Eksemplet bygger på en ide fra Thor Bernt Melø ved Institutt for fysikk ved NTNU og Tom Lindstrøms bok Kalkulus.

Transkript

1 LÆRERARK...om å tømme en beolder for vann Esemplet bygger på en ide fra Tor Bernt Melø ved Institutt for fysi ved NTNU og Tom Lindstrøms bo Kalulus. Problemstilling: Vi ar et sylindris beger med et sirulært ull nær bunnen. Vi ønser å bestemme sammenengen mellom væseøyden som funsjon av tiden etter som væsen renner ut gjennom ullet. Læringsmål: Eleven sal trenes i å uttrye en matematisesammenenger ved jelp av differensialligninger på bagrunn av en onret problemstilling. Dernest sal de løse ligningen både esplisitt, og nummeris ved jelp av Exel. Til sist sal det utføres esperimenter for å undersøe gyldigeten av modellen ev. finne onstantene i ligningen. Utarbeidet av Solelaboratoriet ved NTNU - NKR Utstyr: 1 st. beger med ull nær bunnen (ev. avsaget brusflase 1,5 liter) 1 st. stort ar for å samle opp vannet 1 st. stoppeloe Dette er en lassis problemstilling først besrevet av den italiense fysieren Evangelista Torricelli ( ) som forøvrig er mest jent som oppfinneren av barometeret. (t) d 1 d Etablering av modellen ut fra fysise lover: Dersom aret og åpningen nær bunnen er sirulære an vi srive: d πr 1 d 1 π (1) (t) d 1 d A A πr π----- () 4 (t) ρ Hvor og A er arealene til enoldsvis overflata til begeret og åpningen nederst. d 1 og d er tilørende diametere. v Vi ser bort fra frisjonen i røråpningen og antar at vannet i beolderen ar en viss potensiell energi på grunn av tyngen til vannmassen. Den potensielle energien omdannes til bevegelsesenergi idet vannet syner i beolderen og det presses ut gjennom åpningen. Vi antar at det i løpet av tiden Δt ar rent en masse m ut av beolderen. Den potensielle energien til vannmengden i beolderen er dermed redusert med: A m E p m g og omdannet til bevegelsesenergi i vannstrålen som ommer ut av ullet: (3) (t) t+δt v 1 E -- m v (4) Her er v væsens astiget idet det ommer ut av røret, g er tyngdens aselerasjon og den midlere øydeforsjellen mellom væsemengden m og åpningen.

2 Dersom vi antar at systemt er frisjonsfritt, vet vi at avgitt potensiell energi er li mottatt inetis energi i vannstrålen. Denne sammenengen an vi ut fra energibetratninger uttrye som: m g 1 -- m v (5) Løser vi denne mt. astigeten v får vi: v g (6) Vi vet også at når en volumenet strømmer ut gjennom åpningen i bunnen, vil væsevolumet inne i beolderen mine med et lie stort volum. Gjør vi dette volumet meget lite., an vi sette opp følgende: A Δ Δx v Δt (7) Δ A Δx siden Δx v Δt. Setter vi inn uttryet for v få vi: Δ v Δt g Δt Δt A A (8) Δ Δt (9) vor g A (10) Ligning (9) alles en differanseligning. Vi an srive endringen i vannstanden etter et lite tidsinrement Δt på følgende måte: t ( + Δt) t () Δt (11) Vi an på grunnlag av ligning (11) beregne verdiene for øyden fortløpende for vert tidsinrement Δt. Løsning av differanseligning i Exel Vi sal først simulere forløpet på grunnlag av ligning (11). Vi går da fram som følger: Sriv inn i regnearet: Dernest sriver vi inn følgende formler i de ulie cellene I celle A 0 I celle A3 A+$E$5 $E$5 betyr at ved opiering oldes denne adressen onstant. E5 er tidsinrementet. I celle B E E angir startverdien

