ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Grunnbegrep. Grunnbegrep, sannsynligheten for et utfall

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Grunnbegrep. Grunnbegrep, sannsynligheten for et utfall"

Transkript

1 ÅM110 Sannynlighetregning med tatitikk, våren 2010 Kp. 2 Sannynlighetregning (annynlighetteori) 1 Grunnbegrep Stokatik forøk: forøk med uforutigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige utfallene av et tokatik forøk Utfallrom: amling av alle mulige utfall Ek.: et terningkat; utfallrommet kan betå av de ek enkeltutfallene 1, 2, 3, 4, 5, og 6 (ndre utfallrom er mulige) 2 Grunnbegrep, annynligheten for et utfall Utfallrom: Ω = { u, u,...} 1 2 Sannynligheten for utfallet, u: u), der 0 u) 1 og u ) + u ) + L = Dv.: Sannynligheten for utfallet, u, definere til et tall mellom 0 og

2 Grunnbegrep, annynligheten for et utfall Hvert utfall har en annynlighet, kjent eller ukjent Summen av alle annynligheter i utfallrommet er lik 1 Tilordningen av annynlighet baere på bl.a. erfaring og egenkaper ved det tokatike forøket God/realitik tilordning: overentemmele mellom relativfrekvener og annynligheter 4 Grunnbegrep, annynligheter og relativfrekvener n gjentakeler av et tokatik forøk (f.ek. n kat med en terning) La n u være antall ganger utfallet u forkommer blant de n forøkene (f.ek. antall ekere blant alle katene) Relativfrekvenen til u, er forholdet mellom n u og n: n u n EXCEL-imulering 5 Grunnbegrep, annynlighetmodell Utfallrommet med annynligheter tilordnet alle enkeltutfall, kalle en annynlighetmodell 6 2

3 Grunnbegrep, uniform modell Utfallrommet med annynligheter tilordnet alle enkeltutfall, kalle en annynlighetmodell Uniform annynlighetmodell: For et tokatik forøk med k (endelig) antall utfall, der alle utfall har like tor mulighet for å inntreffe, definere annynligheten til å være den amme for alle utfallene, 1/k. Denne modellen kalle en uniform annynlighetmodell. Ek. 1: kat med pengetykke; {mynt, kron} Ek. 2: kat med terning; {1, 2, 3, 4, 5, 6} 7 Grunnbegrep, uniform modell Ek. 3: trekke en rekke i LOTTO (7 av tallene 1, 2,..., 34); k = Uniform modell? (J!) Sannynligheten for en betemt rekke: en betemt rekke trekke) = 1/ = Grunnbegrep, uniform modell Ek. 4: kat med to terninger; betrakter ummen av reultatene med de to terningene: {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, (k=11) um = 7) = 1/11 (v/uniform annynlighetmodell) 9 3

4 Grunnbegrep, uniform modell Ek. 4: kat med to terninger; betrakter ummen av reultatene med de to terningene: {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, (k=11) um = 7) = 1/11 (v/uniform annynlighetmodell) Er dette rimelig?? F.ek. vil da ha at: um=12) = um=7)! 10 Grunnbegrep, uniform modell Uniform modell 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0, Grunnbegrep, uniform modell Virkeligheten 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,

5 Grunnbegrep, uniform modell Blå: uniform; rød: virkeligheten 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0, Grunnbegrep, uniform modell Nytt forlag til utfallrom: { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1),... (2,6),... (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) }; k=36 (f.ek. betyr (3,5): rød terning=3 og blå terning=5) Her er alle utfall like mulige!! (=> uniform modell) 14 Regneøvingene Opptart mandag 11. januar ( ) Her (2. etg.) og her (3. etg.) Stud.a.-bae (3.etg.) 15 5

6 Grunnbegrep, begivenheter En begivenhet er en amling av utfall. ek.: mint fem : {5, 6} partall : {2, 4, 6} Generelt : { u, u, K} Utfallrom : Ω = 1 2 Begivenhet : ( Ω) Sannynligheten for : 16 Grunnbegrep, begivenheter Sannynligheten for begivenheten er ummen av annynlighetene til enkeltutfallene: Terningkat, Sannynligheten for : = P = + = ({5,6}) = = "mint fem" = 1 3 {5}) + {6}) 17 Grunnbegrep, begivenheter Sannynligheten for begivenheten er ummen av annynlighetene til enkeltutfallene; Generelle formuleringer og implikajoner: Sannynligheten for : = u) u 0 1 Ω) = 1 (huk at Ω er en begivenhet; den MÅinntreffe!) 18 6

7 Grunnbegrep, operajoner med begivenheter (kp. 2.2, 2.3) Vi har ofte behov for å utrykke og finne annynligheten for ammenatte begivenheter; eller B, eller B eller C, B og C, ov. Snitt, union og komplement fra mengdelæren bruke. 19 Grunnbegrep, operajoner med begivenheter (kp. 2.2, 2.3) Referaneek.: Tre kat med pengetykke; vi betrakter rekkefølge av kron (K) og mynt (M). {KKK, KKM, KMK, MKK, KMM, MKM, MMK, MMM} = { u 1, u 2, u 3, u 4, u 5, u 6, u 7, u 8 } : kron mint to ganger, B: mynt i førte Da: ={u 1, u 2, u 3, u 4 } og B={u 4, u 6, u 7, u 8 } 20 Grunnbegrep, operajoner med begivenheter; Venndiagram ={u 1, u 2, u 3, u 4 } og B={u 4, u 6, u 7, u 8 } Venndiagram: u 4 B u 5 Veldig nyttig hjelpemiddel i en del ituajoner. 21 7

8 Grunnbegrep, operajoner med begivenheter Operajon: Unionen mellom og B Skrivemåte: B Inntreffer eller B (eller begge) inntreffer u 4 B u 5 22 Grunnbegrep, operajoner med begivenheter Operajon: Snittet mellom og B Skrivemåte: B, B Inntreffer og B inntreffer u 4 B u 5 23 Grunnbegrep, operajoner med begivenheter Operajon: Skrivemåte: Inntreffer Koplementet til C, ikke inntreffer C 24 8

