= 5, forventet inntekt er 26

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "= 5, forventet inntekt er 26"

Transkript

1 Eksempel på optimal risikodeling Hevdet forrige gang at i en kontrakt mellom en risikonøytral og en risikoavers person burde den risikonøytrale bære all risiko Kan illustrere dette i en enkel situasjon, uten noen prinsipal-agent-problemstilling Anta at de to skal dele rettighetene til en framtidig inntekt som kan ha to utfall, 32 eller 72 Sannsynlighet ½ for hvert av utfallene Den ene ønsker så høy forventet inntekt som mulig Den andre ønsker så høy forventet nytte som mulig, med en nyttefunksjon lik kvadratroten av inntekten Ikke klart hva det betyr å få negativ inntekt; derfor ser vi bare på delingsregler der begge får positiv inntekt Kunne dele likt; begge får halvparten, 16 eller Forventet nytte er = 5, forventet inntekt er Mulig å øke forventet nytte for den risikoaverse uten å redusere forventet inntekt for den risikonøytrale: Hvis den risikoaverse får 26 uansett hva utfallet blir, vil forventet nytte bli større enn 5; begrunnelse: Forventet nytte ved å få 25 uansett utfall blir 5; øker dette med 1 uansett utfall, åpenbart bedre Den risikonøytrale får nå = 6 i det dårlige utfallet, = 46 i det gode utfallet; forventet inntekt er uendret lik 26, har ikke tapt på dette Rom for å forbedre for begge: 25½ til risikoavers,... 1

2 Skjult atferd og optimale insentiver Forrige gang: Svært enkle modeller med bare to mulige nivåer for agentens innsats I dag: Agenten kan velge innsatsnivå fritt Velg e som et hvilket som helst positivt tall Mer komplisert for prinsipalen å utforme kontrakten Ikke tilstrekkelig å sørge for det høye innsatsnivået Jo sterkere insentiv, jo høyere vil innsatsnivået bli Samtidig må agenten ha høyere kompensasjon for å bære høy risiko, jfr. deltakerbetingelsen Skal studere en spesifikk modell som gir oss en formel for den optimale kontrakten I dette kurset: Forutsetter ikke matematiske forkunnskaper (ut over første klasse, vgs) Vil derfor bare gi en delvis begrunnelse for løsningen Ufullstendig informasjon, optimal lineær kontrakt Endring fra forrige gang: Antar nå at resultatet z (f.eks. produsert mengd er summen av innsatsen e og ytre faktorer x, summen vil som før avhenge av begge deler Bare resultatet, ikke innsatsen, er verifiserbar Kontrakten kunne gi en komplisert sammenheng mellom z og agentens inntekt, w Forenkler og konsentrerer oss om kontrakter av typen w = α + βz, der α og β er to konstante tall Leter altså etter en optimal lineær kontrakt 2

3 Sannsynlighetsfordeling og forventning En sannsynlighetsfordeling er en beskrivelse av mulige utfall for en usikker (stokastisk) variabel og sannsynlighetene for at de ulike utfallene skal inntreffe Hvis det er uendelig mange mulige utfall (f.eks. alle mulige desimaltall mellom 0 og 1), gir det vanligvis ikke mening å gi hvert enkelt-utfall en positiv sannsynlighet, for da kan summen av sannsynlighetene bli uendelig I stedet: Sannsynlighet for utfall i intervaller, f.eks. intervallet mellom 0 og 0,25, intervallet mellom 0,25 og 0,5, osv. I den økonomiske modellen på forrige side er x (de ytre omstendighetene, støyen) den grunnleggende stokastiske variabelen, mens e ikke er usikker Siden resultatet er z = e + x, vil z også være stokastisk og ha en sannsynlighetsfordeling Siden betalingen er w = α + βz, vil w også være stokastisk og ha en sannsynlighetsfordeling (hvis ikke β = 0) For hver sannsynlighetsfordeling: Kan regne ut forventet verdi, som skrives E( ), f.eks. E(x), E(w) Definerte denne forrige gang: Veid gjennomsnitt av mulige utfall, med sannsynlighetene som vekter Litt mer komplisert når uendelig mange mulige utfall Regneregler: Hvis a og b er stokastiske, mens c er konstant, så er E(a+b) = E(a) + E(b), og E(ca) = ce(a) 3

4 Sannsynlighetsfordeling, forventning og varians Hittil: Har knyttet to tall til en sannsynlighetsfordeling Forventet utfall, også kalt forventning, et slags gjennomsnitt Forventet nytte, basert på at vi også kjenner en nyttefunksjon (i tillegg til sannsynlighetsfordelingen) Nå: Et tredje tall, varians Varians defineres ut fra sannsynlighetsfordelingen, uten å trekke inn noen nyttefunksjon Varians er et mål for usikkerheten, spredningen i utfall Mange tenkelige mål for spredning; kunne f.eks. tenke oss å se på forventet avvik fra forventningen Men dette er per definisjon lik null, siden positive og negative avvik akkurat vil oppveie hverandre når vi regner ut det veide gjennomsnittet E[x E(x)] Kunne tenke oss i stedet å se på forventet absoluttverdi av avvik, E[ x E(x) ]; et mulig mål for spredningen Lettere å regne med forventet avvik opphøyd i annen, E{[x E(x)] 2 }, som er definisjonen av variansen, var(x) For vårt formål nok å huske at dette er et mål for spredningen i en fordeling, der utfall langt fra E(x) teller mer ( fører til høyere varians ) hvis de har høy sannsynlighet Regneregler: Hvis a er stokastisk, mens c er konstant, så er var(c) = 0, var(c+a) = var(a), og var(ca) = c 2 var(a) 4

