HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

Transkript

1 HØGSKOLEN I SØR-TRØNELG vdeling for teknologi Kandidatnr: Ekamendato: Varighet/ekamentid: Emnekode: Emnenavn: LØSNING Mandag 4.. klokketimer TLM4- Matematikk Klae(r): Studiepoeng: EL FEN Faglærer(e): Hjelpemidler: Oppgaveettet betår av: Kåre Bjørvik Kalkulator: Type lt kriftlig materiale ider med flervalgoppgaver. På ide finner du varkupongen om du kal fylle ut. en enkelte tudent må elv kontrollere at dette temmer. Vedlegg betår av: Merknad: Oppgavetekten kan beholde av tudenter om itter ekamentiden ut. Lykke til!

2 Oppgave En kunde ønker at den relative dempekoeffiienten kal være lik. erom en benytter ei fjær med fjærtivhet på 6 N, må dempekontanten til tøtdemperen være tilnærmet lik m 848 N m B 6 N m 44 N m N m d ς k m Oppgave En kunde ønker at den relative dempekoeffiienten kal være lik. erom en benytter ei fjær med fjærtivhet på 6 N, blir hjulopphenget udempede reonanfrekven tilnærmet m lik 8 rad B rad rad 4 rad k 4,4 ω m Oppgave erom en benytter ei fjær med fjærtivhet på 6 N og en tøtdemper med dempekontant m på 6 N, vil ummen av polene ( m + ) til overføringfunkjonen være lik B j j + + ±, + Oppgave 4 Støtdemperen i bilen har gått i tykker, dv. dempekontanten d. en udempede reonanfrekvenen blir målt til å være rad. Fjærkontanten til fjæra må da være lik N m k mω 7 B 7 N m N m N m

3 Oppgave Hjulopphenget er dimenjonert etter peifikajonene om er gitt i caen, punkt.. Forterkningen til overføringfunkjonen H ( jω) for vinkelfrekvenenω rad, er lik B 4 + j H( j), + j + + j ( j ) Oppgave 6 Noen makintudenter har dimenjonert hjulopphenget etter itt eget ønke. Hjulopphenget blir påtrykt et prang på,m, og karoeriet bevegele er vit i figuren under. Relativ dempningkoeffiient til hjulopphenget er:. Step Repone.8.6 mplitude.4. 4 Time (econd) 6 8 B,,, Oppgave 7 Noen fornybartudenter har dimenjonert hjulopphenget etter itt eget ønke. Hjulopphenget blir påtrykt et inuignal med amplitude,m, og karoeriet bevegele er vit i figuren under. Forterkningen til hjulopphenget overføringfunkjon for denne vinkelfrekvenen er:

4 db B db 4 db db H Y,, 4 db U, Oppgave 8 et periodike firkantignalet med amplitude, m, om er vit i punkt.8 i caen, kan rekkeutvikle i ei Fourierrekke på formen ( ω ) ( ω ) ( ω ) ( ω ) f ( t) b in t + b in t + b in t + b in 7 t +... b7 Forholdet b 7 7 er lik B 7 7 b b Oppgave 9 Hjulopphenget er dimenjonert etter peifikajonene om er gitt i caen, punkt.. et periodike firkantignalet, med vinkelfrekvenen ω, påtrykke hjulopphenget. ndelen av den 7.harmonike komponenten i Fourierrekka om en finner igjen i karoeriet bevegele er da tilnærmet lik: rad 9 % B % % 7 % + j,, Frekven ω 7, H( j),, + j, + 8,8 ( j ) 4

5 Oppgave Hjulopphenget er dimenjonert etter peifikajonene om er gitt i caen, punkt.. Karoeriet bevegele, når hjulopphenget blir påtrykt et periodik firkantignal med amplitude,m, er vit i figuren under. Vinkelfrekvenen til firkantignalet er:, rad B rad rad rad Med ω rad vil.,. og. harmonike lippe igjennom fullt ut, og plottet tilier nettopp det. Med ω, rad vil alle overharmonike opp til ca. lippe igjennom fullt ut, og da burde utgangignalet ha vært mer likt et firkantignal. Oppgave Mer nøyaktig modell av hjulopphenget en matematike modellen for hjulopphenget kan krive på tiltandromformen: dx x + B u y x + u imenjonen til matrien er: B En måling og et pådrag tilier dimenjonen * på matrie.