9 Grunnbegrep, operajoner med begivenheter To begivenheter ie å være dijunkte hvi og bare hvi begivenhetene ikke kan inntreffe amtidig. Dijunkte mengder har ingen felle element. C D C D = φ 25 Regneregler med annynlighet 1. Komplementetningen: = 1 ( Ω) = 1) C 26 Regneregler med annynlighet 2. ddijonetningen (generell): B) = + B) B) B 27 9

10 Regneregler med annynlighet Er addijonetningen gyldig for to dijunkte begivenheter? C D) = C) + D) C D) C D 28 Sannynlighetregning, ekempel = 1 B) = + B) B) Tokomponentytem, parallellkoplet Sytem ok når mint en av B komponentene er ok. nta at : ok) = 0.9 = B ok) og begge ok) = 0.85 a) Hva er annynligheten for at ytemet er ok? b) Hva er annynligheten for at ingen av komponentene er ok? 29 Sannynlighetregning, oppummering av regneregler Sannynligheten for : = u), u 0 1, Ω) = 1 Komplementetningen : = 1 ddijonetningen : B) = + B) B) Dijunkte begivenheter : C D = φ, ("den tomme mengden"; C og D har ingen felleelement / utfall) 30 10

11 ÅM110 Sannynlighetregning med tatitikk, våren 2010 Kp. 2.4 Sannynlighetregning (annynlighetteori); opptellingregler 31 Opptellingregler (kp. 2.4) Ved bruk av uniform modell: g P ( =, k der g=antall utfall i begivenheten, og k er antall utfall i utfallrommet. Noen ganger enkelt: Trekk et tilfeldig kort fra en korttokk; konge) = 4, Opptellingregler (kp. 2.4) Fort mer kompliert: Trekk to tilfeldige kort fra en korttokk; g begge er konger) = =? k Vi trenger verktøy for å håndtere like og (mange) lignende problemer! 33 11

12 Opptellingregler, ituajon Situajon; Med eller uten tilbakelegging? Ordnet eller uordnet utvalg? (ordnet: vi tar henyn til rekkefølgen objektene blir trukket ut i) Populajon, N ulike objekt N... fire muligheter... Utvalg, objekt 34 Opptellingregler, ituajon Vi fokuerer på uordnede utvalg uten tilbakelegging. Men vi bruker ordnede utvalg undervei. Populajon, N ulike objekt N Tilb.legging? ja ja nei Utvalg, objekt ordnet? nei 35 Opptellingregler Multiplikajonregelen Derom et forøk betår av to deler lik at førte del kan ha m 1 ulike reultat og lik at det til hvert reultat i førte del kan være m 2 ulike reultat i andre del, å er det totale antall ulike reultat lik m 1 m 2. Ek. 1: ruter- og kløverkort Ek. 2: Utvidele til mer enn to deler Ek. 3: Bilnummer (e bok) 36 12

13 Opptellingregler Ordnede utvalg uten tilbakelegging ntall mulige ulike utvalg: ( N ) = N( N 1)( N 2) L( N + 1) faktorer Populajon, N ulike objekt N Ek.: Trekke tre av de 13 ruterkortene Utvalg, objekt Begrunnele for reultat: vha. multiplikajonregelen 37 Opptellingregler ntall rekkefølger (permutajoner) av N ulike objekt: (N) N = N(N-1)(N-2)...3*2*1 = N! N-fakultet Ek.: De 13 ruterkortene kan permutere på 13! ulike måter. 38 Opptellingregler Uordnede utvalg uten tilbakelegging: Ek.: Vi kal trekke tre av ruterkortene (uten tilbakelegging). Hvor mange ulike utvalg (uordnede) er mulig? Reonnement: 1. nt. ordnede: 13*12*11 = Hvert av die kan permutere på 3!=3*2*1 måter 3. Da må vi ha: (ant. ordnede) = (ant. uordnede)*3! Dv.: (ant. uordnede) = (ant. ordnede) / 3! 39 13

14 Opptellingregler ntall uordnede utvalg uten tilbakelegging når objekt trekke fra N ulike objekt er : Populajon, N ulike objekt N ( )! N nt. ordnede: (N) nt. permutajoner:! 40 Opptellingregler, uordnede utvalg uten tilbakelegging Skrivemåte: Vi kan e at: N ( N) =! N N! =!( N )! Populajon, N ulike objekt N N ( N) N( N 1) L( N + 1) ( N )! N! = = =!! ( N )!!( N )! 41 Opptellingregler, uordnede utvalg uten tilbakelegging Ek.: Syvmann lag av ti pillere. N N Regel: = N Populajon, N ulike objekt N Ob.: N N = 1 ; Derfor definere : = 1 N

15 Opptellingregler, uordnede utvalg uten tilbakelegging Ek.: LOTTO. 34 kuler nummerert fra 1 til 34; Syv trekke ut. Hvor mange muligheter finne det? Populajon, N ulike objekt N 43 Opptellingregler Tilfeldig utvalg Et utvalg av objekter tatt fra N ulike ie å være N et tilfeldig utvalg derom alle mulige utvalg har lik annynlighet for å bli tatt ut. (Dette betyr at vi kan bruke uniform modell.) 44 Opptellingregler, oppummering Multiplikajonregelen : m m L m 1 2 k ntall ord. utvalg, fra N ntall permutajoner av N : ( N) = N( N 1)( N 2) L ( N + 1) : ( N) = N( N 1)( N 2) L = N! N ntall utvalg, fra N N ( N) : =! 45 15

16 Opptellingregler, oppummering Tre ekempler 1. To kort trekke fra en korttokk. Hva er annynligheten for at begge er konger? 2. Fem kort trekke fra en korttokk. Hva er annynligheten for at vi får akkurat to konger og to damer? (Dv.: det femte kortet er noe annet enn konge eller dame.) 3. Meningmåling 46 16

