TALM 1004 Matematikk 2-Eksamen mandag 4.mai 2015 LØSNING. 5 klokketimer TALM1004-A. Matematikk 2. Kåre Bjørvik. Kalkulator: Type C

Transkript

1 HØGSKOLEN I SØR-TRØNELG vdeling for teknologi Kandidatnr: Ekamendato: Varighet/ekamentid: Emnekode: Emnenavn: LØSNING 5 5 klokketimer TLM- Matematikk Klae(r): Studiepoeng: EL FEN Faglærer(e): Hjelpemidler: Oppgaveettet betår av: Kåre Bjørvik Kalkulator: Type lt kriftlig materiale ider med flervalgoppgaver. På ide finner du varkupongen om du kal fylle ut. en enkelte tudent må elv kontrollere at dette temmer. Vedlegg betår av: Merknad: Oppgavetekten kan beholde av tudenter om itter ekamentiden ut. Lykke til! Le dette før du begynner. Ekamen betår av flervalgoppgaver, 5 fra caen og 5 fra penum, om kal bevare uten begrunnele. Hver oppgave har varalternativer, kalt, B, og. u kan ogå velge ikke å vare på oppgaven. Galt var gir poeng, ubevart gir poeng og riktig var gir poeng. Skriv dine var (én boktav for hvert pørmål og blankt derom ubevart) på den vedlagte varkupongen. et er bare varkupongen om kal innlevere. Hvi du vil ha en "gjenpart" av varkupongen, må du overføre varene dine til et eget ark.

2 Oppgave Forenklet modell av hjulopphenget En kunde ønker at den relative dempekoeffiienten kal være lik en tøtdemper med dempekontant 6 N m 5 N m B N m d 6 k 6 ζ m. erom en benytter må fjærkontanten til fjæra være lik 5 N m 6 N m Oppgave Forenklet modell av hjulopphenget En kunde ønker at den relative dempekoeffiienten kal være lik og at den udempede reonanfrekvenen kal være lik 6 rad. empekontanten til tøtdemperen må da være lik 96 N m B 9 N m d ζ mω N m 8 N m Oppgave Forenklet modell av hjulopphenget erom en benytter ei fjær med fjærtivhet på N og en tøtdemper med m dempekontant på N, vil den relative dempekoeffiienten være lik m, B, 5, 5,75 d ζ,5 m k Oppgave Forenklet modell av hjulopphenget Hjulopphenget er dimenjonert lik at overføringfunkjonen kan krive om, 5 + H ( ), 75 +, 5 + Forterkningen til overføringfunkjon ved vinkelfrekvenen ω ω er lik db B db 6 db db, 75 ω ω + j H( jω ) j H( jω ) ( ) + ( ) 6dB j

3 Oppgave 5 Forenklet modell av hjulopphenget Gitt amme overføringfunkjon om i oppgave. Faen til overføringfunkjon ved vinkelfrekvenen ω ω er lik 9 B 6 5 ( ) H ( jω ) j H ( jω ) arctan 6 Oppgave 6 Forenklet modell av hjulopphenget Noen makintudenter har dimenjonert hjulopphenget etter itt eget ønke. Hjulopphenget blir påtrykt et prang på,m, og karoeriet bevegele er vit i figuren under. Relativ dempningkoeffiient til hjulopphenget er:.6 Step Repone....8 mplitude Time.8 (econd)...6 B, 5, 5, Opparbeidet erfaring tilier at en lik ocillajon tilvarer ca.,5 i relativ d.koeffiient Oppgave 7 Forenklet modell av hjulopphenget Noen fornybartudenter har dimenjonert hjulopphenget etter itt eget ønke. Hjulopphenget blir påtrykt et inuignal med amplitude,5m, og karoeriet bevegele (rød kurve) er vit i figuren under. Faen til hjulopphenget overføringfunkjon for denne vinkelfrekvenen er: 6 B 9 5

