Matematikk for IT. Løsningsforslag til prøve 2. Torsdag 24. oktober 2013

Transkript

1 .. Matematikk for IT Løsigsforslag til prøve Torsdag. oktober Oppgave Gitt følgede predikat: P(x : x > 5 ta at uiverset ( de mulige verdier av x som vi tar i betraktig er alle hele tall, Z. Skriv hvert av følgede utsag med ord. gi også om utsaget er sat eller falskt. a x P(x For alle hele tall er det slik at tallet mius er større e 5. Dette er falskt (fordi f. eks. < 5. b x P(x Det fies ikke oe helt tall som er slik at tallet mius er større e 5. Dette er falskt (fordi f. eks. 8 > 5. Oppgave Gitt følgede logiske utsag: (p q (p q ett lovee i logikk gitt på vedlagte ark til å fie hvilket av følgede utsag dette er logisk ekvivalet med: (i p q (ii p (iii p q ruk ku e lov i hvert tri og agi for hvert tri hvilke lov du bruker. ( p q ( p q ( p q ( p q Dobbel egasjo (7 ( p q ( p q Distributiv lov ( p ( q q Iverslov (8 p F Idetitetslov (9 p De Morgas lov ( på de bakerste paretese Christia F Heide,

2 Uttrkket er likt ii. Oppgave Gitt to komplekse tall z i og w i. a Fi w z. z w i i i i i i i i i ( 8 b Skriv tallet w på ekspoetialform. Du ka her ha tte av e av følgede: ta ta ta Tallets modulus (legde er r ( Tallets argumet (vikel med de reelle akse er, side vi vet at tallet ligger i. kvadrat: Følgelig: ta w e ta i Oppgave ett iduksjosbevis til å bevise at summe av de første partallee er ( +. Dette ka skrives = ( + for asistri: = = (+ = Z Vi ser at uttrkket stemmer for de laveste verdie av. Iduksjostri: Vi atar at uttrkket gjelder for = k, at Christia F Heide,

3 k = k(k + Dette kalles iduksjoshpotese. Vi skal å vise at dersom det gjelder for = k, så gjelder det også for = k + : k + (k + = (k + ((k + + Vi reger å ut vestre side og høre side hver for seg for å vise at disse er like. Fra iduksjoshpotese ovefor, har vi at k = k(k +. Vi setter dette i i uttrkket, og får k(k + + (k + = (k + (k + Videre regig på uttrkkee (vestre og høre side hver for seg, og får: k + k + k + = k + k + k + k + k + = k + k + Vi ser at vestre side og høre side er like. Vi har derfor vist iduksjostriet. Side vi har vist både basistriet og iduksjostriet, har vi vist at uttrkket er korrekt. Oppgave 5 ruk kotrapositivt bevis til å bevise at hvis + er et oddetall, så er et oddetall. Det kotrapositive utsaget blir: Hvis er et partall så er + et partall. Hvis er et partall, ka vi skrive = p, hvor p er et heltall. Vi ka da skrive: + = (p + = p + = (p + Side p er et heltall, så er p + også et heltall. gager et heltall, er et partall. + er følgelig et partall dersom er et partall. QED. (Dette er logisk ekvivalet med at hvis + er et oddetall, så er et oddetall. Oppgave Gitt følgede differesligig: 9 8 a Fi e geerell løsig for de tilhørede homogee differesligige. De tilhørede homogee differesligige er 9 Christia F Heide,

4 Dee har følgede karakteristiske ligig: 9 De karakteristiske ligige har følgede løsiger: ( ( 9 Dette gir følgede geerelle løsig: ( h b Fi e partikulær løsig for de ihomogee differesligige. ruk så dee og svaret du fikk i a til å fie e geerell løsig for de ihomogee differesligige. Vi må her forsøke å sette i e løsig som er på samme forme som høre side i de ihomogee differesligige. Vi forsøker da med K K Dette gir følgede uttrkk for og : K ( K K K K K K K ( K K Setter vi disse tre uttrkkee i i differesligige, får vi K K ( K K K 9( K K K 8 Gager vi ut paretesee, får vi K K K K K 9K 8K 9K 8 K K K 8 Faktore fora må være de samme på begge sider av likhetsteget, oe K 8 K Kostatleddee må være de samme på begge sider av likhetsteget, oe K K Setter vi å i at K får vi K K K Partikulærløsige er følgelig ( p Christia F Heide,

5 5 Christia F Heide, De geerelle løsige er følgelig ( ( p h c ruk startbetigelsee 9 og til å bestemme kostatee som igår i de geerelle løsige til de ihomogee differesligige. Setter vi 9 i i de geerelle løsige, fier vi 9 9 Så setter vi og = i i de geerelle løsige, og fier 9 Løsige med de gitte startbetigelsee er derfor (