EKSAMEN Ny og utsatt Løsningsforslag

Transkript

1 7. april EKSAMEN Ny og utatt øigforlag Emekode: ITD Dato: 6. jauar Hjelpemidler: Eme: Matematikk adre delekame Ekametid: 9.. Faglærer: - To A-ark med valgfritt ihold på begge ider. - Formelhefte. Chritia F Heide Kalkulator er ikke tillatt. Ekameoppgave: Oppgaveettet betår av 6 ider ikluiv dee foride og to vedlegg. Kotroller at oppgaveettet er komplett før du begyer å bevare pørmålee. Oppgaveettet betår av 9 oppgaver med i alt deloppgaver. Ved eur vil alle deloppgaver telle like mye. Der det er mulig kal du: vie utregiger og hvorda du kommer fram til varee begrue die var, elv om dette ikke er ekpliitt agt i hvert pørmål Seurdato: 7. jauar Karakteree er tilgjegelige for tudeter på tudetweb eet virkedager etter oppgitt eurfrit. Følg itrukjoer gitt på: Matematikk, adre delekame, y og utatt, jauar Side av 6

2 Oppgave Figure vier fukjoee e (blå kurve) og e (rød kurve).,,,,,,,7 Fi arealet av området om ligger mellom die kurvee og er avgreet av de vertikale lijee = og = (altå det kraverte området på figure). Arealet fier vi av følgede itegral: e e d e d e d e e ( e e ) ( e e ) e e.9 e e Oppgave Fi verdie av følgede uegetlige itegral derom det kovergerer: e e lim e t t d lim e t t lim t e t e ( ) Matematikk, adre delekame, y og utatt, jauar Side av 6

3 Oppgave Fi de geerelle (allmee) løige av følgede differeialligig: y e y Vi forøker å eparere ligige: y e y e y e y dy d igige er å eparert og vi ka itegrere begge ider med hey på : dy e y d d d e y dy d e y C Vi løer å med hey på y ved å ta logaritme: y l C Oppgave Fi løige på følgede iitialverdiproblem: y y y, y( ) 6, y() Vi løer ført de tilhørede homogee ligige: y y y Dee gir opphav til følgede karakteritike ligig: om har følgede løiger: 8 i Matematikk, adre delekame, y og utatt, jauar Side av 6

4 i Dv: i og i øige av de tilhørede homogee ligige er følgelig y h e ( C co C i ) Vi må å fie e partikulær løig av de ihomogee ligige. Høyre ide er et aegradpolyom, å da må vi forøke med et geerelt aegradpolyom: y K K K om år vi deriverer, gir og y K y K K Setter vi å dette i i diff.ligige får vi K K K K K K Gager vi ut og løer opp pareteee, får vi: K K K K K K Vi ammeliger å faktoree fora ledd av amme grad. Faktoree fora aegradleddee gir: altå K K Faktoree fora førtegradleddee gir: Setter vi å i at K K K får vi altå K K 6 8 Matematikk, adre delekame, y og utatt, jauar Side av 6

5 K Kotatleddee gir: dv. K K K K K K ( ) Vi har da fuet følgede partikulærløig: y p De geerelle løige av differeialligige er følgelig y y h y p e ( C co C i ) Vi må til lutt betemme kotatee C og C baert på iitialbetigelee: y( ) 6 gir e Her må vi bruke at C dv. ( C co i ) C e, 6 C 6 øige å lagt blir y e co 7 og i 7 6 og får da: ( co C i ) For å bruke de adre iitialbetigele må vi derivere dette uttrykket: y 7 7 e co C i e i C co Setter vi å i y () i i dee, får vi om gir og følgelig 7 7 e C i e i C co 7 C C co 7 øige av iitialverdiproblemet blir følgelig y e ( 7 co i ) Oppgave Matematikk, adre delekame, y og utatt, jauar Side av 6

6 a) E lieærtraformajo T: er gitt ved T Fi bildet av vektore v uder T. Dette er gitt ved T v ( ) ( ) ( ) ( ) 8 9 b) Noe vektorer har de egekap at de ikke edrer retig ved e traformajo med lieærtraformajoe T. Fi die vektoree. Die vektoree om ikke edrer retig ved lieærtraformajoe, kalle egevektoree til traformajoe, og er det amme om egevektoree til matrie T. Vi fier die ved ført å fie matrie egeverdier. Egeverdiee er de om er løiger av ligige : det( T I) om gir det( T I) ( )( ) ( ) om år vi gager ut pareteee gir 8 og altå Egeverdiee er derfor følgede ( ) dv. Matematikk, adre delekame, y og utatt, jauar Side 6 av 6

7 og 6 Egevektoree om vi er ute etter å fie, er de -vektorer om er ikke-trivielle løiger av ligigytemee I = og I = T Egevektorettet tilhørede : T Koeffiietmatrie til det førte ligigytemet er T I T I øige av ligigytemet = fier vi å ved elemetære rekkeoperajoer på dee koeffiietmatrie: Her vil da kue være e fri variabel, og vi etter Førte rekke gir da følgede ligig: om gir Skrevet på vektorform blir dee løige: =, Egevektorettet tilhørede Koeffiietmatrie til det adre ligigytemet er ( ) : ( ) T I Matematikk, adre delekame, y og utatt, jauar Side 7 av 6

8 T I øige av ligigytemet = fier vi å ved elemetære rekkeoperajoer på dee koeffiietmatrie: Vi etter om fri variabel: t Førte rekke gir da følgede ligig: om gir t Skrevet på vektorform blir dee løige: = t t t, t De økte vektoree om ikke edrer retig uder traformajoe T er altå egevektoree og t for alle verdier av og t forkjellig fra. Oppgave 6 Gitt følgede matrie: A a) Vi ved elemetære rekkeoperajoer at de reduerte trappeforme til dee matrie er Matematikk, adre delekame, y og utatt, jauar Side 8 av 6

