Oppgaver til Dynamiske systemer 1

Transkript

1 Oppgaver til Dynamike ytemer Oppgave 0. Lineariering av ulineær modell Likning (2.28) i læreboka er en dynamik modell av en tank med gjennomtrømning og oppvarming. Modellen gjengi her: cρv T (t) P (t)+cw(t)[t i (t) T (t)] (0.) Anta at c og ρ er kontante. Inngangvariablene er P, T i og w. a. Innfør følgende generelle variabelnavn: x T (0.2) u P (0.3) u 2 w (0.4) u 3 T i (0.5) Påvi at modellen da er ulineær. b. Finn verdien av x i det tatike arbeidpunktet gitt av at inngangvariablene har kontante verdier. c. Linearier modellen omkring et generelt tatik arbeidpunkt. Oppgave 0.2 Tranferfunkjonen for en (generell) differeniallikning Finn tranferfunkjonen H() fra u til x for følgende differeniallikning: a ẋ(t)+a 0 x(t) bu(t) (0.6) Oppgave 0.3 Karakteriering av tranferfunkjon Gitt tranferfunkjonen +3 H() a. Av hvilken orden er tranferfunkjonen? b. Skriv opp tranferfunkjonen karakteritike likning. c. Skriv opp tranferfunkjonen karakteritike polynom. d. Finn tranferfunkjonen poler og nullpunkter. e. Angi tranferfunkjonen på pol/nullpunktform. (0.7)

2 2 Oppgaver til Dynamike ytemer Oppgave 0.4 Tranferfunkjonen for en blandetank I ekempel 2 ide 20 ov. i læreboken ble den matematike modellen for en blandetank utviklet. Modellen er gitt ved likning (2.7) læreboken, men gjengi her: ċ A (t) V [w A(t) c A (t)q(t)] (0.8) Finn tranferfunkjonen H() fra w A til c A (antadaatq er en kontant). Oppgave 0.5 Tranferfunkjon for et ett av flere differeniallikninger Gitt modellen ẋ x 2 (0.9) ẋ 2 2x 3x 2 + u (0.0) y 3x + x 2 (0.) a. Finn tranferfunkjonen fra u til y ved å manipulere likningene ovenfor (formelen (3.38) kal ikke bruke). b. Finn modellen egenverdier. Er de identike med polene? Oppgave 0.6 Opptegning av blokkdiagram Gitt en termik proe med tranferfunkjonen H p () fra tilført effekt P til temperatur T : T () H p ()P () (0.2) der H p () b p (0.3) + a p Tranferfunkjonen fra temperaturen T til temperaturmålingen T m er H m (): T m () H m ()T () (0.4) der H m () b m (0.5) + a m a p, b p, a m og b m er parametre. a. Tegn et tranferfunkjonblokkdiagram for ytemet med P om inngangvariabel og T m om utgangvariabel. b. Finn tranferfunkjonen fra P til T m fra blokkdiagrammet du tegnet i deloppgave a.

3 Oppgaver til Dynamike ytemer 3 Oppgave 0.7 Bruk av Laplacetranformajonen definijon Finn den Laplacetranformerte, F (),avtidfunkjonen f(t) e t (0.6) Oppgave 0.8 Laplacetranformajon med bruk av formler Utfør Laplacetranformajon vha. formler i tabellene i vedlegg B i læreboken: a. y (t) 2(prang ved t 0) (0.7) b. y 2 (t) 4t (0.8) c. y 3 (t) 2+4t (0.9) Oppgave 0.9 Inver-Laplacetranformajon med bruk av formler Utfør inver-laplacetranformajon vha. formler i vedlegg B i læreboken: a. y () 5 b. c. Oppgave 0.0 (0.20) y 2 () 3 e 2 (0.2) 2 y 3 () 0 + Beregning av delrepon vha. tranferfunkjonen (0.22) Ekempel 3 ide 24 ov. i læreboken bekriver et termik ytem. Modellen, baert på energibalane, er gitt ved (2.28) i læreboken. Modellen gjengi her: cρv T (t) P (t)+cw [T i (t) T (t)] (0.23) Laplacetranformajon av denne modellen gir, e ekempel 22 ide 84 i læreboken, T () T P () z } { ρv ρv+ w T c 0 + ρv+ w P ()+ w ρv+ w T i() (0.24)

4 4 Oppgaver til Dynamike ytemer Anta at P () har den kontante verdien P for t 0, hvilket innebærer at, jf. (B.) i læreboken, P () P (0.25) Beregn det tilvarende bidraget T P (t) til den totale tidreponen T (t). Oppgave 0. Sluttverditeoremet Se oppgave 0.0. Den Laplacetanformerte av bidraget T P (t) til den totale tidreponen T (t) er T P () P () (0.26) ρv+ w Anta at P () har den kontante verdien P for t 0, hvilket innebærer at P () P (0.27) a. Beregn den tajonære verdien T P vha. luttverditeoremet. b. Det kan vie at tiduttrykket for T P (t) er T P (t) P ³ e t ρv/w (0.28) cw (jf. løningen til oppgave 0.0). Er det tajonære løningen om du kan beregne fra (0.28), lik den tajonære reponen om du beregnet med luttverditeormet i deloppgave a? c Oppgave 0.2 Statik tranferfunkjon I ekempel 2 ide 83 i læreboken er det utledet at tranferfunkjon for mae-fjær-ytemet bekrevet i ekempel 4 ide 28, er H() y() F () m 2 (0.29) + D + K f a. Finn ytemet tatike tranferfunkjon, H. b. Anta at kraften F F (kontant). Beregn den tatike reponen y vha. den tatike tranferfunkjonen funnet deloppgave a.

