MAT1030 Forelesning 21
|
|
- Anita Gustavsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 MAT orelesning Mer ombinatori Dag Normann -. april (Sist oppdatert: -4-4:5) Kapittel 9: Mer ombinatori Oppsummering orrige ue startet vi på apitlet om ombinatori. Vi så på hvordan vi an finne antall måter å fordele n lie objeter på ulie beholdere på. Dette sal vi omme tilbae til. Vi så på inlusjons- og eslusjomsprinsippet: Videre så vi på multipliasjonsprinsippet. Det sal vi fortsette med i dag. A B + A B A + B Multipliasjonsprinsippet Etter dagens forelesning sal følgende oppgave være lett: Oppgave. a) Vi sal fordele syv lie hvite uler og ses lie røde uler på fire forsjellige boser. Hvor mange måter an dette gjøres på? b) Hvis vi rever at de hvite ulene sal ligge i de tre første bosene og de røde i de tre siste, hvor mange mulige fordelinger har vi da? c) Løs a) hvis vi i utgangspuntet bare hadde tre boser, og sammenlin svaret med svaret fra b). orlar det du observerer. Multipliasjonsprinsippet: Hvis vi sal treffe en serie uavhengige valg, vil det totale antall muligheter være produtet av antall muligheter ved hvert valg. A B A B Antall elementer i det artesise produtet A B er antall elementer i A multiplisert med antall elementer i B. Både inlusjons- og eslusjonsprinsippet og multipliasjonsprinsippet an generaliseres til flere enn to mengder.
2 eneraliseringen av inlusjons- og eslusjonsprinsippet til tre mengder ses ved hjelp av Venn-diagrammer. Det vil vi ie få bru for. eneraliseringen av multipliasjonsprinsippet blir Det vil vi få bru for. A A A n A A A n Esempel - det er n binære tall av lengde n Esempel - {a, b, c} {,, } {, } Multipliasjonsprinsippet gir oss følgende: a,, a,, {a, b, c} {,, } {, } {a, b, c} {,, } {, } 8 a b a,, a,, a,, a,, b,, b,, b,, b,, Vi an illustrere det sli: b,, b,, c c,, c,, c,, c,, c,, c,, Permutasjoner Det neste vi sal se på er hva vi mener med en permutasjon og på hvordan vi an telle opp antall permutasjoner av en ordnet mengde.
3 En permutasjon er en endring av en reefølge, eller en omstoing. Når vi stoer en ortsto er poenget at ortene sal ligge i en annen reefølge, og med et fremmedord an vi si at vi permuterer ortene. Vi sal se på noen esempler. Esempel. På hvor mange forsjellige måter an vi srive tallene, og i reefølge? Vi har tre valg for hvilet tall vi vil srive først:, eller. or hvert av disse valgene har vi to valg for hvilet som blir det neste tallet: Starter vi med må det neste tallet være eller, starter vi med må det neste tallet være eller og starter vi med må det neste tallet være eller. Har vi bestemt hvile to tall vi sriver først, gir det siste tallet seg av seg selv. Det fins altså 6 måter å srive disse tre tallene i reefølge på. Esempel. Hvis vi utvider esemplet vårt fra forrige side til å omfatte tallene,, og 4 vil antall permutasjoner vose til 4! 4 og tar vi med 5 i tillegg er antallet 5!. I det siste tilfellet har vi først fem valg for hvilet tall som sal srives først, deretter fire valg for tall nr., tre valg for tall nr. og to valg for tall nr. 4. Det siste tallet gir seg selv. enerelt fins det n! permutasjoner av tallene,..., n. Dette svarer også til hvor mange reefølger vi an sette n elementer i. Esempelvis an syv studenter ordnes på 7! 67 måter. Definisjon (Permutasjon). En permutasjon er en endring av reefølgen av elementene i en ordnet mengde. Vi sier også at en permutasjon av en mengde er en ordning av elementene i mengden. Her bruer vi ordet permutasjon sli boa tillater det, men det vanlige er å oppfatte en permutasjon som en omstoing, elementene bytter plass med hverandre. Esempel. Permutasjonene av {A, B, C} er ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Det er n! permutasjoner av en mengde med n elementer.
