Samfunnsøkonomi andre avdeling, mikroøkonomi, Diderik Lund, 13. mars 2002

Transkript

1 Samfunnøkonomi andre avdeling, mikroøkonomi, Diderik Lund, 3. mar 00 Måling av graden av riikoaverjon Blant konkave nyttefunkjoner: Mer konkav betyr terkere riikoaverjon Vanlig å måle grad av konkavitet med den andrederiverte Men funkjonen au ( bekriver amme atferd om funkjonen u (, når a er en poitiv kontant Den andrederiverte er multipliert med a dette vier at den andrederiverte er et dårlig mål for riikoaverjon Skal i tedet introduere to mål om baerer eg på u '' forholdet, uberørt av multiplikajon m/kontant u ' De to er u''( w o abolutt riikoaverjon, rw ( = u'( w u''( w w o relativ riikoaverjon, ρ ( w = u'( w Kan ikke regne med at noen av die er kontanter Generelt vil de variere med w Begge blir poitive tall for riikoavere individer, fordi det tår minu-tegn foran en negativ brøk Ikke vanlig å bruke die for riikotiltrukkede individer, men for riikonøytrale er rw ( = ρ( w = 0

2 Samfunnøkonomi andre avdeling, mikroøkonomi, Diderik Lund, 3. mar 00 Noen æregenheter og noen feil ho Varian, kap. og kap. 0. I matematike uttrykk om inneholder en forventning, kriver Varian aldri noen parente om vier hva en kal ta forventningen av. Dette kan lett føre til mifortåeler, ærlig når det uttrykket en kal ta forventningen av, inneholder mer enn en tokatik variabel. Når Varian kriver Eu' ( w + ar R i likning (.6, betyr det E[ u' ( w + ar om kan være noe helt annet enn E[ u' ( w + ar ]R.. I tredje avnitt på. 86 tår det h proent, kal være 00 h proent. 3. Varian bruker r i til å betegne den globale riikoaverjonen til individ i, jfr. likning (0.4. Men på. 368 definerer han r 0 om avkatningraten til objekt 0. Dette er uheldig ammenblanding av notajon, peielt hvi det ekiterer et individ 0, eller hvi en kal bruke r i om avkatningraten til objekt i. 4. R 0 betegner en plu avkatningraten til objekt 0. Men i tekten like før figur 0. bruke et annet vanlig ymbol for dette, nemlig R f (evt. med trek over, om kal bety forventning, men det piller ingen rolle når R f ikke er uikker. 5. Andre avnitt. 374: Står convex combination og traight line. Skal enten tå linear combination og traight line, eller convex combination og line egment. 6. Midt på. 376: Står b a0, kal tå b 0 a. 7. Nyttedikonteringfaktoren heter δ på. 37 øvert, men α på. 379 øvert. 8. Det kan virke uvant å krive annynlighet om en tokatik variabel, d.v.. med en tilde over, π, lik det er gjort i avn Men det dreier eg om en variabel om tar peifierte verdier i de ulike tiltandene, på amme måte om C. Det er forklart nedert på. 370 at vektoren ( C i = ( Ci,, CiS og den tokatike variabelen C i betegner det amme. På amme måte må vektoren ( π,,π S bety det amme om en tokatik variabel π, og Varian vier i likningene i avn. 0.7 hvordan dette kan være en nyttig notajon. 9. Likningen nedert på. 380 er feil, bortett fra hvi variablene C og R C har var( R amme varian. Hvi de har ulik varian, mangler det en faktor C i var( C uttrykket til høyre for det ite likhettegnet. 0. Site avnitt på. 379 og net ite avnitt på. 383 er feil. Dette blir tatt opp nærmere på foreleningene.

3 Samfunnøkonomi andre avdeling, mikroøkonomi, Diderik Lund, 3. mar 00 Målet for abolutt riikoaverjon: Begrunnele Kan gi prei begrunnele for at rw ( måler grad av riikoaverjon Varian gir god begrunnele på Ser her på begrunnelen på Tar utgangpunkt i figuren fra forrige gang Definer ikkerhetekvivalenten til X om x c, definert ved likningen ux ( c = EuX [ ( ] Den x-verdien om er lik at et individ med nyttefunkjonen u blir indifferent mellom den uikre X og å motta x c med ikkerhet Vil avhenge av u-funkjonen og av X ux ( uex [ ( ] ux ( c ux ( x E( X x c x 3