5 Forventet nytte, forventning varians Forventning og varians er to egenskaper ved mange slags sannsynlighetsfordelinger Ser nå på sannsynlighetsfordeling for inntekt, w Rimelig at folk foretrekker høy forventet inntekt framfor lav Hvis risikoaversjon: Vil foretrekke lav varians i inntekten framfor høy varians Kanskje preferansene bare avhenger av forventning og varians? Men forventet nytte avhenger også av nyttefunksjonen Alle individer har ikke like sterk risikoaversjon GH s. 119, nederst, hevder forventet nytte kan skrives som E(w) ½ r var(w) (Dette er en alternativ antakelse til E ( w), som vi har brukt tidliger (Denne antakelsen, s. 119, hos GH bygger egentlig på noen flere forutsetninger som han ikke nevner) (Nyttig for å forenkle modellen og finne en formel) Her er r en egenskap ved nyttefunksjonen, et tall som viser styrken av risikoaversjonen, koeffisienten for absolutt risikoaversjon Forskjell mellom ulike individers vurdering ligger i r En som er risikonøytral, har r lik null, og bryr seg dermed bare om forventningen, E(w) Jo større r, jo mer fradrag i forventet nytte pga. var(w) 5

6 Formel for optimal lineær kontrakt Trenger enda to forutsetninger for å komme fram til formel for hva slags kontrakt som er best for prinsipalen Forventet bruttoinntekt for prinsipalen er P(, en voksende funksjon av e Kostnaden for agenten ved å yte innsatsen e er C(, en voksende og konveks funksjon av e (En alternativ antakelse til det vi brukte tidligere, der kostnaden målt i nytteenheter var lik Konveks er det motsatte av konkav; betyr at jo større e blir, jo mer koster det å øke e ytterligere Prinsipalen ønsker høyest mulig P( E(w) Agenten ønsker høyest mulig E(w) ½ r var(w) C( Prinsipalen tilbyr først en kontrakt, {α, β} Agenten velger deretter å akseptere eller ikke; hvis aksept velger agenten deretter en innsats, e Begge kjenner sannsynlighetsfordelingen til x, sammenhengen z = e + x, og vet at betalingen vil bli w = α + βz Allerede når prinsipalen utformer kontraktstilbudet, vet prinsipalen at agenten kjenner til alt dette; prinsipalen vet også hva agentens alternative nyttenivå er, dvs. det agenten kan oppnå ved å avvise kontrakten; prinsipalen kjenner også størrelsen på r Prinsipalen kan derfor forutse agentens valg for ulike verdier av kontraktsparametrene {α, β} Dette er grunnlaget for prinsipalens tilbud av kontrakt 6

7 Løsningen for β Skal ikke forklare matematikken i løsningsmetoden Løsningen for parameteren β er følgende formel: β = 1+ r P'( var( x) C''( Her er P '( (den deriverte av P) et mål for hvor bratt P-funksjonen er; tillegget i P ved å øke e med en enhet Her er C ''( (den deriverte av C ') et mål for hvor krum C-funksjonen er; tillegget i C ' ved å øke e med en enhet Optimal β vil være større, jo større telleren er, men mindre, jo større nevneren er; altså: Høyere P '( gjør det gunstig med høyere β Tre forskjellige faktorer opptrer i nevneren: Høyere r, var(x) og/eller C ''( gjør det gunstig med lavere β Forklaringer: Høyere P '( betyr at det er viktigere for prinsipalen å få agenten til å yte mer, siden det har større effekt Høyere r betyr at det er uheldig å la agenten bære mer risiko (via høy β), siden agenten misliker det mer Høyere var(x) betyr at agenten utsettes for mer risiko via β enn om variansen hadde vært lavere C ''( har å gjøre med hvor sterkt agentens valg av e påvirker agentens nytte 7

8 Løsningen for α Prinsipalen velger β ved hjelp av formelen foran Har hittil ikke tatt hensyn til om agenten vil akseptere Den andre kontraktsparameteren, α, velges utelukkende ut fra deltakerbetingelsen Velger α slik at når agenten får vite {α, β}, vil agenten se at e kan velges slik at det så vidt er bedre (målt i forvente nytt å akseptere kontrakten enn å avvise den Siden så vidt er et upresis begrep, vil vi vanligvis være fornøyd med en løsning der deltakerbetingelsen holder nøyaktig, dvs. er oppfylt med likhet, ikke ulikhet Ikke mulig for agenten å velge e på noen annen måte som gir høyere forventet nytte Prinsipalen utnytter fordelen ved å ha første trekk fullt ut 8