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 Kp. 2 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 2 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Grunnbegrep. Grunnbegrep, sannsynligheten for et utfall

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Grunnbegrep. Grunnbegrep, sannsynligheten for et utfall ÅM110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 006 Kp. Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige utfallen

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk (5sp), våren 2012 BMF100 Sannsynlighetsregning og statistikk 1 (10sp), våren 2012

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk (5sp), våren 2012 BMF100 Sannsynlighetsregning og statistikk 1 (10sp), våren 2012 Introduksjon Prakstisk informasjon, s. 1 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk (5sp), våren 2012 BMF100 Sannsynlighetsregning og statistikk 1 (10sp), våren 2012 Ny rammeplan for ingeniørfag Sannsynlighetsregning

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 008 Kp. Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori).5 Betinget sannsynlighet Betinget sannsynlighet (kp..5) - innledning Eks.: Et terningkast; {,, 3, 4,

Detaljer

Betinget sannsynlighet

Betinget sannsynlighet Betinget sannsynlighet Multiplikasjonsloven for sannsynligheter (s. 49 i bok): P( AB ) = P( A B ) P(B) Veldig viktig verktøy for å finne sannsynligheter for snitt. (Bevises ved rett fram manipulering av

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 ÅM0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 00 Kp. Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori).5 (kp..5) - innledning Eks.: Et terningkast; {,, 3, 4, 5, 6}. Ved bruk av uniform modell: hvert utfall

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 Kp. 2 Sannsynlighetsregning i (sannsynlighetsteori) t i) 2.5 Betinget sannsynlighet 1 Betinget sannsynlighet (kp. 2.5) - innledning Eks.: Et terningkast;

Detaljer

FASIT TIL NOEN OPPGAVER I SANNSYNLIGHET OG KOMBINATORIKK. Oppgave 9 a) 8 utfall: MMM, MMK, MKM, MKK, KMM, KMK, KKM, KKK b)

FASIT TIL NOEN OPPGAVER I SANNSYNLIGHET OG KOMBINATORIKK. Oppgave 9 a) 8 utfall: MMM, MMK, MKM, MKK, KMM, KMK, KKM, KKK b) FASIT TIL NOEN OPPGAVER I SANNSYNLIGHET OG KOMBINATORIKK Oppgave 9 utfall: MMM, MMK, MKM, MKK, KMM, KMK, KKM, KKK b) d) Oppgave 0 40.4 % b) 4. % Oppgave 9 4 b) d) 7 Oppgave 5 0. % b) 9. % 50.5 % Oppgave

Detaljer

MULTIPLE CHOICE ST0103 BRUKERKURS I STATISTIKK September 2016

MULTIPLE CHOICE ST0103 BRUKERKURS I STATISTIKK September 2016 MULTIPLE CHOICE ST0103 BRUKERKURS I STATISTIKK September 2016 SETT RING RUNDT DET RIKTIGE SVARET FOR HVER OPPGAVE. Oppgave 1 Stokastisk forsøk Stokastiske forsøk karakteriseres ved to av følgende egenskaper.

Detaljer

Løsninger. Innhold. Sannsynlighet 1P, 1T og 2P-Y

Løsninger. Innhold. Sannsynlighet 1P, 1T og 2P-Y Løsninger Innhold 3. Hva er sannsynlighet?... 2 3.2 Addisjon av sannsynligheter. Gunstige og mulige utfall... 3.3 Beregne sannsynligheter ved å bruke tabeller... 2 3.4 Beregne sannsynligheter ved å bruke

Detaljer

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger Hypergeometrisk fordeling Binomisk fordeling Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Tilfeldige

Detaljer

Eksamen S2 høst 2009 Løsning Del 1

Eksamen S2 høst 2009 Løsning Del 1 S Ekamen, høten 009 Løning Ekamen S høt 009 Løning Del Oppgave a) Deriver funkjonene: ) ln f f ln ln f ln ln f f ) g e e u, u g e e g e e e g 6e b) Vi har en aritmetik rekke der a 8 og a8. Betem a, d og

Detaljer

Sannsynlighet i uniforme modeller. Addisjon av sannsynligheter

Sannsynlighet i uniforme modeller. Addisjon av sannsynligheter Sannsynlighet i uniforme modeller. Addisjon av sannsynligheter Fagstoff Listen [] Hendelse En hendelse i en sannsynlighetsmodell består av ett eller flere utfall. Vi ser på det tilfeldige forsøket «kast

Detaljer

Løsninger. Innhold. Sannsynlighet Vg1P

Løsninger. Innhold. Sannsynlighet Vg1P Løsninger Innhold Modul. Hva er sannsynlighet?... 2 Modul 2. Addisjon av sannsynligheter. Gunstige og mulige utfall... 7 Modul 3. Beregne sannsynligheter ved å bruke tabeller... 3 Modul 4. Beregne sannsynligheter

Detaljer

Kap. 10: Inferens om to populasjoner. Inferens om forskjell i forventning ved å bruke to avhengige utvalg (10.3) ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Kap. 10: Inferens om to populasjoner. Inferens om forskjell i forventning ved å bruke to avhengige utvalg (10.3) ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kap. 0: Inferen om to populajoner Situajon: Det er to populajoner om vi ønker å ammenligne. Vi trekker da et utvalg fra hver populajon. Vi kan ha avhengige eller uavhengige utvalg. ST00 Statitikk for amfunnvitere

Detaljer

Kapittel 2: Sannsynlighet

Kapittel 2: Sannsynlighet Kapittel 2: Sannsynlighet Definisjoner: Noen grunnleggende begrep. Stokastisk forsøk: Et forsøk/eksperiment der det er tilfeldig hva utfall blir. Utfallsrom, : Mengden av alle mulige utfall av et stokastisk

Detaljer

Tema 1: Hendelser, sannsynlighet, kombinatorikk Kapittel ST1101 (Gunnar Taraldsen) :19

Tema 1: Hendelser, sannsynlighet, kombinatorikk Kapittel ST1101 (Gunnar Taraldsen) :19 Tema 1: Hendelser, sannsynlighet, kombinatorikk Kapittel 2.1-2.7 ST1101 (Gunnar Taraldsen) 2019-01-12 17:19 Sentrale definisjoner og regneregler Definisjoner: Stokastisk forsøk, utfallsrom, hendelser (snitt,

Detaljer

SANNSYNLIGHETSREGNING

SANNSYNLIGHETSREGNING SANNSYNLIGHETSREGNING Er tilfeldigheter tilfeldige? Når et par får vite at de skal ha barn, vurderes sannsynligheten for pike eller gutt normalt til rundt 50/50. Det kan forklare at det fødes omtrent like

Detaljer

- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l.

- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l. SANNSYNLIGHETSREGNING Terminologi Kombinatorikk Stokastisk Utfallsrom / utfall (enkeltutfall) - Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking

Detaljer

statistikk, våren 2011

statistikk, våren 2011 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 011 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable 1 Diskrete tilfeldige variable, innledning Hva er en tilfeldig variabel (stokastisk variabel)? Diskret tilfeldig

Detaljer

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 4 Section 5-2: Tilfeldige variable 5 Section 5-3: Binomisk

Detaljer

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Introduksjon Formålet med sannsynlighet og kombinatorikk er å kunne løse problemer i statistikk, somoftegårutpååfattebeslutninger i situasjoner der tilfeldighet rår.

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. Diskrete tilfeldige variable ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. Diskrete tilfeldige variable Diskrete tilfeldige variable, innledning

Detaljer

BEDRIFTSØKONOMISK ANALYSE MAN 8898 / 8998

BEDRIFTSØKONOMISK ANALYSE MAN 8898 / 8998 BEDRIFTSØKONOMISK ANALYSE MAN 8898 / 8998 Lineær programmering og bedriftøkonomike problemer Tor Tangene BI - Sandvika V-00 Dipoijon Bruk av LP i økonomike problemer Et LP-problem Begreper og noen grunnleggende

Detaljer

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Sannsynlighetsregning 1 Sannsynlighet Mål for opplæringa er at eleven skal kunne formulere, eksperimentere med og drøfte enkle uniforme og ikkje-uniforme sannsynsmodellar berekne sannsyn ved hjelp av systematiske

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 5: Sannsynlighetsfordelinger for diskrete variabler Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Tilfeldige variabler (5.1) Dersom vi til hvert utfall av eksperimentet

Detaljer

ECON Statistikk 1 Forelesning 3: Sannsynlighet. Jo Thori Lind

ECON Statistikk 1 Forelesning 3: Sannsynlighet. Jo Thori Lind ECON2130 - Statistikk 1 Forelesning 3: Sannsynlighet Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Hva er sannsynlighet? 2. Grunnleggende regler for sannsynlighetsregning 3. Tilfeldighet i datamaskinen

Detaljer

sannsynlighet for hendelse = antall ganger hendelsen inntreffer antall forsøk

sannsynlighet for hendelse = antall ganger hendelsen inntreffer antall forsøk Forrige forelesning oppsummert på 90 sekunder "stokastisk forsøk": myntkast, terningkast, trekking av kort,... utfallsrom: alle de mulige utfallene av et stokastisk forsøk eksempel på utfallsrom: kaster

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA4240 Statistikk H2010 2.5: Addisjonsregler (union) 2.6: Betinget sannsynlighet 2.7: Multiplikasjonsregler (snitt) 2.8: Bayes regel (starte litt) Mette Langaas Foreleses mandag 30. august 2010 2 Kapittel

Detaljer

ØVINGER 2017 Løsninger til oppgaver. 3.1 Myntkast For et enkelt myntkast har vi to mulige utfall, M og K. Utfallsrommet blir

ØVINGER 2017 Løsninger til oppgaver. 3.1 Myntkast For et enkelt myntkast har vi to mulige utfall, M og K. Utfallsrommet blir ØVINGER 017 Løsninger til oppgaver Øving 3.1 Myntkast For et enkelt myntkast har vi to mulige utfall, M og K. Utfallsrommet blir S = {M, K}. Med to etterfølgende myntkast blir utfallsrommet S = {MM, MK,

Detaljer

Kapittel 4: Sannsynlighet - Studiet av tilfeldighet

Kapittel 4: Sannsynlighet - Studiet av tilfeldighet Kapittel 4: Sannsynlighet - Studiet av tilfeldighet Vi så i forrige kapittel at utvalgsfordeling til en statistikk (observator) er fordelingen av verdiene til statistikken over alle utvalg av samme størrelse

Detaljer

Statistikk og økonomi, våren 2017

Statistikk og økonomi, våren 2017 Statistikk og økonomi, våren 207 Obligatorisk oppgave 3 Løsningsforslag Oppgave Produsenten av en type bærbar datamaskin har registrert at sannsynligheten er 0.2 for at tastaturet svikter, 0.09 for at

Detaljer

STK1100 våren 2017 Kombinatorikk

STK1100 våren 2017 Kombinatorikk STK1100 våren 2017 Kombinatorikk Svarer til avsnitt 2.3 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Uniform sannsynlighetsmodell Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige

Detaljer

2.3: Kombinatorikk 2.4: Sannsynlighet, og Monte Carlo simulering. Foreleses onsdag 25. august 2010

2.3: Kombinatorikk 2.4: Sannsynlighet, og Monte Carlo simulering. Foreleses onsdag 25. august 2010 TMA4240 Statistikk H2010 2.3: Kombinatorikk 2.4: Sannsynlighet, og Monte Carlo simulering. Mette Langaas Foreleses onsdag 25. august 2010 2 Sist - Kap 0 Hva er statistikk, og hvorfor skal du lære det?

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA4240 Statistikk H2010 2.3: Kombinatorikk 2.4: Sannsynlighet, og Monte Carlo simulering. Mette Langaas Foreleses onsdag 25. august 2010 2 Sist - Kap 0 Hva er statistikk, og hvorfor skal du lære det?

