Kap. 10: Inferens om to populasjoner. Inferens om forskjell i forventning ved å bruke to avhengige utvalg (10.3) ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Transkript

1 Kap. 0: Inferen om to populajoner Situajon: Det er to populajoner om vi ønker å ammenligne. Vi trekker da et utvalg fra hver populajon. Vi kan ha avhengige eller uavhengige utvalg. ST00 Statitikk for amfunnvitere Bo Lindqvit Intitutt for matematike fag Avhengige utvalg: Det er en ammenheng mellom utvalgene Uavhengige utvalg: Det er ingen ammenheng mellom utvalgene Ekempel: Underøk om et nytt treningprogram påvirker det fyike nivået til elevene ved en videregående kole. Populajo: Alle elevene før de gjennomgår programmet. Populajon : Alle elevene etter at de har gjennomgått programmet. Spørmål: Er populajon i bedre form enn populajo? Uavhengige utvalg: Trekk 6 elever om ennå ikke har gjennomgått treningprogrammet og tet dem. Trekk 6 elever om har gjennomgått treningprogrammet og tet dem. Elevene i de to utvalgene er forkjellige. Dataene er ett ett med verdier for hvert utvalg. Avhengige utvalg: Trekk 6 elever. Tet dem før de gjennomgår treningprogrammet, la dem å gjennomgå programmet og tet de amme elevene etterpå. Elevene i de to utvalgene er de amme. Dataene er to verdier for hver elev (åkalte pardata - paired data 4 Inferen om forkjell i forventning ved å bruke to avhengige utvalg (0.3 Har nå pardata, x og x, for hvert av n utvalgte par (for ekempel reultater før og etter å ha gjennomgått et treningprogram for hver elev. Vi ønker å finne ut om det er forkjell på forventningverdiene i de to populajonene. For dette er vi på: Pardifferane ( paired difference : d = x x beregnet for hvert av de n parene Antagele om fordeling for d: Antar at de to populajonene er normalfordelte og at forøkenheter er tilfeldig trukket ut. De n beregnede verdier av differanene d kan da anta å være et tilfeldig utvalg fra en normalfordeling med forventning μ d og tandardavvik σ d. Her repreenterer μ d forkjellen i forventet verdi mellom de to populajonene.

2 Ekempel: Sammenligner to typer dekk A og B med henyn på dekklitaje. På 6 biler montere ett bildekk av hver type (tilfeldig ide på forhjulene. Dekklitaje etter kjøring en vi lengde måle: Bil Dekk A (x Dekk B (x Pardifferane (d = x x d = 6.3, d = 5. (vanlig utvalgtandardavvik for d-ene Ide: x-ene varierer mye, da de er påvirket av mange faktorer: Bilen tyngde, type kjøring, føreren kjørevaner etc. Slike effekter eliminere i høy grad ved å baere analyen på d-ene. Dette er eenen i bruk av avhengige utvalg. Dermed har vi kun ett utvalg i vår analye, og vi er tilbake til ituajonen i kapitel 9. 6 Konfidenintervall for forventet forkjell ved avhengige utvalg Et α konfidenintervall for μ d er gitt ved d ± t(n,α/ d n Konfidenintervall og teting er baert på t = d μ d d / n om er t-fordelt med df = n frihetgrader. Met aktuelle nullhypotee er: H 0 : μ d = 0 (hvorfor? mot ulike alternativer for μ d Oppgave: Finn et 90% konfidenintervall for μ d i dekk-ekemplet. Tet ogå H 0 : μ d = 0motH a : μ d > 0 med 5% ignifikannivå. 7 Inferen om forkjell i forventning ved å bruke to uavhengige utvalg (0.4 8 Utvalgfordeling for x x Populajo: Populajon μ forventning μ forventning (populajongjennomnitt (populajongjennomnitt σ populajontandardavvik σ populajontandardavvik obervajoner n obervajoner x obervert variabel x obervert variabel x utvalggjennomnitt x utvalggjennomnitt utvalgtandardavvik utvalgtandardavvik Vi er nå intereert i μ μ, om har punktetimat x x Antagele: Uavhengige utvalg av tørrele og n trekke tilfeldig fra normalfordelte populajoner. Da er x x normalfordelt med. forventning. tandardfeil σ x x = μ x x = μ μ ( σ ( σ n