4 Og vi vet (selvfølgelig) at n! n (n ) (n ) I esempelet har vi elementer og! 6 permutasjoner. Esempel. Et jent problem i litteraturen er Den handelsreisendes problem (The traveling salesman). Hvis vi har gitt n byer som sal besøes, og vi jenner avstanden mellom to og to av byene, hva er da den orteste veien gjennom alle byene? Det er ennå ingen som har ommet opp med et program som løser dette problemet når antall byer er stort, som for esempel alle tettsteder i Norge med mer enn innbyggere. Vi sal se på hva dette problemet an ha med antall permutasjoner å gjøre. Esempel (ortsatt). Hvis antall byer som sal besøes er mindre, blir selvfølgelig oppgaven gjennomførbar. Anta at vi har fått i oppdrag å srive et program som finner den orteste reiseruten fra by A til by B, og som går gjennom ti andre byer C,...,C i en eller annen reefølge. Igjen an vi anta at alle avstander er jent. En måte å gjøre dette på er å liste opp alle mulige reefølger vi an besøe byene C,...,C i, regne ut alle reiselengdene og så velge ut den orteste. Problemet er at det fins!.68.8 forsjellige reefølger vi an velge mellom. Esempel (ortsatt). Det betyr altså at det fins over tre og en halv million måter å reise fra Oslo til Kirenes på, når reisen sal gå via Kristiansand Stavanger Bergen Molde Kristiansund Trondheim Bodø Narvi Tromsø Alta 4
5 Esempel (ortsatt). Øer vi antall byer som sal besøes til, hvis vi for esempel vil besøe Haugesund og Levanger i tillegg, vil vi være i nærheten av 4.. eneltruter, og da begynner de rase masinene å slite. Det vil gå flere generasjoner masiner mellom hver gang vi an øe antall byer med hvis vi bruer denne naive måten. Esempel (ortsatt). Det man i prasis gjør er å aseptere at det er dumt å brue år på å finne ut av om man an spare noen få ilometers reise, og utviler rase algoritmer som gir effetive reiseruter, uten å garantere at den finner den mest effetive. Det fins eletronise reiseplanleggere som må forene hensynet til ort regnetid og et godt resultat. Tilsvarende optimeringsproblemer finner man for effetiv utnyttelse av lagerplass, effetiv organisering av produsjonsleddene i en bedrift og linende. Esempel. Dette esemplet er stjålet fra en tidligere lærebo i disret matemati, den gang det het MA 8. Hvor mange ord an vi srive ved hjelp av bostavene i MISSISSIPPI? Det er bostaver, og har vi en blytype for hver bostav, an vi sette disse i! forsjellige reefølger. Det gir oss forsjellige reefølger. Esempel (ortsatt). Reefølgen vi setter de to P ene i, betyr imidlertid ie noe for resultatet. Det alene halverer antall ord vi an srive. Det er fire I er og fire S er. Den innbyrdes reefølgen blant I ene og blant S ene betyr heller ie noe for hvordan det ferdige ordet ser ut. Det er 4! 4 måter å trye de fire S ene og 4! 4 måter å trye de fire I ene på. Det betyr at antall forsjellige ord vi an srive er! 4! 4!!
6 Oppgave. Hvor mange forsjellige ord an vi srive ved å stoe om på bostavene i ordet Regn ut svaret fullstendig. PUSLESPILL Ordnet utvalg Vi sal nå se på det som alles ordnet utvalg fra en mengde. Esempel. Oppgave: I et barnesirenn er det med barn. Det er lov til å opplyse om hvem som to de tre første plassene, mens resten ie sal rangeres. Hvor mange forsjellige resultatlister an man få? Esempel (ortsatt). Løsning: Det fins mulige vinnere, deretter 9 mulige andreplasser og til sist 8 mulige tredjeplasser. Det fins altså forsjellige resultatlister. Legg mere til at ! ( )! Vi sal nå definere dette mer generelt og brue notasjonen P for dette tallet. Definisjon. La r og n være naturlige tall sli at r n. Med n n! P r mener vi (n r)! 6
7 Mer. n P r forteller oss hvor mange måter vi an tree r elementer i reefølge ut fra en mengde med n elementer på. Når n r bruer vi at!. Da får vi n P n n! (n n)! n!! n! n! Det er som forventet, siden det er n! permutasjoner av en mengde med n elementer i. Esempel. En idrettsleder har syv løpere i stallen sin, og sal velge ut fire av dem til å delta i en stafett. I et stafettlag spiller reefølgen stor rolle, især om idrettsgrenen er langrenn og det er to etapper i lassis og to i fristil. Da er det 7 P 4 7!! forsjellige mulige lagutta. Kombinasjoner angir hvor mange delmengder med elementer det finnes av en mengde med n elementer Vi har tidligere vist dette ved indusjon. Det er også mulig å vise dette rent ombinatoris, som vi sal gjøre snart. Slie tall alles blant annet for binomialoeffisienter. [fragile] Anta at vi sal fordele tre oransje hatter, 4 5,på fem barn. Hver ombinasjon svarer til en delmengde av {,,, 4, 5}. Antall måter å velge tre barn på i reefølge er 5 P Her vil hver ombinasjon av hatter, f.es. {,, 4}, bli talt! 6 ganger, som 4, 4, 4, 4, 4, og 4. Hvis vi sal ta høyde for dette, så må vi dele på 6. Antall måter å fordele hattene er derfor 6/6, som er ( 5 ). 7
8 Teorem. La A være en mengde med n elementer, og la n. Da finnes det forsjellige delmengder B av A. Bevis (Nytt, og fritt for indusjon). Antall måter å velge elementer i reefølge fra A på er n P n! (n )! or hver delmengde B med elementer, så fins det! forsjellige ordnede utvalg fra A som gir oss B. Da må antall mengder B med elementer være n P! n! (n )!! Legg mere til at Hvorfor det? ( ) ( ) n n n or esempel, hvis vi har en mengde med elementer, så er det ( 8) delmengder med 8 elementer. or hver sli mengde, så har vi også en mengde med elementer. Vi an f.es. lage en funsjon som til enhver delmengde av størrelse 8 gir en delmengde av størrelse. Denne funsjonen vil være både surjetiv og injetiv. Derfor har vi at ( ( 8) ) 9 9. Antall delmengder av størrelse må være li antall delmengder av størrelse n. Det er lie mange måter å velge n elementer på som det er åmåter å velge bort n elementer på. Binomialoeffisientene Tallene ( n ) alles blant annet for binomialoeffisienter. ølgende (reursive) sammenheng var utgangspuntet for et tidligere indusjonsbevis: ( n ) ( n ) + 8
9 Hvorfor er det sli? La oss se på et esempel. Tre,, av fem hatter,, sal være oransje. Hvor mange måter an dette gjøres på? ( ) 5 ( ) 4 + ( ) 4 Hvis den første hatten er oransje, så må to av de fire resterende hattene være oransje.det er ( 4 ) 6 måter å gjøre dette på. Hvis den første hatten er svart, så må tre av de fire resterende hattene være oransje. Det er ( 4 ) 4 måter å gjøre dette på. Dette forteller oss at det er to evivalente måter å definere binomialoeffisientene på: Ved hjelp av faultetsfunsjonen og brø: n! (n )!! Ved reursjon: Pascals treant + Pascals treant er en måte å srive opp alle binomialoeffisientene på ved hjelp av formelen ( ) ( ) ( ) n n n + Hus at Vi får følgende bilde. ( 6 n ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ( 4) 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 4 5) 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( ) 9
10 Vi finner igjen mange jente tallreer i Pascals treant De naturlige tallene:,,,4,5,6,... De såalte triangulære tallene:,,6,,5,,... Toerpotensene:,,4,8,6,,... Kvadrattallene:,4,9,6,5,... ibonacci-tallene (selv om de er godt gjemt):,,,,5,8,,,... Og mange flere...