Detaljer

Symbolisering av logisk form: setningslogiske tegn.

Symbolisering av logisk form: setningslogiske tegn. Logike ltninger NB! Dette er for peielt intereerte: Siden det ikke tår å mye om dette i lærebøkene er omfanget av dette foreleningmanet alt for tort i forhold til hva vi kan betrakte om penm. Videre kan

Detaljer

Sannsynlighet oppgaver

Sannsynlighet oppgaver Sannsynlighet oppgaver Innhold 3.1 Pascals talltrekant... 2 3.2 Kombinatorikk... 4 3.3 Sannsynlighetsberegninger... 8 3.4 Hypergeometrisk sannsynlighetsmodell... 9 3.5 Binomisk sannsynlighetsmodell...

Detaljer

Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Empirisk sannsynlighet. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Empirisk sannsynlighet. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Sannsynligheten for en hendelse sier oss hvor ofte vi forventer at hendelsen inntreffer, dvs. den forventede relative frekvens av hendelsen. ST0202 Statistikk for

Detaljer

STK1100 våren Kombinatorikk = = Uniform sannsynlighetsmodell. Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige utfallene for forsøket.

STK1100 våren Kombinatorikk = = Uniform sannsynlighetsmodell. Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige utfallene for forsøket. ST1100 våren 2017 ombinatorikk Uniform sannsynlighetsmodell Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige utfallene for forsøket. Vi antar at de N utfallene er like sannsynlige. Svarer til avsnitt

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 0 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable Noen viktige sannsynlighetsmodeller Noen viktige sannsynlighetsmodeller ( Sanns.modell : nå betyr det klasse/type sanns.fordeling.

Detaljer

Fagdag 5-08.01.09. 2) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Fagdag 5-08.01.09. 2) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres? Fagdag Plan Fagdag - 08.01.0 1,2 time: Repetisjon kapittel 3 - Sannsynlighet Oppgaver Teori (lesestoff) 3, time: Arbeide med.1 og.2: 16, 17, 18, 1 3, time: Ekstra vurdering før terminoppgjør Repetisjon

Detaljer

SENSORVEILEDNING. Khaled Jemai Stein Berggren

SENSORVEILEDNING. Khaled Jemai Stein Berggren SENSORVEILEDNING Emnekode: LBMAT10210 Emnenavn: Matematikk 102 (1-7) Eksamensform: Skriftlig Dato: 15/01/2019 Faglærer(e): Khaled Jemai Stein Berggren Denne sensorveiledningen inneholder: 1. Om eksamen

Detaljer

INNHOLD. Matematikk for ungdomstrinnet

INNHOLD. Matematikk for ungdomstrinnet INNHOLD STATISTIKK... 2 FREKVENS... 2 RELATIV FREKVENS... 2 FREKVENSTABELL... 2 KLASSEDELING... 3 SØYLEDIAGRAM (STOLPEDIAGRAM)... 3 LINJEDIAGRAM... 4 SEKTORDIAGRAM... 4 HISTOGRAM... 4 FRAMSTILLING AV DATA...

Detaljer

Oppgaver. Innhold. Sannsynlighet 1P, 1T og 2P-Y

Oppgaver. Innhold. Sannsynlighet 1P, 1T og 2P-Y Oppgaver Innhold 3.1 Hva er sannsynlighet?... 2 3.2 Addisjon av sannsynligheter. Gunstige og mulige utfall... 5 3.3 Beregne sannsynligheter ved å bruke tabeller... 9 3.4 Beregne sannsynligheter ved å bruke

Detaljer

Sannsynlighet løsninger

Sannsynlighet løsninger Sannsynlighet løsninger Innhold 3.1 Pascals talltrekant... 2 3.2 Kombinatorikk... 5 3.3 Sannsynlighetsberegninger... 10 3.4 Hypergeometrisk sannsynlighetsmodell... 12 3.5 Binomisk sannsynlighetsmodell...

Detaljer

Kapittel 3: Kombinatorikk

Kapittel 3: Kombinatorikk Kapittel 3: Kombinatorikk Kombinatorikk handler om å telle opp antall muligheter i ulike situasjoner (for eksempel telle opp antall gunstige og antall mulige i forbindelse med sannsynlighetsberegninger.

Detaljer

4.4 Sum av sannsynligheter

4.4 Sum av sannsynligheter 4.4 Sum av sannsynligheter Nina trekker kort fra en vanlig kortstokk med 52 kort. Vi innfører hendingene H: Kortet er en hjerter S: Kortet er en spar Det er 13 hjerter og 13 spar i stokken. Sannsynligheten

Detaljer

Forskjellige typer utvalg

Forskjellige typer utvalg Forskjellige typer utvalg Det skal deles ut tre pakker til en gruppe på seks. Pakkene inneholder en TV, en PC og en mobiltelefon. På hvor mange måter kan pakkene deles ut? Utdelingen skal være tilfeldig

Detaljer

Signalfiltrering. Finn Haugen TechTeach. 21. september 2003. Sammendrag

Signalfiltrering. Finn Haugen TechTeach. 21. september 2003. Sammendrag Signalfiltrering Finn Haugen TechTeach. eptember 3 Sammendrag Dette dokumentet gir en kort bekrivele av ignalfiltrering med tidkontinuerlige, ogå kalt analoge, filtere og med tiddikrete, ogå kalt digitale,

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Oppsummering Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 24. april Bjørn H. Auestad Oppsummering våren

Detaljer

Oppgaver. Innhold. Sannsynlighet Vg1P

Oppgaver. Innhold. Sannsynlighet Vg1P Oppgaver Innhold Modul 1. Hva er sannsynlighet?... 2 Modul 2. Addisjon av sannsynligheter. Gunstige og mulige utfall... 6 Modul 3. Beregne sannsynligheter ved å bruke tabeller... 10 Modul 4. Beregne sannsynligheter

Detaljer

Utfallsrom og hendelser. Disjunkte hendelser. Kapittel 2: Sannsynlighet. Eirik Mo Institutt for matematiske fag, NTNU

