EKSAMENSOPPGAVE. Fys-2001 Statistisk fysikk og termodynamikk. Vil det bli gått oppklaringsrunde i eksamenslokalet? Svar: NEI Hvis JA: ca. kl.

Transkript

1 Fakultet for naturvitenkap og teknologi EKSAMESOPPGAE Ekamen i: Dato: Klokkelett: Fy-00 Statitik fyikk og termodynamikk Sted: Adm.bygget B.54 Tillatte hjelpemidler: Type innføringark (rute/linje): Antall ider inkl. foride: Kontaktperon under ekamen: Telefon/mobil: - Tabeller og formler i fyikk for FY og 3FY - K. Rottmann: Matematik Formelamling, - O. Øgrim: Størreler, enheter og ymboler i fyikken, - S. Barnett and T.M. Cronin: Mathematical Formulae, - C. ordling and J. Öterman: Phyic Handbook for Science and Engineering, - Formelark vedlagt ekamenoppgave - Enkel håndholdt kalkulator uten tilgang til ekternt nettverk. /A Åhild Fredriken il det bli gått oppklaringrunde i ekamenlokalet? Svar: EI Hvi JA: ca. kl. B! Det er ikke tillatt å levere inn kladdepapir om del av ekamenbevarelen. Hvi det likevel levere inn, vil kladdepapiret bli holdt tilbake og ikke bli endt til enur. Potbok 6050 Langne, Tromø / / potmottak@uit.no / uit.no

2 Oppgave. Figur. Syklik proe. i betrakter en yklik proe for én-atomær ideell ga. Proeen er vit i figur. Den betår av fire delproeer, der to av dem er adiabatike, en er iobar og en er iokor. Følgende ymboler er brukt for bekrive gatiltandene: pi, i, og Ti, der i =,, 3, 4. a) Oppgi hvilke av proeene om er iobar og iokor. Hva er entropiforandringen i gaen i proeene 3 4? b) Beregn entropiforandringene S3 og S4 for proeene 3 og 4. Bruk dette reultatet ammen med reultatet fra a) for å vie at TT = (.) γ TT γ, 3 4 der γ = 5/3 = Cp / Cv. c) Utled adiabatligningen d) Beregn varmen Q3 og Q4. T = T (.) γ γ e) i at virkninggraden for en varmekraftmakin om følger den yklike proeen ovenfor og har en ideell ga om arbeidubtan, er gitt ved: T e = γ T 4 ( T T ) 3 (.3) Page of

3 Oppgave. Et ytem er i termik kontakt med et reervoar med temperatur T, og antall partikler i ytemet er kontant. Sannynligheten for å finne ytemet i en tiltand med energi ε, er: P( ε ) = exp( ε / ) (.4) Z a) Hva er definijonene av Z? i at den midlere energien til ytemet kan krive om: E ln Z = T (.5) b) Hva er den midlere energien av et to-tiltandytem med energi 0 og ε, og hva er den midlere energien hvi de to tiltandene har energi ε og + ε? x x e e ( Hint: = tanh x x x e + e ) armekapaiteten til et ytem med kontant volum er gitt om: S C = T v T (.6) hvor S er entropien. c) Bruk denne ligningen ammen med den termodynamike identiteten: til å finne C for de to ytemene i b). TdS = du + pd (.7) Helmholz frie energi er definert om: d) i at entropien ved kontant kan krive om: F U TS (.8) F S = T (.9) og at Helmholtz frie energi kan krive om: F = ln Z (.0) Page 3 of

4 Oppgave 3. i vil nå tudere tråling fra et vart legeme i et ytem om inneholder en tor, vart, plan overflate med kontant temperatur Th (om i denne kontekten kan e på om et reervoar). En tynn vart, plan plate er plaert en liten avtand fra og parallelt med den førte overflata (e figur ). i antar at hele ytemet er plaert i vakuum. Tc Th Figur. Overflate og parallelt plan i termik likevekt. Merk: Figuren er kun en illutrajon og ymbolene antyder ikke faktike tørreler. a) Skriv opp likevekten for energifluken (uttrålt energi pr. areal og tid) inn og ut av den tynne platen når den er i termik likevekt med den varme overflata, og betem temperaturen Tc for den tynne plata. Finn energifluken ut av det kombinerte ytemet (utover fra den tynne plata). b) i tuderer et lignende ytem, med to tynne varte plater plaert parallelt med og nær den varme varte overflata med temperatur Th. Tegn en kie (tilvarende den i figur ) av ytemet. Betem likevekt-temperaturene Tc for den ytterte og Tm for den midterte plata, uttrykt ved reervoartemperaturen Th. Finn ogå energifluken ut av det kombinerte ytemet i denne konfigurajonen. c) For en foton-ga i termik likevekt inne i en vart bok med temperatur T kan energitettheten og entropitettheten uttrykke ved henholdvi: U ; S (.) hc 45hc Sammenlign verdiene U og S, blant annet ved å e på forholdet mellom dem. Betem entropifluken (entropi pr. areal og tid) ut av ytemene i a) og b), og ammenlign med tilvarende energifluk. Kommenter reultatet. Page 4 of

