Den kritiske lasten for at den skal begynne å bøye ut kalles knekklasten. Den avhenger av stavens elastiske egenskap og er gitt ved: 2 = (0.

Transkript

1 HIN Industriteni RA Side 1 av 7 Kneing Staver Kneing er en elastis eller plastis ustabilitet som forårsaes av trspenninger. For å forstå fenomenet er det vanlig å starte med det enleste tilfelle, som betegnes Eulerstaven. Dette er en stav som med leddet innfesting som er fastholdt i sideretningen, og som er utsatt for tr. En liten esentrisitet i belastningen vil få staven til å bøe ut sidelengs når trraften oversrider en viss verdi. Vi ser at raftens moment om punt P, og dermed bøemomentet i bjelen øer med utbøningen. Har staven først begnt å bøe seg, vil den bli svaere jo mer den bøer seg 1. Ved bøning opphører staven å være en asialstav belastningsmessig sett. Den er nå en bjele, fordi det virer bøemoment i den. 1 F F > P E a1 P Den ritise lasten for at den sal begnne å bøe ut alles nelasten. Den avhenger av stavens elastise egensap og er gitt ved: π EI PE = (0.1) der E er materialets E-modul, I er stavtverrsnittets annet arealmoment og er lengden. Knelasten er avhengig av hvordan trstaven an bøe seg. Eulerstaven er leddet øverst og nederst og endene an rotere om leddet uten motstand fra innfestingen. Hvis f.es. nedre ende er fast innspent, vil denne være fastholdt mht. rotasjon og det nelasten blir høere. Vi bruer samme grunnformel som før, men ompenserer ved å innføre nelengden, som regnes ortere enn. Formel (0.1) omdannes til π EI P =, der = fator (0.) Fatoren vises på figuren under for en del vitige tilfeller, der (1) er eulerstaven: 1 Dette følger av analse med 1. ordens bjeleteori, som un gjelder for små deformasjoner. En mer nøatig analse viser at staven tar masimal raft ved a. 30% utbøning, forutsatt at den elastise grensen ie er oversredet, jfr, stavsprang.

2 HIN Industriteni RA Side av 7 Esempel En treantet ramme ABC som er 600 mm hø og stier 450 mm ut fra veggen sal bære en raft på F = 5000 N. Kraften virer på tterste ant. Hva er trraften i del BC? Hvor stort annet arealmoment må det være for tverrsnittet av del BC? øsning Da raften virer i B, vil bøestivheten i hjørne A ie bidra til å bære raften. Vi idealiserer derfor til et fagver, se figur. A 450 F B v 1 F Betrat nute B og finn stavraften N BC : F = 0: F NBCsinv= NBC = 650 N, (sin v= = 0,8) C Del BC står i tr og an nee. Dette an nå enten sje i planet som inneholder ABC eller i et plan vinelrett på dette. Stivheten i rammehjørnene motvirer neing med ledd i B og C i planet som inneholder ABC, Evt. neing vil sje etter neform (3). Uten spesielle mottilta vil rammen unne vri seg ut av planet ABC i puntene B og C, se figur og evt. neing blir etter neform (1), som ommer ved mindre raft enn neform (3). Kneform (1) blir dimensjonerende: = = + = = mm 0, 75 m 9 π EI π P =, 650= 0,75 I = 5,1 10 m = 5100 mm Altså vi må brue en profil for del BC som har annet arealmoment på minst I = 5100 mm. Hvis Hele hjørnet sjæres ut av 3 mm plate, sli at del BC blir 3 mm t, finner vi at bredden må være omring 500 mm ( = 565 mm ), og at det dermed ie er 1 mulig å brue flat plate. Vi må brue profil eller bue en ant langs BC. Oppslag i tabeller viser at vi f.es. an brue et vinelprofil på 5 5 mm ( mm platetelse, 4 I = 5700 mm ). I Korte staver, nespenning Vi an bringe inn trspenningen i materialet ved å dividere med tverrsnittet. Formelen for neing an da omgjøres til en formel for nespenning: π E = (0.3) λ der λ betegnes staven slanhet og er gitt ved λ =, i

3 HIN Industriteni RA Side 3 av 7 i betegnes arealtreghetsradien og fås av i = I A Dersom staven er ort, vil nespenningen beregnet på denne måten bli høere enn materialets fltegrense eller trbruddgrense. Når deler av staven når fltegrensen vil ombinasjonen av elastis og plastis tøning vil forstere deformasjonen, og staven får en plastis assistert neing, også alt uelastis neing. Plastis assistert neing inntreffer ved dutile materialer ved λ < For meget orte staver blir den tillate spenningen li fltespenningen. Det vil da være en overgangssone mellom den rene eulertilstanden og den rene fltompressjonen, der tillat trspenning må begrenses. Det finnes en ree metoder for å besrive denne overgangen, bla ved bru av tangentmodulorresjon (MI standard, USA, /1/) eller ved å legge inn en rett linje mellom λ-verdier mellom a 15 og a 50 3, som er en vanlig metode tilpasset aluminium i satellitt- og romfartø-struturer/1/. Den vanligste metoden er imidlertid å legge inn "Johnson's parabel". Den ritise spenningen settes da til: λ 1 E 1, > λ< π 4π E =, π E, ellers λ der er fltespenning (0.4) Denne funsjonen er plottet i figuren under. d d Tangentmodulen er den deriverte Et = for ε-verdier over proporsjonalgrensen. er sann spenning. ε 3 Clar and Rolf (1966), metoden er tilpasset amerianse enheter