6 Oppgave Mer nøyaktig modell av hjulopphenget en matematike modellen for hjulopphenget kan krive på tiltandromformen: dx x + B u y x + u Matriemultiplikajonen B gir reultatet k m B k m Ikke definert B har dimenjonen 4* og har dimenjonen *4, og da blir dimenjonen til B 4*4. Oppgave Mer nøyaktig modell av hjulopphenget Hjulopphenget er dimenjonert om bekrevet i punkt.. Hjulopphenget blir påtrykt et inuignal med amplitude,m og vinkelfrekven lik 4 rad. mplituden til den tajonære vingningen til karoeriet er tilnærmet lik:,8 mm B,8 mm,mm, mm Leer av Bodediagrammet : H ( j4) db,6 mplitude på y ( tajonært ),,6,8mm Oppgave 4 Mer nøyaktig modell av hjulopphenget Hjulopphenget er dimenjonert om bekrevet i punkt.. Hjulopphenget blir påtrykt et inuignal. Ved tilnærmet hvilken vinkelfrekven ligger karoeriet tajonære bevegele etter inngangignalet? rad B 4 rad rad 8 rad Leer av Bodediagrammet : H for ω 6

7 Oppgave Mer nøyaktig modell av hjulopphenget Hjulopphenget er i utgangpunktet dimenjonert om bekrevet i punkt., men en elktrotudent har byttet ut en komponent i hjulopphenget. Hjulopphenget blir påtrykt et prang på, m ved t, og karoeriet bevegele er vit i figuren under: Step Repone.6.4 mplitude.. Time.4 (econd).6.8 Hvilken komponent er byttet ut? B Fjæra er byttet med en annen med dobbel å tor fjærkontant Fjæra er byttet med en annen med halvparten å tor fjærkontant Støtdemperen er byttet med en annen med halvparten å tor dempekontant Støtdemperen er byttet med en annen med dobbel å tor dempekontant Når dempekontanten i tøtdemperen doble, vil reponen bli rakere og med mindre overving ( ω og ς øker) 7

8 Oppgave 6 hapter Ordinary differential equation II Et dynamik ytem kan bekrive ved ligningene: dx x dx x dx x x x + u y x x Ligningene til det dynamike ytemet kan krive på matrieformen d x x + Bu y x + u Sytemet har tre egenverdier og en av egenverdiene er λ. e andre egenverdiene til ytemet er og - B - og - ± j ± j λ λ λi λ λ + λ + λ + λ + λ + λ + λ + ( λ + )( λ + λ + ) egenverdier, ± j Oppgave 7 hapter Ordinary differential equation II Samme dynamike ytem om i oppgave 6. Målematria er gitt ved [ ] B [ ] Ei måling og tre tiltander tilier at dimenjonen til må være * Oppgave 8 hapter Ordinary differential equation II Samme dynamike ytem om i oppgave 6. Sytemet påtrykke et enhetprang i pådraget u ved t. Hvor lang tid, angitt i ekunder, tar det før målingen y er blitt tilnærmet tajonær?, B et komplekkonjugerte paret har realdel -,, dv at tidkontanten er ek, og fem tidkontanter er ek. 8

9 Oppgave 9 hapter Ordinary differential equation II Samme dynamike ytem om i oppgave 6. Sytemet påtrykke et enhetprang i pådraget u ved t. lle tiltander er lik før pådraget påtrykke. erom du benytter Euler numerike metode med teglengde ekund til å løe differenialligningytemet, blir verdien på tiltanden x etter to iterajoner lik B -6 x xn xn h f n, der f x + +, f x x x + u x x f + +, x x + f + Oppgave hapter The Laplace tranform Gitt tidignalet y(t): Laplacetranformajonen til tidignalet y(t) er gitt ved 4 8 e e Y ( ) B Y ( ) 6 e e Y ( ) + e 4 8 Y ( ) e e 4 8 y heaviide( t 4) heaviide( t 8) Y e e 4 8 9