Utfallsrom og hendelser. Disjunkte hendelser. Kapittel 2: Sannsynlighet. Eirik Mo Institutt for matematiske fag, NTNU 3 Utfallsrom og hendelser Kapittel 2: Sannsynlighet 2., 2.2: Utfallsrom og hendelser 2.3, 2.4: Kombinatorikk og sannsynlighet 2.5, 2.6, 2.7: Regneregler, betinget sanns. 2.8: Bayes regel DEF 2. Ufallsrom:

Detaljer

SLUTTPRØVE. Løsningsforslag. Antall oppgaver: 4 KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG

SLUTTPRØVE. Løsningsforslag. Antall oppgaver: 4 KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG Høgkolen i elemark Avdeling for teknologike fag SLUPRØVE Løningforlag EMNE: EE49 Modellbaert regulering LÆRERE jell-erik Wolden og Han-Petter Halvoren LASSE(R): IA DAO: 9.5. PRØVEID, fra-til (kl.): 9..

Detaljer

Ulike typer utvalg. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Ordnet utvalg uten tilbakelegging. Ordnet utvalg med tilbakelegging.

Ulike typer utvalg. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Ordnet utvalg uten tilbakelegging. Ordnet utvalg med tilbakelegging. MAT0100V Sasylighetsregig og kombiatorikk Ordet utvalg med og ute tilbakeleggig (repetisjo) Uordet utvalg ute tilbakeleggig (repetisjo) Tilfeldige variabler og sasylighetsfordeliger Hypergeometrisk fordelig

Detaljer

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Kapittel 3: Sannsynlighetsregning Definisjoner: Noen grunnleggende begrep. Stokastisk forsøk: Et forsøk/eksperiment der det er tilfeldig hva utfallet blir. Utfallsrom, S: Mengden av alle mulige utfall

Detaljer

Kapittel 2: Sannsynlighet

Kapittel 2: Sannsynlighet Kapittel 2: Sannsynlighet 2.1, 2.2: Utfallsrom og hendelser 2.3, 2.4: Kombinatorikk og sannsynlighet 2.5, 2.6, 2.7: Regneregler, betinget sanns. 2.8: Bayes regel Eirik Mo Institutt for matematiske fag,

Detaljer

MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Uordnet utvalg uten tilbakelegging (repetisjon) Tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger Hypergeometrisk fordeling Binomisk fordeling Ørnulf Borgan

Detaljer

Kompetansemål Hva er sannsynlighet?... 2

Kompetansemål Hva er sannsynlighet?... 2 3 Sannsynlighet Innhold Kompetansemål... 2 3. Hva er sannsynlighet?... 2 Utfall og utfallsrom... 3 Tilfeldig forsøk... 3 Definisjon av sannsynlighet... 5 Sannsynlighetsmodeller... Andre eksempler på tilfeldige

Detaljer

Forelesning nr.3 IN 1080 Mekatronikk. Parallelle og parallell-serielle kretser Kirchhoffs strømlov

Forelesning nr.3 IN 1080 Mekatronikk. Parallelle og parallell-serielle kretser Kirchhoffs strømlov Forelenng nr.3 IN 080 Mekatronkk Parallelle og parallell-erelle kreter Krchhoff trømlo Dagen temaer Krchhoff trømlo Parallelle kreter Kreter med parallelle og erelle ter Effekt parallelle kreter Temaene

Detaljer

6 Sannsynlighetsregning

6 Sannsynlighetsregning MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning 6 Sannsynlighetsregning 6.1 Forsøk. Utfallsrom. Sannsynlighet (sjanse). Sannsynlighetsmodell Ved ett kast med en terning vet vi at terningen vil vise enten ett, to,

Detaljer

Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I

Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I 4 Kombinatorikk Vi må lære tellemetoder når valgtrær, som vi brukte tidligere, blir for store og vanskelig å håndtere.

Detaljer

Total sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk = Vi kan skrive en hendelse B som en disjunkt

Total sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk = Vi kan skrive en hendelse B som en disjunkt MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Total sannsynlighet Vi kan skrive en hendelse B som en disjunkt union av A B og A B Total sannsynlighet og Bayes' setning Kombinatorikk Ordnede utvalg med

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi LM6M- Matematikk -Ekamen 9.mai HØGSKOLEN I SØR-TRØNELG veling for teknologi Kaniatnr: Ekamenato: Varighet/ekamenti: Emnekoe: Manag 9.mai 9-4 LM6M Emnenavn: Matematikk Klae(r): EL Stuiepoeng: Faglærer(e):

Detaljer

Kapittel 2: Sannsynlighet [ ]

Kapittel 2: Sannsynlighet [ ] Kapittel 2: Sannsynlighet [2.3-2.5] TMA4240 Statistikk (F2 og E7) 2.3, 2.4, 2.5: Kombinatorikk og sannsynlighet [18.august 2004] Ole.Petter.Lodoen@math.ntnu.no p.1/21 Produktregel for valgprosess TEO 2.1

Detaljer

PD-regulator med faseforbedrende egenskaper. Denne ma dessuten klare

PD-regulator med faseforbedrende egenskaper. Denne ma dessuten klare Norge teknik naturvitenkapelige univeritet Intitutt for teknik kybernetikk Oktober 99/PJN, September 9 /MPF Utlevert:..9 0 SERVOTENI Lningforlag ving 0 a) Oppgave Vi kriver h() pa formen ( +0:)( ; 0:)

Detaljer

Blokk1: Sannsynsteori

Blokk1: Sannsynsteori Blokk1: Sannsynsteori Statistikk er vitskapen om læring frå data, og måling, kontroll og kommunikasjon av usikkerheit (Davians Louis, Science, 2012). Vi lærer frå data ved å spesifisere ein statistisk

Detaljer

Sannsynlighet og statistikk

Sannsynlighet og statistikk Sannsynlighet og statistikk Arkeologiske utgravinger har vist at mennesker har underholdt seg med forskjellige spill i tusener av år. Terninger fra India som ble brukt i spill, er faktisk 5000 år gamle.