4 Samfunnøkonomi andre avdeling, mikroøkonomi, Diderik Lund, 3. mar 00 Målet for abolutt riikoaverjon: Begrunnele, fort. Definer riikopremien knyttet til u -funkjonen og til X om π, definert ved π = E( X xc Vil vie at riikopremien er proporjonal med produktet av rw ( og σ var( X Med andre ord: En egenkap knyttet til nyttefunkjonen, nemlig rw, ( og en egenkap om måler uikkerheten ved den tokatike X Som hjelp i utledningen, definer Z = X E( X, lik at EZ ( = 0 og var( Z = var( X = σ ux ( uex [ ( ] ux ( c ux ( π x E( X x c x 4

5 Samfunnøkonomi andre avdeling, mikroøkonomi, Diderik Lund, 3. mar 00 Målet for abolutt riikoaverjon: Begrunnele, fort. Antar et endelig antall utfall, indekert med, lik at uex ( ( π = puex ( ( + z Lager en Taylor-tilnærming til hver ide av denne: Ventre ide: uex ( ( π uex ( ( πu'( EX ( Høyre ide, hvert ledd i ummen (uten p-ene: uex ( ( + z uex ( ( + zu '( EX ( + zu ''( EX ( Multiplierer dette med annynlighetene og ummerer: pu( E( X + pzu'( E( X + p zu''( E( X = uex ( ( + u''( EX ( σ, om må være ventre ide. u( E( X u'( E( X u( E( X u''( E( X u''( E( X lovede reultatet: π σ u'( E( X π + σ gir det 5

6 Samfunnøkonomi andre avdeling, mikroøkonomi, Diderik Lund, 3. mar 00 E med kontinuerlig annynlighetfordeling (Varian avn..4 Har tidligere definert forventet nytte om Mak [ u] ( E u C = π u( C = der π er annynlighet for tiltand, =,, S, og C er konumet i tiltand Gir mening når antall tiltander, S, er endelig Men hva hvi, f.ek., C er normalfordelt? Uendelig mange mulige utfall lang hele tallinja. Forventningen definert om integral, [ u( C ] u( c f ( c dc, E = der f (c er annynlighettettheten for C, (tetthet for normalfordelingen følger nedenfor For å makimere: Må kunne derivere et betemt integral (e ekempelet om følger, fra avn..6 Bruker Leibniz' formel (Sydæter, Strøm og Berck likning (9.50 5, Sydæter bind II likning (3. d dx b a S b f( x, t dt = f ' ( x, t dt Legg merke til: f er en funkjon av to variabler; integrajonen kjer m.h.p. den ene variabelen, men derivajonen kjer m.h.p. den andre (Ikke det amme om å derivere et ubetemt integral, der derivajon m.h.p. integrajonvariabelen opphever integrajonen derivajon er det motatte av integrajon; gjelder funkjoner av en variabel a x 6

7 Samfunnøkonomi andre avdeling, mikroøkonomi, Diderik Lund, 3. mar 00 Porteføljevalg: Ett ikkert, ett uikkert verdipapir (Varian, avn..6 (nytt i dag: kontin. h.fordeling Gitt formue w, kal fordele mellom to verdipapirer En periode einere vil formuen være W = a( + R + w a = w + ar der a er beløpet invetert til uikker avkatningrate R, men reten av formuen ikke har noen avkatning Ønker makimal E[ u( W ], d.v.. max E[ u( w + ar ] a Førteordenbet. ved dikret annynlighetfordeling: d S S d 0 = π u( w + ar = π u( w + ar da = = da S = π u' ( w + ar R = E u' w + ar R = [ ( ] Den deriverte av forventningen er like forventningen av den deriverte. Det amme gjelder for en kontinuerlig annynlighetfordeling, der vi bruker Leibniz' regel: 0 = d da u( w + = ar f ( r dr = d u( w + da ar f ( r dr [ ' ( w ar u' ( w + ar rf ( r dr = E u + Viktig: Dette er forventningen av et produkt av R og u ' ( w + ar. Denne ite er ogå tokatik, fordi den er en funkjon av den tokatike R. Forventningen til et produkt av tokatike variabler er generelt ikke lik produktet av forventningene, men vi får ofte bruk for cov( X, Y E( XY E( X E( Y var( X cov( X, X E( X E( X 7