9 Mer kompliserte situasjoner: Problem med målbarhet Så langt: Antok resultatet kunne måles Åpenbart ikke alltid enkelt Blant annet vanskeligere å måle kvalitet enn mengde Dessuten dyrt å måle i detalj, overvåke Mer kompliserte situasjoner: Flere dimensjoner Så langt: Antok agentens oppdrag var endimensjonalt Resultatet kunne måles som ett tall, ikke flere Men arbeidstakere har ofte mange oppgaver Og: En enkelt oppgave har ofte flere aspekter, f.eks. mengde og kvalitet Bør hver deloppgave, hvert aspekt, belønnes? Ja, hvis en oppgave måles og belønnes, bør alle andre også måles og belønnes (Beslektet med målbarhetsproblemet ovenfor) Alternativ: Gi opp insentivlønn fullstendig Begrunnelse: Ved å belønne bare noen deloppgaver, mens andre, viktige deloppgaver ikke kan måles eller belønnes, vil alt fokus bli rettet mot de som belønnes Enda sterkere teoretisk resultat: Må belønne hver deloppgave like sterkt (i en viss forstand) Kalles prinsippet om lik kompensasjon Ellers blir fokus vridd mot det som belønnes sterkest, og alle andre deloppgaver kan bli fullstendig neglisjert 9

Modeller med skjult atferd

Modeller med skjult atferd Modeller med skjult atferd I dag og neste gang: Kap. 6 i GH, skjult atferd Ser først på en situasjon med fullstendig informasjon, ikke skjult atferd, for å vise kontrasten i resultatene En prinsipal, en

Detaljer

Litt om forventet nytte og risikoaversjon. Eksempler på økonomisk anvendelse av forventning og varians.

Litt om forventet nytte og risikoaversjon. Eksempler på økonomisk anvendelse av forventning og varians. H. Goldstein Revidert januar 2008 Litt om forventet nytte og risikoaversjon. Eksempler på økonomisk anvendelse av forventning og varians. Dette notatet er ment å illustrere noen begreper fra Løvås, kapittel

Detaljer

Trinn 1: Prinsipalen utformer en kontrakt Trinn 2: Agenten aksepterer kontrakten eller ikke. Trinn 3 (hvis aksept): Agenten velger innsats.

Trinn 1: Prinsipalen utformer en kontrakt Trinn 2: Agenten aksepterer kontrakten eller ikke. Trinn 3 (hvis aksept): Agenten velger innsats. kjulte handlinger Trinn 1: Prinsipalen utformer en kontrakt Trinn 2: Agenten aksepterer kontrakten eller ikke. Trinn 3 (hvis aksept): Agenten velger innsats. pørsmålet er: Hvordan skal kontrakten se ut?

Detaljer

Regneregler for forventning og varians

Regneregler for forventning og varians Regneregler for forventning og varians Det fins regneregler som er til hjelp når du skal finne forventningsverdier og varianser. Vi skal her se nærmere på disse reglene. Vi viser deg også hvordan reglene

Detaljer

Samfunnsøkonomi andre avdeling, mikroøkonomi, Diderik Lund, 12. mars 2002

Samfunnsøkonomi andre avdeling, mikroøkonomi, Diderik Lund, 12. mars 2002 Usikkerhet, disposisjon Denne og neste forelesning: o Et individs beslutninger under usikkerhet o Varian kapittel 11 De to forelesningene deretter: o Markeder under usikkerhet, finansmarkeder o Frikonkurranse;

Detaljer

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at Ekstranotat, 7 august 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser og brøker... Funksjoner...3 Tilvekstform (differensialregning)...4 Telleregelen...7 70-regelen...8

Detaljer

Teori om preferanser (en person), samfunnsmessig velferd (flere personer) og frikonkurranse

Teori om preferanser (en person), samfunnsmessig velferd (flere personer) og frikonkurranse Teori om preferanser (en person), samfunnsmessig velferd (flere personer) og frikonkurranse Flere grunner til å se på denne teorien tidlig i kurset De neste gangene skal vi bl.a. se på hva slags kontrakter

Detaljer

Oversikt over kap. 20 i Gravelle og Rees

Oversikt over kap. 20 i Gravelle og Rees Oversikt over kap. 20 i Gravelle og Rees Tar opp forskjellige egenskaper ved markeder under usikkerhet. I virkeligheten usikkerhet i mange markeder, bl.a. usikkerhet om kvalitet på varen i et spotmarked,

Detaljer

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015 Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8

Detaljer

statistikk, våren 2011

statistikk, våren 2011 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 011 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable 1 Diskrete tilfeldige variable, innledning Hva er en tilfeldig variabel (stokastisk variabel)? Diskret tilfeldig

Detaljer

ECON1810 Organisasjon, strategi og ledelse Forelesning ved Diderik Lund 15.03.04

ECON1810 Organisasjon, strategi og ledelse Forelesning ved Diderik Lund 15.03.04 Opsjoner En finansiell opsjon er en type kontrakt med to parter Utstederen (the issuer eller writer) (som kan være en person eller et selskap) påtar seg en forpliktelse Opsjonen gir motparten (som blir

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. Diskrete tilfeldige variable ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. Diskrete tilfeldige variable Diskrete tilfeldige variable, innledning

Detaljer

Lineære likningssystemer og matriser

Lineære likningssystemer og matriser Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger

Detaljer

Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2,

Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, 201. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling TØL Repetisjonsoppgaver MATEMATIKK 1 REA1141 og REA1141F Derivasjon 2, 201. Oppgave 1 Denne oppgaven har forholdsvis enkle derivasjoner,

