En matematisk modell for energiomsetningen i et. kajakkløp. Arne B. Sletsjøe. Problemstilling. Global modell. Lokal modell.

Transkript

1 En pa celleniva

2 på En i et Matematisk institutt, UiO Åpen Dag, 5. mars 2009

3 1 på

4 på 1 2

5 på på

6 på på 4

7 på Under OL i Athen i 2000 vant Knut Holmann både 500m og 1000m. På 1000m var han favoritt, mens 500m-gullet kom som en overraskelse. Det blåste kraftig motvind under 500m-finalen. Er det mulig at motvinden var utsalgsgivende for at en ekspert på den dobbelte distansen kunne vinne over de typiske 500m-spesialistene?

8 på Vi antar at vi padler et mellomdistanseløp av varighet 1,30-4,00 minutter med konstant hastighet. A(t): Øyeblikkelig energiomsetning (effekt) y(t): Aerob del av λ(t) = A(t) y(t): Anaerob del av M: maximal aerob kapasitet, målt i effekt, y M. L(t) = t 0 λ(τ) dτ (Anaerob del = oksygenunderskudd)

9 på Input i modellen er effekten A(t), bestemt av utøveren, og utgangspunktet y(0) = y 0. Fordelingen mellom aerob (y) og anaerob (λ) energiomsetning er kontrollert av likningen dy dt = f (A, y, L) hvor funksjonen f har egenskapene i) For y < A; f > 0 og f y < 0. ii) f A 0. iii) f L 0 når L > L 0.

10 Løsningskurve på 100 Effekt Anaerob energiomsetning y(t) Aerob energiomsetning Tid: t Illustrasjon av en typisk løsningskurve for modellen, her med konstant A.

11 54 53, , , , , Sprintertype Langdistansetype En på Øvre skranke for A Øvre skranke for A er en avtagende funksjon av akkumulert anaerob energiomsetning L, dvs. jo stivere man blir, jo mindre kraft kan man produsere. En spurt vil derfor normalt gå langsommere og langsommere dersom man yter det maksimale av hva man kan. Effekt Laktat Illustrasjonen viser to kurver som gir øvre skranke for A som en funksjon av akkumulert laktat L. Den blå svarer til en sprintertype, mens den røde skal illustrere en langdistansetype.

12 på på Energiomsetning i en enkeltcelle: α = α(t) Summeres opp: α(t) = A(t) alle celler Variasjoner i laktatkonsentrasjonen i) Laktatkonsentrasjonen i blodet er konstant lik B gjennom ett tak (kort tidsrom) ii) Laktatkonsentrasjonen i cella er gitt ved β(t) og laktatproduksjonen er proporsjonal med α i cella, kα(t), for en konstant K. iii) Diffusjonen av laktat over i blodbanen er proporsjonal med differansen mellom konsentrasjonen i celle og i blod, c(β B), for en konstant c.

13 på Dette gir oss likning som har løsning dβ dt = kα c(β B) β = (B + α c k) (B + α c k β 0)e ct

14 på Vi antar at padletaket er stykkvis lineært. T er tiden mellom to tak på samme side, mens τ er den tiden som padleren legger kraft i taket, normalt mellom 25 og 30% av T. { Kα 0 t τ F = 0 τ < t T der K er en konstant. Anta at motstanden er gitt ved R er konstant gjennom taket. Det gir endring i hastighet V = c((kα R)τ R(T τ)) = c(kατ RT ) Betingelesen for konstant hastighet blir da R Kα = τ T

15 på Løsning for ett padletak Kombinerer vi dette med løsningen av likningen, får vi ved skillene t = τ og ved t = T og β τ = (B + α c k) (B + α c k β 0)e cτ Dette gir tilvekst i laktat c(t τ) β T = B (B β τ )e β = β T β 0 = e ct ( α c k(ecτ 1) (β 0 B)(e ct 1)) Hvis vi krever konstant hastighet, får vi β = e ct ( α c k(e crt Kα 1) (β0 B)(e ct 1))

16 på Diskusjon Størrelsen β forteller hvor mye mer laktat det er i muskelen etter at taket er gjennomført. Fortrinnsvis bør denne være så liten som mulig. Vi har i) e ct avtar med økende T, dvs. lav frekvens. ii) α crt c k(e Kα 1) avtar med økende α, dvs. større kraft. iii) Siden β > B så vil (β 0 B)(e ct 1) avta med økende T. For å bli minst mulig stiv i musklene skal man altså padle med lav frekvens og stor kraft i hvert tak.

17 på I motvind eller slak oppoverbakke vil R øke, dvs. større motstand. Det betyr at forholdet τ T øker, dvs. mindre opphold mellom hvert tak, som igjen betyr mindre kraft, men jevnere kraft. Når det totale laktatnivået i kroppen øker mot slutten av et løp vil motvindsforhold favorisere utøvere som har mindre fart og som tar ut stoørre del av sitt energibehov ved aerob energiomsetning. I medvind eller slakt nedover blr forholdet motsatt.