4 Tidforkyvningen mellom ort og rødkurve (tajonært) er ca. /6 periode 6 grader Oppgave 8 Forenklet modell av hjulopphenget et periodike firkantignalet med amplitude og periode T om er vit i punkt.8 i caen, kan rekkeutvikle i ei Fourierrekke på formen ( ω ) ( ω ) ( ω ) ( ω ) f ( t) b in t + b in t + b in 5 t + b in 7 t erom du etter inn t T i Fourierrekka, konvergerer ummen av den uendelige rekka mot T f B π π Oppgave 9 Forenklet modell av hjulopphenget rad Hjulopphenget er dimenjonert lik at ζ og ω 5. et periodike firkantignalet, med amplitude,5 m og med vinkelfrekven ω 5 rad, påtrykke hjulopphenget. mplituden til den.harmonike komponenten i utgangignalet er da tilnærmet lik:, 55 cm B, 5 cm, cm, 7 cm + + j j H j j ,5 H. H amplitude b, 7,7cm π Oppgave Forenklet modell av hjulopphenget Noen elektrotudenter har dimenjonert hjulopphenget. Bodediagrammet til overføringfunkjonen er vit i figuren under. Overføringfunkjonen har en knekkfrekven i ω + ω er lik telleren og en i nevneren. Summen av knekkfrekvenene ( ) k k Bode iagram M agnitude (db ) - - P ha e (deg) Frequency (rad/) rad B rad rad 7 rad

5 en ene knekkfrekvenen er åpenbart, og den andre (den i telleren) er en del tørre. erom du regner ut amplituden eller faen for f. ek. frekvenen, vil du e at knekkfrekvenen i teller må være rundt 5. Oppgave Mer nøyaktig modell av hjulopphenget en matematike modellen for hjulopphenget kan krive på tiltandromformen: dx x + B u dt y x + u En ønker å måle både den vertikale poijonen til karoeriet ( y x ) og hatigheten til karoeriet vertikale bevegele ( y x ). Målematria har da dimenjonen B To målinger og fire tiltander gir dimenjonen *. Oppgave Mer nøyaktig modell av hjulopphenget en matematike modellen for hjulopphenget kan krive på tiltandromformen: dx x + B u, y x + u dt k k k k m m k k m m m m kk k m k + k m k k + k m m k k + k m m m m Støtdemperen ryker, dv. dempekontanten d. eterminanten til - matria blir da k kk B m m m Oppgave Mer nøyaktig modell av hjulopphenget Hjulopphenget er dimenjonert om bekrevet i punkt.. Hjulopphenget blir påtrykt et inuignal. Forterkningen til overføringfunkjonen for vinkelfrekvenen rad lik db B 6 db 8dB db er tilnærmet 5

6 Oppgave Mer nøyaktig modell av hjulopphenget Hjulopphenget er dimenjonert om bekrevet i punkt.. Hjulopphenget blir påtrykt et inuignal med amplitude,5 m og med frekvenen, 6 Hz. Karoeriet tajonære bevegele kan da tilnærmet uttrykke ved funkjonen y,6 in ( π,6 t) [ cm] B ( π ) y,6 in,6 t [ cm] y,6 co ( π,6 t) [ cm] ( π ) y,6 co,6 t [ cm],6hz tilvarer 6, rad/. Utgangignalet ligger ca. 9 grader etter inngangignalet. in(x-9) - co(x) 6

7 Oppgave 5 Mer nøyaktig modell av hjulopphenget Modellen utvide med jåføren om itter i et ete med fjæring. En ønker å måle den vertikale poijonen til karoeriet, den vertikale hatigheten til karoeriet og den vertikale poijonen til jåføren. Målematria har da dimenjonen B 6 6 Tre målinger og ek tiltander gir dimenjonen *6. Oppgave 6 hapter Ordinary differential equation II Et dynamik ytem kan bekrive ved ligningene: dx dx dx 8 x + x, 7 x + x + u, x + u, y x + x dt dt dt 8 λ λ 7 λi 7 λ ( 8 λ) ( 8 λ) ( λ ) (7λ + ) λ λ λ ,, λ λ λ λ,, En av egenverdiene til det dynamike ytemet er lik -5. Summen av egenverdiene er -5 B - 8 Oppgave 7 hapter Ordinary differential equation II Samme dynamike ytem om i oppgave 6. Pådragmatria B er gitt ved B B B B B [ ] 7

8 Oppgave 8 hapter Ordinary differential equation II Samme dynamike ytem om i oppgave 6. Sytemet påtrykke et enhetprang i pådraget u ved t. Hva blir tajonærverdien til målingen y?, B,,6 5,8 8x + x x, 7x + x + x + x, y x + x,6 Oppgave 9 hapter Ordinary differential equation II Samme dynamike ytem om i oppgave 6. Sytemet påtrykke et enhetprang i pådraget u ved t. lle tiltander er lik før pådraget påtrykke. erom du benytter Euler numerike metode med teglengde, ekund til å løe differenialligningytemet, blir verdien på målingen y etter to iterajoner lik, B,5,,5 8x + x xn xn h f n, der f + 7x x + + +, f x +,, x x, f,, + +, x x + f, +,,,,,, y x + x,5 Oppgave hapter The Laplace tranform Gitt tidignalet y(t):

