-14.
Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 2 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 3. mai 2, kl. 9-4. Oppgave En bisverm flyr mellom to kuber, A og B, på dagtid, og hver bi blir
DetaljerKap. 5 og Notat 2 Oppsummering
Kap. 5 og Notat 2 Oppsummering Vi lar A være en reell n n matrise, med mindre noe annet sies. x R n er en egenvektor for A tilh. egenverdien λ R betyr at A x = λ x og x 0. Hvis A er triangulær, er egenverdiene
Detaljerdifferensiallikninger-oppsummering
Kapittel 12 differensiallikninger-oppsummering I vår verden endres størrelsene og verdiene som populasjon, vekt, lengde, posisjon, hastighet, temperatur ved tiden eller ved en annen uavhengig variabel.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 1120 Lineær algebra Eksamensdag: Mandag 5 desember 2016 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg:
DetaljerEmne 9. Egenverdier og egenvektorer
Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Lineær algebra Eksamensdag: Mandag,. desember 7. Tid for eksamen: 4. 8.. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
Detaljer12 Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch. 5.1, 5.2 og 8.5)
Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch 5, 5 og 85) Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A I kalkulus (teori av differensiallikninger) er
Detaljer= 3 11 = = 6 4 = 1.
MAT3000/4000 Eksamen V3 Løsningsforslag Oppgave [0 poeng] Sjekk at 3 er en kvadratisk rest i Z/(3) og finn løsningene av likningen x = 3 i Z/(3) (uten å lage en tabell for x ) Du får lov til å bruke at
DetaljerR: 0, , = 6000 D : 0, , = 4000 La v n = angi fordelingen etter n år (dvs. a b n stemmer for R og
EGENVERDIER FOR MATRISER a Motiverende eksempel En by i USA har 0000 innbyggere som stemmer ved valget hvert år. I dag stemmer 8000 for R og 000 for D. Hvert år går 30% fra R til D og 0% fra D til R. Hva
DetaljerEgenverdier og egenvektorer
Kapittel 9 Egenverdier og egenvektorer Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer Hvis A er en m n-matrise, så gir A en transformasjon
Detaljer13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5
3 Oppsummering til Ch. 5. 5. og 8.5 3. Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A. I kalkulus (teori av differensiallikninger) er det viktig å beregne
DetaljerForelesning 14 Systemer av dierensiallikninger
Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Eivind Eriksen 9. april 010 Dierensiallikninger En dierensiallikning inneholder en avhengig variabel (typisk y ) og en uavhengig variabel (typisk x), som
DetaljerDAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3
Innlevering DAFE ELFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2 Antall oppgaver: + 3 For hver av matrisene nedenfor nn den ekvivalente matrisen som er på redusert
DetaljerSystemer av første ordens lineære differensiallikninger
Kapittel 4 Systemer av første ordens lineære differensiallikninger Differensiallikninger, forkortet difflikninger, er svært viktige, og dukker opp nærmest overalt i anvendelser. En difflikning er en likning
DetaljerTMA4115 Matematikk 3 Vår 2012
Noregs teknisk naturvitskaplege universitet Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk 3 Vår 01 Oppgaver fra læreboka, s lxxxiv 9 a) Likninga for systemet vert y + 4y = 4 cos ωt Me løyser først den
DetaljerTidligere eksamensoppgaver
Tillegg B Tidligere eksamensoppgaver Her følger et kronologisk utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor temaet differenslikninger, og noen om komplekse tall, gitt ved UiO. Den første oppgaven gir
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 1120 Lineær algebra Eksamensdag: 9. desember 2014. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerFaglig kontakt under eksamen: Navn: Anne Borg Tlf. 93413 BOKMÅL. EKSAMEN I EMNE TFY4115 Fysikk Elektronikk og Teknisk kybernetikk
Side 1 av 10 NORGES TEKNISK NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Navn: Anne Borg Tlf. 93413 BOKMÅL EKSAMEN I EMNE TFY4115 Fysikk Elektronikk og Teknisk kybernetikk
DetaljerLøsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115 Vår 1 1 a) La z = x iy. Da er Re z = x og z = x y. Siden y er et reelt
DetaljerEksamen i ELE Matematikk valgfag Torsdag 18. mai Oppgave 1
Eksamen i ELE79 - Matematikk valgfag Torsdag 8. mai 07 LØSNINGFORSLAG Oppgave (a) Den utvidede matrisen til likningssystemet er 6 Gausseliminasjon: ganger rad I legges til rad II: 0 0 Rad I trekkes fra
DetaljerVi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på
Kap. 7 Innledning Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på Symmetriske matriser. Disse matrisene har uvanlig pene egenskaper mht. diagonalisering. Kvadratiske
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 0 Lineær algebra Eksamensdag: Mandag 0. desember 0 Tid for eksamen: 4.30 8.30. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerInnlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9
Innlevering BYPE000 Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 4. april 014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 1 Regn ut determinanten til følgende matriser. (Det er også
DetaljerUniversitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag. Eksamen MA desember Lykke til!
Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag Eksamen Emnekode: Emnenavn: MA-2 Lineær algebra Dato: Varighet:. desember 2 9. - 4. Antall sider: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerELE Matematikk valgfag
SENSORVEILEDNING - Skriftlig eksamen ELE 3711 Matematikk valgfag Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 11.06.018 Kl. 0:00 Innlevering: 11.06.018 Kl. 14:00 For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven.
DetaljerLøsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003
Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 003 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige eksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. Første del av eksamen
DetaljerEksamensoppgave i TMA4115 Matematikk 3
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA45 Matematikk 3 Faglig kontakt under eksamen: Aslak Bakke Buan a, Morten Andreas Nome b, Tjerand Silde c Tlf: a mobil Aslak, b mobil Morten, c mobil Tjerand
DetaljerDEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (5 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) S( x) 1 e e e. Deriver funksjonene. Bestem integralene
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Deriver funksjonene a) f( x) 6cos(x 1) b) g( x) cos x sin x Oppgave (5 poeng) Bestem integralene a) (x 3 x) dx b) x cos( x ) dx c) x d x Oppgave 3 ( poeng) En
DetaljerKapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer
Kapittel 3 Mer om egenverdier og egenvektorer I neste kapittel skal vi lære å løse systemer av difflikninger. Da vil vi trenge egenverdier og egenvektorer, og selv om vi skal løse reelle problemer, vil
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 00 Kalkulus. Eksamensdag: Mandag,. desember 006. Tid for eksamen:.30 8.30. Oppgavesettet er på sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerEKSAMEN I MA0002 Brukerkurs B i matematikk
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Faglig kontakt under eksamen: Achenef Tesfahun (9 84 97 5) EKSAMEN I MA2 Brukerkurs B i matematikk Lørdag 322 Tid:
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Eksamen høsten 2018 Løsning Side 1 av 9. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer:
TMA4 Matematikk 3 Eksamen høsten 8 Løsning Side av 9 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 8 5 4 8 3 36 8 4 8 8 8 Den siste matrisen her er på redusert trappeform, og
DetaljerThrough the Looking-Glass and What Alice Found There, Lewis Carroll
Kapittel 4 Modellering Let s pretend that you re the Red Queen, Kitty! Do you know, I think if you sat up and folded your arms, you d look exactly like her. Now do try, there s a dear! And Alice got the
DetaljerEmne 11 Differensiallikninger
Emne 11 Differensiallikninger Differensiallikninger er en dynamisk beskrivelse av et system eller en prosess, basert på de balanselikningene vi har satt opp for prosessen. (Matematisk modellering). Vi
Detaljer6.4 Gram-Schmidt prosessen
6.4 Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av R n. (Senere skal vi mer generelt betrakte indreprodukt rom; se seksjon 6.7). Vi skal se hvordan vi kan starte med en vanlig
DetaljerTMA4110 Eksamen høsten 2018 EKSEMPEL 1 Løsning Side 1 av 8. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: x 1 7x 4 = 0
TMA4 Eksamen høsten 28 EKSEMPEL Løsning Side av 8 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 2 2 2 4 2 6 2 4 2 6 2 2 Dette gir likningene og 2 2 4 2 6 7 2. x 7x 4 = x 2 + 2x
DetaljerMAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjonen (også kalt koordinatmatrisen) til en lineær avbildning mellom to endeligdimensjonale vektorrom
Detaljer16 Ortogonal diagonalisering
Ortogonal diagonalisering Ortogonale matriser Definisjon (Def 7) En n n matrise A kalles ortogonal dersom den er invertibel og A A T Denne betingelsen er ekvivalent til at der I n er n n identitesmatrisen