3 I celle B3 B-$E$7*ROT(B)*$E$5 Uttryer ligning (11) I celle E 16 Ønset vannstand ved start I celle E3 PI()*(G3/)^ Beregner, rørets areal, G3 er diameteren til røret. I celle E4 PI()*(G4/)^ Beregner A, arets areal, G4 er diameteren til aret. I celle E5 0,5 Angir tidsinrementet I celle E7 E3/E4*ROT(*981) Beregner ligning (10), dvs. onstanten I celle G3 0,6 Diameter til ullet i cm I celle G4 9 Diameter til aret i cm Resultatet sal da se sli ut. 6 0,197 Vi ar i tillegg justert antall desimaler etter omma. Dette gjøres ved å velge Hjem og velge (redusere) eller (øe) gjentatte ganger til vi oppnår ønset antall desimaler. Kopering av celler Vi sal så opiere cellene A3 og B3 sli at ver beregning bygger på forrige verdi. I tillegg sal enelte parametere være fast, referert til verdier i olonnene E og F. De faste referansene er angitt med $-tegn i formlene over. Gjør følgende: 1. Mer celle A3 og B3 og try Ctrl c. Mer cellene A4 - A150 og B4 - B150 og try Ctrl v. Dette an også gjøres ved å mere A4 for deretter å gå til B150 og mere denne samtidig som du olde Sift-tasten nede. Try deretter Ctrl v. Da opieres formlene forløpende og verdier beregnes. Lag diagram Selv om tabellen er best egnet til nøyatig avlesningen, er det nyttig å a et funsjonsdiagram for å se forløpet. Vi ønser å se vannstanden som funsjon av tiden. For å sette opp et diagram av denne typen, gjør vi følgende: 1. Mer olonnene A og B, inluder oversriftene. Velg Sett inn fra ovedmenyen. 3. Fra submenyen Diagrammer velges Punt. Deretter velges for esempel Puntdiagram med rette linjer. 4. Umiddelbart ommer følgende diagram opp. Grafen over er for et ull på 6 mm og en beolder med diameter på 9 cm. Vannstanden ved start er som vi ser 16 cm. Flytt diagrammet opp til nær toppen av regnearet.

4 Kontrollmåling Vi vil nå undersøe om ligningssystemet stemmer med vireligeten. Målingene ble utført ved jelp av en avortet 1,5 liter brusflase av plast. Vi måler tiden det tar å redusere vannstanden fra 16 til 8 cm ( alveringstiden ). Tabellen under viser både beregnede og målte verdier: Flase Diameter Hull Vannstand Måleøyde Beregnet Målt Δt Flase A 9 cm 0,4 cm 16 cm 8 cm 6,5 se 35,1 se 8,6 se Flase B 9 cm 0,5 cm 16 cm 8 cm 17,0 se 3,4 se 6,4 se Flase C 9 cm 0,6 cm 16 cm 8 cm 11,8 se 16,0 se 4, se Som vi ser så er det et betydelig avvi mellom beregnet og målt verdi for alveringstiden. Vi legger mere til at feilen øer med, se for ver gang vi øer ulldiameteren med 0,1 mm. Drøft mulige årsaer til avviet. Årsaen er sannsynligvis nyttet til ullets plassering og utforming. Idet vannet passerer ullet, vil det bli utsatt for frisjon som bremser farten til vannet, dermed vil det også ta noe lengre tid før beolderen er tømt enn va vi først beregnet. Korresjon Finnes det en effetiv måte å orrigere avviet på? Beregner vi foroldet mellom beregnet og målt verdi, får vi verdiene 0,76, 0,73 og 0,74. Det vil si at vi an legge inn en multipliasjonsfator på ca. 0,75 for onstanten. Esplisitt løsning av ligningen I ligning (9) om vi fram til at endringen i øyde Δ i løpet av tiden Δt an uttryes som: Δ Δt (1) Dersom vi gjør tidsinrementet uendelig lite, an vi srive denne ligningen på formen: d dt (13)

5 Ligningen uttryer at endringen pr. tidsenet er proporsjonal med vadratroten av øyden, med en proporonalitetsonstant li. Vi user også at er proporsjonal med foroldet mellom arealet til ullet og størrelsen på beolderen. Dette er en separabel differensialligning, dvs. at vi lett an samle den ujente funsjonen (t) på den ene siden av lietstegnet og den tidsvariable på den andre (er en onstant). Dividerer vi med på begge sider av ligningen får vi: d dt (14) En sli ligning løses ved at vi integrerer på begge sider mt dt. Vi får da: 0 1 d t 0 dt (15) der 0 er vannstanden over ullet ved t 0. Integrerer vi ver av sidene finner vi: t 0 t 0 (16) Setter vi inne grenseverdiene får vi: 0 --t (17) t () 0 --t (18) Vi an nå bestemme onstanten ut fra målingene vår. 0 er gitt av vannstanden ved start (f.es. 16 cm), mens verdien til onstanten vil variere med diameteren for beolderen og størrelsen på ullet. Med en ullstørrelse på 0,5 cm og en diameter på beolderen på 9 cm er alveringstiden målt til 3,4 se. På bagrunn av disse verdiene an vi sette opp: ( 3,4 se) 4 --3,4 [cm] 8cm (19) Dersom vi løser denne med ensyn på får vi: 0,1 (0) t () ( 4 0,05t) (1) Garfen til øyre viser en simulering av forløpet på grunnlag av ligning (1).

6 Dette forløpet armonerer godt med simuleringen med differanseligningen. Grafen besriver forløpet for et ull med en diameter på 0,5 cm og en beolder med diameter på 9 cm. Vannstanden ved start er 16 cm over ullet.