5 Del I Løninger Løning 0. a. Modellen er lineær bare derom den kan krive på formen (3.3) i læreboken. For ytemet i dette ekempelet blir (3.3) ẋ + a 0 x b u + b 2 u 2 + b 3 u 3 (0.30) Dengittemodellen(0.)kankriveom cρv ẋ(t) u (t)+cu 2 (t)[u 3 (t) x(t)] (0.3) om åpenbart ikke er på formen (0.30). Modellen er derfor ulineær (ikke lineær). b. Vi kan bruke ubindek for å angi tatik verdi. Vi etter den deriverte lik 0 i (0.3) og etter inn tatike verdier. (0.3) blir da 0u + cu 2 (u 3 x ) (0.32) om løt mhp. x blir x u 3 + u (0.33) cu 2 eller T T i + P (0.34) cw c. Ført krive modellen på tandardform (tiltandrommodellform): ẋ(t) cρv {u (t)+cu 2 (t)[u 3 (t) x(t)]} (0.35) {z } f(x,u,u 2,u 3 ) 5 Den lineære lokale modellen blir ẋ f x + f u + f u 2 + f u 3 (0.36) x 0 u 0 u 2 0 u 3 0 u 2 ρv x + cρv u + u 3 x u 2 + u 2 ρv ρv u 3 (0.37)

6 6 Oppgaver til Dynamike ytemer om kan krive på tiltandrommform med matrier og vektorer lik: x A x + B u (0.38) der x x (0.39) og og og h B u u u 2 (0.40) u 3 A u 2 ρv cρv u 3 x ρv u 2 ρv i (0.4) (0.42) Løning 0.2 Laplacetranformajon av differeniallikningen gir om løt mhp. x() gir a [x() x 0 ]+a 0 x() bu() (0.43) x() a b x 0 + u() (0.44) a + a 0 a + a {z 0 } H() Tranferfunkjonen fra u til x er da H() b a + a 0 (0.45)

7 Oppgaver til Dynamike ytemer 7 Løning 0.3 a. Orden: 2. b c d. Polene er og 2. Nullpunktet er 3. e. +3 H() ( +)( +2) (0.46) Løning 0.4 Laplacetranformajon av (0.8) gir omordneter c A () c A0 V [w A() c A ()q] (0.47) c A () Tranferfunkjonen er altå H() V+ q Løning 0.5 a. Fra ammenhengen y 3x + x 2 få at V V+ q c A 0 + w A () (0.48) V+ q {z } H() (0.49) y() 3x ()+x 2 () (0.50) Søker derfor x () og x 2 () uttrykt om funkjoner av u(). Laplacetranformajon av differeniallikningene gir (for enkelhet kyld er argumentet løyfet nedenfor) Eliminajon av x 2 gir Eliminajon av x gir x x 2 x 2 2x 3x 2 + u x () x 2 () 2 u() (0.5) u() (0.52) +3 +2

8 8 Oppgaver til Dynamike ytemer Får da y() 3x ()u()+x 2 ()u() (0.53) u()+ 2 u() (0.54) +3 2 u() +3 {z +2 } (0.55) H() Tranferfunkjonen er altå H() (0.56) b. Polene er røttene i nevnerpolynomet i tranferfunkjonen funnet i oppgave a, dv. løningen av den karakteritike likning: om har løningene, dv. polene, Modellen egenverdier finne fra (0.57) p, p 2 2 (0.58) det(λi A)! 0 µ λ 0 0 det 0 λ 2 3 λ det 2 λ +3 λ 2 +3λ +2 (λ +)(λ +2) (0.59) Egenverdiene er λ, λ 2 2 (0.60) Egenverdiene er altå identike med polene. Løning 0.7 Vi etter f(t) e t inn i (3.77) i læreboka:

9 Oppgaver til Dynamike ytemer 9 L{e t } Z 0 Z 0 e t e t dt e (+)t dt ( +) [0 ] ( +) + he (+)ti t t0 Løning 0.8 a. (B.2) og (B.) gir y () 2 (0.6) b. (B.2) og (B.2) gir y 2 () 4 2 (0.62) c. (B.) og (B.2) gir y 3 () (0.63) Løning 0.9 a. (B.2) og (B.) gir b. (B.2), (B.3) og (B.3) gir y (t) 5prangmedhøyde5vedt 0) (0.64) y 2 (t) 0, 5(t 2) 2,y 2 (t) 0for t<2 (0.65) c. (B.2) og (B.4) gir y 3 (t) 0, 2e 0,t (0.66) Løning 0.0

10 0 Oppgaver til Dynamike ytemer Fra (0.24) har vi T P () c P () (0.67) ρv+ w c ρv+ w P om, inver-tranformert vha. (B.) og (B.6), gir T P (t) P ³ e t ρv/w cw (0.68) (0.69) Løning 0. a. Sluttverditeoremet gir T P lim t T P (t) lim 0 " T P () c P ρv+ w # lim c P 0 ρv+ w P cw (0.70) b. T P lim T P (t) P ³ e t ρv/w P t cw cw ( 0) P (0.7) cw om er amme var om funnet med luttverditeoremet. Løning 0.2 a. Den tatike tranferfunkjonen er H lim H() 0 m 2 (0.72) + D + K f K f (om er et rimelig reultat da poijonenerlikkraftendividertmed fjærkontanten, tatik ett). b. y kan beregne ved y H F F K f (0.73)