11 Tilbae til binomialoeffisientene Nesten alle vet at (a + b). Alle vet at (a + b) a + b. Mange vet at (a + b) a + ab + b. De fleste an regne ut at (a + b) a + a b + ab + b. Noen greier til og med å regne ut at (a + b) 4 a 4 + 4a b + 6a b + 4ab + b 4. Noen bør begynne å ane at det er en sammenheng med Pascals treant. Siden (a + b) 5 a 5 + 5a 4 b + a b + a b + 5ab 4 + b 5 blir den anelsen bereftet. Teorem (eneralisering av. vadratsetning). or alle tall a og b og alle hele tall n har vi (a + b) n a n + a n b + a n b + + n ( n n a n b ( n ) ab n + b n ) a n b + Bevis. (a + b) n (a + b) (a + b) (a + b) }{{} n foreomster
12 Hvis vi multipliserer dette ut, så får vi n ledd. Hvert ledd består av n fatorer, hvor hver fator er enten a eller b, f.es. abaa b. Hvis B A {,..., n}, så lar vi B svare til leddet hvor fator nummer i er b hvis i B og a ellers..es. vil {, 4, 5} svare til leddet b a a b 4 b 5 a 6 a n Hvert ledd ommer fra en og bare en mengde B; det vi har besrevet er en surjetiv og injetiv funsjon fra potensmengden av A til leddene vi får når vi regner ut (a + b) n. Bevis (ortsatt). Det fins ( n ) delmengder av A med elementer. Da fins det ( n ) ledd med b er og n a er. Disse leddene ordnes til a n b Dette er nøyatig leddet med indes i teoremet. Siden er vilårlig må formelen i teoremet gi oss verdien på (a + b) n. Dette avslutter beviset. Oppsummering av regneprinsipper Ordnet utvalg med repetisjon: n r Hvor mange binære tall av lengde 5 fins det? Det er 5. Ordnet utvalg uten repetisjon: n P r På hvor mange måter an vi tree to ort fra en ortsto? Det er 5 P Permutasjoner: n! På hvor mange måter an vi stoe om ordet LAKS? Det er 4! 4 4. Kombinasjoner: ( ) n Hvor mange delmengder av {a, b, c, d, e} har to elementer? Det er ( ) Vi sal se på noen flere esempler. ørst en liten digresjon om store tall I ombinatori ommer vi fort opp i veldig store tall.
13 Bredden til et hårstrå: 6 atomer. Atomer i en vanndråpe: atomer. Atomer i universet: 8 atomer. Antall forfedre 65 generasjoner tilbae antall atomer i universet. Og disse tallene er ganse små... Allievel an vi representere dem og regne på dem uten store problemer. rafteori Neste gang begynner vi med grafteori. En graf består av noder og anter: Oppgave: larer dere å tegne denne på et ar uten å løfte blyanten og uten ågå over en ant to ganger?
Kapittel 9: Mer kombinatorikk
MAT3 Disret Matemati orelesning : Mer ombinatori Dag Normann Matematis Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 9: Mer ombinatori 3. april (Sist oppdatert: -4-3 4:4) MAT3 Disret Matemati 3. april Oppsummering
DetaljerForelesning 20. Kombinatorikk. Roger Antonsen - 7. april 2008
orelesning Kombinatori Roger Antonsen - 7. april 8 Kombinatori Kombinatori er studiet av opptellinger, ombinasjoner og permutasjoner. Vi finner svar på spørsmål Hvor mange måter...? uten å telle. Vitig
DetaljerMAT1030 Forelesning 21
MAT00 Forelesning Mer ombinatori Roger Antonsen - 5. april 009 (Sist oppdatert: 009-0-5 00:05) Kapittel 9: Mer ombinatori Plan for dagen Mer om permutasjoner og ordnet utvalg ) Mer om ombinasjoner n velg
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT3 Diskret Matematikk Forelesning 2: Mer kombinatorikk Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 3. april 2 (Sist oppdatert: 2-4-3 4:3) Kapittel 9: Mer kombinatorikk MAT3 Diskret Matematikk
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 21: Mer kombinatorikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 15. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-15 00:05) Kapittel 9: Mer kombinatorikk
DetaljerKapittel 9: Mer kombinatorikk
MAT00 Disret Matemati Forelesig : Mer ombiatori Roger Atose Istitutt for iformati, Uiversitetet i Oslo Kapittel 9: Mer ombiatori 5. april 009 (Sist oppdatert: 009-04-5 00:06) MAT00 Disret Matemati 5. april
DetaljerKombinatorikk. MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 20: Kombinatorikk. Repetisjon. Repetisjon
Kombiatori MAT Disret matemati orelesig : Kombiatori Roger Atose Matematis Istitutt, Uiversitetet i Oslo 7. april 8 Kombiatori er studiet av opptelliger, ombiasjoer og permutasjoer. Vi fier svar på spørsmål
