TALM1003-A Matematikk 1 Grunnlagsfag - 10 studiepoeng

Transkript

1 HØGSKOLEN I SØR-RØNDELAG Avdeling for teknologi Progra for elektro- og datateknikk 7004 RONDHEIM ALM1003-A Mateatikk 1 Grunnlagfag - 10 tudiepoeng Cae: Regulering av vækenivået i en tank Høt 013 Le dette ført Caen er en "hjeeoppgave" o du kal arbeide ed før ekaen Reultatet av arbeidet kal ikke innlevere 50 % av ekaen vil betå av oppgaver i tilknytning til caen Under denne delen av ekaen er caetekten og din bevarele nødvendige hjelpeidler Huk derfor å ta ed både caetekten og bevarelen på ekaendagen Det er viktig at du før ekaen etter deg go inn i caen probletillinger, og at du beherker løningetodene og er i tand til å tolke de reultatene du koer fra til Hvi du i en flervalgoppgave blir purt o ting du ikke har regnet direkte på, bør du være klar over at varalternativene ofte er utforet lik at du likevel kan avgjøre hvilket alternativ o er riktig, ut fra den generelle innikt du har fått gjenno arbeidet ed caen Under arbeidet ed caen kan du bruke de hjelpeidler du finner henikteig (kalkulator /progravare) Vær iidlertid opperko på at noen av pørålene på ekaen kan forutette at du vet hvordan et proble fra caen kan løe for hånd Du kan arbeide alene ed caen, eller aen ed andre Det avgjørende er at du elv tilegner deg innikt i probleene Lykke til ed arbeidet! Caetekten på de nete idene inneholder begrepene volutrø, tajonær verdi, tidkontant og periode Hvi du leer notatet "Hjelp til caen", o du finner bakert, får du en kort forklaring på hva die begrepene tår for

2 ALM1003-A Mateatikk 1, Cae høt apping av væke fra en tank x0 x(t) q(t) Figuren vier en åpen tank ed kontant tverrnitt A [ ] og vækenivå x 0 [] Kranen åpne ved t = 0 og tapping av væke begynner Volutrøen q [ 3 /] gjenno kranen er proporjonal ed kvadratroten av vækenivået x[], dv. q k x, k = proporjonalitetkontant a) Sett opp differeniallikningen for vækenivået x(t) i tanken b) Lø differeniallikningen c) Bete tiden det tar å tøe tanken, uttrykt ved A, k og x 0 5 1, 0, d) Skier for hånd forløpet til x(t) når A k og x e) egn eleentært blokkkjea og legg yteet inn i Siulink, og iuler nivået x(t) for ulike verdier på A (halver og doble A en k er kontant) og k (halver og doble k en A er kontant). Proporjonalregulering av vækenivået i tanken Se figuren nedenfor anken forbinde ed et tort vækereervoar appekranen fjerne og en pupe kople til utløprøret Mello reervoaret og tanken ontere en elektrik reguleringventil o tyre av en dataakin Dataakinen får løpende inforajon, via en nivååler, o vækenivået i tanken Etter at operatøren har krevet inn et ønket vækenivå r [] for tanken, ørger dataakinen for å åpne reguleringventilen lik at det går en tilpaet volutrø z(t) [ 3 /] gjenno reguleringventilen Vi antar at reguleringen av ventilen kjer kontinuerlig og oentant, uten tidforbruk i dataakinen

3 ALM1003-A Mateatikk 1, Cae høt Den enklete foren for autoatik regulering av ventilåpningen er en åkalt P-regulator (proporjonalregulator) Volutrøen ut av reguleringventilen ved tiden t er da gitt ved z(t) = K p [r x(t)], der K p = proporjonalitetkontant [ /] r = ønket vækenivå i tanken [] x(t) = virkelig vækenivå i tanken ved tiden t [].1 Fylling av to tank ed P-regulering Anta at tanken er to, og at pupa er lått av Ved t = 0 tarte P-reguleringen av vækenivået i tanken a) Sett opp differeniallikningen for vækenivået x(t) i tanken b) Lø differeniallikningen Hva blir tajonærverdien til nivået? Bete tidkontanten for yteet c) Skier for hånd forløpet til x(t) for A 1, r 1 og KP 0, 0. d) egn eleentært blokkkjea og legg yteet inn i Siulink, og iuler nivået x(t) for ulike verdier av K. p. Stabiliering av vækenivået ed P-regulering Anta at tanken er fylt opp til det ønkede vækenivået r Ved t = 0 tarte pupa, og det går en kontant volutrø v ut av tanken a) Sett opp differeniallikningen for vækenivået x(t) i tanken b) Lø differeniallikningen Hva blir tajonærverdien til nivået? Bete tidkontanten for yteet 3 c) Skier for hånd forløpet til x(t) for A 1, r 1, KP 0, 0 og v 0, 005. d) egn eleentært blokkkjea og legg yteet inn i Siulink, og iuler nivået x(t) for ulike verdier av K. p Har vi fått en tilfreillende regulering av vækenivået i tanken? 3 PI-regulering av vækenivået i tanken En av ulepene ed P-regulering er at tajonærverdien av tanken vækenivå avhenger av volutrøen v i pupa I praki kan pupa lå eg av og på, og kontanten v kan variere over tid Stajonærverdien vil da ogå variere og kan av og til avvike ye fra ønket nivå, r En åkalt PI-regulator fjerner denne ulepen Benytte en PI-regulator, vil volutrøen ut av reguleringventilen være gitt ved