5 yttige formler for Fy-00 Ideell ga: P = ; P = nrt () U f (3) thermal Endring i indre energi: U QW (4) W = -P (5) f W P( ) d (6) i For adiabatik proe: f / T kontant (7) P kontant, der = f f (8) armekapaitet: Q C T c C m (9) - ved kontant volum C U T (0) U - ved kontant trykk C P P T T P P () -for ideell ga C C k () P Antall måter å velge n ut fra totalt objekter:! (, ) n n! n! n (3) Multipliitet for Eintein-krytall med ocillatorer og q energienheter:! (, ) q q q q q!! (4) Page 5 of

6 For et ytem med to tiltander, f.ek. and i paramagnet:! ( )!! (5) Multipliitet for ideell ga: h 3 / 3 mu 3! 3 /! (6) dv (,, ) ( ) 3 / U f U (7) Total multipliitet for to ytemer : Ωtot = ΩA ΩB (8) Stirling tilnærmele:! e eller ln! ln (9) Entropi: Entropi for ideell ga: S k ln (30) 3/ 4 5 ln mu S k 3 h (3) Q C dt Entropi-endring ved kontant volum: ds T T (3) Blandingentropi for to ulike gaer: S S S k ln (33) total A B ed termik likevekt mellom to ytemer: S A U A S U B B (34) Termodynamik identitet: du TdS Pd i d i (35) i Definijon av temperatur: Definijon av trykk: S T U, S P T U, (36) (37) Page 6 of

7 Definijon av kjemik potenial: irkninggrad varmemotor: S T U, (38) nytte W e = kot Q h Tc e (39) T h Coefficient of performance for kjølekap: COP nytte Q c kot W (40) T COP (4) T T c h c Entalpi: H U + P (4) Helmholz frie energi: F U TS (43) Gibb frie energi: G U TS+ P (44) T kontant: F UTS QWTS, F W, (45) GUTSP QWTSP, GWother, W P W other (46) GHT S (47) Termodynamike identiteter: dh TdS dp d (48) df SdT Pd d (49) dg SdT dp d (50) For flere partikkellag i: dg SdT dp idi (5) i Page 7 of

8 Gibb frie energi for flere partikkellag: G i i (5) i dp L Clauiu-Clapeyron-relajonen:, g l; L latent varme. dt T (53) an der Waal ligning: a P b (54) Boltzmann factor (BF) = e E( )/, E () energi for mikrotiltanden. E( )/ Sannynlighet for å finne en partikkel i tiltand : P () e (55) Z Partijonfunkjonen: E( )/ Z e (56) Midlere energi, én partikkel: E( ) Z E Ee ( ) ln Z, Z Z (57) Generell variabel: X X( ) X() e (58) Z Midlere energi, partikler: U E (59) Rotajonenergi, di-atomært molekyl: E(j)=j(j+)ε, j=0,,, ; ε en kontant inver proporjonal med molekylet treghetmoment. rot j( j) /, antall degenererte tiltander for nivå. (60) Z j e j j j0 Maxwell hatighetfordeling: 3/ m Dv () 4 mv / ve (6) Midlere hatigheter: 3 8 v rm ; v ; vmax m m m (6) Page 8 of

9 Helmholz frie energi def. ved partijonfunkjonen: F U TS ln Z (63) Partijonfunkjon for ammenatt ytem: Z ZZZ Z (64) Partikler om ikke vekelvirker og kan kjelne fra hverandre: tot 3 Partikler om ikke vekelvirker og ikke kan kjelne fra hverandre: Ztotal Z! (65) Partijonfunkjon for ideell ga: Én partikkel: Z ZtrZint (66) 3D: p p p Etr Z e (67) m m m v x y z Etr / ; tr Q Kvantevolumet: v Q 3 h = lq = π m 3 (68) Z Z n! v Q int (69) ( int ) ln Z = ln + ln Z ln ln v Q + (70) Gibb faktor: e ( E( ) ( ))/ (7) Sannynlighet for betemt mikrotiltand () e ( E( ) ( ))/ (7) Den tore partijonfunkjonen, Gibb um: E( ) ( ) / e (73) Gibb um for to partikler: ( ) ( ) ( ) E AA BB / e (74) Page 9 of

10 Fotoner momentum: p = h/ λ (75) Midlere fyllinggrader: Fermi-Dirac-fordelingen n FD = ( )/ e ε µ + (76) Boe-Eintein-fordelingen = n BE ( )/ e ε µ (77) Boltzmann fylling-fordeling ( )/ Bm (78) n e Fermi-energi og kjemik potenial: µ (T=0) = εf (79) Fermi-energi, 3D: F h 3 8m /3 (80) Midlere energi for elektroner i degenerert Fermi-ga: Ū = 3/5 ε F (8) Trykk i degenerert Fermi-ga: U P (8) D 3 Tiltandtettheter (antall enkelt-partikkeltiltander pr. energienhet): m 3/ 8 3 g() 3 3/ (83) h F Planck fordeling: n Pl h f / e (84) Planck pektrum: 8 u() 3 hc e 3 / (85) Planck trålinglov: 4 Effekt pr. arealenhet = T (86) Page 0 of

11 5 4 k 8 W Stefan-Boltzmann kontant: (87) 5hc mk Integraler: x e dx (88) 0 nxmax ny max nzmax nmax π/ π/ dnxdnydnz = n dn in θdθ dϕ, nmax = nxmax + nymax + nzmax (78) Rekkeutviklinger: x e + x, når x<< (89) xx x, x (90) x 3 Divere tilnærminger: ln( + x) x, x<< (9) Kontanter: me = e -3 kg e = Coulomb R = 8.3 J/(mol K) A = k = R/A =, J/K Page of