10 Oppgave hapter The Laplace tranform Gitt overføringfunkjonen H ( ) + Inver Laplacetranformajonen til H() gir tidfunkjonen h( t) + co( t) + in( t) B h( t) + co( t) t h( t) + in( t) h( t) + e + te t B + + H ( ) h( t) + co( t) + in( t) Oppgave hapter The Laplace tranform Y ( ) + Gitt overføringfunkjonen H ( ). Overføringfunkjonen påtrykke et X ( ) + enhetprang ved t, dv. x(t). Når t går mot uendelig vil y(t) konvergere mot - B konvergere mot konvergere mot divergere (gå mot uendelig) Pol i høyre halvplan, dv. utabilt ytem Oppgave hapter The Laplace tranform Enhetprangreponen til en overføringfunkjon H() er vit i figuren under. Hvilken overføringfunkjon paer til en lik enhetprangrepon? H ( ) B H ( ) H ( ) H ( ) (econd) B og har riktig tart- og luttverdi, men B har reelle poler. Riktig var er derfor.

11 Oppgave 4 Notat: Frekvenanalye Bodediagrammet til et dynamik ytem er vit i figuren under. Hvilken overføringfunkjon paer til dette Bodediagrammet? Bode iagram Magnitude (db) - -4 Phae (deg) Frequency (rad/) H ( ) H ( ) B H ( ) H ( ) B og har riktig forterkning ved lave frekvener (ett ), 4 db, men har feil knekkfrevener. Riktig var er B. Oppgave hapter Fourier erie Gitt følgende periodike ignal f(t): en periodike funkjonen f(t) er aboluttverdien til en inufunkjon (dobbel likeretting). Gjennomnittverdien til ignalet f(t) er 4 B, f 4 in( / t)

12 Oppgave 6 hapter Fourier erie Samme periodike ignal om i oppgave. mplituden til den tredjeharmonike komponenten i ignalet er lik 4 B 8 8 in( / ) co( ) a t t Oppgave 7 hapter 6 Sequence and erie Et erielån, dv. et lån der en betaler et kontant avdrag og påløpte renter på retlånet, kal nedbetale over 4 år. Lånebeløpet er 8 millioner kroner, renten er, % i hele perioden og det er årlige innbetalinger (en innbetaling per år). Innbetalingbeløpet i år er 4 kr B 6 kr 4 kr kr 8 mill ', R 8 mill, ' 4 R 7,8 mill `, 9' 4' + 9' + 9' + 8' + 8' + 7' + 7' + 6' + 6' + ' + ' + 4' +... Oppgave 8 hapter 8 Taylor polynomial, Taylor erie and MacLaurin erie Sannynlighettetthetfunkjonen til tandardiert normalfordeling er gitt av funkjonen x f ( x) e. Ta med de førte tre leddene i MacLaurinrekka til f(x) til å betemme en x tilnærmet verdi til integralet e dx (annynligheten for at en ligger innenfor et tandardavvik). en tilnærmede verdien blir, 878 B, 7,78, 6849 x 4 x x x x x e + x + x +..., e !! 8 x x x x + dx x,,

13 Oppgave 9 hapter 8 Taylor polynomial, Taylor erie and MacLaurin erie Hatigheten til en båt er gitt av differenialligningen dv m -dv + F m Maen til båten[kg], d Vannmottandkontant m, d, F 4 N m ( ), F Skyvkraft fra propellene [N] iffereniallikningen kal lineariere omkring den tajonære hatigheten til båten. Hva blir tidkontanten, angitt i ekunder, til den linearierte differeniallikningen? B 7 dv F v d + ( ) v v v dv dv dv m d(v ) + F m + dv F + d + v λ λ τ λ +, 4 Oppgave hapter Function of everal variable Tre poler på, 4 og 9 Henry kople i parallell. Toleranene er på henholdvi, og proent. Benytt totalt differenial til å betemme amlet induktanverdi til parallellkoplingen med uikkerhet. Løningen kan krive på formen L L ± L. en relative uikkerheten til induktanverdien L, [%], blir L, % B,%,68%,% L + +, 44 L L L L + + Li Li L L L Li (, 44) L L L ( ) L L L L L + L + L, 44, +,8 +, 7,49 L,68% L