3 Det korrekte antall frihetgrader for t er Dette betyr at z = x x (μ μ ( ( σ σ n df = {( ( } n ( / ( /n n er tandard normalfordelt og kan bruke til inferen om μ μ hvi σ og σ er kjente. Hvi σ og σ er ukjente, ertatte die med og, og inferen baere på t = x x (μ μ ( ( n om er tilnærmet t-fordelt med df frihetgrader (e nete ide. (avrundet nedover til nærmete hele tall. Dette bruke i kalkulatorer og dataprogrammer, men for å gjøre analyer enklere vil vi bruke om df for t: det minte av og n. (Det kan vie at formelen ovenfor alltid gir en df mellom dette tallet og den makimale verdien n. Men: Vi gjør da inferenen konervativ i den fortand at vi får lenger konfidenintervall og høyere kritike verdier for teter enn ved å bruke formelen. Konfidenintervall for forventet forkjell ved uavhengige utvalg Et α konfidenintervall for μ μ er gitt ved ( x x ± t(df,α/ ( n der df er lik det minte av ogn, eller eventuelt gitt ved formelen på forrige ide,

4 Fra ekamen 4. mai 003 Oppgave Vekta (i kilogram til forvarpillerne, x, og til angreppillerne, y, i Molde Fotballklubb A-tall (MFK er lik: x y Det oppgi at x =50, x = 4935, y = 387 og y = a Finn utvalgmiddelverdiene og utvalgtandardavvikene for de to utvalgene. Anta at vi kan betrakte forvarpillerne og angreppillerne i MFK om uavhengige tilfeldige utvalg fra henholdvi populajonen av alle forvarpillere og populajonen av alle angreppillere på høyt nivå. b Forelå en tetmetode for å underøke om det er noen forkjell i gjennomnittvekta til forvarpillere og angreppillere på høyt nivå. Gjør greie for antakelene for tetmetoden. c Utfør teten med ignifikannivå α = 0,0. b Bruker t-tet for to uavhengige utvalg ( to-utvalg t-tet. Løning: Skriver x for x, x for y μ er forventet vekt for forvarpiller μ er forventet vekt for angreppiller a x = 50/6 = 83.5, x = 387/5 = 77.4 = = Σx (Σx / Σx (Σx /n n = = 4935 (50 /6 = (387 /5 = Utvalgene må være uavhengige og tilfeldige, fra normalfordelte populajoner (vier eg rimelig for vekt. Teter H 0 : μ μ = 0motH : μ μ 0 c Tetobervator t = x x (μ μ ( ( n = ( ( =.59 Hvi H 0 gjelder er t tilnærmet t-fordelt med df = 4 (minimum av 6- og 5-. Klaik metode: Forkat H 0 hvi t < t(4, 0.0/ = t(4, 0.05 =.3 (tabell 6, eller hvi t > t(4, 0.05 =.3. Vi forkater altå H 0 og påtår H a iden.59 >.3.