Detaljer

Skjulte egenskaper (hidden characteristics)

Skjulte egenskaper (hidden characteristics) Skjulte egenskaper (hidden characteristics) Ny klasse av situasjoner, kap. 7 i Hendrikse (Se bort fra avsnitt 7.5; ikke kjernepensum) Forskjellig fra skjult handling (hidden action) (kap. 6) Men her: Skjulte

Detaljer

Prinsipal-agent-modeller

Prinsipal-agent-modeller Prinsipal-agent-modeller gent: Person som utfører oppdrag for andre Prinsipal: Den som gir oppdraget Eksempler (oppgave, prinsipal, agent): o Helse, pasient, lege o nvestering, aksjeeier, bedriftsleder

Detaljer

ECON3610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Forelesning 2

ECON3610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Forelesning 2 ECON360 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Forelesning Diderik Lund Økonomisk institutt Universitetet i Oslo 30. august 0 Diderik Lund, Økonomisk inst., UiO () ECON360 Forelesning 30. august

Detaljer

Siden vi her har brukt første momentet i fordelingen (EX = EX 1 ) til å konstruere estimatoren kalles denne metoden for momentmetoden.

Siden vi her har brukt første momentet i fordelingen (EX = EX 1 ) til å konstruere estimatoren kalles denne metoden for momentmetoden. Estimeringsmetoder Momentmetoden La X, X 2,..., X n være uavhengige variable som er rektangulært fordelte på intervallet [0, θ]. Vi vet da at forventningsverdiene til hver observasjon og forventningen

Detaljer

OPPGAVER TIL SEMINARET I SØK400 MIKROØKONOMISK TEORI, TREDJE AVDELING, VÅREN 2002

OPPGAVER TIL SEMINARET I SØK400 MIKROØKONOMISK TEORI, TREDJE AVDELING, VÅREN 2002 Økonomisk institutt Universitetet i Oslo OPPGAVER TIL SEMINARET I SØK400 MIKROØKONOMISK TEORI, TREDJE AVDELING, VÅREN 2002 Oppgave (Eksamen V-98, oppg. ) Betrakt et individ som maksimerer forventet nytte.

Detaljer

Eksamensoppgaven. side 30

Eksamensoppgaven. side 30 side 30 Eksamensbesvarelsen gjengis av Marius Holm Rennesund side 31 side 32 Eksamensoppgaven side 33 side 34 Eksamensoppgaven side 35 side 36 Eksamensoppgaven side 37 side 38 Eksamensoppgaven Kommentar

Detaljer

hvordan oppnå god betaling uten for stor innsats? betaling: penger, renommé, annen motivasjon

hvordan oppnå god betaling uten for stor innsats? betaling: penger, renommé, annen motivasjon Kontraktsteori Fullstendige vs. ufullstendige kontrakter forhold som ikke kan beskrives uforutsette hendelser begrenset rasjonalitet? Prinsipal vs. agent Agenten den som utfører oppdraget Prinsipalen den

Detaljer

Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable

Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Eksempel X = "antall kron på kast med to mynter (før de er kastet)" Uniformt utfallsrom {MM, MK, KM, KK}. X = x beskriver hendelsen "antall kron på kast med

Detaljer

Kapittel 5: Tilfeldige variable, forventning og varians.

Kapittel 5: Tilfeldige variable, forventning og varians. Kapittel 5: Tilfeldige variable, forventning og varians. Tilfeldige variable Tilfeldige variable kalles også stokastiske variable. En tilfeldig variabel er en variabel som får sin numeriske verdi bestemt

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 5

Statistikk 1 kapittel 5 Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2016 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel med en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like

Detaljer

Veiledning oppgave 3 kap. 2 i Strøm & Vislie (2007) ECON 3610/4610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk

Veiledning oppgave 3 kap. 2 i Strøm & Vislie (2007) ECON 3610/4610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk 1 Jon Vislie; august 27 Veiledning oppgave 3 kap. 2 i Strøm & Vislie (27) ECON 361/461 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Vi betrakter en lukket økonomi der vi ser utelukkende på bruk av

Detaljer

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem MAT400 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2 Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem 20. mai 205 Innhold. Stokastisk Variabel.. Stokastiske variable som funksjoner 3 2. Forventningsverdi

Detaljer

TMA4240/TMA4245 Statistikk: Oppsummering kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger

TMA4240/TMA4245 Statistikk: Oppsummering kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger TMA4240/TMA4245 Statistikk: Oppsummering kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger Kontinuerlig uniform fordeling f() = B A, A B. En kontinuerlig størrelse (vekt, lengde, tid), som aldri kan bli mindre enn

Detaljer

SØK400 våren 2002, oppgave 9 v/d. Lund

SØK400 våren 2002, oppgave 9 v/d. Lund SØK400 våren 2002, oppgave 9 v/d. Lund Igjen har vi en eksamensoppgave som ligger veldig nær noe som står under Applications i boka, nemlig 4.B4 og oppgave 13 til kapittel 4. Boka bruker toppskrift G der

Detaljer

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Forventning, varians og standardavvik Tilnærming av binomiske sannsynligheter Konfidensintervall Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 5

Statistikk 1 kapittel 5 Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2017 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel med en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like

