EKSAMEN I FAG SIF 4014 FYSIKK 3 Onsdag 2. desember 1998 kl

Transkript

1 Side av 7 NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under ekamen: Førteamanueni Knut Arne Strand Telefon: EKSAMEN I FAG SIF 44 FYSIKK 3 Ondag. deember 998 kl. 9-3 Hjelpemidler: B Typegodkjent kalkulator, med tomt minne, i henhold til lite utarbeidet av NTNU K. Rottmann: Matematik formelamling Oppgave Vi kal i førte del av oppgaven (dv. i pkt. a og b) betrakte bølger om forplanter eg lang en uendelig lang treng med kontant gitt mae pr. lengdeenhet µ og kontant gitt nortramming F T. For både pkt. a og b antar vi at utvingene er tranverale og å må (og at vi eller har like forhold) at bølgeligningen: D( x, x D( x, = K () t gjelder. I ligning () er D ( x, tranveralt utving for et trengelement med poijon x ved tiden t. K = µ / FT er en kontant. a) Vi betrakter ført en harmonik vandrebølge bekrevet ved: D( x, = D co( k x ω t + ϕ) () I ligning () er D ( x, tranveralt utving om ovenfor, D er bølgen amplitude, k = π / der er bølgelengden, ω = πν der ν er frekvenen, og ϕ en vilkårlig faekontant. For frekven ν = 9, - er bølgelengden =, m. Finn faehatigheten!

2 Side av 7 Vi ogå at det at en harmonik vandrebølge med vilkårlig frekven ν oppfyller bølgeligningen (), medfører at: ω = kontant k dv. at vi ikke har diperjon! b) Vi betrakter å en bølgepul (om betår av mange frekvenkomponenter), om forplanter eg på trengen. Vil denne bølgepulen forandre form men den forplanter eg bortover trengen? Begrunn varet! Hva er tallverdien til gruppehatigheten for denne bølgepulen? Vi betrakter i reten av oppgaven ynlig ly om forplanter eg i gla med brytningindek gitt ved: n =,59 + 4,68 5 m (3) der er bølgelengden til lyet i vakuum (bølgelengde i glaet blir da g = / n ). Det kan da vie (numerik, kal ikke vie her) og her benytte om kjent, at diperjon-relajonen for ly i glaet da kan uttrykke ved: ω = k A + Bk (4) der 9 5 A = 5,3 m og B =,65 m. c) Finn faehatighet og gruppehatighet til grønt ly med bølgelengde = 5, nm om forplanter eg i glaet! d) En lypul med pektralfordeling om dekker hele det ynlige området ( = 4 nm = 7 nm) generere ved inngangen til en, m lang og rettlinjet tav av gla med brytningindek om gitt ovenfor. Vi antar at gla-taven har å tort tverrnitt at lyet i gla-taven forplanter eg tilnærmet rettlinjet uten reflekjoner. Finn forkjellen i ankomttid ved utgangen av gla-taven for det førte røde ly (med = 7, nm) og det førte fiolette ly (med = 4, nm)!

3 Side 3 av 7 Oppgitt I denne oppgaven nytter vi for lyhatigheten c i vakuum: c = 3, 8 m/ Gruppehatighet v g er definert ved: dω v g dk dω Merk at når vi har diperjon, må ta for aktuell k-verdi! dk Oppgave Vi kal i førte del av denne oppgaven betrakte en planbølge med ly (om er lineærpolarier om kommer inn mot en kjerm A med to palter S og S. Interferenmønteret dannet av lyet om paerer S og S blir regitrert på en kjerm B (om om nødvendig kan være uendelig tor) plaert en avtand fra A, om vit på figuren nedenfor. Innkommende planbølge r P S r + r d S y x A B

4 Side 4 av 7 Vi antar at paltene S og S er like og å male at hver av dem (i amvar med Huygen prinipp) er utgangpunktet for en bølge med en halvirkel om tverrnitt. Dv. vi antar at bølgene fra de to paltene er ylinderbølger og at paltene er å lange at vi ikke har problem med ende-effekter der vi oberverer lyfordelingen på kjermen B. I hele oppgaven kal vi altå bare regne på det om kjer i det tverrnitt om papirplanet repreenterer, der bølgene fra S og S har halvirkler om bølgefronter. Vi antar for hele oppgaven at >> d lik at lytrålen fra S til et punkt P på B kan betrakte å være parallell med lytrålen fra S til P (uavhengig P plaering). Vi antar videre for pkt. a, b, c og d: Avtanden d mellom entrum av paltene er 5 µm, og i tillegg for pkt. a og b: Det innkommende lyet er fulltendig koherent og har bølgelengde = 5 nm. a) Finn et uttrykk for de bøyningvinkler om gir makimum intenitet (dv. entrum i de lye interferentripene) uttrykt ved og d! Finn tallvar for die bøyningvinklene (med oppgitte tallverdier innatt for og d )! (Merk at det ikke er tillatt å nytte det om er oppgitt i pkt. b for å løe dette oppgavepunktet.) De elektrike feltene henholdvi fra palt S og fra palt S, kan i et punkt P på obervajonkjermen (dv. at lyet er bøyd vinkelen ) uttrykke ved: E [ kr ω ϕ ] = E co t [ k( r + r ω ϕ] E = E co ) t der k = π /, ω er vinkelfrekvenen, ϕ er en faekontant (om vi ikke har betem, r er avtanden fra S til P og r + r er avtanden fra S til P. E og E er avhengige av henholdvi r og r + r. I pkt. b kal vi imidlertid betrakte å må at vi med god tilnærmele for dette punktet kan ette: E E E = (uavhengig P plaering på kjermen B)