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/utsatt eksamen i Eksamensdag: 9. august 2. Tid for eksamen: 9 2. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/Utsatt eksamen i: MAT1001 Matematikk 1 Eksamensdag: Torsdag 15 januar 2015 Tid for eksamen: 14:30 18:30 Oppgavesettet er på 5 sider Vedlegg:
DetaljerMAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik
DetaljerEKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni 2011 løsningsforslag
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 EKSAMEN I TMA4 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni løsningsforslag Hjelpemidler (kode C): Enkel kalkulator (HP3S eller
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. Dato: Fredag 01. mars 2013. Tid: Kl 09:00 13:00. Administrasjonsbygget B154
side 1 av 6 sider FAKULTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOLOGI EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS-1001 Mekanikk Dato: Fredag 01. mars 2013 Tid: Kl 09:00 13:00 Sted: Administrasjonsbygget B154 Tillatte hjelpemidler:
Detaljer3x + 2y 8, 2x + 4y 8.
Oppgave En møbelfabrikk produserer bord og stoler Produksjonen av møbler skjer i to avdelinger, avdeling I og avdeling II Alle møbler må innom både avdeling I og avdeling II Det å produsere et bord tar
DetaljerKap. 5 Egenverdier og egenvektorer
Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen
DetaljerEksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag)
Eksamensoppgave MAT-4 juni (med løsningsforslag) Contents OPPGAVE OPPGAVE 4 OPPGAVE 5 4 OPPGAVE 6 5 Fasit 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 8 54 Oppgave 8 6 Løsningsforslag 9 6 Oppgave 9 6 Oppgave 6
DetaljerLær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat. Av Sigbjørn Hals
Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat Av Sigbjørn Hals 1 Innhold Hva er matematikktillegget for Word?... 2 Nedlasting og installasjon av matematikktillegget for Word...
DetaljerOppgave 14 til 9. desember: I polynomiringen K[x, y] i de to variable x og y over kroppen K definerer vi undermengdene:
HJEMMEOPPGAVER utgave av 8-12-2002): Oppgave 15 til 16 desember: La H være mengden av alle matriser på formen A = a 1 a 12 a 13 a 1n 0 a 2 0 0 0 0 a 3 0 0 0 a n der a 1 a 2 a n 0 Videre la SH være matrisene
Detaljer(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer
5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de 10 betingelsene fra Def. 4.1.1. Jeg vil ikke gi en eksamensoppgave
DetaljerEksamen R2, Våren 2009
Eksamen R, Våren 009 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f xlnx 3 uln x u x 3 u 6u g u g u f x g
DetaljerLøsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3
Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2
DetaljerEKSAME SOPPGAVE MAT-1004 (BOKMÅL)
EKSAME SOPPGAVE MAT-00 (BOKMÅL) Eksamen i : Mat-00 Lineær algebra. Dato : Torsdag 09. juni. Tid : 09.00 -.00. Sted: : Teorifagb., hus, plan. Tillatte hjelpemidler : Godkjent kalkulator, to A ark egne notater
Detaljer4 Differensiallikninger R2 Oppgaver
4 Differensiallikninger R2 Oppgaver 4.1 Førsteordens differensiallikninger... 2 4.2 Modellering... 7 4.3 Andreordens differensiallikninger... 13 Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA... 16 Øvingsoppgaver
DetaljerEKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Carl Fredrik Berg (975 05 585) EKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER
DetaljerMAT 1120: Obligatorisk oppgave 2, H-09
MAT 1120: Obligatorisk oppgave 2, H-09 Innlevering: Senest fredag 30 oktober, 2009, kl1430, på Ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt (7 etasje NHA) Du kan skrive for hånd eller med datamaskin,
DetaljerLøsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet
DetaljerKontinuasjonseksamensoppgave i TFY4120 Fysikk
Side 1 av 10 Bokmål Institutt for fysikk Kontinuasjonseksamensoppgave i TFY4120 Fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ragnvald Mathiesen Tlf.: 97692132 Eksamensdato: 13.08.2014 Eksamenstid (fra-til): 09:00-13:00
DetaljerHØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning
HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning EKSAMEN I Matematisk analyse og vektoralgebra, FOA150 KLASSE : Alle DATO : 11. august 006 TID: : Kl. 0900-100 (4 timer) ANTALL OPPGAVER : 5 VARIGHET ANTALL
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerMAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 25/9
MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 25/9 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no) September 2008 Oppgaver fra 5.1 Denisjon av egenverdier, egenvektorer, egenrom. Teorem 1 s. 306: Egenverdiene til en triangulær
DetaljerTest, 4 Differensiallikninger
Test, 4 Differensiallikninger Innhold 4.1 Førsteordens differensiallikninger... 1 4. Modellering... 7 4.3 Andreordens homogene differensiallikninger... 13 Oppgaver og løsninger Grete Larsen/NDLA 4.1 Førsteordens
DetaljerMAT Vår Oblig 2. Innleveringsfrist: Fredag 23.april kl. 1430
MAT 00 Vår 00 Oblig Innleveringsfrist: Fredag 3.april kl. 430 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7. etg. i Niels Henrik Abels hus innen fristen.
DetaljerEKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 Faglig kontakt under eksamen: Truls Fretland (73 55 89 87) EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER LØSNINGSFORSLAG
DetaljerComputers in Technology Education
Computers in Technology Education Beregningsorientert matematikk ved Høgskolen i Oslo Skisse til samlet innhold i MAT1 og MAT2 JOHN HAUGAN Både NTNU og UiO har en god del repetisjon av videregående skoles
Detaljery(x) = C 1 e 3x + C 2 xe 3x.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk eksamen 4 juni 9 Løsningsforslag 1 Innsatt for z = x + iy kan ligningen skrives x + 1 + i(y ) = x 1 + i(y + ) Ved å benytte at z = a + b for et kompleks
DetaljerMA1202/MA S løsningsskisse
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0/MA0 0S løsningsskisse Rettet. august 0 Oppgave a) Vi finner det karakteristiske polynomet, λ 0 λ λ λ λ detλi A) λ 0 λ λ
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Lørdag 25. Mai 29. Tid for eksamen: :5 4:5. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg:
DetaljerTil enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.
4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT111, høsten 2016
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT, høsten 206 Innleveringsfrist: Mandag 2. november 206, kl. 4, i Infosenterskranken i inngangsetasjen
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 04 Løsningsforslag. Eksamen 6. mai Løsning: Oppgave a) dy dx y y y )y ) : gy), så likevektsløsningene
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MAT 1100, H06
Løsningsforslag til eksamen i MAT, H6 DEL. poeng Hva er den partiellderiverte f z xyz cosxyz x sinyz + xyz cosyz xy cosyz x sinyz + xz cosyz cosyz xyz sinyz når fx, y, z = xz sinyz? Riktig svar b: x sinyz
DetaljerDel 1. 3) Øker eller minker den momentane veksthastigheten når x = 1? ( )
Del Oppgave a) Deriver funksjonen f( x) = x cos( x) b) Deriver funksjonen ( ) ( 4 x f x = e + ) c) Gitt funksjonen f( x) = x 4x + x+ ) Ligger grafen over eller under x-aksen når x =? ) Stiger eller synker
DetaljerEksamensoppgave i MA0002 Brukerkurs i matematikk B - LØSNING
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0002 Brukerkurs i matematikk B - LØSNING Faglig kontakt under eksamen: Frode Rønning Tlf: 95 21 81 38 Eksamensdato: 7. august 2017 Eksamenstid (fra til):
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Haust 2011
Noregs teknisk naturvitskaplege universitet Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3 Haust 011 Løysingsforslag Øving 4 Oppgåver frå læreboka, s. lxxxiv 9 a) Likninga for systemet vert y +4y =
DetaljerLøsningsforslag. og B =
Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og
Detaljer