8 Samfunnøkonomi andre avdeling, mikroøkonomi, Diderik Lund, 3. mar 00 Porteføljevalg: Ett ikkert, ett uikkert verdipapir Førteordenbetingele E [ u' ( w + ar R ] = 0 Kan ikke finne noen ekpliitt løning for a Varian er hvordan a avhenger av utgangformuen w, og av annynlighetfordelingen til R da Skal her bare e på, peielt fortegnet for denne dw Totaldifferenierer førteordenbetingelen: E [ u' ' ( w + ar dw + E[ u' ' ( w + ar R ] da = 0 Likningen gir ammenhengen mellom må endringer dw, da om tilammen gjør at førteordenbetingelen fortatt er oppfylt, og kan omkrive da E[ u' ' ( w + ar = dw E[ u' ' ( w + ar R ] Nevner er forventning av noe negativt, derfor negativ da / dw har amme fortegn om E[ u' ' ( w + ar Må anta at R har utfall både > 0 og < 0 eller ville uikkert papir enten være alltid bet eller alltid dårligt Dermed ikke opplagt fortegn for E[ u' ' ( w + ar Vier: Fortegnet avhenger av om ARA, abolutt riikoaverjon, r( w = u' ' ( w / u' ( w, er vokende: da / dw < 0 hvi og bare hvi r ' ( w > 0 Uttrykt med ord, tilfellet r ' ( w > 0: Hvi formuen øker, vil riikoaverjonen voke, og optimal a avta 8

9 Samfunnøkonomi andre avdeling, mikroøkonomi, Diderik Lund, 3. mar 00 Porteføljevalg, bevi for ammenheng med r (w Skal vie at da dw [ ' ' ( w + ar ' ' ( w + ar R E u = > 0 r' ( w E u [ ] < 0 Må betemme fortegnet på telleren Bevi ho Varian er på utfallene for R hver for eg Ser ført på det ene tilfellet, r ' ( w < 0: For de poitive utfallene, R > 0, har vi r( w > r( w + ar = u' ' ( w + ar u' ( w + ar Multiplierer med R på begge ider av ulikheten Det betyr at u ' ' ( w + ar R > r( w u' ( w + ar R Det amme holder både for R < 0; den førte ulikheten blir nudd, men deretter multiplierer vi med noe negativt, og må nu ulikheten (tilbake igjen Dermed får vi, både for R > 0 og R < 0: [ u' ' ( w + ar > r( w E[ u' ( w + ar = 0 E, og beviet er fullført for r ' ( w < 0 Beviet for r ' ( w > 0 er helt tilvarende 9

10 Samfunnøkonomi andre avdeling, mikroøkonomi, Diderik Lund, 3. mar 00 Sikkerhetekvivalent ved CARA og normalfordeling (Varian avn..7 Ved makimering av forventet nytte E[ u( W ] : Sikkerhetekvivalenten w c til W definere ved E [ u( W ] = u( w c Avhenger av u ( og annynlighetfordeling for W Vanligvi ikke noe enkelt regneuttrykk for w c Men i noen tilfeller er det mulig å finne et likt uttrykk W ( w w / σ N ( w, σ, tetthet f ( w = ( σ π e rw Nyttefunkjon u( w e med r( w r, CARA Legg merke til: u -funkjonen kan gjerne være negativ Da finner vi = [ ( rw ( w w / ] = ( e ( σ π e σ dw E u W = ( σ π ( σ π e e ( w r( w rσ ww + w / e + σ rw / σ ( w ( w σ r dw / σ dw Den ite overgangen kaller Varian å complete the quare, og den ørger for at den førte ekponentialfunkjonen ikke inneholder w. Dermed kan den faktoriere ut av integralet. Det om tår igjen, er et integral av annynlighettettheten for N( w σ r, σ, om er lik, [ ( r( w rσ / ] = e = u( w rσ / E u W lik at w c = w rσ /, om betyr π = w c w= rσ /, i dette tilfellet ekakt, ogå for tor uikkerhet 0

11 Samfunnøkonomi andre avdeling, mikroøkonomi, Diderik Lund, 3. mar 00 Forventning-varian nytte (mean-variance utility (Varian avn..7 En peiell type preferaner under uikkerhet: Forventet nytte av W avhenger bare av to egenkaper ved W, forventning og varian Vokende i forventning, avtakende i varian Speielt lett å behandle matematik Kan begrunne på ulike vi, f.ek. ved at aktørene har begrenet rajonalitet, greier ikke ta flere egenkaper ved W i betraktning (om f.ek. kjevhet i fordeling Men kan ogå begrunne ut fra noen peielle nyttefunkjoner og/eller annynlighetfordelinger Med W N( w, σ og CARA, har vit at [ u( W ] u( w rσ / E =, der r måler riikoaverjon Åpenbart et peialtilfelle av forventning-varian nytte For øvrig er normalfordeling (uten CARA tiltrekkelig til at forventet nytte bare avhenger av forventning og varian: Hvi individet vet at alle alternativer er normalfordelte, vil forventning og varian være alt om killer dem fra hverandre Men CARA var nødvendig for det enkle uttrykket w c = w rσ / Et annet peialtilfelle: Kvadratik u( w = w bw Her blir E[ u( W ] = w be( W = w bw bσ, om ogå bare avhenger av forventning og varian