5 Side 5 av 7 b) Utled at lyet intenitetfordeling på obervajonkjermen i y-retning er gitt ved: I = I co δ der I er inteniteten til lyet bøyd vinkelen, I er inteniteten i foroverretning (dv. for = ) og δ = kd in! Kontrollér at det er amvar mellom dette reultatet og det du fikk i pkt. a! Vi antar nå for pkt. c og d at innkommende lytråle ikke er fulltendig koherent. Vi antar fortatt at den innkommende trålen er fulltendig koherent over hele tverrnittet før den kommer inn mot paltene (og for pkt. d før den kommer til glaplater om plaere foran S ). Men vi antar nå at frekvenbredden til det innkommende lyet er endelig og at innkommende ly har en endelig koherenlengde c lik 5 µm. (Dv. at derom en kjenner faen i et punkt på innkommende tråle, å kan faen prediktere med noenlunde ikkerhet 5 µm i trålen forplantningretning, men ikke veentlig lengre.) Middelbølgelengden m lar vi fortatt være 5 nm. c) Vil interferenmønteret på obervajonkjermen B være annerlede når c = 5 µm enn om c = (dv. fulltendig koheren)? Hvi ja, forklar kvalitativt hvordan det er annerlede og hvorfor! I pkt. d kal vi la palten S være tildekket av glaplater (bare én om gangen) av forkjellige tykkeler (glaplatene plaere foran S, dv. på den iden av kjermen A om vender mot lykilden) men S ikke er tildekket. Vi antar at ideflatene til glaplatene er parallelle med hverandre og fulltendig plane. Vi er bort fra diffrakjon pga. kanten av en glaplate mellom S og S. Brytningindeken for glaplatene anta å være,5 (vi antar at vi kan e bort fra diperjon). d) Hvordan blir interferenmønteret (om regitrere på kjermen B) ammenlignet med det uten glaplate foran S om glaplaten foran S har tykkele om nedenfor angitt? ) 5 nm ) nm 3) 3 µm 4) µm

6 Side 6 av 7 Vi betrakter nå i tedet en plan elektron- bølge om kommer inn mot paltekjermen om vit ovenfor for lybølger. Vi vil da (under tilvarende antageler om ovenfor) i punktet P på kjermen (tilvarende bøyning en vinkel ) ha: Ψ = Ψ + Ψ der Ψ er bølgefunkjonen fra palt S og Ψ bølgefunkjonen fra palt S. Merk at Ψ er bølgefunkjonen for ett elektron. Vi antar altå ogå her at >> d og videre at vi betrakter å må at vi med god tilnærmele kan ette at Ψ og Ψ har amme amplitude ψ. Vi har da: Ψ Ψ = ψ e = ψ e i[ kr ω t ϕ ] i[ k( r+ r) ω t ϕ ] der k = π / = p / D (med D = h / π og h = 6,66-34 J), ω = E tot / D, p er bevegelemengden og E tot er totalenergien til ett elektron, r er avtanden fra palt S til punktet P, r + r er avtanden fra palt S til punktet P, og ϕ er en faekontant. e) Finn Ψ om funkjon av δ = kd in! Hva er i dette ekperimentet den fyike tolkningen av Ψ (ifølge Max Born annynlighet-interpretajon)? Oppgitt Inteniteten for en periodik elektromagnetik bølge i vakuum er gitt ved: I = ε ce der E er det elektrike feltet til bølgen, E er E midlet over en periode, ε er permittiviteten i vakuum og c er lyhatigheten i vakuum. Derom E = E co( ω t + ϕ ) der ϕ ' er en kontant (dv. uavhengig har vi: ' E = E Når lyhatigheten i vakuum kalle c, å er lyhatigheten (dv. faehatigheten for ly) c i et toff med brytningindek n gitt ved c = c / n, og derom vakuumbølgelengden er, å er bølgelengden i toffet gitt ved = / n. co a + b a b a + cob = co co, + coa = co a

7 Side 7 av 7 Oppgave 3 Vi betrakter et muon om ifølge en obervatør i ro på jorda, danne, 4 m over jorda overflate. Vi antar at levetiden til dette muonet (dv. tiden det ekiterer før det deintegrerer) i et referaneytem der det er i ro, er, 6. I hele denne oppgaven er vi bort fra den akelerajonen jorda har. Vi antar altå at vi tivt fetet til jorda, har et koordinatytem om er inertialt. Vi antar videre at muonet å lenge det ekiterer, har kontant hatighet med kontant retning mot jorda entrum. Finn minimal hatighet (ifølge en obervatør i jorda referaneytem) om gjør muonet i tand til å nå fram til jorda overflate før det deintegrerer! Finn ogå lengden av jorda atmofære om muonet har paert (lik, 4 m i jorda referaneytem), i muonet referaneytem! Oppgitt Anta at tidintervallet mellom to hendeler målt i et referaneytem (inertialytem) der hendelene kjer i amme rompunkt, er t. Da vil en obervatør i et annet referaneytem (inertialytem) med kontant rettlinjet hatighet u i forhold til det førte, måle tidintervallet t gitt ved: t = t u / c mellom de amme to hendelene. Lyhatigheten c er gitt ved: c =, m/ Anta at en måler lengden av et legeme i et referaneytem (inertialytem) der legemet er i ro, og finner lengden l. Da vil en obervatør i et referaneytem (inertialytem) med kontant rettlinjet hatighet u i forhold til det førte (u er antatt å ha amme retning om l ), måle lengden l gitt ved: l = l u / c