Detaljer

b) Hvis det er mulig å svare blankt (dvs. vet ikke) blir det 5 svaralternativer på hvert spørsmål, og dermed mulige måter å svare på.

b) Hvis det er mulig å svare blankt (dvs. vet ikke) blir det 5 svaralternativer på hvert spørsmål, og dermed mulige måter å svare på. Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen Avsnitt 5. Oppgave 3 Når et spørsmål har 4 svaralternativer

Detaljer

Kompetansemål Sannsynlighet, S Innledning Pascals talltrekant Binomialkoeffisienter Kombinatorikk...

Kompetansemål Sannsynlighet, S Innledning Pascals talltrekant Binomialkoeffisienter Kombinatorikk... Sannsynlighet Innhold Kompetansemål Sannsynlighet, S1... 2 Innledning... 2 3.1 Pascals talltrekant... 3 Binomialkoeffisienter... 6 3.2 Kombinatorikk... 9 Ordnet og uordnet utvalg... 10 Med og uten tilbakelegging...

Detaljer

Kapittel 1: Beskrivende statistikk

Kapittel 1: Beskrivende statistikk Kapittel : Bekrivede tatitikk Defiijoer: Populajo og utvalg Populajo: Alle mulige obervajoer vi ka gjøre (x,x,,x N ). Utvalg: Delmegde av populajoe (x,x,,x der

Detaljer

Notat kombinatorikk og sannsynlighetregning

Notat kombinatorikk og sannsynlighetregning Notat kombinatorikk og sannsynlighetregning av Peer Andersen Peer Andersen 2010 1 SANNSYNLIGHETSREGNING MED FLERE TRINN Sannsynlighetsregning med et trinn kan være situasjoner der vi spør hva sjansen er

Detaljer

Kapittel 5: Tilfeldige variable, forventning og varians.

Kapittel 5: Tilfeldige variable, forventning og varians. Kapittel 5: Tilfeldige variable, forventning og varians. Tilfeldige variable Tilfeldige variable kalles også stokastiske variable. En tilfeldig variabel er en variabel som får sin numeriske verdi bestemt

Detaljer

Oppgaver til Dynamiske systemer 1

Oppgaver til Dynamiske systemer 1 Oppgaver til Dynamike ytemer Oppgave 0. Lineariering av ulineær modell Likning (2.28) i læreboka er en dynamik modell av en tank med gjennomtrømning og oppvarming. Modellen gjengi her: cρv T (t) P (t)+cw(t)[t

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 21. april Bjørn H. Auestad Oppsummering våren

Detaljer

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer. Parallelle og parallell-serielle kretser Kirchhoffs strømlov

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer. Parallelle og parallell-serielle kretser Kirchhoffs strømlov Forelenng nr.3 INF 4 Elektronke ytemer Parallelle og parallell-erelle kreter Krchhoff trømlo Dagen temaer Krchhoff trømlo Parallelle kreter Kreter med parallelle og erelle ter Effekt parallelle kreter

Detaljer

Samfunnsøkonomi andre avdeling, mikroøkonomi, Diderik Lund, 13. mars 2002

Samfunnsøkonomi andre avdeling, mikroøkonomi, Diderik Lund, 13. mars 2002 Samfunnøkonomi andre avdeling, mikroøkonomi, Diderik Lund, 3. mar 00 Måling av graden av riikoaverjon Blant konkave nyttefunkjoner: Mer konkav betyr terkere riikoaverjon Vanlig å måle grad av konkavitet

Detaljer

Quiz, 4 Kombinatorikk og sannsynlighet

Quiz, 4 Kombinatorikk og sannsynlighet Quiz, 4 Kombinatorikk og sannsynlighet Innhold 4.1 Begreper i sannsynlighetsregning... 2 4.2 Addisjon av sannsynligheter... 6 4.3 Produktsetningen for sannsynlighet... 12 4.4 Kombinatorikk og sannsynlighetsberegning...

Detaljer

6 Sannsynlighet. Læreplanmål for 1P og 2P-Y. Læreplanmål for 1T

6 Sannsynlighet. Læreplanmål for 1P og 2P-Y. Læreplanmål for 1T 6 Sannsynlighet 6.1 Læreplan 6A Sannsynlighet og relativ frekvens 6B Sannsynlighet for en hendelse 6C Antall utfall i sammensatte forsøk 6D Komplementære hendelser 6E Krysstabell og venndiagram 6F Addisjonssetningen

Detaljer

Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI. 1. Måleenheter. 1.1 Lengdeenheter. 1.2 Arealenheter. Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm

Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI. 1. Måleenheter. 1.1 Lengdeenheter. 1.2 Arealenheter. Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI 1. Måleenheter 1.1 Lengdeenheter Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm m dm 5 m = 5 10 dm = 50 dm m cm 5 m = 5 10 10 cm = 5 10 2 cm = 500 cm m mm 5 m

Detaljer

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Sannsynlighetsregning Per G. Østerlie Thora Storm vgs per.osterlie@stfk.no 5. april 203 Hva og hvorfor? Hva? Vi får høre at det er sannsynlig at et eller annet kommer til å skje. Sannsynligheten for å

Detaljer

Sannsynlighetsregning og Statistikk

Sannsynlighetsregning og Statistikk Sannsynlighetsregning og Statistikk Leksjon 2. Leksjon 2 omhandler begreper og regneregler for sannsynligheter. Dette er behandlet i kapittel 3.1 og 3.2 i læreboka. Du bør når du har fullført leksjon 2

Detaljer

Følgelig vil sannsynligheten for at begge hendelsene inntreffer være null,

Følgelig vil sannsynligheten for at begge hendelsene inntreffer være null, Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 3, blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 Hvis hendelsene A og B er uavhengige, vil enhver kunnskap om hvorvidt A har

