Løsningsforslag Matematikk4N/4M, TMA4123/TMA4125, vår 2016

Transkript

1 Løigforlag MatematikkN/M, TMA/TMA5, vår 6 Oppgave Skriver om ligigytemet på valig måte Gau Seidel blir da Setter vi x, y, z får vi x y z y x z z x y 6 x y z y x z z x y 6 Dv,,,, x y z x y z 6 Oppgave Side g x x g x x, g x, g x x x Vi har g 7 7, g 7 6, g 7 7 for x ær løige er ødvedig for koverge, må det være fikpukiterajoe x g x Bruker vi g om ikke gir koverge x for iterajo gir dette Dv x 7, x 67, x 6895, x 685, x 685, x 685, x 686, x 688, å med to igifikate iffer er løige 68 Oppgave Vi har,, y x y f x y y, og h 5

2 For RK er k hf x, y 5 h k hf x, y k h k hf x, y k k hf x h, y k Altå er y 5 y y k k k k (Ekakt løig er yx x e x om gir Oppgave Simpo metode er for dette problemet har h, og y 5 65 ) dx 695 x (Ekakt løig er l 697 ) La f x x Da er fx x 5 Altå er x, M max f x La aboluttverdi til feile være R Da er 5 M Dv hvi 8 8 M R 8 er feile lite ok Dette gir Side vi treger et like atall delitervall, er 6delitervaller tiltrekkelig for feil midre e 8 Oppgave 5 a) Vi har

3 cox b x x i xdx x x xco xdx i i co co Altå er x x xdx x b 8,for odde,for like Dette gir Fourier iu rekke Side de odde periodike utvidele av f xkovergerer mot i figure uder: op m m m 8 i x f x, f op x, er kotiuerlig, vil Fourier iu rekka til f x Dee periodike fukjoe er plottet for x mellom og Fourier iu rekka til f(x) b), FxGt u x t Altå er iatt i differeialligiga gir G t F x k G t F x

4 F kf, Radbetigelee gir F F G kg Differeialligiga for F har karakteritik ligig r k Drøfter ulike k :, : k x x Da er FxCe Ce Vi har F C C C C x x Dette gir FxC e e Me F C e e er umulig forc og k : Da er Fx Cx C, og F F er umulig for ikke triviell F x, : Vi får FxCco x Ci x i For er Vi får F xi x,,,, Korrepoderede G k F x C x k t om gir G t A e Altå er F gir C Altå er F oppfylt hvi og bare hvi,,,,, dv t u x, t A e i x,,,, t oppfyller G G, alle mulige ikke trivielle løiger på radverdiproblemet på forme F xgt Her er kotater c) Steady tate løiga, u Radverdieeu u Skriver x, iatt i differeialligiga gir u x u x x C x C gir C, C Altå er u x x x,,, og betemmer radverdiproblemet for, u x t u x v x t Iatt i differeialligiga gir dette v x t : u x v x, t u x v x, t v x, t v x, t v v t xx t xx t xx A

5 Radbetigelee: Sideu u får vi u, t u v, t v, t v, t u, t u v, t v, t v, t Altå oppfyller vx, t det homogee radverdiproblemet i b) Det vil i at, for kotater A,,,, Dermed er v x, t A e ix, (formell) løig på radverdiproblemet i c) Startverdieu x, gir Vi har da Fra a) fier vi da t t,, i u x t u x v x t x x A e x u x, u x v x, v x, u x, i v x A x x x v x t er gitt om A 8,for odde,for like Altå er løiga,, u x t u x v x t x x 8 m t e i m x m m Oppgave 6 De Fouriertraformerte til f x er Fourieritegralet er i ix ix e fˆ f xe dx e dx i

6 ide i x i ix e ix e e e d d i i i coxiixco x ii x d ixi x d, coxco x ix i x er e odde fukjo av for fat x Side fukjo av, ka Fourieritegralet krive om Side ixi x ixi x d d f x er kotiuerlig for x, er i i i f d d er e like Oppgave 7, ku for TMA5, MatN a) Ta Laplacetraformajo på begge ider av ligiga: e Y Y Y Y e Vi har, altå er t t L te e Dv t t y t L e u t t e e b) Vi har m!! m!! Lt m * t Lt m Lt m m

7 ! m m!! m m!! m m!! m Lt L t m! m! m! Altå er m!! t * t t m! m m ide vetre og høyre ide har amme Laplacetraformert Speielt fort gir dette m m!! m m!! u u du m! m!,

8 Oppgave 8a) (Ku for TMA) Det kode gjør er å dikret fouriertraformere y om er amplet på pukter (like lagt fra hveradre) i itervallet [, ] Deretter plotter de aboluttverdie av de dikret fouriertraformerte, Y, om vier o frekvepekteret til y Når vi kjører kode får vi Figur Figure : Frekvepekteret til y, Y Forklarig av figur: Fukjoe y(t) = i( π t)+i( π t) er e lieærkombiajo av to iubølger med hver i frekve og amplitude De førte har e amplitude på og e frekve vi ka lee rett av på Hz, og de adre e amplitude på og e frekve på Hz Vi forveter da at Y vil ha topper ved Hz og Hz, hvor toppe ved Hz vil være høyere E frekve varer til /T Hz, =,, N, hvor T er periode, er plaerige i figure og N = er ampligpuktee Vi har T = lik at de høyete toppe vil være ved = T = og de lavete ved = T = 8, om i Figur Symmetrie om opptår til høyre i figure kylde at vi for DFT har ˆf N = ˆ f Derfor får vi ogå e høy topp ved N = = 8 og e lavere ved N = 8 = Ektra: Symmetrie ka ma vie geerelt på følgede måte (Beviet er ikke ødvedig for et fullverdig var på dee oppgave) La f ha legde N Da får vi ˆfN = = N k= N k= f k e πi(n )k/n = f k e πik/n, N k= f k e πink/n e πik/n = N k= f k e πik e πik/n

9 hvor de ite likhete følger av at e πik = år k er et heltall Sammeliger vi med er vi at om gir ˆf N = ˆ f ˆf = N k= f k e πik/n, ˆfN = ˆ f, Oppgave 8b) (Ku for TMA) Hz tilvarer = T = Vi øker å kvitte o med alle frekveer uder Hz ved å edre Y Det gjør vi ved å ette alle elemeter i Y fra = til = 9 til På gru av ymmetrie evt i forrige oppgave må vi ogå huke å ette alle elemeter fra N = 9 = 6 til til Dette gir o følgede kode (vektorer i matlab tarter på ): Y(:)=; Y(6:)=; Kjører vi plot(ab(y)) på ytt å får vi Figur, og vi ka e at alt uder Hz er borte Figure : Frekvepekteret til y etter edrig av Y