Detaljer

Systematisk usikkerhet

Systematisk usikkerhet Kvalitetssikring av konseptvalg, samt styringsunderlag og kostnadsoverslag for valgt prosjektalternativ Systematisk usikkerhet Basert på et utkast utarbeidet under ledelse av Dovre International AS Versjon

Detaljer

BESLUTNINGER UNDER USIKKERHET

BESLUTNINGER UNDER USIKKERHET 24. april 2002 Aanund Hylland: # BESLUTNINGER UNDER USIKKERHET Standard teori og kritikk av denne 1. Innledning En (individuell) beslutning under usikkerhet kan beskrives på følgende måte: Beslutningstakeren

Detaljer

Kapittel 4.4: Forventning og varians til stokastiske variable

Kapittel 4.4: Forventning og varians til stokastiske variable Kapittel 4.4: Forventning og varians til stokastiske variable Forventning og varians til stokastiske variable Histogrammer for observerte data: Sannsynlighets-histogrammer og tetthetskurver for stokastiske

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 5

Statistikk 1 kapittel 5 Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2015 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel om en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 04 Løsningsforslag Øving 04 30 For å vise at f er en injektiv one-to-one funksjon, ser vi på den deriverte,

Detaljer

Risikofordeling i kontrakter sett fra en økonoms ståsted

Risikofordeling i kontrakter sett fra en økonoms ståsted Risikofordeling i kontrakter sett fra en økonoms ståsted Eirik Gaard Kristiansen Professor Institutt for samfunnsøkonomi Historie 60 tallet - Risikodeling Karl Borch (risikodeling av eksogen risiko) Tore

Detaljer

Forelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser.

Forelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser. Forelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser. Kast med to terninger, A er sekser på første terning og B er sekser på andre terning. Sekser på begge terningene er Fra definisjonen av betinget

Detaljer

Betinget sannsynlighet

Betinget sannsynlighet Betinget sannsynlighet Multiplikasjonsloven for sannsynligheter (s. 49 i bok): P( AB ) = P( A B ) P(B) Veldig viktig verktøy for å finne sannsynligheter for snitt. (Bevises ved rett fram manipulering av

Detaljer

Løsningskisse seminaroppgaver uke 11 ( mars)

Løsningskisse seminaroppgaver uke 11 ( mars) HG Mars 008 Løsningskisse seminaroppgaver uke (0.-4. mars) ECON 0 EKSAMEN 004 VÅR Oppgave En gitt prøve er laget som en flervalgsprøve ( multiple choice test ). Prøven består av tre spørsmål. For hvert

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2007

TMA4240 Statistikk Høst 2007 TMA4240 Statistikk Høst 2007 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b4 Løsningsskisse Oppgave 1 Eksamen juni 1999, oppgave 3 av 3 a) µ populasjonsgjennomsnitt,

Detaljer

Forelesning i konsumentteori

Forelesning i konsumentteori Forelesning i konsumentteori Drago Bergholt (Drago.Bergholt@bi.no) 1. Konsumentens problem 1.1 Nyttemaksimeringsproblemet Vi starter med en liten repetisjon. Betrakt to goder 1 og 2. Mer av et av godene

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007

Løsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007 Løsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007 Oppgave 1: Pengespill a) For hver deltaker har vi følgende situasjon: Deltakeren får en serie oppgaver. Hver runde har to mulige utfall: Deltakeren

Detaljer

Oppgave 11: Oppgave 12: Oppgave 13: Oppgave 14:

Oppgave 11: Oppgave 12: Oppgave 13: Oppgave 14: Oppgave 11: Ved produksjon på 100 000 enheter pr periode har en bedrift marginalkostnader på 1 000, gjennomsnittskostnader på 2 500, variable kostnader på 200 000 000 og faste kostnader på 50 000 000.

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017 Løsningsforslag Eksamen S, våren 17 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 5. mai 17 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x /x = x x 1. Den eneste regelen vi trenger her er (kx n )

Detaljer

10.4 Sannsynligheter ved flere i utvalget (kombinatorikk)

10.4 Sannsynligheter ved flere i utvalget (kombinatorikk) 10. er ved flere i utvalget (kombinatorikk) Så langt i framstillingen har vi diskutert den språklige siden, den matematiske tolkningen av sannsynlighetsbegrepet og presentert ulike modeller som kan anvendes

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 9 Løsningsskisse Oppgave 1 a) Vi lar her Y være antall fugler som kolliderer med vindmølla i løpet av den gitte

Detaljer

Indifferenskurver, nyttefunksjon og nyttemaksimering

Indifferenskurver, nyttefunksjon og nyttemaksimering Indifferenskurver, nyttefunksjon og nyttemaksimering Arne Rogde Gramstad Universitetet i Oslo 18. oktober 2013 En indifferenskurve viser alle godekombinasjoner som en konsument er likegyldig (indifferent)

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger : Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling

TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger : Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger 5.1-5.4: Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling Mette Langaas 2 Arbeidshverdag etter endt studium Studere et fenomen (f.eks.