DetaljerRekursjon og induksjon. MAT1030 Diskret matematikk. Induksjonsbevis. Induksjonsbevis. Eksempel (Fortsatt) Eksempel
Reursjon og indusjon MAT1030 Disret matemati Forelesning 15: Indusjon og reursjon, reurenslininger Dag Normann Matematis Institutt, Universitetet i Oslo 3 mars 008 Onsdag ga vi endel esempler på reursive
DetaljerMAT1030 Forelesning 16
MAT1030 Forelesning 16 Reursjon og indusjon Roger Antonsen - 17 mars 009 (Sist oppdatert: 009-03-17 11:4 Forelesning 16 Reursjon og indusjon Forrige gang ga vi endel esempler på reursive definisjoner og
DetaljerMAT1030 Forelesning 20
MAT3 orelesning 2 Kombinatorikk Roger Antonsen - 4. april 29 (Sist oppdatert: 29-4-4 2:42) Repetisjon Kapittel 3 algoritmer pseudokoder kontrollstrukturer representasjon av tall (hele og reelle tall) tallsystemer
DetaljerRepetisjon. MAT1030 Diskret Matematikk. Kapittel 4. Kapittel 1 3. Forelesning 20: Kombinatorikk. Roger Antonsen
MAT3 Diskret Matematikk orelesning 2: Kombinatorikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Repetisjon 4. april 29 (Sist oppdatert: 29-4-4 2:42) MAT3 Diskret Matematikk 4. april
DetaljerPlan. MAT1030 Diskret matematikk. Eksamen 12/6-06 Oppgave 2. Noen tips til eksamen
Plan MAT1030 Disret matemati Plenumsregning 12: Diverse oppgaver Roger Antonsen Matematis Institutt, Universitetet i Oslo 22. mai 2008 Dette er siste plenumsregning. Vi regner stort sett esamensoppgaver.
DetaljerForelesning 19. Kombinatorikk. Dag Normann mars Oppsummering. Oppsummering. Oppsummering
Forelesning 19 Dag Normann - 26. mars 2008 Oppsummering Før påske gikk vi gjennom kapitlene 1-7 i læreboka. De omfattet Eksempler på algoritmer og bruk av pseudokoder. Forskjellige tallsystemer. Hvordan
DetaljerTest, 3 Sannsynlighet
Test, Sannsynlighet Innhold. Pascals talltreant... 2.2 Kombinatori g sannsynlighetsberegning... 7. Sannsynlighetsberegninger.... Hypergeometris sannsynlighetsmodell....5 Binomis sannsynlighetsmodell...
DetaljerOppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 19: Kombinatorikk
Oppsummering MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 19: Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 26. mars 2008 Før påske gikk vi gjennom kapitlene 1-7 i læreboka. De omfattet Eksempler på
DetaljerOppgaver i kapittel 1 - Løsningsskisser og kommentarer Lærebok:
Oppgaver i apittel - Løsningssisser og ommentarer Lærebo:.6 Vitig oppgave, viser hvordan ree-summer an tilnærmes med integraler. Atuelt hvis vi har formelen for n te ledd, men ie har noen summeformel.
DetaljerEksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer
Institutt for datateni og informasjonsvitensap Esamensoppgave i TDT40 Algoritmer og datastruturer Faglig ontat under esamen Magnus Lie Hetland Telefon 98 5 949 Esamensdato 5 august, 08 Esamenstid (fra
DetaljerSTK1100 våren Betinget sannsynlighet og uavhengighet. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! Eksempel 1
STK00 våren 07 Betinget sannsynlighet og uavhengighet Esempel Vi vil først ved hjelp av et esempel se intuitivt på hva betinget sannsynlighet betyr. Vi legger fire røde ort og to svarte ort i en bune.
DetaljerFørsteordens lineære differensiallikninger
Førsteordens lineære differensiallininger Begrepet førsteordens lineære differensiallininger er ie sielig definert i Sinus R. Denne artielen omhandler det temaet. En førsteordens lineær differensiallining
DetaljerMA1301/MA6301 Tallteori Høst 2016
Norges tenis naturvitensapelige universitet Institutt for ateatise fag MA/MA6 Tallteori Høst 6 a Vi starter ed å sjee at liheten steer for n. Vi har at i. Heldigvis er (, så vi ser at påstanden steer i
Detaljer3 Sannsynlighet, Quiz
3 Sannsynlighet, Quiz Innhold 3.1 Begreper i sannsynlighetsregning... 1 3.2 Addisjon av sannsynligheter... 3.3 Produtsetningen for sannsynlighet... 11 3. Binomis sannsynlighet... 17 3.1 Begreper i sannsynlighetsregning
DetaljerRepetisjonshefte MAT1030 Versjon 1.1 Discrete mathemathics with applications 16-Dec-03
Repetisjonshefte MAT1030 Versjon 1.1 Discrete mathemathics with applications 16-Dec-03 1 LOGIKK (S.1-74)... 3 1.0 UTSAGNSVARIABLER & UTSAGNSFORM (FORELESNING 2)... 3 1.1 LOGISK FORM & LOGISK EKVIVALENS...