5 Metode med p-verdi: p-verdi er gitt ved annynligheten for å få det vi har fått eller noe mer ektremt i forhold til nullhypoteen, dv. her P(t <.59P(t >.59 = P(t >.59 når t er t-fordelt med 4 frihetgrader. Tabell 7 gir at P(t >.6 =0.03, å p-verdien blir ca 0.03 = 0.06, om altå er mindre enn ignifikannivået på 0.0. Vi forkater altå H 0. Det er tidligere bemerket at dette er en konervativ metode. Det korrekte antall frihetgrader er muligen tørre enn 4, noe om ville ha gitt en mindre p-verdi, og lavere kritik verdi. Men ålenge vi forkater, har dette ingen betydning for konklujonen. (Formelen for df ville gitt 8.7, dv vi kunne ha brukt 8 frihetgrader. Kritike verdier ville da ha blitt ±.86, men p-verdi ville blitt Oppgave: Jeg har trukket 0 tall fra populajo om er normalfordelt med forventning μ og tandardavvik σ : med utvalggjennomnitt x = 47.0 og utvalgtandardavvik = 0.3. Deuten har jeg trukket 0 tall fra en populajon om er normalfordelt med forventning μ og tandardavvik σ : med utvalggjennomnitt x = 3.9 og utvalgtandardavvik = 5.6 Finn punktetimat for μ μ Finn 90% konfidenintervall for μ μ. Er μ = μ? Bruk 5% ignifikannivå. Fordelinger om dataene er trukket fra: Populajo: Normalfordeling med μ = 50,σ = 0 Populajon : Normalfordeling med μ = 35,σ = 5 0 Inferen om forkjell mellom andeler i to populajoner baert på uavhengige utvalg (0.5 p andel ukeer i populajo p andel ukeer i populajon x antall ukeer i utvalg x antall ukeer i utvalg p = x andel ukeer i utvalg p = x n andel ukeer i utvalg Vil gjøre inferen om p p ved hjelp av p p.

6 Repetijon: Binomik ituajon med ett utvalg Andel med uke i utvalget er Binomik ituajon med to utvalg Utvalgfordelingen: å p = x n μ p = p pq σ p = n z = p p pq n er tilnærmet tandard normalfordelt Hvi uavhengige utvalg på og n trekke tilfeldig fra tore populajoner med uke-annynligheter p og p,vil utvalgfordelingen for p p ha egenkapene:. forventning:. tandardfeil: μ p p = p p σ p p = p q p q n 3. tilnærmet normalfordelt når og n er tore Hypoteeteting om p p. Dermed er z = p p (p p p q p q n tilnærmet tandard normalfordelt når og n er tore. Et tilnærmet ( α-konfidenintervall for p p er gitt ved Altå om vanlig: p p ± z(α/ p q p q n punktetimat ± z(α/ tandard error VanligåteteH 0 : p p = 0 om er det amme om H 0 : p = p Tar utgangpunkt i den tandard normalfordelte z = p p (p p p q p q n og lager tetobervatoren z = p p p p q p p pq p n der p p er et punktetimat for verdien av p = p når H 0 er ann. Et naturlig etimat er p p = x x n Da er z tandard normalfordelt når H 0 gjelder og vi kan baere teten på den.

7 ! " #! " " ', -.. % / 0 9 : : ; < = >? z(α =z(0.05 =.65 < 3.80 C S H K T E G U I C D B G H 0R Løning Fra ekamen 5. deember 005 z = p B p T (p B p T p B = p T p p ( p p p p ( p p p p ( p p n p p ( p p n A B C D E F C B G H I D E G B J B G & "! ' ( % * p B p " " T / 3 / H 0 : p B = p T H a : p B >p 4 5 T 0 # , / 3 R p B = p T p B = = p T = =0.549 p p = =0.675 z = = ( ( C K L B J J M N N O P Q E D B C B J B G I W K J C D B C K X J K Y U I J C J K H S C E Z X K G T E G U I C D J K J X F N K G V H B G L K B J \ p[ H B G L K = P (z >z =P (z >3.80 = p[ Oppgave: Jeg har utført et binomik forøk med = 000, x = 757 og n = 500, x = 367 ukeer. Finn et punkteimat for p p Finn et 90% konfidenintervall for p p Tet hypoteen H 0 : p = p mot H a : p p med ignifikannivå 5% (Dataene er imulert med p = 0.75, p = 0.7