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2011

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2011 Eksamen REA08 S, Høsten 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeng) a) Deriver funksjonene ) f f 4 ) g e g e 6e ) h

Detaljer

ECON2130 Kommentarer til oblig

ECON2130 Kommentarer til oblig ECON2130 Kommentarer til oblig Her har jeg skrevet ganske utfyllende kommentarer til en del oppgaver som mange slet med. Har noen steder gått en del utover det som det strengt tatt ble spurt om i oppgaven,

Detaljer

Eksamen i. MAT110 Statistikk 1

Eksamen i. MAT110 Statistikk 1 Avdeling for logistikk Eksamen i MAT110 Statistikk 1 Eksamensdag : Torsdag 28. mai 2015 Tid : 09:00 13:00 (4 timer) Faglærer/telefonnummer : Molde: Per Kristian Rekdal / 924 97 051 Kristiansund: Terje

Detaljer

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning. 1 En kort oppsummering Adaptiv filtrering 2. 3 Prediksjon 4

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning. 1 En kort oppsummering Adaptiv filtrering 2. 3 Prediksjon 4 Stavanger, 13. august 2013 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE500 Signalbehandling, 2013. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning. Innhold 1 En kort oppsummering. 1 2 Adaptiv

Detaljer

Oppsummering matematikkdel ECON 2200

Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke 7. mai 2008 1 Innledning En rask oppsummering av hele kurset vil ikke kunne dekke alt vi har gjennomgått. Men alt er pensum, selv om det ikke blir

Detaljer

Eksamen REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål Eksamen 6.05.010 REA308 Matematikk S Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på del 1: Hjelpemidler på del : Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5 timer: Del

Detaljer

ECON1810 Organisasjon, strategi og ledelse

ECON1810 Organisasjon, strategi og ledelse ECON1810 Organisasjon, strategi og ledelse 4. forelesning, vår 2011 Knut Nygaard Prinsipal-agent modellen Kontraktsteori Fullstendige kontrakter Alle mulige fremtidige situasjoner beskrevet i kontrakten

Detaljer

ECON1810 Organisasjon, strategi og ledelse

ECON1810 Organisasjon, strategi og ledelse ECON1810 Organisasjon, strategi og ledelse Knut Nygaard, vår 2011 Oppsummering Innledende emner Komparativt fortrinn: Spesialisering og bytte Spillteori. Nash-likevekt Individuelle valg Indifferenskurver

Detaljer

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle.

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle. Kapittel 1 Tallfølger 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... Det andre temaet i kurset MAT1001 er differenslikninger. I en differenslikning er den ukjente en tallfølge. I dette kapittelet skal vi legge grunnlaget

Detaljer

Karine Nyborg, ECON3610/4610, høst 2008 Seminaroppgaver uke 46

Karine Nyborg, ECON3610/4610, høst 2008 Seminaroppgaver uke 46 Karine Nyborg, 05.11.08 ECON3610/4610, høst 2008 Seminaroppgaver uke 46 Oppgave 1. To husholdninger, 1 og 2, søker barnehageplass. Bare en ledig plass er tilgjengelig. Prisen for en plass er 900 kr per

Detaljer

Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Ved sensuren teller alle delspørsmål likt.

Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Ved sensuren teller alle delspørsmål likt. Eksamen i: MET040 Statistikk for økonomer Eksamensdag: 4 november 2008 Tid for eksamen: 09.00-13.00 Oppgavesettet er på 4 sider. Tillatte hjelpemidler: Alle trykte eller egenskrevne hjelpemidler og kalkulator.

Detaljer

Tyngdepunkt. Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at. Kapittel 4

Tyngdepunkt. Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at. Kapittel 4 3 Tyngdepunkt Kapittel 4 Forventningsverdi, varians, kovarians for én stokastisk variabel og funksjoner av stokastiske variabler TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 4.1 Forventing til en stokastisk variabel DEF

Detaljer

Enkel Keynes-modell for en lukket økonomi uten offentlig sektor

Enkel Keynes-modell for en lukket økonomi uten offentlig sektor Forelesningsnotat nr 3, januar 2009, Steinar Holden Enkel Keynes-modell for en lukket økonomi uten offentlig sektor Notatet er ment som supplement til forelesninger med sikte på å gi en enkel innføring

Detaljer

b) i) Finn sannsynligheten for at nøyaktig 2 av 120 slike firmaer går konkurs.

b) i) Finn sannsynligheten for at nøyaktig 2 av 120 slike firmaer går konkurs. Eksamen i: MET 040 Statistikk for økonomer Eksamensdag: 31 Mai 2007 Tid for eksamen: 09.00-13.00 Oppgavesettet er på 4 sider. Tillatte hjelpemidler: Alle trykte eller egenskrevne hjelpemidler og kalkulator.

Detaljer

ECON2200 Matematikk 1/Mikroøkonomi 1 Diderik Lund, 22. februar Monopol

ECON2200 Matematikk 1/Mikroøkonomi 1 Diderik Lund, 22. februar Monopol Monopol Forskjellige typer atferd i produktmarkedet Forrige gang: Prisfast kvantumstipasser I dag motsatt ytterlighet: Monopol, ØABL avsn. 6.1 Fortsatt prisfast kvantumstilpasser i faktormarkedene Monopol

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 5

Statistikk 1 kapittel 5 Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2014 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel om en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like

Detaljer

Terningkast. Utfallsrommet S for et terningskast med en vanlig spillterning med 6 sider er veldefinert 1, 2, 3, 4, 5, 6

Terningkast. Utfallsrommet S for et terningskast med en vanlig spillterning med 6 sider er veldefinert 1, 2, 3, 4, 5, 6 Terningkast Halvor Aarnes, UiO, 2014 Innhold Ett terningkast og utfallsrom... 1 Union og snitt... 4 Betinget sannsynlighet... 5 Forventningsverdi E(X) og varianse Var(X)... 5 Konfidensintervall for proporsjoner...