DetaljerMAT1030 Forelesning 22
MAT1030 Forelesning 22 Grafteori Dag Normann - 14. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-14 12:45) Kombinatorikk Oppsummering av regneprinsipper Ordnet utvalg med repetisjon: n r Ordnet utvalg uten repetisjon:
DetaljerKombinatorikk. MAT1030 Diskret Matematikk. Oppsummering av regneprinsipper
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 22: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kombinatorikk 14. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-14 12:43) MAT1030 Diskret Matematikk 14.
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 22: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 14. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-14 12:42) Kombinatorikk MAT1030 Diskret Matematikk 14.
DetaljerForkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Integrasjon.
De grunnleggende definisjonene L oss strte med følgende prolem: Gitt en ontinuerlig funsjon y = f der f for [, ] Beregn relet A som er vgrenset v grfen til f, -sen, og de to vertile linjene = og = Vi n
DetaljerDen kritiske lasten for at den skal begynne å bøye ut kalles knekklasten. Den avhenger av stavens elastiske egenskap og er gitt ved: 2 = (0.
HIN Industriteni RA 5.11.03 Side 1 av 7 Kneing Staver Kneing er en elastis eller plastis ustabilitet som forårsaes av trspenninger. For å forstå fenomenet er det vanlig å starte med det enleste tilfelle,
DetaljerEKSAMEN. Ta med utregninger i besvarelsen for å vise hvordan du har kommet fram til svaret.
EKSAMEN Emneode: ID30005 Emne: Industriell I Dato: 5.2.204 Esamenstid: l. 0900 til l. 300 Hjelpemidler: re A4-ar (ses sider) med egne notater. "ie-ommuniserende" alulator. Faglærer: Robert Roppestad Esamensoppgaven:
Detaljerb) Hvis det er mulig å svare blankt (dvs. vet ikke) blir det 5 svaralternativer på hvert spørsmål, og dermed mulige måter å svare på.
Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen Avsnitt 5. Oppgave 3 Når et spørsmål har 4 svaralternativer
DetaljerFY1006/TFY Øving 4 1 ØVING 4
FY1006/TFY4215 - Øving 4 1 Oppgave 13 ØVING 4 Vibrerende to-partiel-system Som disutert side 110 i boa, er det et vitig poeng både i lassis meani og i vantemeani at et to-partiel-problem essensielt an
DetaljerObligatorisk oppgave 4 i INF4400 for Jan Erik Ramstad
Obligatoris oppgave i INF for Jan Eri Ramstad Jan Eri Ramstad Institutt for Informati Universitetet i Oslo janera@fys.uio.no. Mars6 6. april Bagrunn Worst case transient simulering NAND port Oppgave I
DetaljerMatriser. Kapittel 4. Definisjoner og notasjon
Kapittel Matriser Vi har lært å løse et lineært ligningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet gausseliminere den ved hjelp av radoperasjoner på matrisen Vi skal nå se nærmere på egenskaper
DetaljerAlgoritmer og datastrukturer Avsnitt Algoritmeanalyse
Kapittel 5. Biære søetrær Algoritmer og datastruturer Avsitt 5..5 Algoritmeaalyse Avsitt 5..5.5 - Gjeomsittlig avstad mellom to «aboer» i iorde i et biært søetre med forsjellige verdier ver permutasjo
DetaljerR2 - Kapittel 2 - Algebra. I a) Hvilken av disse tallfølgene er aritmetiske, geometriske eller ingen av delene?
R2 - Kapittel 2 - Algebra I Hvilen av disse tallfølgene er aritmetise, geometrise eller ingen av delene?.,,,,... 2 4 2. 2,6,8,54,.... 2,6,0,4,... 4.,, 2, 4,... 2 9 5., 5, 7, 9,... 4 9 6 Sriv opp uttryet
Detaljer8 + AVSLUTTE SPILLET Handelsenheten forteller deg når spillet er over, etter 1 time. BATTERY INFORMATION
AVSLUTTE SPILLET andelsenheten forteller deg når spillet er over, etter 1 time. BRAND Regn ut hva du er god for ved å følge disse trinnene: hvis hun eller han landet på dette feltet. (Se side 13.) 1. Tell
DetaljerEksemplet bygger på en ide fra Thor Bernt Melø ved Institutt for fysikk ved NTNU og Tom Lindstrøms bok Kalkulus.
LÆRERARK...om å tømme en beolder for vann Esemplet bygger på en ide fra Tor Bernt Melø ved Institutt for fysi ved NTNU og Tom Lindstrøms bo Kalulus. Problemstilling: Vi ar et sylindris beger med et sirulært
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 17. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-17 12:40) Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerKapittel 5: Mengdelære
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Mengdelære 17. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-17 12:41) MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerSannsynligheten for det usannsynlige kan vi bestemme sannsynligheten for usannsynlige hendelser?