4 ALM1003-A Mateatikk 1, Cae høt t 1 z( t) K p ( r x( t)) [ r x( t)] i 0 r = ønket vækenivå i tanken [] x(t) = virkelig vækenivå i tanken ved tiden t [] K p = proporjonalitetkontant [ /] i = kontant, kalt integrajontiden []. Navnet PI-regulator kylde foren på z(t) Det førte leddet i z(t) er det ae o ved P- regulering, en det andre leddet er proporjonalt ed en integralfunkjon (I-regulering). Siden begge ledd forekoer, er regulatoren en (Proporjonal + Integral)-regulator 3.1 Utledning av differeniallikning ed tartbetingeler Anta at tanken er fylt opp til det ønkede vækenivået r Ved t = 0 tarte pupa og det går en kontant volutrø v ut av tanken a) Sett opp differeniallikningen for vækenivået x(t) i tanken For å få en differeniallikning å du derivere ht t lik at integralfunkjonen forvinner Du får da en differeniallikning av orden b) Bete tartbetingelene x(0) og x (0) o du trenger for å løe differeniallikningen c) Bete tajonærverdien til vækenivået uten å løe differeniallikningen Koenter varet 3. Beregning av vækenivået x(t) Bruk A = 1, r = 1, v = 0,005 og K p = 0,0 i dette punktet a) Lø differeniallikningen og kier for hånd x(t) for følgende verdier av integrajontiden i : 1) i = 360 ) i = 00 3) i = 40 b) egn eleentært blokkkjea og legg yteet inn i Siulink, og iuler nivået x(t) for ulike verdier på i ( i = 360, i = 00 og i = 40). 4 PID-regulering av vækenivået i tanken Dero en ønker at regulatoren kal kopenere hurtig for vækenivåfallet en får når pupa tarter kan en benytte en derivajonvirkning i regulatoren i tillegg til proporjonal- og integralvirkningen. Vi har da en åkalt PID-regulator. Benytte en PID-regulator, vil volutrøen ut av reguleringventilen være gitt ved

5 ALM1003-A Mateatikk 1, Cae høt t 1 d z( t) K p( r x( t)) [ r x( t)] d ( r x( t)) i 0 r = ønket vækenivå i tanken [] x(t) = virkelig vækenivå i tanken ved tiden t [] K p = proporjonalitetkontant [ /] i = kontant, kalt integrajontiden []. d = kontant, kalt derivajontiden []. Navnet PID-regulator kylde foren på z(t) De to førte leddene i z(t) er det ae o ved PI-regulering, en det tredje leddet er proporjonalt ed en derivatfunkjon (Dregulering) Siden alle tre ledd forekoer, er regulatoren en (Proporjonal + Integral+ Derivat)-regulator 4.1 Utledning av differeniallikning ed tartbetingeler Anta at tanken er fylt opp til det ønkede vækenivået r Ved t = 0 tarte pupa og det går en kontant volutrø v ut av tanken a) Sett opp differeniallikningen for vækenivået x(t) i tanken For å få en differeniallikning å du derivere ht t lik at integralfunkjonen forvinner Du får da en differeniallikning av orden b) Bete tartbetingelene x(0) og x (0) o du trenger for å løe differeniallikningen c) Bete tajonærverdien til vækenivået uten å løe differeniallikningen Koenter varet 4. Dienjonering av PID-regulatoren og løning av differeniallikningen. Bruk A = 1, r = 1, v = 0,005 og K p = 1 i punktene a), b) og c). a) Karakteritik likning til differeniallikningen er av andre orden. Bete integrajontiden og derivajontiden til regulatoren lik at karakteritik likning får to like verdier på -0,05 (det tilvarer to like tidkontanter på 0 ekunder for det regulerte yteet). b) Lø differeniallikningen for dette tilfelle og kier for hånd forløpet til x(t). c) egn eleentært blokkkjea og legg yteet inn i Siulink (ip: d dx derivatdelen i regulatoren er lik: KP d ( r x) KPd, og i blokkkjeaet henter du ignalet fra den deriverte til x itedenfor å benytte en derivatorblokk for å realiere regulatoren), og iuler nivået x(t) for ulike verdier på i og d. d) Hva kjer ed det akiale avviket dero en øker Kp?

6 ALM1003-A Mateatikk 1, Cae høt Hjelp til caen Volutrø Ordet volutrø bruke o væker eller gaer o trøer i rør eller kanaler En kontant volutrø på fek / væke gjenno et rør, betyr at det gjenno et vilkårlig tverrnitt av røret paerer (= 5 liter) væke pr ekund En volutrø behøver ikke være kontant; den kan variere fra tidpunkt til tidpunkt og dered være en funkjon av tiden I caen betegne volutrøene ed ybolene q, z og v Dero en tank får tilført væke, atidig o væke forlater tanken, vil endringen pr tidenhet av vækevoluet, V(t), i tanken være gitt av volutrøene q inn (t) og q ut (t) dv Vi har: qinn(t) qut(t) V(t) q inn (t) q ut (t) Stajonær verdi og tidkontant Anta at en tidavhengig tørrele, x(t), nærer eg ayptotik ot en betet verdi, x, etter lang tid Da kalle x den tajonære verdien til x(t) Vi har: x li x(t) t Hvi x(t) er løning av en 1 orden differeniallikning, kan vi betee x direkte av differeniallikningen ved dx å ette 0 (hvorfor?) Dero x(t) hadde hatt et lineært forløp, ed ae vekthatighet o i tarten, ville x(t) ha nådd den tajonære verdien ved tidpunktet (e figur), o kalle tidkontanten, er en karakteritik paraeter for det yteet o x(t) bekriver Periodetid En tidavhengig tørrele, x(t), er gitt ved x(t) = a be t in(t), der a, b, og er poitive kontanter Funkjonen bekriver et depet vingeforløp okring x = a, lik figuren antyder Med perioden ene tidforkjellen ello de lokale toppunktene på grafen er kontant og betet av =, dv. = kalle vinkelfrekvenen a 0 x x(t) t