Detaljer

Analysedrypp III: ɛ-δ og alt det der

Analysedrypp III: ɛ-δ og alt det der Analysedrypp III: ɛ-δ og alt det der Mange strever med ɛ-δ-argumenter. Det er flere grunner til dette: Noen har problemer med å forstå den underliggende tankegangen, mens andre sliter med de grunnleggende

Detaljer

STK1100 våren Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner

STK1100 våren Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner STK1100 våren 2017 Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner Svarer til avsnittene 4.1 og 4.2 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i

Detaljer

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform 1 10 Tall og tallregning Studentene skal kunne gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall definere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller

Detaljer

(8) BNP, Y. Fra ligning (8) ser vi at renten er en lineær funksjon av BNP, med stigningstall d 1β+d 2

(8) BNP, Y. Fra ligning (8) ser vi at renten er en lineær funksjon av BNP, med stigningstall d 1β+d 2 Oppgave 1 i) Finn utrykket for RR-kurven. (Sett inn for inflasjon i ligning (6), slik at vi får rentesettingen som en funksjon av kun parametere, eksogene variabler og BNP-gapet). Kall denne nye sammenhengen

Detaljer

Tilfeldige variable (5.2)

Tilfeldige variable (5.2) Tilfeldige variable (5.) Dersom vi til hvert utfall av eksperimentet tilordner et tall, har vi laget en tilfeldig variabel. Tilfeldig variabel: En variabel som har en numerisk verdi for hvert utfall i

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE I SØK3005 INFORMASJON OG MARKEDSTEORI

EKSAMENSOPPGAVE I SØK3005 INFORMASJON OG MARKEDSTEORI NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for samfunnsøkonomi EKSAMENSOPPGAVE I SØK3005 INFORMASJON OG MARKEDSTEORI Faglig kontakt under eksamen: Anders Skonhoft Tlf.: 91939 Eksamensdato:

Detaljer

Matematisk statistikk og stokastiske prosesser B, høsten 2006 Oppgavesett 5, s. 1. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3

Matematisk statistikk og stokastiske prosesser B, høsten 2006 Oppgavesett 5, s. 1. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3 Matematisk statistikk og stokastiske prosesser B, høsten 2006 Oppgavesett 5, s. 1 Oppgave 1 For AR(2)-modellen: X t = 0.4X t 1 + 0.45X t 2 + Z t (der {Z t } er hvit søy med varians 1), finn γ(3), γ(4)

Detaljer

Matematisk evolusjonær genetikk (ST2301)

Matematisk evolusjonær genetikk (ST2301) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 9 Matematisk evolusjonær genetikk (ST2301) Tirsdag 19. mai 2009 Løsningsforslag (For flere av oppgavene finnes det

Detaljer

Utvalgsfordelinger. Utvalg er en tilfeldig mekanisme. Sannsynlighetsregning dreier seg om tilfeldige mekanismer.

Utvalgsfordelinger. Utvalg er en tilfeldig mekanisme. Sannsynlighetsregning dreier seg om tilfeldige mekanismer. Utvalgsfordelinger Vi har sett at utvalgsfordelinger til en statistikk (observator) er fordelingen av verdiene statistikken tar ved mange gjenttatte utvalg av samme størrelse fra samme populasjon. Utvalg

Detaljer

Eksamensoppgåve i TMA4240 Statistikk

Eksamensoppgåve i TMA4240 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i TMA4240 Statistikk Fagleg kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2008

TMA4240 Statistikk Høst 2008 TMA4240 Statistikk Høst 2008 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 7 Oppgave 1 Tippekonkurranse Denne oppgaven er ment som en kjapp test på hva du har

Detaljer

Normal- og eksponentialfordeling.

Normal- og eksponentialfordeling. Ukeoppgaver i Statistikk, uke 8 : Normal- og eksponentialfordeling. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi, økonomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke 8 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt

Detaljer

Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 ( februar 2012)

Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 ( februar 2012) 1 ECON 130 HG - februar 01 Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 (0.-. februar 01) Oppg..1. Variabel: x = antall kundehenvendelser pr. dag 1. Antall observasjoner: n = 100 dager. I Excel

Detaljer

ECON1810 Organisasjon, strategi og ledelse

ECON1810 Organisasjon, strategi og ledelse ECON1810 Organisasjon, strategi og ledelse 6. forelesning, vår 2011 Knut Nygaard Prinsipal-agent modellen: Skjult handling, forts. En agent flere handlinger Agenten utfører flere handlinger, men prinsipalen

Detaljer

Forberedelseskurs i matematikk

Forberedelseskurs i matematikk Forberedelseskurs i matematikk Formålet med kurset er å friske opp matematikkunnskapene før et år med realfag. Temaene for kurset er grunnleggende algebra med regneregler, regnerekkefølgen, brøk, ligninger

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017 Løsningsforslag Eksamen S, høsten 016 Laget av Tommy Odland Dato: 7. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 3 5x, og vi kommer til å få bruk for reglene (ax n ) = anx

Detaljer

Forelesningsnotater ECON 2910 VEKST OG UTVIKLING, HØST Litt om endogen vekstteori

Forelesningsnotater ECON 2910 VEKST OG UTVIKLING, HØST Litt om endogen vekstteori 4. oktober 2004 Forelesningsnotater ECON 2910 VEST OG UTVIING, HØST 2004 7. itt om endogen vekstteori I matematiske fremstillinger hvor vi ser på endringer i variable over tid er det vanlig å betegne de

Detaljer

Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I

Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I 4 Kombinatorikk Vi må lære tellemetoder når valgtrær, som vi brukte tidligere, blir for store og vanskelig å håndtere.