Sannsynligheten for det usannsynlige an vi bestemme sannsynligheten for usannsynlige hendelser? Ørnulf Borgan Landsurs i matemati Gardermoen 6. mars 2017 H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf:
DetaljerLogiske innenheter (i GKS og PHIGS) kreves ikke i besvarelsen: String Locator Pick Choice Valuator Stroke
Oppgave a) Geometrise (eller grafise) primitiver er de grunnleggende bestandelene av en tegning som an tegnes direte ved enel (uten bru av ombinasjoner) bru av de tegnefunsjonene som en API tilbyr. (Forsjellige
DetaljerNormalfordeling. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi, økonomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke 7
Ueoppgaver i BtG207 Statisti, ue 7 : Normalfordeling. 1 Høgsolen i Gjøvi Avdeling for tenologi, øonomi og ledelse. Statisti Ueoppgaver ue 7 Normalfordeling. Oppgave 1 Anta Z N(0, 1), dvs. Z er standard
DetaljerSTK1100 våren 2015 P A B P B A. Betinget sannsynlighet. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! Eksemplet motiverer definisjonen:
STK00 våren 05 etnget sannsynlghet Svarer tl avsntt.4 læreboa Esempel V vl først ved help av et esempel se ntutvt på hva betnget sannsynlghet betyr V legger fre røde ort og to svarte ort en bune Ørnulf
DetaljerTema 1: Hendelser, sannsynlighet, kombinatorikk Kapittel ST1101 (Gunnar Taraldsen) :19
Tema 1: Hendelser, sannsynlighet, kombinatorikk Kapittel 2.1-2.7 ST1101 (Gunnar Taraldsen) 2019-01-12 17:19 Sentrale definisjoner og regneregler Definisjoner: Stokastisk forsøk, utfallsrom, hendelser (snitt,
DetaljerForelesning 30: Kompleksitetsteori
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 30: Kompleksitetsteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 30: Kompleksitetsteori 19. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-19
Detaljer4 Matriser TMA4110 høsten 2018
Matriser TMA høsten 8 Nå har vi fått erfaring med å bruke matriser i et par forskjellige sammenhenger Vi har lært å løse et lineært likningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet og gausseliminere
Detaljerd) Poenget er å regne ut terskeltrykket til kappebergarten og omgjøre dette til en tilsvarende høyde av en oljekolonne i vann.
Sisse til løsning Esamen i Reservoarteni 3. juni, 999 Oppgave a) Kapillartry er differansen i try mellom to faser på hver side av den infinitesimale overflaten som siller fasene. Det følger av en minimalisering
DetaljerMAT1030 Forelesning 22
MAT1030 Forelesning 22 Grafteori Roger Antonsen - 21. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-21 15:13) Introduksjon Introduksjon Vi skal nå over til kapittel 10 & grafteori. Grafer fins overalt rundt oss!
DetaljerIntroduksjon. MAT1030 Diskret Matematikk. Introduksjon. En graf. Forelesning 22: Grafteori. Roger Antonsen
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Introduksjon 21. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-21 15:13) MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerSannsynlighet løsninger
Sannsynlighet løsninger Innhold 3.1 Pascals talltrekant... 2 3.2 Kombinatorikk... 5 3.3 Sannsynlighetsberegninger... 10 3.4 Hypergeometrisk sannsynlighetsmodell... 12 3.5 Binomisk sannsynlighetsmodell...
DetaljerIntroduksjon. MAT1030 Diskret matematikk. Søkealgoritmer for grafer. En graf
Introduksjon MAT13 Diskret matematikk Forelesning 21: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 9. april 28 Vi skal nå over til kapittel 1 & grafteori. Grafer fins overalt rundt
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 21: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 9. april 2008 Introduksjon Vi skal nå over til kapittel 10 & grafteori. Grafer fins overalt
DetaljerForelesning Mikroprogram for IJVM Kap 4.3
TDT4160 Datamasiner Grunnurs Forelesning 31.10 Miroprogram for IJVM Kap 4.3 Dagens tema Repetison: IJVM Miroaritetur IJVM-Instrusoner Registerbru Miroprogram for IJVM (4.3) Micro Assembly Language (MAL)
DetaljerForelesning 23. Grafteori. Dag Normann april Oppsummering. Oppsummering. Oppsummering. Digresjon: Firefarveproblemet
Forelesning 23 Grafteori Dag Normann - 16. april 2008 Oppsummering En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og noder kan være naboer. Vi bør kjenne til begrepene om sammenhengende
DetaljerTenk deg at du skal lage figurer av blå og hvite ruter som vist ovenfor.
Tall og figurer Eksamensoppgaver Våren 016 OPPGAVE 4 (MED HJELPEMIDLER) Figur 1 Figur Figur 3 Tenk deg at du skal lage figurer av blå og hvite ruter som vist ovenfor. a) Skriv av tabellen nedenfor, og
DetaljerGrafteori. MAT1030 Diskret Matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 24: Grafer og trær. Dag Normann
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 24: Grafer og trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Grafteori 21. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-21 12:55) MAT1030 Diskret Matematikk 21.