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi ALM6M-A Matematikk : Kontinuajonekamen augut HØGSKOLEN I SØR-TRØNELAG Avdeling for teknologi Kandidatnr: Ekamendato: Varighet/ekamentid: Emnekode: Augut 9-4 ALM6M Emnenavn: Matematikk Klae(r): EL Studiepoeng:

Detaljer

Matematikksenterets 10-årsjubileumskviss

Matematikksenterets 10-årsjubileumskviss Matematikksenterets 10-årsjubileumskviss 1. Selv-beskrivende nummer. Finn et ti-sifret tall der det første sifferet forteller hvor mange 1ere det er i tallet, det andre sifferet forteller hvor mange 2ere,

Detaljer

Oppgave 1. (x i x)(y i Y ) (Y i A Bx i ) 2 er estimator for σ 2 (A er minstek-

Oppgave 1. (x i x)(y i Y ) (Y i A Bx i ) 2 er estimator for σ 2 (A er minstek- MOT310 Statitike metoder 1 Løningforlag til ekamen vår 010,. 1 Oppgave 1 a) Modell: Y i α + βx i + ε i der ε 1,..., ε n u.i.f. N 0, σ ). b) Vil tete: Tettørrele H 0 : β 0 mot H 1 : β 0 B β T t n under

Detaljer

Lottotrekningen i Excel

Lottotrekningen i Excel Peer Andersen Lottotrekningen i Excel Mange leverer ukentlig inn sin lottokupong i håp om å vinne den store gevinsten. Men for de aller fleste blir den store gevinsten bare en uoppnåelig drøm. En kan regne

Detaljer

INF1800 Forelesning 2

INF1800 Forelesning 2 INF1800 Forelesning 2 Mengdelære Roger Antonsen - 20. august 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:36) Mengdelære Læreboken Det meste av det vi gjør her kan leses uavhengig av boken. Følgende avsnitt i boken

Detaljer

Vedlegg 6.1 KAPASITETSBEREGNING FOR INNSTØPTE STÅLPLATER MED FORANKRING TYPE KL

Vedlegg 6.1 KAPASITETSBEREGNING FOR INNSTØPTE STÅLPLATER MED FORANKRING TYPE KL edlegg 6. KAPASITETSBEREGIG FOR ISTØPTE STÅLPLATER ED FORAKRIG TYPE KL Etter Betongelementboken bind B kapittel 9. Kapaitetkontrollen utøre i bruddgrenetiltanden. De ytre latene dele i latvirkninger på

Detaljer

Kapittel 3: Kombinatorikk

Kapittel 3: Kombinatorikk Kapittel 3: Kombinatorikk Kombinatorikk handler om å telle opp antall muligheter i ulike situasjoner (for eksempel telle opp antall gunstige og antall mulige i forbindelse med sannsynlighetsberegninger).

Detaljer

Deterministiske fenomener MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Deterministiske fenomener MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Deterministiske fenomener MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne når det er soloppgang og solnedgang Grunnleggende sannsynlighetsregning Det er mulig

Detaljer

Mengdelære INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 2: MENGDELÆRE. Læreboken. Mengder. Definisjon (Mengde) Roger Antonsen

Mengdelære INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 2: MENGDELÆRE. Læreboken. Mengder. Definisjon (Mengde) Roger Antonsen INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 2: MENGDELÆRE Roger Antonsen Mengdelære Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 20. august 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:36) Læreboken Mengder Definisjon

Detaljer

INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET

INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 2: MENGDELÆRE Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 20. august 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:36) Mengdelære Læreboken Det meste

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi Program for elektro- og datateknikk 7004 TRONDHEIM

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi Program for elektro- og datateknikk 7004 TRONDHEIM HØGSKOLEN I SØR-RØNDELAG Avdeling for teknologi Program for elektro- og datateknikk 7004 RONDHEIM ALM005M-A Matematikk 1 Grunnlagfag - 10 tudiepoeng Cae Høt 011 Le dette ført Caen er en "hjemmeoppgave"

Detaljer

Matematikk for IT. Prøve 1 Løsningsforslag. Fredag 23. september september Oppgave 1

Matematikk for IT. Prøve 1 Løsningsforslag. Fredag 23. september september Oppgave 1 Matematikk for IT Prøve 1 Løsningsforslag Fredag 23. september 2016 23. september 2016 Oppgave 1 Er 29 17 (mod 4)? Begrunn svaret. Dette kan vi lettest sjekke ved å se om 4 deler 29 17. 29 17 = 12. Vi

Detaljer

4: Sannsynlighetsregning

4: Sannsynlighetsregning Plan for hele året: - Kapittel 5: Januar - Kapittel 6: Februar - Kapittel 7: Februar/mars 4: Sannsynlighetsregning - Kapittel 8: Mars/april - Repetisjon: April/mai - Økter, prøver, prosjekter: Mai - juni

Detaljer

Trekking uten tilbakelegging. Disjunkte hendelser (4.5) Forts. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Trekking uten tilbakelegging. Disjunkte hendelser (4.5) Forts. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Trekking uten tilbakelegging ST0202 Statistikk for samfunnsvitere o Lindqvist Institutt for matematiske fag En bolle inneholder 7 kuler, 5 gule (Y) og to røde (). To kuler trekkes uten tilbakelegging,

Detaljer

Oppgaveløsninger til undervisningsfri uke 8

Oppgaveløsninger til undervisningsfri uke 8 1 HG Februar 2013 Oppgaveløsninger til undervisningsfri uke 8 Oppgave 3.17 Definer to begivenheter Oppgitt A = løgntesten sier at Per lyver B = Per lyver faktisk PAB ( ) = 0.85 PA ( B) = 0.70 PB ( ) =

Detaljer

Kombinatorikk og sannsynlighet løsninger

Kombinatorikk og sannsynlighet løsninger Kombinatorikk og sannsynlighet løsninger Innhold 4.1 Multiplikasjon av sannsynligheter... 2 Produktsetningen... 11 4.2 Kombinatorikk... 24 4.3 Sannsynlighetsberegninger... 27 4.4 Hypergeometrisk sannsynlighetsmodell...

Detaljer