Detaljer

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Introduksjon Formålet med sannsynlighet og kombinatorikk er å kunne løse problemer i statistikk, somoftegårutpååfattebeslutninger i situasjoner der tilfeldighet rår.

Detaljer

Dato: Tirsdag 28. november 2006 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: Kun standard enkel kalkulator, HP 30S

Dato: Tirsdag 28. november 2006 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: Kun standard enkel kalkulator, HP 30S DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon Dato: Tirsdag 28. november 2006 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 5: Sannsynlighetsfordelinger for diskrete variabler Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Tilfeldige variabler (5.1) Dersom vi til hvert utfall av eksperimentet

Detaljer

La U og V være uavhengige standard normalfordelte variable og definer

La U og V være uavhengige standard normalfordelte variable og definer Binormalfordelingen Definisjon Noe av hensikten med å innføre begrepet betinget sannsynlighet er at kompliserte modeller ofte kan bygges ut fra enkle betingede modeller. Når man spesifiserer betingelser

Detaljer

ECON3610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Forelesning 6

ECON3610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Forelesning 6 ECON3610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Forelesning 6 Diderik Lund Økonomisk institutt Universitetet i Oslo 30. september 2011 Vil først gå gjennom de fire siste sidene fra forelesning

Detaljer

Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 14 (6.-9. april)

Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 14 (6.-9. april) HG April 010 Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 14 (6.-9. april) Innledende merknad. De fleste oppgavene denne uka er øvelser i bruk av den viktige regel 5.0, som er sentral i dette kurset,

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 27. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting

Detaljer

Kompleksitetsanalyse Helge Hafting 25.1.2005 Opphavsrett: Forfatter og Stiftelsen TISIP Lærestoffet er utviklet for faget LO117D Algoritmiske metoder

Kompleksitetsanalyse Helge Hafting 25.1.2005 Opphavsrett: Forfatter og Stiftelsen TISIP Lærestoffet er utviklet for faget LO117D Algoritmiske metoder Helge Hafting 25.1.2005 Opphavsrett: Forfatter og Stiftelsen TISIP Lærestoffet er utviklet for faget LO117D Algoritmiske metoder Innhold 1 1 1.1 Hva er en algoritme?............................... 1 1.2

Detaljer

Matematikk 3MX AA6524 og AA6526 Elever og privatister 8. desember 2003

Matematikk 3MX AA6524 og AA6526 Elever og privatister 8. desember 2003 E K S A M E N LÆRINGSSENTERET Matematikk 3MX AA6524 og AA6526 Elever og privatister Bokmål 8. desember 2003 Videregående kurs II Studieretning for allmenne, økonomiske og administrative fag Les opplysningene

Detaljer

Kapitalverdimodellen

Kapitalverdimodellen Kapitalverdimodellen Kjell Arne Brekke October 23, 2001 1 Frontporteføljer En portefølje er en front-portefølje dersom den har minimal varians gitt avkastningen. Først, hva blir avkastning og varians på

Detaljer

TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger

TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger Binomisk fordeling* ( ) n b(x; n, p) = p x (1 p) n x = x ( ) n p x q n x, x x = 0, 1, 2,..., n Fenomén: i) n forsøk. ii) Suksess/fiasko

Detaljer

RAMMER FOR MUNTLIG EKSAMEN I MATEMATIKK ELEVER 2015

RAMMER FOR MUNTLIG EKSAMEN I MATEMATIKK ELEVER 2015 RAMMER FOR MUNIG EKSAMEN I MAEMAIKK EEVER 2015 Fagkoder: MA1012, MA1014, MA1016, MA1018, MA1101,MA1105, MA1106, MA1110, REA3021, REA3023, REA3025, REA3027, REA3029 Årstrinn: Vg1, Vg2 og Vg3 Gjelder for

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Jo Eidsvik og Arild Brandrud Næss Tlf: 90 12 74 72 og 99 53 82 94 Eksamensdato: 9. desember 2013 Eksamenstid

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 29. januar 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 29. januar 2017 Løsningsforslag Eksamen S, våren 016 Laget av Tommy Odland Dato: 9. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = e x. Den generelle regelen er at (e ax ) = ae ax, i vårt tilfelle

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 11, blokk II I denne øvingen skal vi fokusere på hypotesetesting. Vi ønsker å gi dere

Detaljer

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om 1 Eksponentielt vekst: En størrelse vokser eller avtar med en fast prosent per tidsenhet. Eulers tall e: En matematisk konstant, e=2,7 1828.. ln a gir det tallet du må opphøye Eulers tall e i for å få

Detaljer