DetaljerALGORITMER OG DATASTRUKTURER
Stud. nr: Side 1 av 6 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet BOKMÅL Fakultet for informasjonsteknologi, matematikk og elektroteknikk Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap AVSLUTTENDE
DetaljerLO118D Forelesning 5 (DM)
LO118D Forelesning 5 (DM) Relasjoner 03.09.2007 1 Relasjoner 2 Ekvivalensrelasjoner 3 Matriser av relasjoner 4 Relasjonsdatabaser Relasjon Relasjoner er en generalisering av funksjoner En relasjon er en
DetaljerBodø bedre sykkelby enn Tromsø
Bodø bedre sykkelby enn Tromsø Tromsø ser ut til å ha noe bedre vintervedlikehold for syklister enn Bodø. Likevel er Bodø beste sykkelby i Nord-Norge. Det kommer fram i en nasjonal sykkelundersøkelse kalt
DetaljerStavanger blir en stadig bedre sykkelby
Stavanger blir en stadig bedre sykkelby Syklistene i Stavanger blir stadig mer fornøyde med forholdene, og byen er nå den sjuende beste sykkelbyen i landet. Det går fram av en nasjonal undersøkelse. Undersøkelsen
DetaljerPorsgrunn bedre sykkelby enn Skien
Porsgrunn bedre sykkelby enn Skien Syklistene i Porsgrunn er mer fornøyde enn syklistene i Skien. Og forholdene blir stadig bedre i Porsgrunn. Mens Porsgrunn er på 12. plass og holder posisjonen fra 2013,
DetaljerHaugesund blant de dårligste sykkelbyene
Haugesund blant de dårligste sykkelbyene Syklistene i Haugesund har ingen grunn til å være fornøyde. Det viser en nasjonal sykkelundersøkelse. Og forholdene blir ikke bedre. Syklistenes i Haugesund har
DetaljerForelesning 10. Mengdelære. Dag Normann februar Venn-diagrammer. Venn-diagrammer. Venn-diagrammer. Venn-diagrammer
Forelesning 10 Mengdelære Dag Normann - 13. februar 2008 Venn-diagrammer Mandag innførte vi de Booleske operasjonene Union Snitt Komplement A Mengdedifferens A B samt de faste mengdene og E. Venn-diagrammer
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 16. april 2008 Oppsummering En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og
DetaljerOppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 23: Grafteori
Oppsummering MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 16. april 2008 En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og
DetaljerVenn-diagrammer. MAT1030 Diskret matematikk. Venn-diagrammer. Venn-diagrammer. Eksempel. Forelesning 10: Mengdelære
Venn-diagrammer MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 10: Mengdelære Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 13. februar 2008 Mandag innførte vi de Booleske operasjonene Union Snitt Komplement
DetaljerEKSAMEN I EMNE TDT4195 BILDETEKNIKK LØRDAG 26. MAI 2007 KL LØSNINGSFORSLAG - GRAFIKK
Side av 7 NTNU Norges tenis-naturvitensapelige universitet Faultet for informasjonstenologi, matemati og eletroteni Institutt for datateni og informasjonsvitensap EKSAMEN I EMNE TDT495 BILDETEKNIKK LØRDAG
DetaljerIN105-javaNelson-2. array, evt. flere dimensjoner. Institutt for informatikk Jens Kaasbøll sept. 1999. En funksjon om gangen En klasse om gangen
"Nelsons affebuti" et esempel på systemutviling med objeter Originale lysar av Jens Kaasbøll - mindre endringer av G. Sagestein og Knut Hegna IN5-javaNelson- Analyse Lageradministrasjon (inventory) Mange
DetaljerR Differensialligninger
R - 6.0.05 - Differensialligninger Løsningssisser Oppgave Løs differensialligningene y x y b) y y x c) y 8y 7y 0 Separabel: y y x y dy xdx y x C y x 4 C y C x 4 Da ligningen er ulineær, bør vi også se
DetaljerSensorveiledning eksamen ECON 3610/4610 Høst 2004
1 Jon Vislie; november 2004 Sensorveiledning esamen ECO 3610/4610 Høst 2004 Modellen har fem lininger og sju variable (,n,m,,k,x og c); med to frihetsgrader i utgangspuntet og som an brues til å masimere
DetaljerLO118D Forelesning 10 (DM)
LO118D Forelesning 10 (DM) Grafteori 03.10.2007 1 Korteste vei 2 Grafrepresentasjoner 3 Isomorfisme 4 Planare grafer Korteste vei I en vektet graf går det an å finne den veien med lavest total kostnad
DetaljerEksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Faglig kontakt under eksamen: Martin Strand Tlf: 970 7 848 Eksamensdato: 3. mai 014 Eksamenstid (fra
DetaljerA) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20
SETT 25 OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET DAG 1 1. Et fotballag spilte 26 kamper i en serie, og fikk til sammen 43 poeng. Det ble gitt tre poeng for seier, ett for uavgjort og null for tap. Laget tapte
DetaljerPlenumsregning 10. Diverse ukeoppgaver. Roger Antonsen april Vi øver oss litt på løse rekurrenslikninger.
Plenumsregning 10 Diverse ukeoppgaver Roger Antonsen - 17. april 2008 Vi øver oss litt på løse rekurrenslikninger. Oppgave 7.23 Løs følgende rekurrenslikning (c) t(n) 6t(n 1) + 9t(n 2) = 0, t(1) = 3, t(2)
DetaljerMAT1030 Forelesning 12
MAT1030 Forelesning 12 Relasjoner Dag Normann - 24. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-24 12:36) Kapittel 5: Relasjoner Repetisjon En relasjon på en mengde A er en delmengde R A A = A 2. Vi har satt
DetaljerECON Statistikk 1 Forelesning 3: Sannsynlighet. Jo Thori Lind
ECON2130 - Statistikk 1 Forelesning 3: Sannsynlighet Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Hva er sannsynlighet? 2. Grunnleggende regler for sannsynlighetsregning 3. Tilfeldighet i datamaskinen
DetaljerUke 5 Disjunkte mengder
Uke 5 Disjunkte mengder MAW, kap.. 8 September 19, 2005 Page 1 Hittil Forutsetninger for og essensen i faget Metodekall, rekursjon, permutasjoner Analyse av algoritmer Introduksjon til ADT er Den første
DetaljerKapittel 15 ANDREGRADSLIGNINGER. Arealet av det ytre kvadratet skal være dobbelt så stort som arealet av bassenget. x =?