9 Matematikk, adre delekame, y og utatt, jauar Side 9 av 6 og fi å alle løiger av ligigytemet A =, hvor = og =. Vi gjør gauelimiajo på koeffiietmatrie ved hjelp av elemetære rekkeoperajoer: 8 9 7

10 Matematikk, adre delekame, y og utatt, jauar Side av 6 om er lik de i oppgave oppgitte matrie. Så til løige av ligigytemet A = :. rekke i matrie gir ige iformajo.. rekke i matrie repreeterer ligige. Av. rekke er vi at ka velge om fri variabel, og vi etter derfor. Videre har vi fra. rekke: om gir.. rekke gir: dv:. Oppummert:,,, øige krevet på vektorform: b) Fi e bai for rekkerommet og e bai for ullrommet til matrie. Dette ka e direkte av matrie på reduert trappeform om vi fat i pørmål a):

11 Her er vi at rekke om ikke er lik T vil være e baivektor for rekkerommet til A. Her er dette rekke, og, og e bai for rekkerommet vil følgelig være die:,, Bai for ullrommet til A får vi direkte fra løige av ligigytemet A =. Vi fat at løige er E bai for ullrommet er derfor c) For matrie A, fi i) rage age er lik dimejoe til rekkerommet, altå. ii) dimejoe til koloerommet Dimejoe til koloerommet er lik dimejoe til rekkerommet, altå. iii) ullitete Nullitete er dimejoe til ullrommet. Som vi å i pørmål b) er dette. Vi ka ogå fie ullitete ved hjelp av det åkalte ragteoremet om ier at rage plu ullitete til e matrie er lik atall koloer i matrie. Side atall koloer er og rage er, må ullitete da være. Oppgave 7 E ball lippe fra to meter høyde mot et gulv. Balle pretter opp til e høyde om er av høyde de lippe fra, før de igje faller mot gulvet og pretter på y opp til Matematikk, adre delekame, y og utatt, jauar Side av 6 av høyde de faller fra, ov. Fi de totale vertikale ditae balle tilbakelegger før de ligger i ro på gulvet. (Vi er bort fra fyike begreiger om for ekempel luftmottad og det litt problematike i at balle matematik ett pretter uedelig mage gager før de ligger i ro i forhold til gulvet.)

12 Balle faller ført m. Deretter pretter de opp m. m, og faller dee ditae ed til bakke igje, totalt Så pretter de opp m. m og faller ed de amme ditae, totalt De totale ditae blir derfor Derom er bort fra det førte leddet, er vi at dette er e geometrik rekke med a og k. Summe av e geometrik rekke er a S k Her blir umme av dee rekke S Total vertikal ditae blir følgelig + = m. Oppgave 8 Fi taylorpolyomet av grad om a = for fukjoe f ( ) Geerelt er taylorpolyomet av grad om puktet = a gitt ved Matematikk, adre delekame, y og utatt, jauar Side av 6

13 P f ( a)! ( a)! () ( ) f ( a) f ( a) ( a) ( a) ( a) f Omkrig a = blir dee foreklet til P f ()! ()! () ( ) f () f () Vi må fie die leddee. Vi fier: f ( ) f f ( ) ( ) ( ) ( ) f () ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) f () ( ) f () ( ) ( ) ( ) ( ) 8 f () ( ) ( ) 8 8 Det økte taylorpolyomet blir derfor 8 P ( )!! 8 6 Oppgave 9 Teg grafe og fi deretter fourierrekke til følgede periodike fukjo med periode : Matematikk, adre delekame, y og utatt, jauar Side av 6

14 f () π π π π Når periode er periode, være vil parametere om igår i fourieritegralee og om er lik halve. Vi må å rege ut fourierkoeffiietee: a f ( ) d d Her har jeg delt opp itegralet i to deler ide fukjoe har delt forkrift og er i de førte halvperiode (mellom og ) og i de adre halvperiode (mellom og ). d Itegralet av er alltid, uaett itegrajogreer. Vi får derfor: a d ( ) Videre har må vi rege ut faktoree fora coiu-leddee. Igje ka vi øye o med å itegrere mellom og ide fukjoe er mellom og : a f ( ) co( ) d co( ) d co( ) d ) i( ) (i( ) i i( ) De ite likhete får vi fordi ige coiu-ledd i fourierrekke. i( ) uaett hva er. Alle a er altå, og vi får derfor Vi må å rege ut faktoree fora iu-leddee: Matematikk, adre delekame, y og utatt, jauar Side av 6

15 b f ( ) i( ) d i( ) d co( ) co( ) co De et ite overgage ka vi gjøre fordi co co( ) oddetall (for ekempel er og, lik at det er uproblematik å ha i evere. Dette gir b b b b b ( ) ( ) ( ) ( ) co( ) co ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Fourierrekke til dee fukjoe blir følgelig f ( ) a b i( ) i i( ) i i er år er et partall og år er et ). Huk ogå at begyer på og ikke på ( ) i( i( ) ) ( ) i i( ) i Matematikk, adre delekame, y og utatt, jauar Side av 6

16 k i k (k ) Det er valgfritt om vi kriver varet om det et ite eller ite uttrykket. I det ite uttrykket bruker vi k itedefor for å få et eklere uttrykk. Matematikk, adre delekame, y og utatt, jauar Side 6 av 6