4 HIN Industriteni RA Side 4 av 7 [MPa] Eulerurve λ Knespenning for trstav, orrigert for fltespenning,, formel (0.4). Plateneing Kne-fenomenet er så langt forlart ved hjelp av utbøing av en trstav. Imidlertid er loal neing av tnne tverrsnitt så som plater, plater med stivere, forsjellige sall, bjeler med tnne tverrsnitt osv. lie vitig. Disse tpene neing betegnes loal neing eller buling ("buling"), og er både av elastis og av plastis arater. Klassis analse vil gi at trspenningen som gir loal neing i tnne plater avhenger av plateslanheten i andre potens /1/, // og /3/: π E t = 1( 1 ν ) b, (0.5) der er en fator som avhenger av opplagring og lastbilde, og er oppgitt i tabeller. ν er poissontallet, t og b er hhv platen telse og bredde (vinelrett på lasten). Tabell 1 viser noen verdier for onstanten /3/. En vanlig geometri i satellitter er tnnveggete slinder. Slindersmmetrien gir en mer stabil form, og ritis spenning avhengig av telse/diameterforholdet i første potens. Data fra NAFSA Handboo og andre ilder /4/ oppgir en sierhetsfator på omring 3 for å fange opp faren for geometrise avvi fra ideell slinderform: E t t t = 0,6E, 0, tillatt = = E (0.6) 1 ν r r 3 r der E er materialets E-modul, t og r er hhv. veggtelse og radius for slinderen. oal neing gjør seg gjeldende i alle trbelastede områder dersom godstelsen er for liten. I bjeler som bøes vil trflensen være utsatt ved at anten får et nemønster (buler). Den delen av steget som er i tr, vil derimot være støttet av geometrien. Det følger

5 HIN Industriteni RA Side 5 av 7 av dette at rør og hulprofiler vil være vesentlig bedre mht. loal neing. Ved store bredder, blir rør og hulprofiler å betrate som plater og rør, se over Esempel En aluminiumplate sves på plass i et spor i et rammever for en satellitt. Platen måler mm og belastes med tr på den orteste anten. Anta at tret fordeler seg jevnt og beregn ritis last på plateanten mht. loal neing i platen. øsning: Belastningen tilsvarer situasjon 1a i plateneing, Tabell 1. a 500,5 K 3,37 b = 00 = = For aluminium har vi E = 70 GPa og ν = 0,3 9 π E t π = K 3, Pa = 6 MPa = 1 ν b 1 0, P = A= 6 10 Pa m = N ( ) Vipping En annet vitig fenomen er vipping, eller torsjonsustabilitet. Dimensjonering mot vipping gjøres for esempel i NS347 // for stålonstrusjoner. Feil! Fant ie referanseilden. viser at man an minse vippingsfaren ved å henge opp lasten under en bjele i stedet for å plassere den oppe på bjelen. Figur 1. Vipping /1/

6 HIN Industriteni RA Side 6 av 7 1 Sarafin, T. (ed.): Spaeraft Strutures and Mehanisms From Conept to aunh, Miroosm, In. / lüwer NS 347 3:001, Prosjetering av stålonstrusjoner. Beregnings- og onstrusjonsregler. Norges Standardiseringsforbund. 3 Young, W.C.: and Budnas, R.G.: Roar's Formulas for Stress and Strain, 7th. ed. MGraw-Hill Cruise, A.M., Bowles, J.A., Patri, T.J. and Goodall, C.V.: Priniples of Spae Instrument Design, Cambridge Univ. press, 1997

7 HIN Industriteni RA Side 7 av 7 1a E t = K 1 ν b b t: telse, b: bredde E: E-modul, ν: poissontall K: Kneingsfator -: Verdi an estimeres x: Verdi an ie estimeres a 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,8 1,0 1, 1,6,0,5 3,0 5,0 b 1a Alle anter fritt lagret, 10,9 6,9 5,57 4 4,3 3,45 3,9 3,40 3,45 3,9 3,37 4 3,9 3,9 3,9 1b Alle anter innspent x x x x x x 7,7 7,5 7,1 6,7 6,6 6,4 5,73 5,73 1 Kantene b fritt lagret x x 7,76 6,3 5,80 6,00 5,80 5,80 6,00 5, ,73 Kantene a innspent 1d Kantene b fritt lagret x x x 3, ,18 0,934 0,687 0,574 0,50 0,464 0,416 x En side a fritt lagret, en side a fri 1e Kantene b fritt lagret x x x x x x 1,40 1,1 1,09 1,14 1, 5 x x x En side a innspent en side a fritt lagret 1f Kantene b innspent x x x x 11,0 7,18 5,54 4,80 4,39 3,99 3,81 3,63 x x Kantene a fritt lagret 1 Tabell 1 Kneingsformel og neingsfator for plan plate under jevnt tr på motsatte anter. Utarbeidet fra Roar's formler. 4 Interpolert 5 Estrapolert