9 Laplacetranformajonen til tidignalet y(t) er gitt ved ( ) ( Y e e + ) B Y ( ) ( + e e ) ( ) ( Y e e + ) ( ) ( Y + e e ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y( t) t + t h t t h t Y + e e Oppgave hapter The Laplace tranform Gitt overføringfunkjonen + ( + ) ( + ) H( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) co in t h e t t Inver Laplacetranformajonen til H() gir tidfunkjonen h( t) e co( t) in( t) t B h( t) e e t t h t e t t ( ) co( ) t h( t) e ( co( t) + in( t) ) Oppgave hapter The Laplace tranform Y ( ) H ( ) X ( ) + +. Y + + X y + y + y x ( ) y '' y ' y x B y '' y ' y y '' + y ' + y y '' + y ' + y x Oppgave hapter The Laplace tranform Enhetprangreponen til en overføringfunkjon H() er vit i figuren under. Hvilken overføringfunkjon paer til en lik enhetprangrepon? H ( ) +, 5 + B H( ) ,5 H( ) H( )

10 Step Repone.5.5 mplitude Time (econd) orden ytem, ocillerende (kompleke poler) og riktig tart- og luttverdi. Kun B om er aktuell kandidat. Oppgave Notat: Frekvenanalye Bodediagrammet til et dynamik ytem er vit i figuren under (amplitude i db øvert og fae i grader nedert). Hvilken overføringfunkjon paer til dette Bodediagrammet? Bode iagram H ( ) B H ( ) H ( ) H ( ) orden ytem, kompleke poler, knekkfrekven i teller (.orden) og knekkfrekven i nevner (.orden). Kun om er aktuell. Oppgave 5 hapter Fourier erie Gitt følgende periodike ignal f(t): Frequency (rad/)

11 Gjennomnittverdien til ignalet f(t) er B 5 Periode T og areal over en periode ½. et gir et gjennomnitt på ¼. Oppgave 6 hapter Fourier erie Samme periodike ignal om i oppgave 5. mplituden til den førteharmonike komponenten i ignalet er lik π B π π + π π + π a ( t ) co( πt) dt ( t ) in ( πt) in ( πt) dt + co( πt) π π π π b ( t ) in ( πt) dt ( t ) co( πt) co( πt) dt π + + π π π a + π + π π π π π + b + Oppgave 7 hapter 8 Taylor polynomial, Taylor erie and MacLaurin erie z H ( z), H ( ) z ( z ) z H ( z), H () z z ( ) ( ) H ( z), H () ( z ) z H ( ) + H z + H z + z z z z! () ()......

12 MacLaurinrekka til H(z) er gitt ved z z z z... B z z z z... z z z... z + z z + z... Oppgave 8 hapter 8 Taylor polynomial, Taylor erie and MacLaurin erie Stefan lov ier noe om hvordan temperaturen til et legeme endrer eg om funkjon av tiden, og er gitt ved den ulineære differenialligningen dt dt ( T ) k T ( ) ( ) ( ) T T T T + T T T T T T T T dt kt T T dt ( ) T temperaturen til legemet T temperaturen rundt legemet (omgiveletemperaturen) k kontant ifferenialligningen kal lineariere omkring arbeidpunktet T T, og den linearierte differenialligningen kan da krive om dt dt ( T T ) α Kontanten α er gitt ved kt B kt kt kt Oppgave 9 hapter 5 Function of everal variable Funkjonen f ( x, y) x + 6xy y 5x f 6x + 6y 5, f xy 9y x y x, y gir for begge partiell deriverte har flere tajonære punkter. Et av de tajonære punktene er (, ) B (, 5) (5, 5) (, )

13 Oppgave hapter 5 Function of everal variable Funkjonen f ( x, y) x + 6xy y 5 x f ( x, y) x + 6xy y 5x f 6x + 6y 5, f xy 9y x y x 5, y gir for begge partiell deriverte f x 6, f x 8y 6, B f y xx yy xy B og Makimum 6 > < har flere tajonære punkter. Punktet (-5, ) er et Minimum B Makimum Sadelpunkt Ingen av forlagene, B eller er riktig