Arelet v det ytre vdrtet sl være doelt så stort som relet v ssenget.? ( 4) ( 4) > 0 Hvis > 4, så ( 4) 4 4 4,44,44 4 9,66 Løsningen n rues dersom > 0. 9,66 n rues. 9,66 93,3 m 86,60 m ( 4) ( ) 8 6 8 6 8
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 29: Kompleksitetsteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 13. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-17 22:38) Forelesning 29: Kompleksitetsteori
DetaljerKapittel 5: Relasjoner
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 12: Relasjoner Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Relasjoner 24. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-24 12:36) MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerForelesning 29: Kompleksitetsteori
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 29: Kompleksitetsteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 29: Kompleksitetsteori 13. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-17
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret
DetaljerMAT1030 Forelesning 10
MAT1030 Forelesning 10 Mengdelære Roger Antonsen - 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) Kapittel 5: Mengdelære Oversikt Vi har nå innført de Boolske operasjonene, union snitt komplement
DetaljerKapittel 5: Mengdelære
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Mengdelære 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) MAT1030 Diskret
DetaljerST1201 Statistiske metoder
ST0 Statistise etoder Norges tenis-naturvitensapelige universitet Institutt for ateatise fag Løsningsforslag - Esaen deseber 008 Oppgave a l(θ = lnl(θ = L(θ = n n f(x i [ θ e ] x i θ [ ln lnθ x ] i = nln
DetaljerBinomialkoeffisienter
Binomialkoeffisienter Litt repetisjon: ( n r ) = n! (n r)! r! r 0, n 0 Dette gir oss fordi ( n r ) = ( n n r ) ( n n 1 ) = n ( n n 1 ) = ( n n (n 1) ) = (n 1 ) = n Andre viktige observasjoner: 0! = 1 (
DetaljerMAT1030 Forelesning 24
MAT1030 Forelesning 24 Grafteori og trær Roger Antonsen - 28. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-28 22:32) Forelesning 24 Oppsummering En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 10: Diverse ukeoppgaver Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 17. april 2008 Vi øver oss litt på løse rekurrenslikninger. Oppgave 7.23 Løs
DetaljerEksempel på symmetrisk feil: trefase kortslutning på kraftlinje.
HØGSKOLE AGDER Faule for enoloi Elrafeni 1, løsninsforsla øvin 9 høs 004 Oppave 1 En feil i rafsyseme er enhver ilsand som forsyrrer den normale drifen av syseme. Esempler på dee an være refase orslunin
DetaljerNotater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I
Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I 4 Kombinatorikk Vi må lære tellemetoder når valgtrær, som vi brukte tidligere, blir for store og vanskelig å håndtere.
DetaljerSTK1100 våren 2017 Kombinatorikk
STK1100 våren 2017 Kombinatorikk Svarer til avsnitt 2.3 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Uniform sannsynlighetsmodell Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige
DetaljerForelesning 31. Dag Normann mai Informasjon. Kompleksitetsteori
Forelesning 31 Dag Normann - 19. mai 2008 Informasjon Jeg er blitt bedt om å opplyse om hvilke forelesninger det er som inneholder eksamensrelevant stoff som ikke står i læreboka. Det er Forelesning 17,
DetaljerLØSNINGSFORSLAG, EKSAMEN I ALGORITMER OG DATASTRUKTURER (IT1105)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Side 1 av 8 Faglig kontakt under eksamen: Magnus Lie Hetland LØSNINGSFORSLAG, EKSAMEN I ALGORITMER OG DATASTRUKTURER
DetaljerØvingsforelesning 5. Binær-, oktal-, desimal- og heksidesimaletall, litt mer tallteori og kombinatorikk. TMA4140 Diskret Matematikk
Binær-, oktal-, desimal- og heksidesimaletall, litt mer tallteori og kombinatorikk Øvingsforelesning 5 TMA4140 Diskret Matematikk 1. og 3. oktober 2018 Dagen i dag Repetere binære, oktale osv. heltallsrepresentasjoner,
DetaljerForelesning 14. Rekursjon og induksjon. Dag Normann februar Oppsummering. Oppsummering. Beregnbare funksjoner
Forelesning 14 og induksjon Dag Normann - 27. februar 2008 Oppsummering Mandag repeterte vi en del om relasjoner, da spesielt om ekvivalensrelasjoner og partielle ordninger. Vi snakket videre om funksjoner.
DetaljerLO118D Forelesning 9 (DM)
LO118D Forelesning 9 (DM) Grafteori 26.09.2007 1 Introduksjon 2 Veier og sykler 3 Hamiltonsykler og omreisende handelsmenn Graf, urettet Definisjon En graf (eller urettet graf) G består av en mengde V
DetaljerForskjellige typer utvalg
Forskjellige typer utvalg Det skal deles ut tre pakker til en gruppe på seks. Pakkene inneholder en TV, en PC og en mobiltelefon. På hvor mange måter kan pakkene deles ut? Utdelingen skal være tilfeldig
DetaljerRekurrens. MAT1030 Diskret matematikk. Rekurrens. Rekurrens. Eksempel. Forelesning 16: Rekurrenslikninger. Dag Normann
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 16: likninger Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo INGEN PLENUMSREGNING 6/3 og 7/3 5. mars 008 MAT1030 Diskret matematikk 5. mars 008 Mandag ga
DetaljerEksamen MAT H Løsninger
Eksamen MAT1140 - H2014 - Løsninger Oppgave 1 Vi setter opp en vanlig sannhetsverditabell. La Φ betegne formelen i oppgaven. Tabellen vil bli som følger: A B C A B A C Φ T T T T T T T T F T T T T F T F
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (14 poeng) a) Skriv så enkelt som mulig x x 5 10x 5 b) Løs likningen x 1 3 1 c) Skriv så enkelt som mulig a a 1 4 3 4 a 3 a d) Gitt ABC ovenfor. AB 5,0, AC 3,0 og BC 4,0.
Detaljer